L'objectif de cette thèse de doctorat est (i) d'étudier et de développer des méthodes d’analyse et de commande de systèmes de contrôle en réseau linéaires et non linéaires et (ii) de montrer le potentiel de ces approches dans des applications complexes pertinentes. À cet égard, la théorie des systèmes à plusieurs agents, la théorie des graphes algébriques et le consensus sont des outils méthodologiques les plus intéressants. Une attention particulière est accordée à la caractérisation des relations entre, d'une part, la topologie du graphe de communication qui sous-tend l'évolution du système à plusieurs agents considéré et, d'autre part, les propriétés spectrales de la matrice Laplacienne associée au graphe lui-même. Le contrôle d'un groupe d'agents autonomes est étudié sous différents angles. Le principal objectif de contrôle est de s’assurer que les agents travaillent ensemble de manière coopérative, où la coopération représente la relation étroite entre tous les agents de l'équipe, le partage de l'information jouant un rôle important. En particulier, beaucoup de problèmes de consensus/accord/ synchronisation /rendez-vous sont étudiés afin de guider un groupe d’agents vers un état commun. Le consensus est étudié dans un contexte à temps discret parce que la dynamique du système est en général continue alors que les mesures et les entrées de contrôle sont des données échantillonnées. En outre, la théorie des jeux est utilisée pour faire face aux problèmes de coordination distribués à plusieurs agents, avec une application aux réseaux connus sous le nom de Software Defined Networks. À cet égard, on peut montrer que, sous des protocoles correctement conçus, les joueurs convergent vers un équilibre unique de Wardrop. On concentre l’attention sur le contrôle distribué, car cette approche présente des avantages évidents par rapport à la centralisation, comme l'évolutivité et la robustesse. Pourtant, le contrôle distribué a également ses propres inconvénients : avant tout, un inconvénient est que chaque agent ne peut pas prédire efficacement le comportement global du groupe en se basant uniquement sur des informations locales. Une certaine attention est également accordée à la nécessité de sécuriser les réseaux électriques contre le danger des attaques cyber-physiques grâce au développement de technologies d'intelligence distribuée. À cet égard, sur la base de topologies de réseaux d'énergie réalistes, nous présentons brièvement la conception d'un schéma de protection contre les attaques dynamiques à un point et à points multiples en boucle fermée. Nous formulons et résolvons un problème d'optimisation non convexe soumis à une contrainte de stabilité de Lyapunov pour la représentation à plusieurs agents autonome d'un réseau électrique obtenue après la linéarisation et l'application des lois d’attaque et de contrôle de fréquence. Finalement, nous présentons des résultats obtenus sur : le pilotage exact de la dynamique non linéaire finie à données échantillonnées avec des retards sur les entrées, au sujet de la stabilisation à données échantillonnées et de la poursuite de l'orbite quasi-halo autour du point de libration translunaire L₂, et au sujet des algorithmes heuristiques basés sur des méthodes d'apprentissage par renforcement à plusieurs agents capables d'effectuer un contrôle adaptatif optimal de qualité de service / qualité de l’expérience dans des scénarios sans modèle. / The objective of this PhD thesis is (i) to investigate and develop methods for the analysis and design of linear and nonlinear networked control systems and (ii) to show the potential of such approaches in relevant complex applications. In this respect, multi-agent systems theory, algebraic graph theory and consensus are the most interesting methodological tools, and specific attention is paid to the characterization of the relationships between, on the one hand, the topology of the communication graph that underlies the evolution of the considered multiagent system and, on the other hand, the spectral properties of the Laplacian matrix associated with the graph itself. The control of a group of autonomous agents is investigated from different perspectives. The main control objective is to make sure that the agents work together in a cooperative fashion, where cooperation accounts for the close relationship among all agents in the team, with information sharing playing an important role. In particular, various problems regarding consensus/agreement/synchronization/rendezvous are investigated with the specific aim of driving a group of agents to some common state. Consensus is investigated in a discrete-time setting due to the fact that the system dynamics is normally continuous while the measurements and control inputs might only be made in a sampled-data setting. Moreover, game theory is relied upon in order to cope with distributed multi-agent coordination problems, with application to Software Defined Networks. In this respect, it can be shown that, under properly designed protocols, the players converge to a unique Wardrop equilibrium. We