Pour d non puissance d’un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d’un espace de Hilbert de dimension d n’est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telle bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L’étude de la droite projective sur Zdm montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l’aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de Zd2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Zd)²),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l’espace des phases discret sont alors développés.Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l’étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant. / For d not a power of a prime, the maximal number of mutually unbiased bases (MUBs) in a d-dimensional Hilbert space is still unknown. In this thesis, we begin by an original building of MUBs by means of Gauss sums, in relation with a family of irreducible representations of the Lie algebra su(2).Then, we sytematically study the possibility of building such bases by means of Pauli operators. 1) The study of the projective line on Zdm shows that, in order to obtain maximal sets of MUBs, tensorial products of these operators are in order. 2) Lagrangian submodules of Zd2n, of which we give a complete classification, account for maximally commuting sets of Pauli operators. This classification enables to know which of these sets are likely to yield unbiased bases. They correspond to Lagrangian half-modules that can be interpreted as the isotropic points of the projective line (P(Mat(n, Zd)²),ω). Hence, we establish an isomorphism between the unbiased bases thus obtained and distant Lagrangian half-modules, which precises by the way the correspondance between Gauss sums and MUBs. 3) Corollaries on the Clifford group and the finite phase space are then developed.Finally, we present some tools inspired by the previous study. We deal with the cross-ratio on the Bloch sphere and projective geometry in higher dimension, Pauli operators with continuous exponents and we compare von Neumann entropy with a determinantal measure of entanglement

This thesis provides the explicit expression of the star-exponential for the action of normal j-groups on their coadjoint orbits, and of the so-called modified star-exponential defined by Gayral et al. Using this modified star-exponential as the kernel of a functional transform between the group and its coadjoint orbits yields an adapted Fourier transform which is also detailed here. The normal j-groups arise in the work of Pytatetskii-Shapiro, who established the one-to-one correspondence with homogeneous bounded domains of the complex space; these groups are also the central element of the deformation formula recently developed by Bieliavsky & Gayral (a non abelian analog of the strict deformation quantization theory of Rieffel). Since these groups are exponential, the results given in this text illustrate the general work of Arnal & Cortet on the star-representations of exponential groups.<p> As this work is meant to be as self-contained as possible, the first chapter reproduces many definitions introduced by Bieliavsky & Gayral, in order to obtain the expression of the symplectic symmetric space structure on normal j-groups, and of their unitary irreducible representations. The Weyl-type quantizer associated to this symmetric structure is then computed, thus yielding the Weyl quantization map for which the composition of symbols is precisely the deformed product defined by Bieliavsky-Gayral on normal j-groups. A detailed proof of the structure theorem of normal j-groups is also provided.<p> The second chapter focuses on the expression and properties of the star-exponential itself, and exhibits a useful tool for the computation, namely the resolution of the identity associated to square integrable unitary irreducible representations of the groups. The result thus obtained satisfies the usual integro-differential equation defining the star-exponential. A criterion for the existence of a tempered pair underlying a given tempered structure on Lie groups is proven; the star-exponential functions are also shown to belong to the multiplier algebra of the Schwartz space associated to the tempered structure. Before that, it is shown that all Schwartz spaces that appear in this work are isomorphic as topological vector spaces.<p> The modified version of this star-exponential is computed in chapter three, first for elementary normal j-groups and then for normal j-groups. It is then used to define an adapted Fourier transform between the group and the dual of its Lie algebra. This transform generalizes (to all normal j-groups) a Fourier transform that was already studied in the “ax+b” case by Gayral et al. (2008), as well as by Ali et al. (2003) in the context of wavelet transforms. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie on étudie le motif de Chow d’un fibré en quadriques de dimension relative impaire sur une surface. On montre que ce motif admet une décomposition qui fait intervenir le motif de Prym du revêtement double de la courbe discriminante. Dans la deuxième partie on s’intéresse à des fibrations lagrangiennes, obtenues comme jacobiennes intermédiaires relatives des familles de variétés de Fano de dimension trois contenant une surface K3 fixée, et à l’existence d’une compactification symplectique. Dans un cas particulier, on étudie une compactification partielle en utilisant des calculs avec le logiciel Macaulay2. / This thesis consists of two parts. In the first part we study the Chow motive of a quadric bundle of odd relative dimension over a surface. We show that this motive admits a decomposition which involves the Prym motive of the double covering of the discriminant curve.In the second part, we consider Lagrangian fibrations, obtained as relative intermediate Jacobians of families of Fano threefolds containing a fixed K3 surface, and the existence of a symplectic compactification. In a particular case, we study a partial compactification using calculations with the software system Macaulay2.

