La révolution technologique que connaît le secteur automobile avec la multiplication des<br />systèmes électroniques et informatiques embarqués n'est pas près de s'essouffler. Il est<br />manifeste que la complexité croissante et la spécificité des systèmes embarqués justifieront de<br />plus en plus le besoin de structurer l'ensemble des activités de développement. Vérification,<br />validation, conception et bien entendu sûreté de fonctionnement font partie intégrante d'un<br />même processus. Nous cherchons tout d'abord à définir un formalisme de modélisation<br />fonctionnelle et comportementale, support de la méthodologie, et en cohérence avec les<br />spécificités des systèmes mécatroniques. En particulier, les aspects hybrides et temps réel<br />doivent pouvoir être représentés. Ensuite, sur le plan de la vérification et de la validation,<br />nous proposons d'exploiter les méthodes formelles, telles que le model-checking, en<br />complément des tests et des simulations habituellement utilisées dans l'industrie. Enfin nous<br />attachons une importance centrale à la sûreté de fonctionnement. Afin de pallier aux<br />insuffisances et aux limites des méthodes habituellement utilisées, nous proposons une<br />approche basée sur la construction d'un graphe de Markov agrégé. L'originalité tient dans sa<br />capacité de répondre à un problème de représentation et d'évaluation de la fiabilité des<br />systèmes dynamiques hybrides. Les principales étapes consistent à découpler la dynamique du<br />système et la dynamique du processus de défaillance grâce à la théorie des perturbations<br />singulières, puis d'identifier et estimer les grandeurs du système influençant la dynamique des<br />défaillances. Ces grandeurs sont évaluées par de simples simulations dans le but de pouvoir<br />traiter des systèmes complexes. Ceux-ci sont alors intégrés dans le graphe agrégé.

La mise en œuvre de la méthode des éléments finis de frontière nécessite l'évaluation d'intégrales comportant un intégrand singulier. Un calcul fiable et précis de ces intégrales peut dans certains cas se révéler à la fois crucial et difficile. La méthode que nous proposons consiste en une réduction récursive de la dimension du domaine d'intégration et aboutit à une représentation de l'intégrale sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales mono-dimensionnelles dont l'intégrand est régulier et qui peuvent s'évaluer numériquement mais aussi explicitement. L'équation de Helmholtz 3-D sert d'équation modèle mais ces résultats peuvent être utilisés pour les équations de Laplace et de Maxwell 3-D. L'intégrand est décomposé en une partie homogène et une partie régulière ; cette dernière peut être traitée par les méthodes usuelles d'intégration numérique. Pour la discrétisation du domaine, des triangles plans sont utilisés ; par conséquent, nous évaluons des intégrales sur le produit de deux triangles. La technique que nous avons développée nécessite de distinguer entre diverses configurations géométriques ; c'est pourquoi nous traitons séparément le cas de triangles coplanaires, dans des plans sécants ou parallèles. Divers prolongements significatifs de la méthode sont présentés : son extension à l'électromagnétisme, l'évaluation de l'intégrale du noyau de Green complet pour les coefficients d'auto-influence, et le calcul de la partie finie d'intégrales hypersingulières.

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général. / This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.