focus on distributed control, since this approach shows obvious benefits over centralization, such as scalability and robustness. Yet, it also has its own drawbacks: among all, one drawback is that each agent cannot effectively predict the overall group behaviour based on only local information. Some attention is also devoted to the need for securing power grids against the danger of cyber-physical attacks through the development of distributed intelligence technologies accompanied by appropriate security enforcements. In this respect, based on realistic power network topologies, we briefly present the design of a protection scheme against closed-loop single-point and multi-point dynamic load altering attacks. This is done by formulating and solving a non-convex optimization problem subject to a Lyapunov stability constraint for the autonomous multiagent representation of a power system obtained after linearization and application of the attack and frequency control laws. Eventually, we show some other results achieved in terms of the exact steeering of finite sampled nonlinear dynamics with input delays, of sampled-data stabilization and quasi-halo orbit following around the L₂ translunar libration point, and of heuristic algorithms based on multi-agent reinforcement learning methods capable of performing optimal adaptive Quality of Service/Quality of Experience control in model-free scenarios.

Les événements extrêmes sont des phénomènes, souvent considérés catastrophiques, qui se produisent dans la queue d'une distribution généralement en s'écartant d'une décroissance attendue exponentielle. En optique, ces événements ont été étudié dans le contexte des fibres, où ils ont été amplement analysés, comme des vagues scélérates, par analogie bien connue entre l'optique et l'hydrodynamique à travers l'équation de Schroedinger non linéaire. Avec le développement et l'élargissement du domaine, l'étude des événements extrêmes a été étendue à des systèmes dissipatifs avec ou sans degrés spatiaux de liberté.Dans cette thèse on se concentre sur l'étude des événements extrêmes dans trois différents types de systèmes optiques actifs et dissipatifs, présentant chacun un ou deux degrés spatiales de liberté, soit dans le plan transversal (perpendiculaire à la direction de propagation de la lumière) soit dans la direction de propagation. Des structures localisées de nature différente constituent une solution possible importante dans chacun des systèmes étudiés ; leurs interactions autant que leurs rôles dans la formation des événements extrêmes ont donc été analysés en détails. Dans le premier système, un laser à semiconducteur monolithique (VCSEL) à large surface avec un absorbant saturable, on présente la formation d'événements extrêmes dans le plan transversal à deux dimensions de l'intensité du champ électrique. En particulier, on met en évidence la liaison entre ces objets et les solitons de cavité, soit stationnaires soit oscillatoires, aussi présents dans le système. Dans le deuxième système, un laser multimodal spatialement étendu dans la direction de propagation avec injection optique, on analyse l'interaction et la fusion des solitons de phase, des structures localisées qui se propagent dans la cavité en transportant une rotation de phase de 2π. Les événements extrêmes ont été étudié dans deux configurations : une première où ils émergent de la collision des solitons de phase avec des autres structures transitoires transportant une charge chirale négative, et une deuxième où des événements d'intensité élevée émergent d'un régime instable de motif en rouleau où les solitons de cavité ne sont pas des solutions stables. Dans les deux systèmes, on examine le rôle de la chiralité dans la formation des événements extrêmes. Dans le troisième système, un laser à semi-conducteur avec injection optique, on étudie dans les détails l'interaction des solitons de cavité dans le plan transversal, décrits comme deux particules soumises à un potentiel d'interaction décroissant exponentiellement avec la distance entre les deux objets : une analogie possible avec les matériaux hydrophobes a été proposée. Des résultats préliminaires présentant des événements extrêmes spatiotemporels dans ce système sont aussi donnés. / Extreme events are phenomena, often considered as catastrophic, that occur in the tail of a distribution usually deviating from an expected, exponential decay. In optics, these events were first studied in the context of fibers, where they have been extensively analyzed, as optical rogue waves, in light of the well known analogy between optics and hydrodynamics, through the nonlinear Schroedinger equation. With the development and the broadening of the field, extreme events have been also studied in dissipative optical systems with or without spatial degrees of freedom. In this Thesis we focused on the study of extreme events in three different active and dissipative optical systems, each presenting one or two spatial degrees of freedom, either in the transverse plane, perpendicular to the direction of propagation