Dans cette thèse on s’intéresse à deux types de structures conformes non-dégénérées sur une variété complexe compacte donnée. La première c’est une forme holomorphe symplectique twistée (THS), i.e. une deux-forme holomorphe non-dégénérée à valeurs dans un fibré en droites. Dans le deuxième contexte, il s’agit des métriques localement conformément kähleriennes (LCK). Dans la première partie, on se place sur un variété de type Kähler. Les formes THS généralisent les formes holomorphes symplectiques, dont l’existence équivaut à ce que la variété admet une structure hyperkählerienne, par un théorème de Beauville. On montre un résultat similaire dans le cas twisté, plus précisément: une variété compacte de type kählerien qui admet une structure THS est un quotient fini cyclique d’une variété hyperkählerienne. De plus, on étudie sous quelles conditions une variété localement hyperkählerienne admet une structure THS. Dans la deuxième partie, les variétés sont supposées de type non-kählerien. Nous présentons quelques critères pour l’existence ou non-existence de métriques LCK spéciales, en terme du groupe de biholomorphismes de la variété. En outre, on étudie le problème d’irréductibilité analytique des variétés LCK, ainsi que l’irréductibilité de la connexion de Weyl associée. Dans un troisième temps, nous étudions les variétés LCK toriques, qui peuvent être définies en analogie avec les variétés de Kähler toriques. Nous montrons qu’une variété LCK torique compacte admet une métrique de Vaisman torique, ce qui mène à une classification de ces variétés par le travail de Lerman. Dans la dernière partie, on s’intéresse aux propriétés cohomologiques des variétés d’Oeljeklaus-Toma (OT). Plus précisément, nous calculons leur cohomologie de de Rham et celle twistée. De plus, on démontre qu’il existe au plus une classe de de Rham qui représente la forme de Lee d’une métrique LCK sur un variété OT. Finalement, on détermine toutes les classes de cohomologie twistée des métriques LCK sur ces variétés. / In this thesis, we are concerned with two types of non-degenerate conformal structures on a given compact complex manifold. The first structure we are interested in is a twisted holomorphic symplectic (THS) form, i.e. a holomorphic non-degenerate two-form valued in a line bundle. In the second context, we study locally conformally Kähler (LCK) metrics. In the first part, we deal with manifolds of Kähler type. THS forms generalise the well-known holomorphic symplectic forms, the existence of which is equivalent to the manifold admitting a hyperkähler structure, by a theorem of Beauville. We show a similar result in the twisted case, namely: a compact manifold of Kähler type admitting a THS structure is a finite cyclic quotient of a hyperkähler manifold. Moreover, we study under which conditions a locally hyperkähler manifold admits a THS structure. In the second part, manifolds are supposed to be of non-Kähler type. We present a few criteria for the existence or non-existence for special LCK metrics, in terms of the group of biholomorphisms of the manifold. Moreover, we investigate the analytic irreducibility issue for LCK manifolds, as well as the irreducibility of the associated Weyl connection. Thirdly, we study toric LCK manifolds, which can be defined in analogy with toric Kähler manifolds. We show that a compact toric LCK manifold always admits a toric Vaisman metric, which leads to a classification of such manifolds by the work of Lerman. In the last part, we study the cohomological properties of Oeljeklaus-Toma (OT) manifolds. Namely, we compute their de Rham and twisted cohomology. Moreover, we prove that there exists at most one de Rham class which represents the Lee form of an LCK metric on an OT manifold. Finally, we determine all the twisted cohomology classes of LCK metrics on these manifolds.

