Partitionierung von Graphen ist im Allgemeinen sehr schwierig. Es stehen derzeit keine Algorithmen zur Verfügung, die ein allgemeines Partitionierungsproblem effizient lösen. Aus diesem Grund werden heuristische Ansätze verfolgt. Zur Analyse dieser Heuristiken ist man derzeit gezwungen zufällige Graphen zu Verwenden. Daten realer Graphen sind derzeit entweder nur sehr schwer zu erheben (z.B. Internetgraph), oder aus rechtlichen bzw. wirtschaftlichen Gründen nicht zugänglich (z.B. soziale Netzwerke). Die untersuchten Heuristiken liefern teilweise nur unter bestimmten Voraussetzungen Ergebnisse. Einige arbeiten lediglich auf einer eingeschränkten Menge von Graphen, andere benötigen zum Erkennen einer Partition einen mit der Knotenzahl steigenden Durchschnittsgrad der Knoten, z.B. [DHM04]. Der im Zuge dieser Arbeit erstmals implementierte Algorithmus aus [CGL07a] benötigt lediglich einen konstanten Durchschnittsgrad der Knoten um eine Partition des Graphen, wenn diese existiert, zu erkennen. Insbesondere muss dieser Durchschnittsgrad nicht mit der Knotenzahl steigen. Nach der Implementierung erfolgten Tests des Algorithmus an zufälligen Graphen. Diese Graphen entsprachen dem Gnp-Modell mit eingepflanzter Partition. Die untersuchten Clusterprobleme waren dabei große Schnitte, kleine Schnitte und unabhängige Mengen. Der von der Art des Clusterproblems abhängige Durchschnittsgrad wurde während der Tests bestimmt.

Die Informatik ist von besonderer Bedeutung für die Gestaltung unser alltäglichen Lebensumstände und ist eine Schlüsseltechnologie des 21. Jahrhunderts. Die Fakultät für Informatik vertritt dieses Fachgebiet umfassend und kompetent mit anwendungsorientierten Schwerpunktsetzungen. In unseren Forschungsschwerpunkten - Eingebettete selbstorganisierende Systeme - Intelligente multimediale Systeme - Parallele verteilte Systeme bieten wir international wettbewerbsfähige Forschung und Entwicklung zu aktuellen Problemstellungen. Unsere Lehre basiert auf dem Leitmotiv der beständigen Erneuerung aus der Forschung. Hieraus abgeleitet bieten wir zeitgemäße Bachelor- und Masterstudiengänge mit hervorragenden Studienbedingungen. Die Fakultät hat den Anspruch eines möglichst persönlichen Umgangs zwischen Lehrkörper und Studenten. Mit der Schriftenreihe „Chemnitzer Informatik Berichte“ geben wir Einblicke in die Forschungspraxis der Fakultät. Dabei werden unterschiedliche Forschungsthemen aus den drei Forschungsschwerpunkten und allen Professuren der Fakultät vorgestellt. / Computer science, as a key technology of the 21th century, has an exceptional impact on our everyday life and living standards. The Faculty of Computer Science represents this scientific field in a comprehensive and proficient manner with an application-orientated choice of topics. In the fields of - Embedded and self-organizing systems - Intelligent multimedia systems - Parallel and distributed systems we offer research and development for current problems and challenges on an internationally competitive level. The guiding principle of our education is the continuous innovation through advances in research. Consequently, we are able to provide modern Bachelor and Master programs with excellent academic conditions. The faculty strives to provide a maximally personal interaction between students and staff. With the series of publications „Chemnitz Computer Science Reports“ we give insigths into the reasearch practice of the faculty. We present different subjects of research from the tree research fields and all of the professorships of the Faculty of Computer Science.

