Dans ce travail, on s'intéresse à plusieurs aspects de l'approximation numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation. La première partie est dédiée à la construction de schémas d'ordre élevé sur des maillages 2D non structurés. On développe une nouvelle technique de reconstruction de gradients basée sur l'écriture de deux schémas MUSCL sur deux maillages imbriqués. Cette procédure augmente le nombre d'inconnues numériques, mais permet d'approcher la solution avec une grande précision. Dans la deuxième partie, on étudie la stabilité des schémas d'ordre élevé. On montre dans un premier temps que les inégalités d'entropie discrètes usuelles vérifiées par les schémas d'ordre élevé ne sont pas pertinentes pour assurer le bon comportement dans le régime de convergence. On propose alors une extension des techniques de limitation {\it a posteriori} pour forcer la vérification des inégalités d'entropie discrètes requises. Dans la dernière partie, on s'intéresse à la construction de schémas well-balanced pour le modèle de Saint-Venant, le modèle de Ripa et les équations d'Euler avec gravité. On propose plusieurs stratégies permettant d'obtenir des schémas numériques capables de préserver tous les régimes stationnaires au repos. On développe également des extensions d'ordre élevé.

La modélisation d'expériences de fusion par confinement inertiel fait intervenir des équations cinétiques dont la discrétisation peut être très coûteuse. La recherche de modèles simplifiés permet de réduire la taille et donc la complexité de ces systèmes. La justification mathématique de ces modèles simplifiés devient alors un enjeu central. Dans ce travail nous étudions plusieurs modèles réduits pour l'équation du transfert radiatif dans différents contextes, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. En particulier nous étudions l'équation du transfert radiatif relativiste dans le régime de diffusion hors équilibre, et nous montrons la convergence de la solution de cette équation vers la solution d'une équation de drift diffusion, dans laquelle les effets Doppler sont modélisés par un terme de transport en fréquence. Cette équation de transport est discrétisée par une nouvelle classe de schémas "bien équilibrés" (well-balanced), pour lesquels nous montrons que ces nouveaux schémas sont consistants lorsque la vitesse d'onde tends vers zero, par opposition aux schémas de type Greenberg-Leroux. Nous étudions également de nouveaux modèles réduits pour le scattering Compton (collision inélastique photon-électron). Une hiérarchie d'équations cinétiques non linéaires généralisant l'équation de Kompaneets pour des distributions anisotropes sont dérivées et leurs propriétés étudiées. Les modèles aux moments de type P_1 et M_1 sont dérivés à partir de l'une de ces équations, et nous montrons que la prise en compte de l'anisotropie du rayonnement peut modifier le phénomène de condensation de Bose expliqué par Caflisch et Levermore. Ce manuscrit se termine avec les comptes rendus de deux projets. Le premier est une preuve technique de la convergence uniforme du schéma de Gosse-Toscani sur maillages non structurés. Ce schéma est "asymptotic preserving", au sens ou il préserve au niveau discret la limite de diffusion pour l'équation de la chaleur hyperbolique, et cette preuve de convergence uniforme sur maillage non structurés en 2D est originale. Le second concerne la dérivation d'un modèle cinétique pour le Bremsstrahlung électron-ion qui préserve la limite thermique. / The modeling of inertial confinement experiments involves kinetic equations whose discretization can become very costly. The research of reduced models allows to decrease the size and the complexity of these systems. The mathematical justification of such reduced models becomes an important issue. In this work we study several reduced models for the transfer equation in several contexts, from the theoretical and numerical point of view. In particular we study the relativistic transfer equation in the non-equilibrium diffusion regime, and we prove the convergence of the solution of this equation to the solution of a drift diffusion equation, in which the Doppler effects are modeled by a frequency transport term. This transport equation is discretized by a new class of well-balanced schemes, and we show that these schemes are consistant as the wave velocity tends to zero, by opposition to the Greenberg-Leroux type schemes. We also study several original reduced models for the Compton scattering (inelastic electron-photon collision). A hierarchy of nonlinear kinetic equations generalizing the Kompaneets equation for anisotropic distributions are derived and their properties are studied. The M_1 and P_1 angular moments models are derived from one of these equations, and we show that the anisotropic part of a radiation beam can modify the Bose condensation phenomena observed by caflisch and Levermore. This work ends with the reports of two side projects. The first one is a technical proof of the uniform convergence of the Gosse-Toscani scheme on unstructured meshes. This scheme is asymptotic preserving, since it preserves at the discrete level the diffusion limit of the hyperbolic heat equation, and this proof on unstructured meshes in 2D is original. The second one is devoted to the derivation of a kinetic model for the electron-ion Bremsstrahlung that preserves the thermal limit.