[ES] Esta tesis trata sobre la integración numérica de sistemas hamiltonianos con potenciales explícitamente dependientes del tiempo. Los problemas de este tipo son comunes en la física matemática, porque provienen de la mecánica cuántica, clásica y celestial. La meta de la tesis es construir integradores para unos problemas relevantes no autónomos: la ecuación de Schrödinger, que es el fundamento de la mecánica cuántica; las ecuaciones de Hill y de onda, que describen sistemas oscilatorios; el problema de Kepler con la masa variante en el tiempo. El Capítulo 1 describe la motivación y los objetivos de la obra en el contexto histórico de la integración numérica. En el Capítulo 2 se introducen los conceptos esenciales y unas herramientas fundamentales utilizadas a lo largo de la tesis. El diseño de los integradores propuestos se basa en los métodos de composición y escisión y en el desarrollo de Magnus. En el Capítulo 3 se describe el primero. Su idea principal consta de una recombinación de unos integradores sencillos para obtener la solución del problema. El concepto importante de las condiciones de orden se describe en ese capítulo. En el Capítulo 4 se hace un resumen de las álgebras de Lie y del desarrollo de Magnus que son las herramientas algebraicas que permiten expresar la solución de ecuaciones diferenciales dependientes del tiempo. La ecuación lineal de Schrödinger con potencial dependiente del tiempo está examinada en el Capítulo 5. Dado su estructura particular, nuevos métodos casi sin conmutadores, basados en el desarrollo de Magnus, son construidos. Su eficiencia es demostrada en unos experimentos numéricos con el modelo de Walker-Preston de una molécula dentro de un campo electromagnético. En el Capítulo 6, se diseñan los métodos de Magnus-escisión para las ecuaciones de onda y de Hill. Su eficiencia está demostrada en los experimentos numéricos con varios sistemas oscilatorios: con la ecuación de Mathieu, la ec. de Hill matricial, las ecuaciones de onda y de Klein-Gordon-Fock. El Capítulo 7 explica cómo el enfoque algebraico y el desarrollo de Magnus pueden generalizarse a los problemas no lineales. El ejemplo utilizado es el problema de Kepler con masa decreciente. El Capítulo 8 concluye la tesis, reseña los resultados y traza las posibles direcciones de la investigación futura. / [CAT] Aquesta tesi tracta de la integració numèrica de sistemes hamiltonians amb potencials explícitament dependents del temps. Els problemes d'aquest tipus són comuns en la física matemàtica, perquè provenen de la mecànica quàntica, clàssica i celest. L'objectiu de la tesi és construir integradors per a uns problemes rellevants no autònoms: l'equació de Schrödinger, que és el fonament de la mecànica quàntica; les equacions de Hill i d'ona, que descriuen sistemes oscil·latoris; el problema de Kepler amb la massa variant en el temps. El Capítol 1 descriu la motivació i els objectius de l'obra en el context històric de la integració numèrica. En Capítol 2 s'introdueixen els conceptes essencials i unes ferramentes fonamentals utilitzades al llarg de la tesi. El disseny dels integradors proposats es basa en els mètodes de composició i escissió i en el desenvolupament de Magnus. En el Capítol 3, es descriu el primer. La seua idea principal consta d'una recombinació d'uns integradors senzills per a obtenir la solució del problema. El concepte important de les condicions d'orde es descriu en eixe capítol. El Capítol 4 fa un resum de les àlgebres de Lie i del desenvolupament de Magnus que són les ferramentes algebraiques que permeten expressar la solució d'equacions diferencials dependents del temps. L'equació lineal de Schrödinger amb potencial dependent del temps està examinada en el Capítol 5. Donat la seua estructura particular, nous mètodes quasi sense commutadors, basats en el desenvolupament de Magnus, són construïts. La seua eficiència és demostrada en uns experiments numèrics amb el model de Walker-Preston d'una molècula dins d'un camp electromagnètic. En el Capítol 6 es dissenyen els mètodes de Magnus-escissió per a les equacions d'onda i de Hill. El seu rendiment està demostrat en els experiments numèrics amb diversos sistemes oscil·latoris: amb l'equació de Mathieu, l'ec. de Hill matricial, les equacions d'onda i de Klein-Gordon-Fock. El Capítol 7 explica com l'enfocament algebraic i el desenvolupament de Magnus poden generalitzar-se als problemes no lineals. L'exemple utilitzat és el problema de Kepler amb massa decreixent. El Capítol 8 