Cette thèse traite deux problèmes importants dans les domaine de l'apprentissage automatique et du raisonnement dans l'incertain : comment évaluer une relation de similarité entre deux informations incertaines et comment assurer la classification \`a partir de données incertaines. Notre première principale contribution est de proposer une approche, appelée arbre de décision possibiliste, qui permet de construire des arbres de décision à partir de données d'apprentissage imparfaites. Plus précisément, elle traite des données caractérisées par des classes incertaines o\`u l'incertitude est modélisée avec la théorie des possibilités quantitative. Nous avons développé trois approches d'arbres de décision possibilistes. Pour chacune des approches, nous avons été confrontés à résoudre plusieurs problèmes pour pouvoir construire des arbres de décision possibilistes, tels que, comment définir une mesure de sélection d'attributs quand les classes sont représentes par des distributions de possibilité, comment trouver les critères d'arrêt et comment les feuilles vont être étiquetées dans ce contexte incertain. La première approche, appelée arbre de décision possibiliste basée sur la non- spécificité, utilise le concept de non-spécificité relatif à la théorie des possibilités dans la définition de sa mesure de sélection d'attributs. Cette approche maintient les distributions de possibilité durant toutes les étapes de la procédure de construction et ce particulièrement, au moment de l'évaluation de la quantité d'information apportée par chaque attribut. En revanche, la deuxième et la troisième approches, appelées arbre de décision possibiliste basé sur la similarité et arbre de décision possibiliste basé sur le clustering, éliminent automatiquement les distributions de possibilité dans leurs mesures de sélection d'attributs. Cette stratégie a permis d'étendre le ratio de gain et, par conséquent, d'étendre l'algorithme C4.5 pour qu'il puisse traiter des données libellées par des classes possibilistes. Ces deux dernières approches sont principalement basées sur le concept de similarité entre les distributions de possibilité étudié dans la thèse.La deuxième principale contribution de cette thèse concerne l'analyse des mesures de similarité en théorie des possibilités. En effet, un challenge important était de fournir une analyse des mesures de similarité possibiliste conduite par les propriétés qu'elles doivent satisfaire. Après avoir montré le rôle important de la notion d'incohérence dans l'évaluation de la similarité en théorie des possibilités, une nouvelle mesure, appelée affinité de l'information a été proposée. Cette mesure satisfait plusieurs propriétés que nous avons établies. A la fin de cette thèse, nous avons proposé des expérimentations pour comparer et montrer la faisabilité des approches d'arbres de décision possibilistes que nous avons développées. / This thesis concerns two important issues in machine learning and reasoning under uncertainty: how to evaluate a similarity relation between two uncertain pieces of information, and how to perform classification from uncertain data. Our first main contribution is to propose a so-called possibilistic decision tree which allows to induce decision trees from training data afflicted with imperfection. More precisely, it handles training data characterized by uncertain class labels where uncertainty is modeled within the quantitative possibility theory framework. We have developed three possibilistic decision tree approaches. For each approach, we were faced and solved typical questions for inducing possibilistic decision trees such as how to define an attribute selection measure when classes are represented by possibility distributions, how to find the stopping criteria and how leaves should be labeled in such uncertain context. The first approach, so-called, non-specificity-based possibilistic decision tree uses the concept of non-specificity relative to possibility theory in its attribute selection measure component. This approach keeps up the possibility distributions within all the stages of the building procedure and especially when evaluating the informativeness of the attributes in the attribute selection step. Conversely, the second and the third approaches, so-called similarity-based possibilistic decision tree and clustering-based possibilistic decision tree, automatically, get rid of possibility distributions in their attribute selection measure. This strategy has allowed them to extend the gain ratio criterion and hence to extend the C4.5 algorithm to handle possibilistic labeled data. These two possibilistic decision tree approaches are mainly based on the concept of similarity between possibility distributions.This latter issue constitutes our second main contribution in this thesis. In fact, an important challenge was to provide a property-based analysis of possibilistic similarity measures. After showing the important role that inconsistency could play in assessing possibilistic similarity, a new inconsistency-based possibilistic similarity measure, so-called information affinity has been proposed. This measure satisfies a set of natural properties that we have established. Finally, we have conducted experiments to show the feasibility and to compare the different possibilistic decision tree approaches developed in this thesis.

