Le sujet de cette thèse est l'étude de la rotation à long terme des corps célestes.La première partie est consacrée à l’étude de la rotation à long terme de Cérès et Vesta, les deux corps les plus massifs de la ceinture principale d’astéroïdes. Ils sont l’objet d’étude de la sonde spatiale Dawn, qui a permis de déterminer précisément les caractéristiques physiques et de rotation nécessaires au calcul de leurs rotations. La distribution de glace sous et à la surface de Cérès dépend du mouvement de son axe de rotation par le biais de l’obliquité, inclinaison de l’équateur sur l’orbite. Les rotations de Cérès et Vesta étant rapides, l’évolution à long terme des axes de rotation de Cérès et Vesta a été obtenue à l'aide d'une intégration symplectique des équations de la rotation, où une moyenne a été réalisée sur la rotation propre rapide. La stabilité des axes de rotation de Cérès et Vesta a été étudiée en fonction des paramètres de la rotation avec un modèle séculaire semi-analytique, qui a permis de montrer que les axes de rotation ne présentaient pas de caractère chaotique.La seconde partie concerne le développement d'intégrateurs symplectiques dédiés au corps solide. L'intégration de la rotation propre d'un corps solide nécessite d’intégrer les équations issues du hamiltonien du corps solide libre. Ce hamiltonien est certes intégrable et présente une solution explicite nécessitant l’usage des fonctions elliptiques de Jacobi, cependant le coût numérique de ces fonctions est élevé. Lorsque le hamiltonien du corps solide libre est couplé avec une énergie potentielle, l’orientation du corps doit être calculée à chaque pas d’intégration, ce qui augmente le temps de calcul. Des intégrateurs symplectiques ont ainsi été précédemment proposés pour le corps solide libre. Dans ce travail, des intégrateurs spécifiques au corps solide ont été développés en utilisant les propriétés de l’algèbre de Lie du moment cinétique. / This thesis concerns the long-term rotation of celestial bodies.The first part is a study of the long-term rotation of Ceres and Vesta, the two heaviest bodies of the main asteroid belt. The spacescraft Dawn studied these two objects and determined the physical and rotational characteristics, which are necessary for the computation of their rotations. The ice distribution under and on the surface of Ceres depends on the evolution of the obliquity, which is the inclination of the equatorial plane on the orbital plane. As the rotations of Ceres and Vesta are fast, the long-term evolution of the spin axes of Ceres and Vesta was obtained by realizing a symplectic integration of the equations of the rotation averaged on the fast proper rotation. The stability of the spin axes of Ceres and Vesta was studied with respect to the parameters of the rotation with a secular and semi-analytical model, which allowed to show that the spin axes are not chaotic.The second part concerns the development of symplectic integrators dedicated to the rigid body. The integration of the proper rotation of a rigid body needs to integrate the equations given by the Hamiltonian of the free rigid body. This Hamiltonian is integrable and presents an explicit solution using the Jacobi elliptic functions. However, the numerical cost of these functions is high. When the Hamiltonian of the free rigid body is coupled to a potential energy, the orientation of the body is needed at each step, which increases the computation time. Symplectic integrators were then previously proposed for the free rigid body. In this work, symplectic integrators dedicated to the rigid body were developed using the properties of the Lie algebra of the angular momentum.

Cette thèse établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type Morse-Bott. Étant donnés une variété torique (W²ⁿ, ω, µ) et un hamiltonien H : W × S ¹ → ℝ invariant par l’action du tore de dimension n Tⁿ, , les orbites de H sont stables par l’action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W, elle n’est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, impossible de construire une théorie de Morse-Bott équivariante au niveau de C∞(S¹, W)/Tⁿ. Nous remédions à ce problème en adoptant la construction de Borel : nous choisissons un espace E contractile muni d’une action libre du tore regardons l’homologie de Morse-Bott en dimension infinie de l’espace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ où Tⁿ agit cette fois de manière diagonale sur le produit.L’homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d’une variété fermée. / This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bottcontext. Given a toric manifold (Wⁿ, ω, µ) and a hamiltonian H : W × S¹ → ℝ invariant bythe action of the torus Tⁿ, the periodical orbits of H are stable by the toric action.The latter admits fix points in W and hence it not free, neither one induced on the spaceof the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensionalMorse-Bott theory on C∞(S¹, W)/Tⁿ. We deal with this problem using Borel’s construction : we choose a space contractible E witha free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of thespace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ where Tⁿ act in a diagonal way on the product.We obtain an invariant for symplectic toric manifold and computes it for a closed manifold.

A restarted symplectic Lanczos method for the Hamiltonian eigenvalue problem is presented. The Lanczos vectors are constructed to form a symplectic basis. Breakdowns and near-breakdowns are overcome by inexpensive implicit restarts. The method is used to compute eigenvalues, eigenvectors and invariant subspaces of large and sparse Hamiltonian matrices and low rank approximations to the solution of continuous-time algebraic Riccati equations with large and sparse coefficient matrices.