conclou la tesi, ressenya els resultats i traça les possibles direccions de la investigació futura. / [EN] The present thesis addresses the numerical integration of Hamiltonian systems with explicitly time-dependent potentials. These problems are common in mathematical physics because they come from quantum, classical and celestial mechanics. The goal of the thesis is to construct integrators for several import ant non-autonomous problems: the Schrödinger equation, which is the cornerstone of quantum mechanics; the Hill and the wave equations, that describe oscillating systems; the Kepler problem with time-variant mass. Chapter 1 describes the motivation and the aims of the work in the historical context of numerical integration. In Chapter 2 essential concepts and some fundamental tools used throughout the thesis are introduced. The design of the proposed integrators is based on the composition and splitting methods and the Magnus expansion. In Chapter 3, the former is described. Their main idea is to recombine some simpler integrators to obtain the solution. The salient concept of order conditions is described in that chapter. Chapter 4 summarises Lie algebras and the Magnus expansion ¿ algebraic tools that help to express the solution of time-dependent differential equations. The linear Schrödinger equation with time-dependent potential is considered in Chapter 5. Given its particular structure, new, Magnus-based quasi-commutator-free integrators are build. Their efficiency is shown in numerical experiments with the Walker-Preston model of a molecule in an electromagnetic field. In Chapter 6, Magnus-splitting methods for the wave and the Hill equations are designed. Their performance is demonstrated in numerical experiments with various oscillatory systems: the Mathieu equation, the matrix Hill eq., the wave and the Klein-Gordon-Fock eq. Chapter 7 shows how the algebraic approach and the Magnus expansion can be generalised to non-linear problems. The example used is the Kepler problem with decreasing mass. The thesis is concluded by Chapter 8, in which the results are reviewed and possible directions of future work are outlined. / Kopylov, N. (2019). Magnus-based geometric integrators for dynamical systems with time-dependent potentials [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/118798 / TESIS

Simulations of particle systems at constant temperature may be used to estimate several of the system’s physical properties, and some require integration over very long time to be accurate. To achieve sufficient accuracy in finite time the choice of numerical scheme is important and we suggest to use the symplectic Euler method combined with a step in an Ornstein-Uhlenbeck process. This scheme is computationally very cheap and is often used in applications of molecular dynamics. This thesis strives to motivate the usage of the scheme due to the lack of theoretical results and comparisons to alternative methods. We conduct three numerical experiments to evaluate the scheme. The design of each experiment aims to expose weaknesses or strengths of the method. For both model problems and more realistic experiments are the results positive in favor of the method; the symplectic Euler method combined with an Ornstein- Uhlenbeck step does perform well over long times. / Simuleringar av partikelsystem vid konstant temperatur kan användas för att uppskatta flera av systemets fysiska egenskaper. Vissa klasser av egenskaper kräver integration över väldigt lång tid för att uppnå hög noggrannhet och för att uppnå detta i ändlig tid är valet av numerisk metod viktigt. Vi föreslår att använda den symplektiska Euler-metoden i kombination med ett implicit steg i en Ornstein-Uhlenbeck-process. Detta stegschema kräver låg beräkning jämfört med andra scheman och används redan i olika applikationer av molekyldynamik. Detta examensarbete eftersträvar att än mer motivera användandet av schemat, eftersom teoretiska resultat som stödjer metoder är få, och avsaknaden av tidigare liknande studier är betydlig. Vi genomför tre numeriska experiment för att pröva schemat. Under utformningen av experimenten har vi försökt att inkorporera olika fenomen som kan orsaka svårigheter för metoden för att exponera svagheter eller styrkor hos den. För båda modellproblem och för ett mer realistiskt experiment är resultaten positiva till schemats fördel; metoden att kombinera ett symplektisk Euler-steg med ett steg i Ornstein-Uhlenbeck-processen presterar bra över lång tid.