Dans cette thèse, notre objet d’étude porte sur un enjeu public relatif à la Responsabilité Sociale de l’Entreprise (RSE), nous appréhendons le discours en la matière comme un instrument de pouvoir. Nous prenons comme un cas d’étude le discours de Sanofi-aventis dans ses rapports de Développement Durable (DD) et ses rapports RSE.Nous considérons que le discours produit dans un contexte particulier est porteur symbolique des signes de pouvoir en mobilisant la force discursive de l’acteur. Nous partons de l’hypothèse suivante : le discours organisationnel produit parfois dans un contexte particulier est un discours légitimateur et performatif. Dans notre travail d’analyse, nous proposons une grille d’analyse s’appuyant sur les sciences de langage pour mettre en exergue le fonctionnement interne d’un discours envisagé comme un vecteur de pouvoir et de légitimation. Un premier niveau d’analyse statique des rapports DD/RSE nous a permis de déterminer les divers thèmes développés dans le discours et d’examiner ainsi la manière dont les acteurs communiquant donnent du sens aux thèmes de la RSE. Un deuxième niveau d’analyse longitudinale nous a permis quant à lui de poser le discours dans sa propre réalité et cela dans un contexte socio-économique plus large. En mobilisant les présupposés théoriques et les outils méthodologiques issus de l’analyse de discours, nous avons montré tout le potentiel non seulement légitimateur mais plus particulièrement performatif d’un discours construit et élaboré autour de la RSE. L’objet de la recherche étant à la croisée des chemins entre les sciences de gestion et les sciences de langage, permet une analyse mettant en avant toute la puissance du discours comme étant une action stratégique de l’entreprise mais aussi toute sa fragilité et ses limites. Cette analyse permet une nouvelle réflexion sur la performativité du discours puisqu’elle alerte l’entreprise sur le danger de non-performativité possible de son discours. Elle permet de proposer un cadre plus approprié à la communication RSE en tenant compte de la multiplicité des facteurs et paramètres pouvant influencer son pouvoir de performativité et considérant la cible de cette communication. / In this thesis, our research topic addresses a public issue related to the Corporate Social Responsibility (CSR), we perceive the discourse in this matter as an instrument of power. As case of study, we analyse the sanofi-aventis discourse in their sustainable development (SD) and CSR reports.We believe that the discourse designed in a specific environment conveys the symbolism of the signs of power by mobilizing the actor’s discursive force. We take the following assumptions: the organizational speech about CSR is of legitimization and performativity. In our analysis effort, we propose an evaluation grid based on linguistics to highlight the inner workings of a discourse seen as a vector of power, legitimization and especially performativity. A first level of static analysis of the SD/CSR reports enables us to identify the different topics developed in the discourse and therefore to examine how the communicators give meaning to the CSR. A second level of longitudinal analysis enables us to consider the discourse in its own reality within a wider socio-economic background. Using the theoretical assumptions and methodological toolset from discourse analysis, we demonstrate all the legitimating and performative potential of a discourse built and elaborated around CSR. The research topic being at thecrossroad of management sciences and linguistics enables us to highlight the power of the discourse as a strategic action from the company but also its limits and weaknesses. This analysis enables a new process of reflection about performativity of the discourse as it warns the company on the danger of potential non-performativity of its discourse. It proposes a framework that is more appropriate to the CSR communication taking into account the multiplicity of factors and parameters that could influence its power of performativity while considering the target of this communication effort.

Soient k, n des entiers avec 1 ≤ k ≤ n − 2. On cherche le suprémum ω(n, k) des nombres ω avec la propriété suivante. Pour tout point u ∈ ℝ^n u à coordonnées linéairement indépendantes sur ℚ, tout sous-espace E de ℝ^n orthogonal à u de dimension k et tout δ > 0, il existe une infinité de points non nuls x ∈ ℤ^n formant un angle au plus δ avec E tels que |x·u| ≤ ∥x∥^−ω. Ici, x·u désigne le produit scalaire de x avec u et ∥x∥ désigne la norme de x. En posant ν(m) = (m − 1 +√(m² + 2m − 3))/2, Schmidt (1976) a démontré que ω(3, 1) ≥ ν(2), puis Thurnheer (1990) a obtenu ω(n, n − 2) ≥ ν(n−1) en général. En 2014, Roy a établi que ω(3, 1) = ν(2). Dans ce mémoire, on montre que ω(n, 1) = ν(2) quel que soit n, on simplifie l’argument de Thurnheer et on montre que ω(n, k) ≥ ν(k+1) en général. On répond également à une question connexe de Badziahin et Bugeaud.