of light, or in the propagation direction. Localized structures of different nature represent an important possible solution in each one of the systems here studied, hence their interaction and the role played in the formation of extreme events have been also investigated into details. In the first system, a monolithic broad-area semiconductor laser (VCSEL) with an intracavity saturable absorber, we report on the occurrence of extreme events in the 2D transverse plane of the electric field intensity. In particular we highlight the connection between these objects and cavity solitons, both stationary and oscillatory, also present in the system. In the second system, a highly multimode laser with optical injection spatially extended along the propagation direction, we analyze the interaction and merging of phase solitons, localized structures propagating along the cavity carrying a 2π phase rotation. Extreme events have been investigated in two configurations: a first one where they emerge from the collision of phase solitons with other transient structures carrying a negative chiral charge, and a second one where high-peak events emerge from an unstable roll regime where phase solitons are not a stable solution. In both these systems we investigate the role of chirality in the extreme event formation. In the third system, a broad-area semiconductor laser (VCSEL) with optical injection, we study into details the interaction of cavity solitons in the transverse plane, described as two particles subjected to an interaction potential exponentially decreasing with the distance between the two objects: a possible analogy with hydrophobic materials is here suggested. Some preliminary results showing spatiotemporal extreme events in this system are also given.

Cette thèse porte sur l’identification de systèmes non linéaires représentables en séries de Volterra, et son application à des systèmes sonores. Les séries de Volterra, qui permettent de représenter une large classe de systèmes non linéaires, correspondent à un développement en série organisé par ordre d'homogénéité par rapport à l’entrée: chaque terme homogène est caractérisé par un noyau convolutif dont l’ensemble fournit une "signature complète" du système représenté. Les travaux présentés reposent sur le développement d’une étape préalable de séparation des termes de la série pour améliorer l’identification des noyaux de Volterra. Par rapport aux méthodes déjà existantes de séparation en ordres homogènes, basées sur des relations d’amplitudes entre signaux tests, l'approche adoptée dans cette thèse consiste à exploiter les relations de phase entre signaux afin d'obtenir une méthode robuste. Cela est tout d’abord obtenu de manière abstraite pour le cas de signaux d’excitations complexes. De cette idée, plusieurs méthodes adaptées au cas des signaux réels sont développées. Ceci amène à définir de nouvelles catégories de signaux pour décrire la sortie d’une série de Volterra, regroupant les contributions selon leurs propriétés de phase. Les méthodes de séparation proposées sont testées et appliquées à une pédale d’effet de guitare. Ensuite, des méthodes d’identification spécifiques aux nouveaux types de signaux sont présentées. Enfin, une méthode d’estimation des paramètres d’une représentation d’état à non-linéarités polynomiales est développée. Celle-ci est appliquée à un haut-parleur électrodynamique, dont les caractéristiques non linéaires sont étudiées. / This thesis addresses the identification of nonlinear systems that can be represented with Volterra series, and its application to audio systems. Volterra series give an input-output representation, approximated to within a given error, of any time-invariant continuous nonlinear system with fading memory. Technically, they correspond to a series expansion sorted by homogeneity order with respect to the input: each homogeneous term is characterized by a convolutive kernel whose set provides a "complete signature" of the modelled system. The works presented are based on the development of a preliminary step that consists in separating the series' terms to improve Volterra kernels' identification. Compared to existing homogeneous order separation methods, which are based on amplitude relationships between test signals, the approach chosen in this thesis is to exploit phase relationships between signals to obtain a robust method. This is first obtained in the theoretical case of complex excitation signals. From this idea, several methods suited to the use of real signals are developed. This leads to define new signals categories that describes the output of a Volterra series, sorting nonlinear contributions according to their phase properties. The proposed separation methods are applied and tested on a guitar pedal effect. Then, specific identification methods for the new types of signals are presented Finally, a method for estimating the parameters of a polynomial nonlinear state-space representation is developed. This is applied to an electrodynamic loudspeaker whose nonlinear characteristics are studied.