Cette thèse se compose de deux parties principales. Dans la première partie, le Chapitre 3 est consacré à l'étude du comportement limite d'un système contrôlé singulièrement perturbé avec deux variables d'état qui sont faiblement couplées. Afin de prouver notre résultat d'approximation, nous utilisons la méthode de moyennisation et un résultat récent sur le contrôle nonexpansif. La principale nouveauté de notre approche est de permettre la dynamique limite de dépendre de l'état initial du système rapide. Notons que dans la littérature, le comportement limite d'un tel système a été généralement traité dans des conditions qui garantissent que la limite est indépendante de l'état initial du système rapide. Dans le Chapitre 4, nous généralisons les résultats du Chapitre 3 supposant une condition de nonexpansivité plus générale. De plus, nous considérons un exemple ou la nouvelle condition de nonexpansivité est satisfaite, mais pas la condition de nonexpansivité du Chapitre 3. Dans la deuxième partie de la thèse, le Chapitre 5 porte sur les représentations stables des Hamiltoniens convexes associant à un Hamiltonien donné des fonctions correspondant au problème de Bolza en controle optimal. Dans le Chapitre 6 nous étudions également la stabilité des solutions des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman sous contraintes d'état en exploitant la stabilité des fonctions valeur d'une famille de problèmes de contrôle optimal de Bolza sous contraintes d'état. Nous montrons que sous des hypothèses appropriées, la fonction valeur est la solution unique d'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman et que les solutions sont stables par rapport à l'Hamiltonien et les contraintes d'état. / This thesis consists of two main parts. In the first part, Chapter 3 is devoted to the investigation of the limit behavior of a singularly perturbed control system with two state variables which are weakly coupled. In order to prove our approximation result we use the so called averaging method and a recent result on nonexpansive control. The main novelty of our averaging approach lies in the fact that the limit dynamic may depend on the initial condition of the fast system. In the literature, the investigation of the limit behavior of such systems has been usually addressed under conditions that ensure that the limit dynamic is independent from the initial condition of the fast system. In Chapter 4, we generalise the results of Chapter 3 by considering a more general nonexpansivity condition. Moreover, we consider an example where the new nonexpansity condition is satisfied but the nonexpansivity condition of Chapter 3 does not hold true. The second part deals with Hamilton-Jacobi equations under state constraints. Chapter 5 focuses on the stable representation of convex Hamiltonians by functions describing a Bolza optimal control problem. In Chapter 6 we investigate stability of solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations under state constraints by studying stability of value functions of a suitable family of Bolza optimal control problems under state constraints. We show that under suitable assumptions, the value function is a unique viscosity solution to Hamilton-Jacobi-Bellman equation and that solutions are stable with respect to Hamiltonians and state constraints.