Les particules de suie émises par les processus de combustion sont hydrophobes. Cependant leurs caractéristiques morphologiques et chimiques sont modifiées lorsqu’elles séjournent dans l’atmosphère. Elles peuvent alors devenir des noyaux de condensation (CCN) ou glaciogènes (IN) et contribuer de manière significative au forçage radiatif indirect affectant le climat. Pour les aérosols sphériques et mono dispersés, la théorie de k-Köhler est souvent utilisée pour quantifier les propriétés hygroscopiques des aérosols. Dans ce travail une approche théorique et expérimentale est proposée afin d’étendre la théorie à des distributions de tailles et de morphologies d’aérosols plus complexes. Les propriétés hygroscopiques des particules sont déterminées en mesurant leur fraction activée en fonction de la sursaturation en eau au moyen d’un compteur de CCN. Le modèle développé est d’abord testé sur des particules sphériques et isolées de sulfate d’ammonium. Puis il est appliqué aux agrégats complexes de particules de suie. Les suies sont générées dans une flamme de diffusion de kérosène, et ensuite exposées à des concentrations variables d’ozone et de dioxyde de soufre dans des conditions contrôlées de température, pression et humidité relative. La mobilité électrique, la morphologie et la composition chimique de surface sont mesurés par granulométrie, microscopie électronique et spectrométrie de masse par ion secondaires respectivement, avant et après le vieillissement, et reliées au processus d’activation. A partir de la comparaison entre les courbes d’activation et le modèle, les valeurs du paramètre d’hygroscopicité k ont été déterminées pour une large gamme de conditions opératoires. / Freshly emitted soot particles from combustion processes are hydrophobic. However, the aging process in the atmosphere can modify their size, morphology and surface chemistry and turn them into efficient cloud condensation (CCN) and ice nuclei (IN) that significantly contribute to the indirect radiative forcing of climate. For spherical and monodisperse aerosols, k-Köhler theory is often used in the literature to quantify the hygroscopic properties of aerosols. In this work, a combined theoretical and experimental approach is proposed to add to the theory the contributions of the particle size distribution and morphology. Hygroscopic properties of the particles are derived by measuring their activated fraction as a function of the water supersaturation using a CCN counter. The model developed in this work is first tested on dry ammonium sulfate particles (quasi spherical and non aggregating). Then, it is applied to soot particles that are complex aggregates of primary particles. Soot particles are generated from a laboratory diffusion jet flame supplied with kerosene, and aged with ozone and sulfur dioxide in controlled conditions of temperature, pressure and relative humidity to simulate their permanence in the atmosphere. The electrical mobility, morphology and chemical composition of fresh and aged soot are measured by scanning mobility particle sizing, electron microscopy and secondary ion mass spectrometry, respectively, before and after the aging and related to the activation process. From the comparison of the experimental activation curves and the model, the values of the hygroscopicity parameter k could be determined for a large variety of operating conditions.