We study canonical forms for Hamiltonian and symplectic matrices or pencils under equivalence transformations which keep the class invariant. In contrast to other canonical forms our forms are as close as possible to a triangular structure in the same class. We give necessary and sufficient conditions for the existence of Hamiltonian and symplectic triangular Jordan, Kronecker and Schur forms. The presented results generalize results of Lin and Ho [17] and simplify the proofs presented there.

The topic of the diploma thesis is symplectic spinor geometry. Its re- search was started by D. Shale, B. Kostant and K. Habermann. We focus our attention to one of the so called symplectic twistor operators introduced by S. Kr'ysl. We investigate the action of this operator on real even dimensio- nal vector spaces considered as symplectic manifold, its invariance properties and regularity. We describe a part of the kernel of the symplectic twistor operator when acting on symplectic spinors on R2. The kernel forms a repre- sentation of the so called metaplectic group (double cover of the symplectic group). 1

Ce mémoire traite de la construction d’un nouvel invariant des cobordismes lagrangiens. Cette construction est inspirée des travaux récents de Solomon dans lesquels une extension de l’homomorphisme de Calabi aux chemins lagrangiens exacts est donnée. Cette extension fut entre autres motivée par le fait que le graphe d’une isotopie hamiltonienne est un chemin lagrangien exact. Nous utilisons la suspension lagrangienne, qui associe à chaque chemin lagrangien exact un cobordisme lagrangien, pour étendre la construction de Solomon aux cobordismes lagrangiens. Au premier chapitre nous donnons une brève exposition des propriétés élémentaires des variétés symplectiques et des sous-variétés lagrangiennes. Le second chapitre traite du groupe des difféomorphismes hamiltoniens et des propriétés fondamentales de l’homomorphisme de Calabi. Le chapitre 3 est dédié aux chemins lagrangiens, l’invariant de Solomon et ses points critiques. Au dernier chapitre nous introduisons la notion de cobordisme lagrangien et construisons le nouvel invariant pour finalement analyser ses points critiques et l’évaluer sur la trace de la chirurgie de deux courbes sur le tore. Dans le cadre de ce calcul, nous serons en mesure de borner la valeur du nouvel invariant en fonction de l’ombre du cobordisme, une notion récemment introduite par Cornea et Shelukhin. / In this master's thesis, we construct a new invariant of Lagrangian cobordisms. This construction is inspired by the recent works of Solomon in which an extension of the Calabi homomorphism to exact Lagrangian paths is given. Solomon's extension was motivated by the fact that the graph of any Hamiltonian isotopy is an exact Lagrangian path. We use the Lagrangian suspension construction, which associates to every exact Lagrangian path a Lagrangian cobordism, to extend Solomon's invariant to Lagrangian cobordisms. In the first chapter, we give a brief introduction to the elementary properties of symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we present an introduction to the group of Hamiltonian diffeomorphisms and discuss the fundamental properties of the Calabi homomorphism. Chapter 3 is dedicated to Lagrangian paths, Solomon's invariant and its critical points. In the last chapter, we introduce the notion of Lagrangian cobordism and we construct the new invariant. We analyze its critical points and evaluate it on the trace of the Lagrangian surgery of two curves on the torus. In this setting we further bound the new invariant in terms of the shadow of the cobordism, a notion recently introduced by Cornea and Shelukhin.

In this thesis we develop a mathematically rigorous framework of the so-called ''classical limit'' of quantum systems and their semi-classical properties. Our methods are based on the theory of strict, also called C*- algebraic deformation quantization. Since this C*-algebraic approach encapsulates both quantum as classical theory in one single framework, it provides, in particular, an excellent setting for studying natural emergent phenomena like spontaneous symmetry breaking (SSB) and phase transitions typically showing up in the classical limit of quantum theories. To this end, several techniques from functional analysis and operator algebras have been exploited and specialised to the context of Schrödinger operators and quantum spin systems. Their semi-classical properties including the possible occurrence of SSB have been investigated and illustrated with various physical models. Furthermore, it has been shown that the application of perturbation theory sheds new light on symmetry breaking in Nature, i.e. in real, hence finite materials. A large number of physically relevant results have been obtained and presented by means of diverse research papers.

No description available.