L’objectif de cette thèse est de fournir une approche générale permettant d’aborder les problèmes de contrôle aéroélastique.Tout d’abord, un modèle d’aile oscillante est développé afin de rendre compte des phénomènes d’hystérésis des charges aérodynamiques et de décrochage dynamique qui peut être observé, particulièrement à fort angles d’attaque ou à faible nombre de Reynolds. Le modèle est alors entraîné et comparé avec succès aux résultats expérimentaux obtenus pour une aile NACA 0018. Ce modèle, comme de nombreux modèles aérodynamiques, souffre d’une complexité inhérente et de non-linéarités qui rendent son analyse et son contrôle complexes. Par conséquent, le modèle a été modifié afin d’inclure les non-linéarités dans une formulation polytopique aux paramètres incertains. S’appuyant sur la théorie de la commande linéaire quadratique et utilisant les inégalités des matrices linéaires, plusieurs théorèmes sont développés, considérant les saturations qui sont un problème majeur et récurent de la dynamique du vol. Les théorèmes sont alors appliqués avec succès au cas du stall flutter en présence de saturations en position et en vitesse. / This thesis aims at providing a general approach for aeroelastic control. First, an aeroelastic model of an oscillating wing is developed to capture the phenomena of hysteresis of aerodynamic load and dynamic stall which can be observed at low Reynolds number or large angles of attack. The model is then trained and successfully compared to experimental data for a NACA 0018 wing. This model, like many aeroelastic models, suffers from its inherent complexity and nonlinearities which make its analysis and control challenging. Consequently, the set of equations is conveniently manipulated to encapsulate the nonlinearities in a polytopic formulation with unknown parameters. Then, based on linear quadratic regulation theory and using framework of linear matrix inequalities, several theorems are developed considering saturations which are a major and recurrent issue in flight control. The theorems are then successfully applied to solve the problem of stall flutter in presence of rate and magnitude saturations.

Ce travail de thèse aborde le problème de la détection et de l’isolation des pannes à base de modèle du système dynamique non linéaire. Les techniques de détection et d’identification de pannes sont déjà appliquées aux systèmes industriels et elles jouent un rôle important pour assurer les performances attendues des systèmes automatiques. Les différentes approches du diagnostic des systèmes dynamiques semblent être souvent le résultat de contextes différents notamment en ce qui concerne les applications visées et le cahier des charges qui en résulte. Ainsi, la nature des informations disponibles sur le système ou le type de défauts à détecter conduit à la mise en œuvre de stratégies spécifiques. Dans cette étude on suppose disposer d’un modèle de fonctionnement du système et les pannes considérées sont celles qui conduisent le système à ne plus suivre ce modèle. Après avoir introduit la notion de platitude différentielle pour un système dynamique non linéaire continu, plusieurs exemples de systèmes dynamiques différentiellement plats sont introduits. Les redondances analytiques mises en évidence par cette propriété sont dans une première étape utilisées pour détecter des pannes. Ceci conduit à développer des estimateurs d’ordre supérieurs pour les dérivées des sorties plates du système et des estimateurs non linéaires de l’état du système. Cette approche est mise en œuvre dans le cadre de la détection de pannes des moteurs d’un Quadri-Rotor.La notion de platitude pour les systèmes dynamiques discrets est alors introduite. Il est alors possible de développer une nouvelle approche pour la détection des pannes, fondée sur la redondance temporelle entre les informations résultant des mesures directes de composantes du vecteur d’état du Quadri-Rotor et les estimations des sorties plates à chaque instant d’échantillonnage. Cette approche qui est illustrée ici aussi dans le cas du Quadri-Rotor, permet aussi de développer une méthode d’identification en ligne des pannes en se basant sur la chronologie de la propagation de leurs effets / This PhD is submitted in model-based faults detection and isolation in nonlinear dynamic system. The techniques of faults detection and isolation are already being applied to industrial systems and have played an important role to ensure the expected performance of automated systems. The differences in approaches to diagnosis of dynamic systems often seem to be the result of different contexts including in respect of applications and referred the specification that follows. Thus, the nature of information available on the system or the type of fault detection leads to the implementation of specific strategies. In this study we have assumed a model of system