Cette thèse est consacrée à l'étude déterministe de la turbulence dans les équations de Navier-Stokes; et elle est divisée en quatre chapitres indépendants.Le premier chapitre s'agit d'une discussion rigoureuse sur l'étude la loi de dissipation d'énergie, proposée par théorie de la turbulence K41, dans le cadre déterministe des équations de Navier-Stokes homogènes et incompressibles, avec une force externe stationnaire (la force ne dépende que de la variable spatiale) et posées sur l'espace tout entier. Le but de ce chapitre est de mettre en évidence le fait que si nous considérons les équations de Navier-Stokes posées sur l'espace alors certains quantités physiques, nécessaires pour l'étude de la loi de dissipation de Kolmogorov, n'ont pas une définition rigoureuse et alors pour donner un sens à ces quantités on propose de considérer les équations de Navier-Stokes mais avec un terme additionnel d'amortissement . Dans le cadre de ces équations de Navier-Stokes amorties, on obtient des estimations du taux de dissipation d'énergie selon la loi de dissipation de Kolmogorov.Dans le deuxième chapitre on s'intéresse à l'étude des solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes amorties introduites dans le chapitre précédent. Ces solutions stationnaires correspondent à un type particulier des solutions qui ne dépendent que de la variable d'espace: la motivation pour étudier ces solutions stationnaires étant donné que la force externe que nous considérons tout au long de cette thèse est une fonction stationnaire. Dans ce chapitre on étudie essentiellement deux propriétés des solutions stationnaires: la première propriété correspond à la stabilité de ces solutions où on montre que si l'on contrôle la force externe des équations de Navier-Stokes amorties alors toute solution non stationnaire (qui dépend de la variable d'espace et aussi de la variable de temps) converge vers une solution stationnaire lorsque le temps tend à l'infini. La deuxième propriété porte sur l'étude de la décroissance en variable spatiale des ces solutions stationnaires.Dans le troisième chapitre on continue à étudier les solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes, mais cette fois-ci on considère les équations de Navier-Stokes classiques (sans aucun terme d'amortissement) . Le but de ce chapitre est d'étudier un tout autre problème relié à l'étude déterministe de la turbulence et qui porte sur la décroissance de la transformée de Fourier des solutions stationnaires. En effet, selon la théorie de la turbulence K41, si le fluide est en régime laminaire on s'attend à observer une décroissance exponentielle de la transformée de Fourier des solutions stationnaires et cette décroissance à lieu dès les bases fréquences, tandis que si le fluide est en régime turbulent alors on s'attend à observer cette même décroissance exponentielle mais seulement aux hautes fréquences. Ainsi, à l'aide des outils de l'analyse de Fourier, dans ce chapitre on donne des descriptions précises sur cette décroissance exponentielle fréquentiel (dans le régime laminaire et dans le régime turbulent) des solutions stationnaires.Dans le quatrième et dernier chapitre on revient aux solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes (on considère toujours les équations classiques) et on étude l'unicité de ces solutions dans le cas particulier où la force externe est nulle. En suivant essentiellement quelques idées des travaux précédents de G. Seregin, on étudie l'unicité des ces solutions tout d'abord dans les cadres des espaces de Lebesgue et ensuite dans le cadre plus général des espaces de Morrey. / This PhD thesis is devoted to deterministic study of the turbulence in the Navier-Stokes equations. The thesis is divided in four independent chapters.The first chapter involves a rigorous discussion about the energy's dissipation law, proposed by theory of the turbulence K41, in the deterministic setting of the homogeneous and incompressible Navier-Stokes equations, with a stationary external force (the force only depends of the spatial variable) and on the whole space. The energy's dissipation law, also called the Kolmogorov's dissipation law, characterizes the energy's dissipation rate (in the form of heat) of a turbulent fluid and this law was developed by A.N. Kolmogorov in 1941. However, its deduction (which uses mainly tools of statistics) is not fully understood until our days and then an active research area consists in studying this law in the rigorous framework of the Navier-Stokes equations which describe in a mathematical way the fluids motion and in particular the movement of turbulent fluids. In this setting, the purpose of this chapter is to highlight the fact that if we consider the Navier-Stokes equations on the whole space then certain physical quantities, necessary for the study of the Kolmogorov's dissipation law, have no a rigorous definition and then to give a sense to these quantities we suggest to consider the Navier-Stokes equations with an additional damping term. In the framework of these damped equations, we obtain some estimates for the energy's dissipation rate according to the Kolmogorov's dissipation law.In the second chapter we are interested in study the stationary solutions of the damped Navier-Stokes introduced in the previous chapter. These stationary solutions are a particular type of solutions which do not depend of the temporal variable and their study is motivated by the fact that we always consider the Navier-Stokes equations with a stationary external force. In this chapter we study two properties of the stationary solutions: the first property concerns the stability of these solutions where we prove that if we have a control on the external force then all non stationary solution (with depends of both spatial and temporal variables) converges toward a stationary solution. The second property concerns the decay in spatial variable of the stationary solutions. These properties of stationary solutions are a consequence of the damping term introduced in the Navier-Stokes equations.In the third