Le désir d’atteindre une haute résolution spatiale en imagerie médicale pour petits animaux conduit au développement d’appareils composés de détecteurs de plus en plus petits. Des appareils s’approchant de la résolution théorique maximale en tomographie d’émission par positrons (TEP) sont à nos portes. Pour retirer le maximum d’information de ces appareils, il importe d’utiliser des méthodes de traitement évoluées qui prennent en considération l’ensemble des phénomènes physiques entourant la prise de mesure en TEP. Le problème est d’autant plus complexe à résoudre du fait que ces caméras sont composées de milliers de détecteurs qui donnent lieu à des millions de lignes de réponses mesurées pouvant alors être traitées par un algorithme de reconstruction d’images. Cette situation mène à des problèmes de reconstruction d’images en 3 dimensions (3D) qui sont difficiles à résoudre principalement à cause des limites en ressources mémoires et de calcul des ordinateurs modernes. Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse répondent à deux grands besoins relatifs au domaine de la reconstruction d’images en TEP, soit l'atteinte d'une meilleure qualité d'image et l'accélération des calculs menant à l'obtention de celle-ci. Le premier volet des travaux repose sur le l'élaboration de méthodes de modélisation 3D précises du processus d’acquisition en TEP permettant d'atteindre une meilleure qualité d’image. Ces modèles 3D s'expriment sous forme de matrices systèmes qui sont utilisées par un algorithme de reconstruction d'images. Pour générer ces modèles 3D pour la TEP, des méthodes de calculs analytiques et basées sur des simulations Monte Carlo (MC) ont été développées. Des méthodes hybrides, basé sur des stratégies analytiques et Monte Carlo, ont également été mises en œuvre afin de combiner les avantages des deux approches. Les méthodes proposées se distinguent de l'art antérieur en ce qu'elles tirent profit des symétries du système afin de réduire considérablement le temps de calcul requis pour l'obtention de matrices 3D précises. Pour l’approche analytique, le calcul de la matrice est divisé en diverses étapes qui favorisent la réutilisation de modèles pré-calculés entre les lignes de réponses symétriques de l’appareil. Pour l’approche par simulations MC, la réutilisation des événements MC collectés entre les lignes de réponse symétriques de l’appareil permet d’augmenter la statistique utilisée pour générer la matrice MC et du même coup de réduire le temps de simulation. La méthode hybride proposée permet de réduire encore davantage le temps de simulation MC et cela, sans faire de compromis sur la qualité de la matrice système. Le second volet des travaux repose sur le développement de nouvelles méthodes de reconstruction d’images basées sur un référentiel en coordonnées cylindriques permettant de réduire les contraintes d’espace mémoire et d'accélérer les calculs menant à l’image. Ces méthodes se divisent en deux catégories distinctes. Les premières sont des méthodes dites itératives qui permettent de résoudre le problème de reconstruction d’images par un processus itératif qui réalise une nouvelle estimation de l’image à chaque itération de façon à maximiser le degré de vraisemblance entre l’image et la mesure de l’appareil. Les secondes sont des méthodes dites directes qui permettent de résoudre le problème en inversant la matrice système qui relie l’image à la mesure de projections par une décomposition en valeurs singulières (DVS) de la matrice. La matrice inverse ainsi obtenue peut alors être multipliée directement avec la mesure pour obtenir l’image reconstruite. L’utilisation d’une image en coordonnées cylindriques entraîne une redondance au niveau des coefficients de la matrice système obtenue. En exploitant ces redondances, il est possible d’obtenir une matrice système avec une structure dite bloc circulante qui peut alors être transformée dans le domaine de Fourier afin d’accélérer les calculs lors du processus de reconstruction d’images itératif ou par DVS. De plus, pour la méthode par DVS, l’utilisation d’une matrice bloc circulante factorisée facilite grandement la procédure d'inversion de la matrice par DVS, ce qui rend l’application de la méthode possible pour des problèmes de reconstruction d’images en 3D. Or, la résolution de problèmes aussi complexes n’était jusqu’ici pas possible avec les méthodes par DVS de l’art antérieur dû aux contraintes d’espace mémoire et à la charge excessive de calcul. En somme, les travaux combinés ont pour objectif ultime de réunir à la fois la vitesse de calcul et une qualité d'image optimale en un même algorithme afin de créer un outil de reconstruction 3D idéal pour l'utilisation dans un contexte clinique.

Ces travaux concernent la modélisation dynamique et la commande des alternateurs couplés dans les réseaux électriques embarqués. Ces réseaux de puissance finie sont des systèmes multi-alternateurs multi-charges en forte interaction. Deux approches de modélisation ont été élaborées. La première, en vue de la simulation, consiste à établir une méthodologie de modélisation des systèmes multi-alternateurs multi-charges. Le système est subdivisé en deux sous systèmes découplés, l'un de nature électrique et l'autre de nature mécanique. L'établissement du modèle d'état électrique global repose d'une part sur l'écriture des constituants du réseau dans un même référentiel, et d'autre part sur l'application des lois reliant les circuits électriques. Afin d'optimiser le temps de calcul, les règles d'établissement du modèle global sont enrichies et une méthode d'inversion de la matrice inductance est proposée. La deuxième, en vue de la commande, explore et compare deux modèles, l'un de type comportemental et l'autre basé sur la théorie des perturbations singulières. Les régulateurs synthétisés ont été comparés sur un simulateur élémentaire. Une ébauche sur l'apport des régulateurs à paramètres variables a été présentée. Deux bancs d'essais ont été réalisés. Le premier est de type logiciel. Il reproduit le comportement temporel du réseau à topologie variable pour divers régimes, ainsi que des phénomènes comme le couplage, le découplage et la désynchronisation. Il permet aussi de tester les algorithmes de commande et les régulateurs : tension, répartition de puissance..... Le deuxième de type expérimental, valide les approches de modélisation, de simulation et de commande proposées.