Die Informatik ist von besonderer Bedeutung für die Gestaltung unser alltäglichen Lebensumstände und ist eine Schlüsseltechnologie des 21. Jahrhunderts. Die Fakultät für Informatik vertritt dieses Fachgebiet umfassend und kompetent mit anwendungsorientierten Schwerpunktsetzungen. In unseren Forschungsschwerpunkten - Eingebettete selbstorganisierende Systeme - Intelligente multimediale Systeme - Parallele verteilte Systeme bieten wir international wettbewerbsfähige Forschung und Entwicklung zu aktuellen Problemstellungen. Unsere Lehre basiert auf dem Leitmotiv der beständigen Erneuerung aus der Forschung. Hieraus abgeleitet bieten wir zeitgemäße Bachelor- und Masterstudiengänge mit hervorragenden Studienbedingungen. Die Fakultät hat den Anspruch eines möglichst persönlichen Umgangs zwischen Lehrkörper und Studenten. Mit der Schriftenreihe „Chemnitzer Informatik Berichte“ geben wir Einblicke in die Forschungspraxis der Fakultät. Dabei werden unterschiedliche Forschungsthemen aus den drei Forschungsschwerpunkten und allen Professuren der Fakultät vorgestellt. / Computer science, as a key technology of the 21th century, has an exceptional impact on our everyday life and living standards. The Faculty of Computer Science represents this scientific field in a comprehensive and proficient manner with an application-orientated choice of topics. In the fields of - Embedded and self-organizing systems - Intelligent multimedia systems - Parallel and distributed systems we offer research and development for current problems and challenges on an internationally competitive level. The guiding principle of our education is the continuous innovation through advances in research. Consequently, we are able to provide modern Bachelor and Master programs with excellent academic conditions. The faculty strives to provide a maximally personal interaction between students and staff. With the series of publications „Chemnitz Computer Science Reports“ we give insigths into the reasearch practice of the faculty. We present different subjects of research from the tree research fields and all of the professorships of the Faculty of Computer Science.

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Partitionierung von Graphen ist im Allgemeinen sehr schwierig. Es stehen derzeit keine Algorithmen zur Verfügung, die ein allgemeines Partitionierungsproblem effizient lösen. Aus diesem Grund werden heuristische Ansätze verfolgt. Zur Analyse dieser Heuristiken ist man derzeit gezwungen zufällige Graphen zu Verwenden. Daten realer Graphen sind derzeit entweder nur sehr schwer zu erheben (z.B. Internetgraph), oder aus rechtlichen bzw. wirtschaftlichen Gründen nicht zugänglich (z.B. soziale Netzwerke). Die untersuchten Heuristiken liefern teilweise nur unter bestimmten Voraussetzungen Ergebnisse. Einige arbeiten lediglich auf einer eingeschränkten Menge von Graphen, andere benötigen zum Erkennen einer Partition einen mit der Knotenzahl steigenden Durchschnittsgrad der Knoten, z.B. [DHM04]. Der im Zuge dieser Arbeit erstmals implementierte Algorithmus aus [CGL07a] benötigt lediglich einen konstanten Durchschnittsgrad der Knoten um eine Partition des Graphen, wenn diese existiert, zu erkennen. Insbesondere muss dieser Durchschnittsgrad nicht mit der Knotenzahl steigen. Nach der Implementierung erfolgten Tests des Algorithmus an zufälligen Graphen. Diese Graphen entsprachen dem Gnp-Modell mit eingepflanzter Partition. Die untersuchten Clusterprobleme waren dabei große Schnitte, kleine Schnitte und unabhängige Mengen. Der von der Art des Clusterproblems abhängige Durchschnittsgrad wurde während der Tests bestimmt.

Einem Konsumenten werden in verschiedensten Situationen Rabatte angeboten. In dieser Dissertation wird die Frage untersucht, wie solche Rabattsituationen aus konsumentensicht formalisiert werden können und wie Kaufentscheidungen getroffen werden können. Um diese Frage zu beantworten, wird ein formaler Rahmen für Rabattsituationen angegeben und zur Analyse einer neuen Gruppe von acht Problemen, die auf alltäglichen Erfahrungen mit Rabattaktionen basieren, angewendet. Diese Probleme werden hinsichtlich der Rabattgrundlage (Stempel / Punkte), dem Kartentyp (Einzelkarte, Gruppenkarte) und der Frage, ob Stempel/Punkte für Käufe mit Rabatt gesammelt werden, unterschieden. Der inhärenten Planungsunsicherheit für Konsumentenentscheidungen wird explizit durch die Betrachtung jedes Problems als eine Onlinesituation Rechnung getragen. Für die Onlineprobleme wird eine zugeschnittene Methode zur Güteabschätzung präsentiert. Jedes der acht Probleme wird als Entscheidungs-, Optimierungs- und Onlineproblem analysiert. Für alle Entscheidungsprobleme wird NP-Vollständigkeit nachgewiesen. Jedes Optimierungsproblem wird mit ganzzahliger linearer Programmierung und einige stempelbasierte Probleme zusätzlich mit dynamischer Programmierung gelöst. Für die Onlineprobleme wird jeweils eine untere Güteschranke gezeigt und für drei Gruppen von Onlinealgorithmen die Güte abgeschätzt.:1. Einleitung 2. Vorbetrachtungen 3. Problemformulierung und Analysemethodik 4. Die Probleme im Detail 5. Zusammenfassung 6. Ausblick A. Implementationen / A consumer is offered discounts in a variety of situations. The central question investigated in this dissertation is how to formalize such discount situations from a consumer perspective and what methods for deducing purchase decisions are possible. To answer this question a formal framework for discount situations is established and used to explore a new group of eight discount problems based on everyday experience with loyalty programs. These problems are distinguished by discount basis (stamps / points), card type (single / group) and whether stamps/-points are collectable if a discount is granted. The inherent uncertainty in consumer decisions is explicitly taken into account by considering each of these problems as an online situation as well. Regarding the online problems, a method for competitive analysis is presented. Each of the eight problems is examined as a decision, an optimization and an online problem. For all decision problems N P-completeness is shown. Each optimization problem is solved via linear integer programming and some stamp based optimization problems are furthermore solved with dynamic programming. For each online problem a lower bound on the competitive ratio is presented together with three groups of online algorithms and the respective bounds on the competitive ratio.:1. Einleitung 2. Vorbetrachtungen 3. Problemformulierung und Analysemethodik 4. Die Probleme im Detail 5. Zusammenfassung 6. Ausblick A. Implementationen