chapter we still study the stationary solutions of Navier-Stokes equations but now we consider the classical equations (without any additional damping term). The purpose of this chapter is to study an other problem related to the deterministic description of the turbulence: the frequency decay of the stationary solutions. Indeed, according to the K41 theory, if the fluid is in a laminar setting then the stationary solutions of the Navier-Stokes equations must exhibit a exponential frequency decay which starts at lows frequencies. But, if the fluid is in a turbulent setting then this exponential frequency decay must be observed only at highs frequencies. In this chapter, using some Fourier analysis tools, we give a precise description of this exponential frequency decay in the laminar and in the turbulent setting.In the fourth and last chapter we return to the stationary solutions of the classical Navier-Stokes equations and we study the uniqueness of these solutions in the particular case without any external force. Following some ideas of G. Seregin, we study the uniqueness of these solutions first in the framework of Lebesgue spaces of and then in the a general framework of Morrey spaces.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité ouvert. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque, la valeur précise de la norme de $S_n$ n'est pas connue et donc dans la littérature, on les appelle les constantes de Lebesgue. Dans ce cadre, nous savons seulement qu'elles croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Cependant, dans les espaces de Dirichlet pondérés $\mathcal {D_w}$, nous évaluons précisément la norme de $S_n$. En fait, il existe différentes façons de mettre une norme sur $\mathcal {D_w}$. Bien que ces normes soient équivalentes, elles conduisent à des valeurs différentes pour la norme de $S_n$ en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_w}$. Nous présentons trois normes différentes sur $\mathcal {D_w}$ et dans chaque cas, nous obtenons la valeur précise de la norme de l'opérateur $S_n$. Ces résultats sont en contraste marqué avec le cadre classique de l'algèbre du disque. Les sommes partielles de Taylor $S_n, n$ ≥ 0, sont des opérateurs de rang fini dans n'importe quel espace de Banach de fonctions analytiques sur le disque unité. Dans le cadre classique de l'algèbre du disque $\mathcal {A}$, la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {A{\to}A}$ n'est pas connue. Ces nombres sont appelés les constantes de Lebesgue et ils croissent comme $\log n$, modulo une constante multiplicative, lorsque $n$ tend vers l'infini. Dans cette thèse, nous étudions $|S_n|$ lorsqu'il agit sur l'espace de Dirichlet local $\mathcal {D_\zeta}$. Il existe plusieurs façons distinguées de mettre une norme sur $\mathcal {D_\zeta}$ et chaque choix conduit naturellement à une norme d'opérateur différente pour $S_n$, en tant qu'opérateur sur $\mathcal {D_\zeta}$. Nous considérons trois normes différentes sur $\mathcal {D_\zeta}$ et, dans chaque cas, évaluons la valeur précise de $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. Dans tous les cas, nous montrons également que la fonction maximisante est unique. Ces formules indiquent que $|S_n|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ lorsque $n$ croît. Ainsi, à la lumière du principe de borne uniforme, il existe une fonction $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ telle que la suite locale $|S_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, n'est pas bornée. Nous fournissons deux constructions explicites. Ensuite, nous obtenons les valeurs précises de la norme de l'opérateur de moyennes de Cesàro $σ_n$ et montrons que contrairement à la somme partielle, $|σ_nf|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, est bornée. / The partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra, the precise value of the norm of $S_n$ is not known and thus in the literature they are referred as the Lebesgue constants. In this setting, we just know that the grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, as $n$ tends to infinity. However, on the weighted Dirichlet spaces $\mathcal {D_w}$, we precisely evaluate the norm of $S_n$. As a matter of fact, there are different ways to put a norm on $\mathcal {D_w}$. Even though these norms are equivalent, they lead to different values for the norm of $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_w}$. We present three different norms on $\mathcal {D_w}$, and in each case we obtain the precise value of the operator norm of $S_n$. These results are in sharp contrast to the classical setting of the disc algebraThe partial Taylor sums $S_n, n$ ≥ 0, are finite rank operators on any Banach space of analytic functions on the open unit disc. In the classical setting of disc algebra $\mathcal {A}$, the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {A{\to}A}$ is not known. These numbers are referred as the Lebesgue constants and they grow like $\log n$, modulo a multiplicative constant, when $n$ tends to infinity. In this note, we study $\|S_n\|$ when it acts on the local Dirichlet space $\mathcal {D_\zeta}$. There are several distinguished ways to put a norm on $\mathcal {D_\zeta}$ and each choice naturally leads to a different operator norm for $S_n$, as an operator on $\mathcal {D_\zeta}$. We consider three different norms on $\mathcal {D_\zeta}$ and, in each case, evaluate the precise value of $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}$. In all cases, we also show that the maximizing function is unique. These formulas indicate that $\|S_n\|_\mathcal {D_\zeta{\to}D_\zeta}≍\sqrt{n}$ as $n$ grows. Hence, in the light of uniform boundedness principle, there is a function $f ∈ \mathcal {D_\zeta}$ such that the local sequence $\|S_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$≥1, is unbounded. We provide two explicit constructions. Next we obtain the precise values of the operator norm of Cesaro means $σ_n$ and show that contrary to the partial sum, we do have $\|σ_nf\|_\mathcal {D_\zeta},n$ ≥ 1, is bounded.