Cette thèse traite de l’analyse et de la synthèse de multimodèles pour la simplification de modèles, l’estimation d’état et le diagnostic des systèmes non linéaires caractérisés par une ou plusieurs échelles de temps. Ces travaux visent, dans un premier temps, à développer une procédure systématique de transformation d’un système non-linéaire en le récrivant sous une forme multimodèle, en évitant quelques inconvénients majeurs : la transformation est réalisée sans perte d’information, le choix de différents points de fonctionnement n’est plus nécessaire, le choix de variables de prémisse est réalisé d’une façon systématique. De plus, la méthode offre le choix entre différents multimodèles. Ce degré de liberté sera utilisé pour faciliter les études de contrôlabilité, d’observabilité et d’analyse de stabilité. Dans un deuxième temps, l’obtention de la forme à perturbations singulières d’un système non linéaire est proposée, en éliminant quelques contraintes structurelles et en rendant l’identification et la séparation des échelles de temps indépendante de la structure du modèle. Dans un troisième temps, la synthèse de plusieurs observateurs robustes vis-à-vis des perturbations, des erreurs de modélisation et des entrées inconnues a été réalisée afin dereconstruire l’état et l’entrée inconnue du système. La difficulté de cette étude provient du fait que le multimodèle utilisé dépend de variables de prémisse non mesurables, situation qui n’est pas intensivement étudiée, alors qu’elle est naturellement issue de l’approche par transformation système non linéaire!multimodèle. Ensuite, le diagnostic de défauts de systèmes est réalisé au moyen de bancs d’observateur à entrées inconnues permettant la génération et la structuration de résidus indicateurs de défauts. Finalement, tous les travaux proposés sont appliqués au modèle d’une station d’´epuration, Activated Sludge Model No.1, qui est largement utilisé dans le domaine du traitement des eaux usées / This thesis deals with analysis and synthesis of multiple model structures for model simplification, state estimation and diagnosis of nonlinear systems represented by one or several time-scales. This work aims, at first, to develop a systematic procedure to transform a nonlinear system into a multiple model form, by avoiding some major drawbacks : the transformation causes no information loss, the choice of the different operating points is no more necessary, the choice of the premise variables is realized in a more systematic way. Furthermore, the method gives the possibility of choosing between different multiplemodel structures. This degree of freedom will be used to ease the controllability, observ-ability, stability analysis studies. Secondly, the derivation of a singularly perturbed form for a multiple time scale non linear system is proposed, by eliminating some structuralconstraints and by making the identification and the separation of the time-scales independent to the model structure. Thirdly, the robust observer synthesis with respect to perturbations, modeling errors and unknown inputs are presented for state and unknowninput estimation. The difficulty of these studies comes from the fact that the multiple model depends on unmeasurable premise variables, this case being not intensively studied, whereas it results naturally from the method of transformation nonlinear system - multiple model. Afterward, fault diagnosis is performed using banks of observer to generate andstructure residual signals. Finally, this works are applied to a model of wastewater treatment plant, Activated Sludge Model No.1 (ASM1) that is largely used in the concerned fiel

