Ce mémoire a pour but de présenter quelques résultats classiques de théorie des noeuds et de faire un parallèle entre cette théorie et les espaces de représentations associés au groupe d'un noeud. Le premier chapitre est consacré à une introduction de la théorie des noeuds dans lequel nous allons définir les surfaces de Seifert, le polynôme d'Alexander, le nombre d'entrelacement, les matrices de Seifert, le groupe d'un noeud. Quelques notions plus complexes vont être présentées comme le revêtement double ramifié le long d'un noeud, qui nous permettra d'établir une relation entre l'ordre du groupe d'homologie de ce revètement double et le polynôme d'Alexander évalué en -1. Le second chapitre présente le goupe SU(2) et le lien existant entre la conjugaison par un de ces élements et les rotations dans l'espace. Sont ensuite introduites les notions d'espaces de représentations illlustrées par le calcul explicite de celui du cercle, du noeud de trèfle, du double de Whitehead et du tore. Dans ce même chapitre nous présentons les twists de Dehn, chirurgies de Dehn et le résultat de Lickorish concernant l'obtention à partir de S³, de toute 3-variété fermée orientable, par chirurgie entière le long d'un entrelacs. Le troisième chapitre se concentre sur les espaces de représentations dans le groupe binaire dihédrale. Ces quelques pages proposent une ébauche de construction par chirurgie du polynôme d'Alexander évalué en -1. Nous présentons une approche géométrique de la construction de cet invariant en utilisant les relations skeins et la formule de Conway. Les dernières pages de ce mémoire sont consacrées à une brève introduction à l'invariant de Casson. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Mathématiques, Théorie des noeuds, Espaces de représentations, Invariant de Casson, Quaternions.

L'objectif visé dans ce travail consiste en la présentation du polynôme de Tutte, et ce à la manière de son idéateur, M. William Thomas Tutte. Nous dressons également un portrait de l'éventail des applications possibles de ce polynôme, notamment en théorie des graphes, en physique de la mécanique statistique, de même qu'en théorie des noeuds. À cet égard, nous faisons la démonstration que le polynôme de Tutte admet une spécialisation en terme de la fonction de partition d'un modèle de Potts, ainsi qu'en terme du polynôme de Jones d'un entrelacs alterné. Ce travail se conclut par une série de calculs sur les graphes 2-connexes et connexes, pour lesquels nous utilisons une équation fonctionnelle bien connue de la théorie des espèces, de même que des fonctions de poids bloc-multiplicatives. Ces calculs nous ont permis, entre autres, d'établir l'égalité entre le poids total des λ-flots à flux non nuls sur les graphes 2-connexes à quatre sommets et le nombre de marelles de longueur trois dans l'hypercube de dimension λ -1. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polynôme de Tutte, Polynôme chromatique, Polynôme de flot, Polynôme de fiabilité, Polynôme de Jones, Entrelacs alterné, Fonction de partition, Modèle de Potts, Graphes 2-connexes.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaux d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky ont introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur homologie d'entrelacs catégorifie la n-ième spécialisation du polynôme d'entrelacs HOMFLYPT et leur homologie de graphes planaires catégorifie un polynôme de graphes associé. <br /><br />Dans cette thèse, on étudie ces homologies et on généralise leur construction en introduisant une graduation supplémentaire. Tout d'abord, on généralise une formule de Jaeger pour les polynômes d'entrelacs aux polynômes de graphes planaires, ainsi qu'à l'homologie de graphes planaires; on étend ensuite l'homologie d'entrelacs de Khovanov-Rozansky aux graphes plongés. Puis on construit une homologie trigraduée d'entrelacs. Cette homologie recouvre l'homologie bigraduée d'entrelacs de Khovanov et Rozansky. Enfin, on donne des exemples, des applications et des généralisations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. On développe des outils d'algèbre homologique qui permettent de calculer explicitement l'homologie trigraduée d'entrelacs pour des exemples et on considère des déformations de l'homologie trigraduée d'entrelacs.

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Un germe équidimensionnel réduit d'espace analytique est dit quasi-odinaire s'il admet une projection finie sur un espace lisse, dont le lieu discriminant est un diviseur à croisements normaux. Le thème de ce travail est la généralisation aux germes quasi-ordinaires de liens connus entre divers invariants des germes de courbes planes. Dans le premier chapitre nous présentons une vision d'ensemble du concept de racine approchée d'un polynôme. Nous insistons sur les applications à l'étude des germes de courbes planes, en montrant que pour la plupart de ces applications, le concept plus général de semi-racine est suffisant. Au début du deuxième chapitre nous utilisons la géométrie torique pour construire une normalisation des germes quasi-ordinaires. Pour les germes irréductibles, de dimension 2 et dimension de plongement 3, nous donnons un algorithme explicite de normalisation, puis nous leur associons de manière intrinsèque un semi-groupe. Nous en déduisons une nouvelle preuve de l'invariance des exposants caractéristiques normalisés. Le concept de semi-racine est essentiel dans notre démarche. Dans le troisième chapitre nous donnons un théorème de factorisation pour la dérivée d'un polynôme quasi-ordinaire, lorsque cette dérivée est elle-même quasi-ordinaire. Ceci généralise un théorème connu sur la structure des courbes polaires des germes de courbes planes. Pour le formuler, nous introduisons l'arbre d'Eggers-Wall, qui permet de factoriser les germes comparables en fonction de leur contact avec le germe étudié. Dans le dernier chapitre nous interprétons topologiquement l'arbre d'Eggers-Wall et la factorisation des germes comparables, dans le cas des germes de courbes planes. Pour cela, nous prouvons un théorème général sur la localisation à isotopie près des noeuds isolables et sédentaires dans les variétés compactes, orientables et irréductibles de dimension 3, dont le bord est formé uniquement de tores.