Diese Arbeit untersucht ordnungsinvariante Formeln der Logik erster Stufe (FO) und einiger ihrer Erweiterungen, sowie andere eng verwandte Konzepte der endlichen Modelltheorie. Viele Resultate der endlichen Modelltheorie nehmen an, dass Strukturen mit einer Einbettung ihres Universums in ein Anfangsstück der natürlichen Zahlen ausgestattet sind. Dies erlaubt es, beliebige Relationen (z.B. die lineare Ordnung) und Operationen (z.B. Addition, Multiplikation) von den natürlichen Zahlen auf solche Strukturen zu übertragen. Die resultierenden Relationen auf den endlichen Strukturen werden als numerische Prädikate bezeichnet. Werden numerische Prädikate in Formeln verwendet, beschränkt man sich dabei häufig auf solche Formeln, deren Wahrheitswert auf endlichen Strukturen invariant unter Änderungen der Einbettung der Strukturen ist. Wenn das einzige verwendete numerische Prädikat eine lineare Ordnung ist, spricht man beispielsweise von ordnungsinvarianten Formeln. Die Resultate dieser Arbeit können in drei Teile unterteilt werden. Der erste Teil betrachtet die Lokalitätseigenschaften von FO-Formeln mit Modulo-Zählquantoren, die beliebige numerische Prädikate invariant nutzen. Der zweite Teil betrachtet FO-Sätze, die eine lineare Ordnung samt der zugehörigen Addition auf invariante Weise nutzen, auf endlichen Bäumen. Es wird gezeigt, dass diese dieselben regulären Baumsprachen definieren, wie FO-Sätze ohne numerische Prädikate mit bestimmten Kardinalitätsprädikaten. Für den Beweis wird eine algebraische Charakterisierung der in dieser Logik definierbaren Baumsprachen durch Operationen auf Bäumen entwickelt. Der dritte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Ausdrucksstärke und der Prägnanz von FO und Erweiterungen von FO auf Klassen von Strukturen beschränkter Baumtiefe. / This thesis studies the concept of order-invariance of formulae of first-order logic (FO) and some of its extensions as well as other closely related concepts from finite model theory. Many results in finite model theory assume that structures are equipped with an embedding of their universe into an initial segment of the natural numbers. This allows to transfer arbitrary relations (e.g. linear order) and operations (e.g. addition, multiplication) on the natural numbers to structures. The arising relations on the structures are called numerical predicates. If formulae use these numerical predicates, it is often desirable to consider only such formulae whose truth value in finite structures is invariant under changes to the embeddings of the structures. If the numerical predicates include only a linear order, such formulae are called order-invariant. We study the effect of the invariant use of different kinds of numerical predicates on the expressive power of FO and extensions thereof. The results of this thesis can be divided into three parts. The first part considers the locality and non-locality properties of formulae of FO with modulo-counting quantifiers which may use arbitrary numerical predicates in an invariant way. The second part considers sentences of FO which may use a linear order and the corresponding addition in an invariant way and obtains a characterisation of the regular finite tree languages which can be defined by such sentences: these are the same tree languages which are definable by FO-sentences without numerical predicates with certain cardinality predicates. For the proof, we obtain a characterisation of the tree languages definable in this logic in terms of algebraic operations on trees. The third part compares the expressive power and the succinctness of different ex- tensions of FO on structures of bounded tree-depth.

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \'komprimiertes Wortproblem\' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \''komprimiertes Wortproblem\'' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.