Étant donné une matrice ou un opérateur, comprendre comment se comportent ses puissances et plus généralement le calcul fonctionnel, est un problème qui intervient dans de nombreux domaines. Pour les opérateurs normaux, le spectre fournit de précieuses informations sur la norme du calcul fonctionnel. Cependant, la situation est très différente pour les opérateurs non normaux. Dans cette thèse, nous étudions donc plusieurs alternatives au spectre pour contrôler la norme des puissances ou fonctions de matrices ou d'opérateurs non normaux. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'image numérique, aux ensembles K-spectraux et plus précisément à la conjecture de Crouzeix. Posée par Crouzeix en 2004, celle-ci stipule que l'image numérique pourrait être un ensemble 2-spectral. Récemment, Crouzeix et Palencia ont montré que c'est un ensemble (1+√2)-spectral. En s'inspirant de leur résultat, nous proposons une approche abstraite de la conjecture de Crouzeix en commençant par une version abstraite de leur résultat. On montre que si A est une algèbre uniforme et θ : A → Mₙ(ℂ) est un morphisme d'algèbre continu, s'il existe une contraction antilinéaire α : A → A telle que ∥θ(f) + θ(α(f))*∥ ≤ 2∥f∥ (f ∈ A), alors ∥θ∥ ≤ 1 + √2. Sous ces conditions 1 + √2 est optimale mais si on suppose en plus que α(1) = 1, alors il se pourrait que ∥θ∥ ≤ 2. Enfin, on montre deux cas particuliers pour lesquels on a réussi à prouver cette conjecture. Dans un second temps nous étudions le théorème de Kreiss et ses généralisations. Ce théorème permet de contrôler le supremum de la norme des puissances d'une matrice à l'aide de sa résolvante. Il a été généralisé aux polynômes et sur des domaines généraux par Toh et Trefethen puis pour les fonctions holomorphes sur le disque par Vitse. On étudie leurs résultats et on montre une inégalité de type Kreiss pour les fonctions rationnelles bornées sur des domaines généraux : pour un domaine Ω dont la frontière est une courbe de Jordan C², il existe une constante C > 0 telle que pour toute fonction rationnelle f bornée sur Ω et pour tout opérateur T ∈ B(X) tel que σ(T) ⊂ Ω[barre au-dessus], on a ∥f(T)∥ ≤ C(deg(f) + 1)∥f∥ [indice Ω] sup [z∉Ω[barre au-dessus] en-dessous] [dist(z, Ω)∥(zI - T)⁻¹∥]. Enfin, nous nous intéressons aux matrices ayant des pseudospectres identiques. Il est connu que les pseudospectres permettent de contrôler les normes des matrices à un facteur multiplicatif 2 près. Mais l'histoire est vraiment différente pour les puissances supérieures comme le montre un résultat de Ransford. Celui-ci a pour conséquence que, pour tout M > 0, il existe des matrices A, B ∈ M[indice N](ℂ) ayant des pseudospectres identiques telles que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ pour tout 2 ≤ n ≤ (N - 3)/2. Quelques années plus tard, Ransford et Raouafi ont montré que pour tout M > 0 et n ≥ 2, il existe deux matrices A, B ∈ M₆(ℂ) ayant des pseudospectres identiques mais tels que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ en montrant ce résultat plus généralement pour des fonctions holomorphes qui ne sont pas des transformations de Möbius. On obtient un résultat similaire pour deux puissances. Plus précisément, on montre qu'étant donné M > 0 et n, m ≥ 2, il existe deux matrices A et B de taille 10 x 10 ayant des pseudospectres identiques telles que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ et ∥Aᵐ∥ > M∥Bᵐ∥ et que ce résultat tient pour deux fonctions holomorphes moyennant une condition technique.

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