This thesis comprises the study of two moduli spaces of piecewise J-holomorphic curves. The main scheme is to consider a subdivision of the 2-sphere into a collection of small domains and to study collections of J-holomorphic maps into a symplectic manifold. These maps are coupled by Lagrangian boundary conditions. The work can be seen as finding a 2-dimensional analogue of the finite-dimensional path space approximation by piecewise geodesics on a Riemannian manifold (Q,g). For a nice class of target manifolds we consider tangent bundles of Riemannian manifolds and symplectizations of unit tangent bundles. Via polarization they provide a rich set of Lagrangians which can be used to define appropriate boundary value problems for the J-holomorphic pieces. The work focuses on existence theory as a pre-stage to global questions such as combinatorial refinement and the quality of the approximation. The first moduli space of lifted type is defined on a triangulation of the 2-sphere and consists of disks in the tangent bundle whose boundary projects onto geodesic triangles. The second moduli space of punctured type is defined on a circle packing domain and consists of boundary punctured disks in the symplectization of the unit tangent bundle. Their boundary components map into single fibers and at punctures the disks converge to geodesics. The coupling boundary conditions are chosen such that the piecewise problem always is Fredholm of index zero and both moduli spaces only depend on discrete data. For both spaces existence results are established for the J-holomorphic pieces which hold true on a small scale. Each proof employs a version of the implicit function theorem in a different setting. Here the argument for the moduli space of punctured type is more subtle. It rests on a connection to tropical geometry discovered by T. Ekholm for 1-jet spaces. The boundary punctured disks are constructed in the vicinity of explicit Morse flow trees which correspond to the limiting objects under degeneration of the boundary condition.

Les méthodes d'algèbres linéaire classiques, pour le calcul de valeurs et vecteurs propres d'une matrice, ou des approximations de rangs inférieurs (low-rank approximations) d'une solution, etc..., ne tiennent pas compte des structures de matrices. Ces dernières sont généralement détruites durant le procédé du calcul. Des méthodes alternatives préservant ces structures font l'objet d'un intérêt important par la communauté. Cette thèse constitue une contribution dans ce domaine. La décomposition SR peut être calculé via l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique. Comme dans le cas classique, une perte d'orthogonalité peut se produire. Pour y remédier, nous avons proposé deux algorithmes RSGSi et RMSGSi qui consistent à ré-orthogonaliser deux fois les vecteurs à calculer. La perte de la J-orthogonalité s'est améliorée de manière très significative. L'étude directe de la propagation des erreurs d'arrondis dans les algorithmes de Gram-Schmidt symplectique est très difficile à effectuer. Nous avons réussi à contourner cette difficulté et donner des majorations pour la perte de la J-orthogonalité et de l'erreur de factorisation. Une autre façon de calculer la décomposition SR est basée sur les transformations de Householder symplectique. Un choix optimal a abouti à l'algorithme SROSH. Cependant, ce dernier peut être sujet à une instabilité numérique. Nous avons proposé une version modifiée nouvelle SRMSH, qui a l'avantage d'être aussi stable que possible. Une étude approfondie a été faite, présentant les différentes versions : SRMSH et SRMSH2. Dans le but de construire un algorithme SR, d'une complexité d'ordre O(n³) où 2n est la taille de la matrice, une réduction (appropriée) de la matrice à une forme condensée (J(Hessenberg forme) via des similarités adéquates, est cruciale. Cette réduction peut être effectuée via l'algorithme JHESS. Nous avons montré qu'il est possible de réduire une matrice sous la forme J-Hessenberg, en se basant exclusivement sur les transformations de Householder symplectiques. Le nouvel algorithme, appelé JHSJ, est basé sur une adaptation de l'algorithme SRSH. Nous avons réussi à proposer deux nouvelles variantes, aussi stables que possible : JHMSH et JHMSH2. Nous avons constaté que ces algorithmes se comportent d'une manière similaire à l'algorithme JHESS. Une caractéristique importante de tous ces algorithmes est qu'ils peuvent rencontrer un breakdown fatal ou un "near breakdown" rendant impossible la suite des calculs, ou débouchant sur une instabilité numérique, privant le résultat final de toute signification. Ce phénomène n'a pas d'équivalent