Ce mémoire porte sur quelques éléments de la théorie des fibrés symplectiques et leurs usages en étudiant la géométrie hoferienne sur le groupe de difféomorphismes hamiltoniens. En particulier en assumant un certain confort avec les notions de base de la géométrie différentielle et de la topologie algébrique on développe dans le premier chapitre les rudiments nécessaires de la théorie des G-fibrés et, dans la deuxième, tous les faits nécessaires de la topologie symplectique et les difféomorphismes hamiltoniens pour comprendre la théorie de base des fibrés symplectiques, à voir le morphisme de flux et ses liens aux isotopies hamiltoniennes. Le troisième chapitre présente les fondements des fibrés symplectiques se conclu en construisant la forme de couplage dans un langage invariant et en présentant la caractérisation des fibrés symplectiques, dont le groupe de structure réduit au groupe hamiltonien. Le mémoire se termine en présentant quelques applications des fibrés hamiltoniens à la géométrie de Hofer, en particulier une caractérisation de la partie positive de la norme de Hofer d'un lacet hamiltonien en termes du K-aire du fibré au-dessus de la sphère associé et une démonstration de la non-dégénérescence de la norme de Hofer pour des variétés symplectiques fermées. / This thesis presents a reasonably complete account of the elements theory of symplectic and Hamiltonian fibrations. We assume a familiarity and comfort with the basic notions of differential geometry and algebraic topology but little else. Proceeding from this, the first chapter develops the necessary notions from the theory of fiber bundles and G-fiber bundles, while the second chapter develops all the notions and theorems required to understand the later theory of symplectic fibrations. Most notably the second chapter includes a detailed account of the classical relationship between the flux homomorphism and Hamiltonian isotopies. The third chapter is where we develop the theory of symplectic and locally Hamiltonian fiber bundles, and in particular give an invariant construction of the coupling form on a symplectic fibration admitting an extension class. the third chapter ends with a proof of a structure theorem characterizing those symplectic fibrations for which the structure group reduces to the Hamiltonian group. In the final chapter, we present some applications of the theory of Hamiltonian fibrations by the way of characterizing the positive part of the Hofer norm of a Hamiltonian loop as the K-area of its associated Hamiltonian bundle over the sphere, and we finish by giving a proof of the non-degeneracy of the Hofer norm for closed symplectic manifolds.

L'éclatement est une transformation jouant un rôle important en géométrie, car il permet de résoudre des singularités, de relier des variétés birationnellement équivalentes, et de construire des variétés possédant des propriétés inédites. Ce mémoire présente d'abord l'éclatement tel que développé en géométrie algébrique classique. Nous l'étudierons pour le cas des variétés affines et (quasi-)projectives, en un point, et le long d'un idéal et d'une sous-variété. Nous poursuivrons en étudiant l'extension de cette construction à la catégorie différentiable, sur les corps réels et complexes, en un point et le long d'une sous-variété. Nous conclurons cette section en explorant un exemple de résolution de singularité. Ensuite nous passerons à la catégorie symplectique, où nous ferons la même chose que pour le cas différentiable complexe, en portant une attention particulière à la forme symplectique définie sur la variété. Nous terminerons en étudiant un théorème dû à François Lalonde, où l'éclatement joue un rôle clé dans la démonstration. Ce théorème affirme que toute 4-variété fibrée par des 2-sphères sur une surface de Riemann, et différente du produit cartésien de deux 2-sphères, peut être équipée d'une 2-forme qui lui confère une structure symplectique réglée par des courbes holomorphes par rapport à sa structure presque complexe, et telle que l'aire symplectique de la base est inférieure à la capacité de la variété. La preuve repose sur l'utilisation de l'éclatement symplectique. En effet, en éclatant symplectiquement une boule contenue dans la 4-variété, il est possible d'obtenir une fibration contenant deux sphères d'auto-intersection -1 distinctes: la pré-image du point où est fait l'éclatement complexe usuel, et la transformation propre de la fibre. Ces dernières sont dites exceptionnelles, et donc il est possible de procéder à l'inverse de l'éclatement - la contraction - sur chacune d'elles. En l'accomplissant sur la deuxième, nous obtenons une variété minimale, et en combinant les informations sur les aires symplectiques de ses classes d'homologies et de celles de la variété originale nous obtenons le résultat. / The blow-up is a transformation which plays an important role in geometry, because it can be used to resolve singularities, relate birationally equivalent varieties, and construct varieties with new properties. This thesis first presents blowing-up as developped in classical algebraic geometry. We will study it in the case of affine and (quasi-)projective varieties, on a point and along an ideal and a subvariety. Then a discussion about its extension to the differential category will be carried out, over the real and complex fields, on a point and along a submanifold. An example of a resolution of singularity will then follow. Subsequently we will discuss blowing-up in the symplectic category, where we will do the same as for complex manifolds, paying careful attention to the symplectic form. To conclude, we will study a theorem by François Lalonde, where the symplectic blow-up plays a major part in proof. This theorem states that any 4-variety fibered by 2-spheres over a Riemann surface, and different than the Cartesian product of two 2-spheres, can be equiped with a 2-form giving it a symplectic structure ruled by curves that are holomorphic with respect to its almost-complex structure, and such that the symplectic area of the base is smaller that the capacity of the variety. In the proof, we blow up a ball in the 4-variety, and obtain a fibration containing two distinct spheres with a self-intersection equal to -1: the pre-image of the point where the usual complex blow-up is done, and the proper transform of the fiber. These two are exceptional, so it is possible to do the inverse operation - the blow down - on each of them. By blowing down the latter, we get a minimal variety, and by combining information about the symplectic area of its homology classes and of those of the original variety, we obtain the result.