Recently, Formal Concept Analysis has proven to be an efficient method for the analysis and representation of information. However, the possibility to visualize concept hierarchies is being affected by the difficulty of drawing attractive diagrams automatically. Reducing the number of edge crossings seems to increase the readability of those drawings. This dissertation concerns with a mandatory prerequisite of this constraint, namely the characterization and visual representation of planar lattices. The manifold existing approaches and algorithms are thereby considered under a different point of view. It is well known that exactly the planar lattices (or planar posets) possess an additional order ``from left to right''. Our aim in this work is to define left-relations and left-orders more precisely and to describe several aspects of planar lattices with their help. The three approaches employed structure the work in as many parts: Left-relations on lattices allow a more efficient consideration of conjugate orders since they are uniquely determined by the sorting of the meet-irreducibles. Additionally, the restriction on the meet-irreducibles enables us to achieve an intuitive description of standard contexts of planar lattices similar to the consecutive-one property. With the help of left-relations on diagrams, planar lattices can indeed be drawn without edge crossings in the plane. Thereby, lattice-theoretically found left-orders can be detected in the graphical representation again. Furthermore, we modify the left-right-numbering algorithm in order to obtain attribute-additive and plane drawings of planar lattices. Finally, we will consider left-relations on contexts. They turn out to be fairly similar structures to the Ferrers-graphs. Planar lattices can be characterized by a property of these graphs, namely the bipartiteness. We will constructively prove this result. Subsequently, we can design an efficient algorithm that finds all non-similar plane diagrams of a lattice. / Die Formale Begriffsanalyse hat sich in den letzten Jahren als effizientes Werkzeug zur Datenanalyse und -repräsentation bewährt. Die Möglichkeit der visuellen Darstellung von Begriffshierarchien wird allerdings durch die Schwierigkeit, ansprechende Diagramme automatisch generieren zu können, beeinträchtigt. Offenbar sind Diagramme mit möglichst wenig Kantenkreuzungen für den menschlichen Anwender leichter lesbar. Diese Arbeit beschäftigt sich mit mit einer diesem Kriterium zugrunde liegenden Vorleistung, nämlich der Charakterisierung und Darstellung planarer Verbände. Die schon existierenden vielfältigen Ansätze und Methoden werden dabei unter einem neuen Gesichtspunkt betrachtet. Bekannterweise besitzen genau die planaren Verbände (bzw. planare geordnete Mengen) eine zusätzliche Ordnung "von links nach rechts". Unser Ziel in dieser Arbeit ist es, solche Links-Relationen bzw. Links-Ordnungen genauer zu definieren und verschiedene Aspekte planarer Verbände mit ihrer Hilfe zu beschreiben. Die insgesamt drei auftretenden Sichtweisen gliedern die Arbeit in ebensoviele Teile: Links-Relationen auf Verbänden erlauben eine effizientere Behandlung konjugierter Ordnungen, da sie durch die Anordnung der Schnitt-Irreduziblen schon eindeutig festgelegt sind. Außerdem erlaubt die Beschränkung auf die Schnitt-Irreduziblen eine anschauliche Beschreibung von Standardkontexten planarer Verbände ähnlich der consecutive-one property. Mit Hilfe der Links-Relationen auf Diagrammen können planare Verbände tatsächlich eben gezeichnet werden. Dabei lassen sich verbandstheoretisch ermittelte Links-Ordnungen in der graphischen Darstellung wieder finden. Weiterhin geben wir in eine Modifikation des left-right-numbering an, mit der planare Verbände merkmaladditiv und eben gezeichnet werden können. Schließlich werden wir Links-Relationen auf Kontexten betrachten. Diese stellen sich als sehr ähnlich zu Ferrers-Graphen heraus. Planare Verbände lassen sich durch eine Eigenschaft dieser Graphen, nämlich die Bipartitheit, charakterisieren. Wir werden dieses Ergebnis konstruktiv beweisen und darauf aufbauend einen effizienten Algorithmus angeben, mit dem alle nicht-ähnlichen ebenen Diagramme eines Verbandes bestimmt werden können.

Description logics knowledge bases are a popular approach to represent terminological and assertional knowledge suitable for computers to work with. Despite that, the practicality of description logics is impaired by the difficulties one has to overcome to construct such knowledge bases. Previous work has addressed this issue by providing methods to learn valid terminological knowledge from data, making use of ideas from formal concept analysis. A basic assumption here is that the data is free of errors, an assumption that can in general not be made for practical applications. This thesis presents extensions of these results that allow to handle errors in the data. For this, knowledge that is "almost valid" in the data is retrieved, where the notion of "almost valid" is formalized using the notion of confidence from data mining. This thesis presents two algorithms which achieve this retrieval. The first algorithm just extracts all almost valid knowledge from the data, while the second algorithm utilizes expert interaction to distinguish errors from rare but valid counterexamples.