dans le cas Euclidien. Nous avons réussi à élaborer une stratégie très efficace pour "guérir" le breakdown fatal et traîter le near breakdown. Les nouveaux algorithmes intégrant cette stratégie sont désignés par MJHESS, MJHSH, JHM²SH et JHM²SH2. Ces stratégies ont été ensuite intégrées dans la version implicite de l'algorithme SR lui permettant de surmonter les difficultés rencontrées lors du fatal breakdown ou du near breakdown. Rappelons que, sans ces stratégies, l'algorithme SR s'arrête. Finalement, et dans un autre cadre de matrices structurées, nous avons présenté un algorithme robuste via FFT et la matrice de Hankel, basé sur le calcul approché de plus grand diviseur commun (PGCD) de deux polynômes, pour résoudre le problème de la déconvolution d'images. Plus précisément, nous avons conçu un algorithme pour le calcul du PGCD de deux polynômes bivariés. La nouvelle approche est basée sur un algorithme rapide, de complexité quadratique O(n²), pour le calcul du PGCD des polynômes unidimensionnels. La complexité de notre algorithme est O(n²log(n)) où la taille des images floues est n x n. Les résultats expérimentaux avec des images synthétiquement floues illustrent l'efficacité de notre approche. / The classical linear algebra methods, for calculating eigenvalues and eigenvectors of a matrix, or lower-rank approximations of a solution, etc....do not consider the structures of matrices. Such structures are usually destroyed in the numerical process. Alternative structure-preserving methods are the subject of an important interest mattering to the community. This thesis establishes a contribution in this field. The SR decomposition is usually implemented via the symplectic Gram-Schmidt algorithm. As in the classical case, a loss of orthogonality can occur. To remedy this, we have proposed two algorithms RSGSi and RMSGSi, where the reorthogonalization of a current set of vectors against the previously computed set is performed twice. The loss of J-orthogonality has significantly improved. A direct rounding error analysis of symplectic Gram-Schmidt algorithm is very hard to accomplish. We managed to get around this difficulty and give the error bounds on the loss of the J-orthogonality and on the factorization. Another way to implement the SR decomposition is based on symplectic Householder transformations. An optimal choice of free parameters provided an optimal version of the algorithm SROSH. However, the latter may be subject to numerical instability. We have proposed a new modified version SRMSH, which has the advantage of being numerically more stable. By a detailes study, we are led to two new variants numerically more stables : SRMSH and SRMSH2. In order to build a SR algorithm of complexity O(n³), where 2n is the size of the matrix, a reduction to the condensed matrix form (upper J-Hessenberg form) via adequate similarities is crucial. This reduction may be handled via the algorithm JHESS. We have shown that it is possible to perform a reduction of a general matrix, to an upper J-Hessenberg form, based only on the use of symplectic Householder transformations. The new algorithm, which will be called JHSH algorithm, is based on an adaptation of SRSH algorithm. We are led to two news variants algorithms JHMSH and JHMSH2 which are significantly more stable numerically. We found that these algortihms behave quite similarly to JHESS algorithm. The main drawback of all these algorithms (JHESS, JHMSH, JHMSH2) is that they may encounter fatal breakdowns or may suffer from a severe form of near-breakdowns, causing a brutal stop of the computations, the algorithm breaks down, or leading to a serious numerical instability. This phenomenon has no equivalent in the Euclidean case. We sketch out a very efficient strategy for curing fatal breakdowns and treating near breakdowns. Thus, the new algorithms incorporating this modification will be referred to as MJHESS, MJHSH, JHM²SH and JHM²SH2. These strategies were then incorporated into the implicit version of the SR algorithm to overcome the difficulties encountered by the fatal breakdown or near-breakdown. We recall that without these strategies, the SR algorithms breaks. Finally ans in another framework of structured matrices, we presented a robust algorithm via FFT and a Hankel matrix, based on computing approximate greatest common divisors (GCD) of polynomials, for solving the problem pf blind image deconvolution. Specifically, we designe a specialized algorithm for computing the GCD of bivariate polynomials. The new algorithm is based on the fast GCD algorithm for univariate polynomials , of quadratic complexity O(n²) flops. The complexitiy of our algorithm is O(n²log(n)) where the size of blurred images is n x n. The experimental results with synthetically burred images are included to illustrate the effectiveness of our approach