operation and faults considered are those that lead the system to no longer follow this model.After introducing the concept of differential flatness for a nonlinear dynamical system continued, several examples of differentially flat systems dynamics are introduced. The analytical redundancy highlighted by this property is a first step used to detect faults. This leads to develop estimators for higher order derivatives of the outputs flat of the system and estimator plate for nonlinear system state. This approach is implemented in the context of fault detection engine of a Quadri-Rotor.The notion of flatness for discrete dynamical systems is introduced. It is then possible to develop a new approach for fault detection based on temporal redundancy between the information from direct measurements of components of the state vector of Quadri-Rotor and estimates of output flat at each sampling instant. This approach is illustrated here as in the case of the Quadri-Rotor, can also develop a method for online identification of fault based on the chronology of the spread of their effects

Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour garantir des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique pour une classe de systèmes non linéaires fractionnaires. Nous avons étendu ces résultats dans la stabilisation asymptotique des systèmes non linéaires singuliers fractionnaires et proposé des conditions suffisantes de stabilité asymptotique de l'erreur d'observation dans le cas de l'étude des observateurs pour les systèmes non linéaires fractionnaires et singuliers fractionnaires.Pour les systèmes non linéaires à dérivée d'ordre entier, nous avons proposé par l'application de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman des conditions suffisantes pour :- la stabilisation exponentielle par retour d'état statique et par retour de sortie statique,- la stabilisation exponentielle robuste en présence d'incertitudes paramétriques,- la commande basée sur un observateur.Nous avons étudié la stabilisation des systèmes linéaires fractionnaires avec les lois de commande suivantes~: retour d'état statique, retour de sortie statique et retour de sortie basé sur un observateur. Puis, nous avons proposé des conditions suffisantes de stabilisation lorsque le système linéaire fractionnaire est affecté par des incertitudes non linéaires paramétriques. Enfin, nous avons traité la synthèse d'un observateur pour ces systèmes. Les résultats proposés pour les systèmes linéaires fractionnaires ont été étendus au cas où ces systèmes fractionnaires sont singuliers.La technique de stabilisation basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman est étendue aux systèmes non linéaires fractionnaires et aux systèmes non linéaires singuliers fractionnaires. Des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique, de stabilisation asymptotique robuste et de commande basée sur un observateur ont été obtenues pour les classes de systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires.Par ailleurs, une méthode de synthèse d'observateurs pour ces systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires est proposée. Cette approche est basée sur la résolution d'un système d'équations de Sylvester. L'avantage de cette méthode est que, d'une part, l'erreur d'observation ne dépend pas explicitement de l'état et de la commande du système et, d'autre part, qu'elle unifie la synthèse d'observateurs de différents ordres (observateurs d'ordre réduit, d'ordre plein et d'ordre minimal). / In this dissertation, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of a class of nonlinear fractional-order systems based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma. We extended these results for the asymptotical stabilization of nonlinear singular fractional-order systems and proposed sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of the observation error for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems.For the nonlinear integer-order systems, the proposed generalization of Gronwall-Bellman lemma allowed us to obtain sufficient conditions for :- the static state feedback and the static output feedback exponential stabilizations,- the robust exponential stabilization with regards to parameter uncertainties,- the observer-based control.We treated three cases for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems : the static state feedback, the static output feedback and the observer-based output feedback. Then, we proposed sufficient conditions for the asymptotical stabilization of linear fractional-order systems with nonlinear uncertain parameters. Finally, we treated the observer design for the linear and nonlinear fractional-order systems and for the linear and nonlinear singular fractional-order systems.The stabilization technique based on the generalization of Gronwall-Bellman lemma is extended to nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems. Sufficient conditions for the asymptotical stabilization, the robust asymptotical stabilization and the observer-based control of a class of nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems were obtained.Furthermore, the observer design for the nonlinear fractional-order systems and nonlinear singular fractional-order systems is proposed. This approach is based on a parameterization of the solutions of generalized Sylvester equations. The conditions for the existence of these observers are given and sufficient conditions for their stability are derived using linear matrix inequalities (LMIs) formulation and the generalization of Gronwall-Bellman lemma. The advantage of this method is that, firstly, the observation error does not depend explicitly on the state and control system and, secondly, this method unifies the design of full, reduced and minimal orders observers

Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes de points fixes pour des problèmes donnés. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettreune convergence quadratique. Le développement de méthodes cycliques permet, deplus, de limiter le coût de calculs et de stockage. Nous appliquons ces méthodes à la résolution des équations de Navier-Stokes stationnaires et incompressibles, à la résolution de la formulation Kohn-Sham de l'équation de Schrödinger et à la résolution d'équations elliptiques utilisant des méthodes multigrilles. Dans tous les cas, l'efficacité des méthodes d'extrapolation a été montrée.Nous montrons que lorsqu'elles sont appliquées à la résolution de systèmes linéaires, les méthodes d'extrapolation sont comparables aux méthodes de sous espaces de Krylov. En particulier, nous montrons l'équivalence entre la méthode MMPE et CMRH. Nous nous intéressons enfin, à la parallélisation de la méthode CMRH sur des processeurs à mémoire distribuée et à la recherche de préconditionneurs efficaces pour cette même méthode.

Les observateurs et la régulation de sortie sont deux thèmes centraux de la théorie des système non linéaires. Bien que de nombreux chercheurs ont consacré leur attention à ces questions depuis plus de trente ans, il y a encore de nombreuses questions ouvertes. Dans la théorie des observateurs un rôle clé est joué par les observateurs à grand gain. Le but de la première partie de la thèse est d'etudier nouvelles techniques qui permettent de surmonter ou au moins d'atténuer les principaux problèmes qui caractérisent cette classe d'observateurs. Nous proposons une nouvelle classe d'observateurs à grand gain, appelé "low-power", qui permet de surmonter les problèmes numériques, d'éviter le phénomène de peaking et d'améliorer les propriétés de sensibilité aux bruit de mesure à haute fréquence. La deuxième partie de la thèse aborde du problème de la régulation de sortie, qui a été résolu pour les systèmes linéaires au cours des années 70, par Francis et Wonham qui ont énoncé le célèbre «principe de modèle interne". Des solutions constructives ont aussi été proposées dans le cadre non linéaire mais sous des hypothèses restrictives qui réduisent la classe des systèmes auxquels cette méthodologie peut être appliquée. Dans la thèse, nous nous concentrons sur le problème de la régulation de sortie en présence de perturbations périodiques, et nous proposons une nouvelle approche qui nous permet de considérer une classe plus large de systèmes non linéaires. La technique obtenué est robuste au sens défini par Francis et Wonham. / Observers and output regulation are two central topics in nonlinear control system theory. Although many researchers have devoted their attention to these issues for more than 30 years, there are still many open questions. In the observer theory a key role is played by the so called high-gain observers. The purpose of the first part of the thesis is to study novel techniques which allow to overcome or at least to mitigate some of the main drawbacks characterizing this class of observers. We propose a novel class of high-gain observers, denoted as ``low-power'', which allows to overcome numerical problems, to avoid the peaking phenomenon and to improve the sensitivity properties to high-frequency measurement noise. The second part of the thesis addresses the output regulation problem, solved for linear systems during the 70's by Francis and Wonham who coined the celebrated ``internal model principle''. Constructive solutions have also been proposed in the nonlinear framework but under restrictive assumptions that reduce the class of systems to which this methodology can be applied. In this thesis we focus on the output regulation problem in presence of periodic disturbances and we propose a novel approach which allows to consider a broader class of nonlinear systems. The resulting design is robust in the sense defined by Francis and Wonham.