Dans cette thèse, on s'est attaché à résoudre un certain nombre de problèmes qui apparaissent lorsqu'on traite des problèmes concrets de contrôle: phénomènes à plusieurs échelles de temps, discontinuités de la commande lors du basculement d'un correcteur à un autre, nécessité de concevoir un nombre limité de correcteurs différents malgré une gamme très importante des produits traités. Pour illustrer concrètement les résultats obtenus, nous nous sommes appuyés sur un exemple industriel concret, le contrôle de guidage de bande durant le processus de laminage dans un laminoir à chaud. D'abord, nous proposons une solution convexe au problème de commande optimale linéaire quadratique pour les systèmes linéaires à deux échelles de temps en temps discret. Ensuite, nous établissons des conditions suffisantes, formulées sous la forme d'inégalités matricielles linéaires, qui permettent de vérifier la stabilité d'un système à commutation à deux échelles de temps et de synthétiser des correcteurs stabilisants. Nous proposons aussi dans ce travail une méthode pour minimiser les discontinuités sur la commande dans le cadre des systèmes à commutation. Dans le contexte du contrôle de guidage de bande pour un laminoir à chaud, nous ne pouvons pas négliger l'influence des paramètres incertains, qui sont dus principalement au fait que ce genre de système traite une gamme de produits très large. Donc, dans la synthèse du correcteur, nous prenons en compte ces variations en divisant l'ensemble des produits en plusieurs familles et en synthétisant un correcteur différent pour chaque famille / This Ph.D. thesis deals with a certain number of problems arising in practical implementation of control systems: multi time scale phenomena, sudden modifications on the system dynamics, discontinuities on the control signal due to controller switchings, the need of design a limited number of controllers in spite of a wide variation on the physical parameters. In order to illustrate the validity of the obtained results, we resort to a real problem concerning the steel production framework, the robust steering control of a hot strip finishing mill. First, a convex solution of the linear quadratic control design for discrete two time scale systems is proposed. Hence, we address the stability problem of two time scale switched systems. We show that stability of the slow and fast switched subsystems under arbitrary switching rules does not imply the stability of the corresponding two time scale switched system in the singular perturbation form. An additional constraint, independent of the value of the singular parameter and of the switching rule, is provided in terms of linear matrix inequalities. We also introduce a bumpless transfer method for switched systems aiming at reducing the discontinuities on the control signal. Dwell time conditions assessing the asymptotic stability of the closed loop switched system are established. The practical contribution of this thesis, the robust steering control design, exploits most of previous results. The objective is to guarantee the stability of the hot strip mill system and improve the quality of the rolled products

L'objet de cette thèse est d'étudier l'applicabilité de la méthode d'approximation rationnelle en norme de Hankel à des systèmes dynamiques linéaires de dimension d'état infinie. On illustre par trois exemples concrets les possibilités d'utilisation des techniques d'approximation développées ces dernières années, notamment par Curtain, Glover et Partington. Les exemples choisis représentent des phénomènes d'évolution décrits par des équations aux dérivées partielles, par rapport au temps et aux variables d'espace. Il s'agit: d'un problème de diffusion de chaleur, de type parabolique, pour lequel les techniques d'approximation s'adaptent assez directement ; de deux problèmes hyperboliques décrivant l'évolution d'une poutre en flexion et en torsion, pour lesquels une méthode originale appelée ``relaxation'' a été mise au point: préalable à l'approximation de Hankel, elle permet son application lorsque les pôes associés au système hyperbolique croissent suffisamment rapidement.

Cette thèse propose une technique innovante de diagnostic non invasive pour les systèmes piles à combustible. Cette technique s'appuie sur la mesure de la signature magnétique générée par ces systèmes. A l'aide de ces champs magnétiques externes, il est possible d'obtenir une cartographie de la densité de courant interne par résolution d'un problème inverse. Ce problème est néanmoins mal posé : la solution est non unique et est extrêmement sensible au bruit. Des techniques de régularisation ont ainsi été mises en place pour filtrer les erreurs de mesures et obtenir une solution physiquement acceptable. Afin d'augmenter la qualité de reconstruction des courants, nous avons conçu notre outil de diagnostic de manière à ce qu'il soit uniquement sensible aux défaillances de la pile (capteur de défauts). De plus, cette reconstruction se base sur un nombre extrêmement faible de mesures. Une telle approche facilite l'instrumentation du système et augmente la précision et la rapidité de celui-ci. La sensibilité de notre outil à certaines défaillances (assèchements, appauvrissement en réactifs, dégradations) est démontrée.