This thesis is a study of certain aspects of quantum gravity in two- and three-dimensional de Sitter spaces. The model used in dS2 is the Jackiw- Tetitelboim gravity which involves a scalar coupling. At low-energy limit this model becomes Schwarzian theory for which one can compute one-loop partition function. Along the way, the model is recasted into the first order formalism which helps to find an appropriate measure for the partition function. The layout for quantum gravity in dS3 is practically the same and many results appear to be quite similar. Although, there are as many dissimilarities. Ultimately, the goal is different, namely to determine one-loop correction to the central charge of the theory dual to dS3 . Additionally, a putative genus expansion for Jackiw-Teitelboim gravity is investigated along with some concrete computations being done. / Detta examensarbete ̈ar en studie av vissa aspekter av kvantgravita-tion i två och tredimensionella de Sitter-rummen. Den behandlar Jackiw-Teitelboim gravitation i dS2 , en model med en skalär koppling. Vid lågenergigränns blir modellen till Schwarzian teorin som används för att beräkna första ordningskorrektionen till partitionsfunktion. På vägen dit skrivs om modelen till första ordningens formalism som sedan hjälper att hitta ett lämpligt mått för partitionsfunktionen. Plannen för dS3 ser ut i princip likadant och en stor del av resultater är liknande. Emellertid finns det lika många olikheter. I slut änden, målet är annorludna, nämligen att beräkna första ordningens korrektion till centrala laddningen av teorin som dual till dS3 . Dessutom, en förmodad genus expansion för Jackiw-Teitelboim gravitation är undersökt och vissa konkreta beräkningar är gjorda.

Dans ce travail, nous définissons des objets composés de disques complexes marqués reliés entre eux par des segments de droite munis d’une longueur. Nous construisons deux séries d’espaces de module de ces objets appelés clus- ters, une qui sera dite non symétrique, la version ⊗, et l’autre qui est dite symétrique, la version •. Cette construction permet des choix de perturba- tions pour deux versions correspondantes des trajectoires de Floer introduites par Cornea et Lalonde ([CL]). Ces choix devraient fournir une nouvelle option pour la description géométrique des structures A∞ et L∞ obstruées étudiées par Fukaya, Oh, Ohta et Ono ([FOOO2],[FOOO]) et Cho ([Cho]). Dans le cas où L ⊂ (M, ω) est une sous-variété lagrangienne Pin± mono- tone avec nombre de Maslov ≥ 2, nous définissons une structure d’algèbre A∞ sur les points critiques d’une fonction de Morse générique sur L. Cette struc- ture est présentée comme une extension du complexe des perles de Oh ([Oh]) muni de son produit quantique, plus récemment étudié par Biran et Cornea ([BC]). Plus généralement, nous décrivons une version géométrique d’une catégorie de Fukaya avec seul objet L qui se veut alternative à la description (relative) hamiltonienne de Seidel ([Sei]). Nous vérifions la fonctorialité de notre construction en définissant des espaces de module de clusters occultés qui servent d’espaces sources pour des morphismes de comparaison. / We define objects made of marked complex disks connected by metric line seg- ments and construct two sequences of moduli spaces of these objects, referred as the ⊗ version (nonsymmetric) and the • version (symmetric). This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde ([CL]). These perturbations are intended to lead to an alternative geometric description of the (obstructed) A∞ and L∞ structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono ([FOOO2],[FOOO]) and Cho ([Cho]). Given a Pin± monotone lagrangian submanifold L ⊂ (M, ω) with mini- mal Maslov number ≥ 2, we define an A∞ -algebra structure from the critical points of a generic Morse function on L. We express this structure as a cochain complex extending the pearl complex introduced by Oh ([Oh]) and further ex- plicited by Biran and Cornea ([BC]), equipped with its quantum product. This could also be seen as an alternative geometric description of a Fukaya cate- gory of (M, ω) with L as its only object, a hamiltonian relative version appear- ing in [Sei]. Using spaces of quilted clusters, we verify, using more general quilted cluster spaces, that this defines a functor from a homotopy category of Pin± monotone lagrangian submanifolds hL mono,± (M, ω) to the homotopy category of cochain complexes hK(Λ-mod) where Λ is an appropriate Novikov ring.