Lorsqu’on fait face à des systèmes non linéaires, les notions classiques de stabilité ne suffisent pas à garantir un comportement approprié vis-à-vis de problématiques telles que le suivi de trajectoires, la synchronisation et la conception d’observateurs. La stabilité incrémentale a été proposée en tant qu’outil permettant de traiter de tels problèmes et de garantir que le système présente des comportements qualitatifs pertinents. Cependant, comme c’est souvent le cas avec les systèmes non linéaires, la complexité de l’analyse conduit les ingénieurs à rechercher des relaxations, ce qui introduit du conservatisme. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la stabilité incrémentale d’une classe spécifique de systèmes, à savoir les systèmes affines par morceaux, qui pourraient fournir un outil avantageux pour aborder la stabilité incrémentale de systèmes dynamiques plus génériques.Les systèmes affines par morceaux ont un espace d’états partitionné, et sa dynamique dans chaque région est régie par une équation différentielle affine. Ils peuvent représenter des systèmes contenant des non linéarités affines par morceaux, ainsi que servir comme des approximations de systèmes non linéaires plus génériques. Ce qui est plus important, leur description est relativement proche de celle des systèmes linéaires, ce qui permet d’obtenir des conditions d’analyse exprimées comme des inégalités matricielles linéaires qui peuvent être traités numériquement de façon efficace par des solveurs existants.Dans la première partie de ce document de thèse, nous passons en revue la littérature sur l’analyse des systèmes affines par morceaux en utilisant des techniques de Lyapunov et la dissipativité. Nous proposons ensuite de nouvelles conditions pour l’analyse du gain L2 incrémental et la stabilité asymptotique incrémentale des systèmes affines par morceaux exprimés en tant qu’inégalités matricielles linéaires. Ces conditions sont montrées être moins conservatives que les résultats précédents et sont illustrées par des exemples numériques.Dans la deuxième partie, nous considérons le cas des systèmes affines par morceaux incertains représentés comme l’interconnexion entre un système nominal et un bloc d’incertitude structuré. En utilisant la théorie de la séparation des graphes, nous proposons des conditions qui étendent le cadre des contraintes quadratiques intégrales afin de considérer le cas où le système nominal est affine par morceaux, à la fois dans les cas non incrémental et incrémental. Via la théorie de la dissipativité, ces conditions sont ensuite exprimées en tant qu’inégalités matricielles linéaires.Finalement, la troisième partie de ce document de thèse est consacrée à l’analyse de systèmes non linéaires de Lur’e incertains. Nous développons une nouvelle technique d’approximation permettant de réécrire ces systèmes de façon équivalente comme des systèmes affines par morceaux incertains connectés avec l’erreur d’approximation. L’approche proposée garantit que l’erreur d’approximation est Lipschitz continue avec la garantie d’une borne supérieure prédéterminée sur la constante de Lipschitz. Cela nous permet d’utiliser les techniques susmentionnées pour analyser des classes plus génériques de systèmes non linéaires. / When dealing with nonlinear systems, regular notions of stability are not enough to ensure an appropriate behavior when dealing with problems such as tracking, synchronization and observer design. Incremental stability has been proposed as a tool to deal with such problems and ensure that the system presents relevant qualitative behavior. However, as it is often the case with nonlinear systems, the complexity of the analysis leads engineers to search for relaxations, which introduce conservatism. In this thesis, we focus on the incremental stability of a specific class of systems, namely piecewise-affine systems, which could provide a valuable tool for approaching the incremental stability of more general dynamical systems.Piecewise-affine systems have a partitioned state space, in each region of which the dynamics are governed by an affine differential equation. They can represent systems containing piecewise-affine nonlinearities, as well as serve as approximations of more general nonlinear systems. More importantly, their description is relatively close to that of linear systems, allowing us to obtain analysis conditions expressed as linear matrix inequalities that can be efficiently handled numerically by existing solvers.In the first part of this memoir, we review the literature on the analysis of piecewise-affine systems using Lyapunov and dissipativity techniques. We then propose new conditions for the analysis of incremental L2-gain and incremental asymptotic stability of piecewise-affine systems expressed as linear matrix inequalities. These conditions are shown to be less conservative than previous results and illustrated through numerical examples.In the second part, we consider the case of uncertain piecewise-affine systems represented as the interconnection between a nominal system and a structured uncertainty block. Using graph separation theory, we propose conditions that extend the framework of integral quadratic constraints to consider the case when the nominal system is piecewise affine, both in the non-incremental and incremental cases. Through dissipativity theory, these conditions are then expressed as linear matrix inequalities.Finally, the third part of this memoir is devoted to the analysis of uncertain Lur’e-type nonlinear systems. We develop a new approximation technique allowing to equivalently rewrite such systems as uncertain piecewise-affine systems connected with the approximation error. The proposed approach ensures that the approximation error is Lipschitz continuous with a guaranteed pre-specified upper bound on the Lipschitz constant. This enables us to use the aforementioned techniques to analyze more general classes of nonlinear systems.