With the growing number of large data sets, the necessity of complexity reduction applies today more than ever before. Moreover, some data may also be vague or uncertain. Thus, whenever we have an instrument for data analysis, the questions of how to apply complexity reduction methods and how to treat fuzzy data arise rather naturally. In this thesis, we discuss these issues for the very successful data analysis tool Formal Concept Analysis. In fact, we propose different methods for complexity reduction based on qualitative analyses, and we elaborate on various methods for handling fuzzy data. These two topics split the thesis into two parts. Data reduction is mainly dealt with in the first part of the thesis, whereas we focus on fuzzy data in the second part. Although each chapter may be read almost on its own, each one builds on and uses results from its predecessors. The main crosslink between the chapters is given by the reduction methods and fuzzy data. In particular, we will also discuss complexity reduction methods for fuzzy data, combining the two issues that motivate this thesis. / Komplexitätsreduktion ist eines der wichtigsten Verfahren in der Datenanalyse. Mit ständig wachsenden Datensätzen gilt dies heute mehr denn je. In vielen Gebieten stößt man zudem auf vage und ungewisse Daten. Wann immer man ein Instrument zur Datenanalyse hat, stellen sich daher die folgenden zwei Fragen auf eine natürliche Weise: Wie kann man im Rahmen der Analyse die Variablenanzahl verkleinern, und wie kann man Fuzzy-Daten bearbeiten? In dieser Arbeit versuchen wir die eben genannten Fragen für die Formale Begriffsanalyse zu beantworten. Genauer gesagt, erarbeiten wir verschiedene Methoden zur Komplexitätsreduktion qualitativer Daten und entwickeln diverse Verfahren für die Bearbeitung von Fuzzy-Datensätzen. Basierend auf diesen beiden Themen gliedert sich die Arbeit in zwei Teile. Im ersten Teil liegt der Schwerpunkt auf der Komplexitätsreduktion, während sich der zweite Teil der Verarbeitung von Fuzzy-Daten widmet. Die verschiedenen Kapitel sind dabei durch die beiden Themen verbunden. So werden insbesondere auch Methoden für die Komplexitätsreduktion von Fuzzy-Datensätzen entwickelt.

This report discusses clones with nullary operations and the corresponding relational clones, both defined on arbitrary non-empty sets. The relationship between such clones and clones in the usual sense, i.e. without nullary operations, is investigated, and in particular the latter type of clones is located in the lattice of all clones. By means of two pairs of kernel and closure operators, a framework is developed that allows to transfer statements about usual clones to statements about clones with nullary constants. In this respect, familiar operators and constructions from clone theory, like the operators Pol and Inv, the closure operators belonging to the clone lattices, and the different variants of local closure operators on sets of relations and operations, respectively, are translated from the usual setting to the more general one and vice versa. The applicability of the presented machinery is demonstrated using the example of the theorem characterising Galois closed sets w.r.t. Pol-Inv as local closures of clones and relational clones, respectively.

The aim of this paper is to show how Formal Concept Analysis can be used for the bene t of clone theory. More precisely, we show how a recently developed duality theory for clones can be used to dualize clones over bounded lattices into the framework of Formal Concept Analysis, where they can be investigated with techniques very di erent from those that universal algebraists are usually armed with. We also illustrate this approach with some small examples.

Context and lattice orbifolds have been discussed by M. Zickwolff, B. Ganter and D. Borchmann. Preordering the folding automorphisms by set inclusion of their orbits gives rise to further development. The minimal elements of this preorder have a prime group order and any group element can be dissolved into the product of group elements whose group order is a prime power. This contribution describes a way to compress an orbifold annotation to sets of such minimal automorphisms. This way a hierarchical annotation is described together with an interpretation of the annotation. Based on this annotation an example is given that illustrates the construction of an automaton for certain pattern matching problems in music processing.

In this thesis, we present a lattice theoretical approach to the field of approximations. Given a pair consisting of a kernel system and a closure system on an underlying lattice, one receives a lattice of approximations. We describe the theory of these lattices of approximations. Furthermore, we put a special focus on the case of concept lattices. As it turns out, approximation of formal concepts can be interpreted as traces, which are preconcepts in a subcontext. / In der vorliegenden Arbeit beschreiben wir einen verbandstheoretischen Zugang zum Thema Approximieren. Ausgehend von einem Kern- und einem Hüllensystem auf einem vollständigen Verband erhält man einen Approximationsverband. Wir beschreiben die Theorie dieser Approximationsverbände. Des Weiteren liegt dabei ein Hauptaugenmerk auf dem Fall zugrundeliegender Begriffsverbände. Wie sich nämlich herausstellt, lassen sich Approximationen formaler Begriffe als Spuren auffassen, welche diese in einem vorgegebenen Teilkontext hinterlassen.