Le but de cette thèse est de fournir une caractérisation topologique de tresses virtuelles. Les tresses virtuelles sont des classes d’équivalence de diagrammes de type tresses tracés sur le plan. La relation d’équivalence est générée par l’isotopie, les mouvements de Reidemeister et les mouvements de Reidemeister virtuels. L’ensemble des tresses virtuelles est munie d’une opération de groupe. On parlera alors du groupe de tresses virtuelles. Dans le Chapitre 1, nous introduisons les notions de base de la théorie de noeuds virtuels, nous évoquons certains propriétés du groupe tresses virtuelles, et des liens qu’il a avec le groupe de tresses classiques. Dans le Chapitre 2, nous introduisons la notion de diagramme de Gauss tressé (ou diagramme de Gauss horizontal), et on démontre qu’il s’agit là d’une bonne réinterprétation combinatoire pour les tresses virtuelles. On généralise en particulier certains résultats connus en théorie de noeuds virtuels. Un application est de retrouver la présentation classique du groupe de tresses virtuelles pures à l’aide des diagrammes de Gauss tressés. Dans le Chapitre 3, on introduit les tresses abstraites et on montre qu’elles sont en correspondance bijective avec les tresses virtuelles. Les tresses abstraites sont des classes d’équivalence des diagrammes de type tresses tracés sur une surface orientable avec deux composantes de bord. La relation d’équivalence est générée par l’isotopie, la compatibilité, la stabilité et les mouvements de Reidemeister. La compatibilité est la relation d’équivalence générée par les difféomorphismes préservant l’orientation. La stabilité est la relation d’équivalence générée par l’addition ou la suppression d’anses à la surface, dans le complémentaire du diagramme. Dans le Chapitre 4, on démontre que tout tresse abstraite admets une unique représentant de genre minimal, à compatibilité et mouvements de Reidemeister prés. En particulier, les tresses classiques se plongent dans les tresses abstraites. / The purpose of this thesis is to give a topological characterization of virtual braids. Virtual braids are equivalence classes of planar braid-like diagrams identified up to isotopy, Reidemeister and virtual Reidemeister moves. The set of virtual braids admits a group structure and is called the virtual braid group. In Chapter 1 we present a general introduction to the theory of virtual knots, and we discuss some properties of virtual braids and their relations with classical braids. In Chapter 2 we introduce braid-Gauss dia- grams, and we prove that they are a good combinatorial reinterpretation of virtual braids. In particular this generalizes some results known in virtual knot theory. As an application, we use braid-Gauss diagrams to recover a well known presentation of the pure virtual braid group. In Chapter 3 we introduce abstract braids and we prove that they are in a bijective cor- respondence with virtual braids. Abstract braids are equivalence classes of braid-like diagrams on an orientable surface with two boundary components. The equivalence relation is generated by isotopy, compatibility, stability and Reidemeister moves. Compatibility is the equivalence relation generated by orientation preserving diffeomorphisms. Stability is the equivalence relation generated by adding handles to or deleting handles from the surface in the complement of the braid-like diagram. In Chapter 4 we prove that for any abstract braid, there is a unique representative of minimal genus, up to compatibility and Reidemeister equivalence. In particular this implies that classical braids embed in abstract braids.

Dans cette thèse on étudie un invariant topologique des variétés de dimension 3, la torsion de Reidemeister, comme un objet global sur les variétés de caractères du groupe fondamental dans SL(2,C). Dans le cas du complexe cohomologique associé à la représentation adjointe, on définit la torsion « adjointe » comme une forme différentielle méromorphe sur la variété des caractères. On reliera l’apparition de pôles ou de zéros à :-des singularités de la variété des caractères-la topologie de certaines surfaces incompressibles plongées, produites via la théorie de Culler-Shalen.On obtiendra, comme conséquence de ces résultats, une formule reliant le genre de ces surfaces incompressibles, et celui de la variété des caractères.Dans le cas du complexe standard, la torsion « acyclique » est une fonction méromorphe sur la variété des caractères. Une étude poussée des pôles apparaissant aux points à l’infini nous permettra, entre autre, de donner des conditions suffisantes pour que la torsion soit non constante. / In this PhD dissertation, we study a topological invariant of 3-manifolds, namely the Reidemeister torsion, as globally defined on character varieties of the fundamental group in SL(2,C). The « adjoint » torsion will be the torsion of the cohomological complex associated to the adjoint representation. We explain that it can be seen as a meromorphic differential form on the character variety, and we aim to understand its poles and zeros. They will be related with -singular points of the character variety -the topology of incompressible surfaces embedded in the 3-manifold, provided by the Culler-Shalen theory. As an application, we prove a relation between the genus of those incompressible surface and the genus of the character variety. The « acyclic » torsion of the standard complex is a rational function on the character variety. We study its poles at infinity in the character variety, and we give sufficient conditions for this torsion to be non constant.