Les modèles de Markov à sauts (appelés JMS pour Jump Markov System) sont utilisés dans de nombreux domaines tels que la poursuite de cibles, le traitement des signaux sismiques et la finance, étant donné leur bonne capacité à modéliser des systèmes non-linéaires et non-gaussiens. De nombreux travaux ont étudié les modèles de Markov linéaires pour lesquels bien souvent la restauration de données est réalisée grâce à des méthodes d’échantillonnage statistique de type Markov Chain Monte-Carlo. Dans cette thèse, nous avons cherché des solutions alternatives aux méthodes MCMC et proposons deux originalités principales. La première a consisté à proposer un algorithme de restauration non supervisée d’un JMS particulier appelé « modèle de Markov couple à sauts conditionnellement gaussiens » (noté CGPMSM). Cet algorithme combine une méthode d’estimation des paramètres basée sur le principe Espérance-Maximisation (EM) et une méthode efficace pour lisser les données à partir des paramètres estimés. La deuxième originalité a consisté à étendre un CGPMSM spécifique appelé CGOMSM par l’introduction des copules. Ce modèle, appelé GCOMSM, permet de considérer des distributions plus générales que les distributions gaussiennes tout en conservant des méthodes de restauration optimales et rapides. Nous avons équipé ce modèle d’une méthode d’estimation des paramètres appelée GICE-LS, combinant le principe de la méthode d’estimation conditionnelle itérative généralisée et le principe des moindre-carrés linéaires. Toutes les méthodes sont évaluées sur des données simulées. En particulier, les performances de GCOMSM sont discutées au regard de modèles de Markov non-linéaires et non-gaussiens tels que la volatilité stochastique, très utilisée dans le domaine de la finance. / Switching Markov Models, also called Jump Markov Systems (JMS), are widely used in many fields such as target tracking, seismic signal processing and finance, since they can approach non-Gaussian non-linear systems. A considerable amount of related work studies linear JMS in which data restoration is achieved by Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) methods. In this dissertation, we try to find alternative restoration solution for JMS to MCMC methods. The main contribution of our work includes two parts. Firstly, an algorithm of unsupervised restoration for a recent linear JMS known as Conditionally Gaussian Pairwise Markov Switching Model (CGPMSM) is proposed. This algorithm combines a parameter estimation method named Double EM, which is based on the Expectation-Maximization (EM) principle applied twice sequentially, and an efficient approach for smoothing with estimated parameters. Secondly, we extend a specific sub-model of CGPMSM known as Conditionally Gaussian Observed Markov Switching Model (CGOMSM) to a more general one, named Generalized Conditionally Observed Markov Switching Model (GCOMSM) by introducing copulas. Comparing to CGOMSM, the proposed GCOMSM adopts inherently more flexible distributions and non-linear structures, while optimal restoration is feasible. In addition, an identification method called GICE-LS based on the Generalized Iterative Conditional Estimation (GICE) and the Least-Square (LS) principles is proposed for GCOMSM to approximate any non-Gaussian non-linear systems from their sample data set. All proposed methods are tested by simulation. Moreover, the performance of GCOMSM is discussed by application on other generable non-Gaussian non-linear Markov models, for example, on stochastic volatility models which are of great importance in finance.