Die Thematik der Arbeit ist in der Schuranalysis angesiedelt. Angeregt durch die Bedurfnisse von Elektrotechnik und Signalubertragungstechnik entwickelte sich dieses mathematische Gebiet, welches Matrix- und Operatorversionen von Interpolations- und Momentenproblemen behandelt. Die vorliegende Dissertation beschafgt sich mit dem "J{Potapovproblem\, einem Interpolationsproblem furFu ntionen der J{Potapovklasse, welche in einer Umgebung von Null holomorph sind. Eine nahere Untersuchung dieser Funktionenklasse zeigt, dass deren Taylorkoe zientenfolgen zur Klasse der J{Potapovfolgen gehoren. Diese Folgen sind der Ausgangspunkt fur die Konstruktion von Matrixpolynomen, mit deren Hilfe sich die Losungsmenge des J{Potapovproblems als gebrochenlineare Transformation darstellen lasst. In Kapitel 1 werden zunachst J{Potapovfolgen und J{Potapovfunktion eingefuhrt sowie das J{Potapovproblem formuliert. Dabei werden wichtige Eigenschaften und Resulate vorgestellt sowie verdeutlicht, dass das J{Potapovproblem eine Verallgemeinerung des in der Literatur ausgiebig behandelten Schurproblems ist. Daraus entsteht die Zielstellung, wohlbekannte, aus Schurfolgen gebildete, Matrixpolynome auf den J{Potapovfall zu ubertragen. Eine besondere Rolle in der Losungsmenge des J{Potapovproblems spielt die zentrale J{ Potapovfunktion, denn eine Quotientendarstellung zentraler J{Potapovfunktionen ermoglicht auch eine Analyse der allgemeinen Losung. In Kapitel 2 erfolgt die Herleitung einer solchen Darstellung sowie die Untersuchung der damit verbundenen Folgen und Matrixpolynome. Dabei werden wichtige Identitaten und Beziehungen bewiesen, welche bei der Behandlung des J{Potapovproblems eine Schlusselrolle spielen. In Kapitel 3 erfolgt eine Verallgemeinerung der Arov{Krein{Matrixpolynome des Schurproblems auf die J{Potapovklasse. Dabei wird zunachst der nichtdegenerierte Fall untersucht, bevor eine Erweiterung der Ergebnisse auf den degenerierten Fall vorgenommen wird. Ausgangspunkt fur die Untersuchungen des vierten Kapitels ist die Beobachtung, dass mit den gegebenen Daten eines J{Potapovproblems ein spezielles Stein-Tripel und damit im nichtdegenerierten Fall ein J (:= diag(J;

Die Thematik der Arbeit ist in der Schuranalysis angesiedelt. Angeregt durch die Bedurfnisse von Elektrotechnik und Signalubertragungstechnik entwickelte sich dieses mathematische Gebiet, welches Matrix- und Operatorversionen von Interpolations- und Momentenproblemen behandelt. Die vorliegende Dissertation beschafgt sich mit dem "J{Potapovproblem\, einem Interpolationsproblem furFu ntionen der J{Potapovklasse, welche in einer Umgebung von Null holomorph sind. Eine nahere Untersuchung dieser Funktionenklasse zeigt, dass deren Taylorkoe zientenfolgen zur Klasse der J{Potapovfolgen gehoren. Diese Folgen sind der Ausgangspunkt fur die Konstruktion von Matrixpolynomen, mit deren Hilfe sich die Losungsmenge des J{Potapovproblems als gebrochenlineare Transformation darstellen lasst. In Kapitel 1 werden zunachst J{Potapovfolgen und J{Potapovfunktion eingefuhrt sowie das J{Potapovproblem formuliert. Dabei werden wichtige Eigenschaften und Resulate vorgestellt sowie verdeutlicht, dass das J{Potapovproblem eine Verallgemeinerung des in der Literatur ausgiebig behandelten Schurproblems ist. Daraus entsteht die Zielstellung, wohlbekannte, aus Schurfolgen gebildete, Matrixpolynome auf den J{Potapovfall zu ubertragen. Eine besondere Rolle in der Losungsmenge des J{Potapovproblems spielt die zentrale J{ Potapovfunktion, denn eine Quotientendarstellung zentraler J{Potapovfunktionen ermoglicht auch eine Analyse der allgemeinen Losung. In Kapitel 2 erfolgt die Herleitung einer solchen Darstellung sowie die Untersuchung der damit verbundenen Folgen und Matrixpolynome. Dabei werden wichtige Identitaten und Beziehungen bewiesen, welche bei der Behandlung des J{Potapovproblems eine Schlusselrolle spielen. In Kapitel 3 erfolgt eine Verallgemeinerung der Arov{Krein{Matrixpolynome des Schurproblems auf die J{Potapovklasse. Dabei wird zunachst der nichtdegenerierte Fall untersucht, bevor eine Erweiterung der Ergebnisse auf den degenerierten Fall vorgenommen wird. Ausgangspunkt fur die Untersuchungen des vierten Kapitels ist die Beobachtung, dass mit den gegebenen Daten eines J{Potapovproblems ein spezielles Stein-Tripel und damit im nichtdegenerierten Fall ein J (:= diag(J;

This study concerns a teaching design with the purpose to facilitate the students’ objectification of the Pythagorean Theorem. Twelve 14-year old students (N=12) participated in the study before the theorem was introduced to them at school. The design incorporated ideas from the ‘embodied mind’ framework, history and realistic mathematics, linking ‘embodied verticality’ with ‘perpendicularity’. The qualitative analyses suggested that the participants were led to the conquest of the ‘first level of objectification’ (through numbers) of the Pythagorean Theorem, showing also evidence of appropriate ‘fore-conceptions’ of the ‘second level of objectification’ (through proof) of the theorem. The triangle the sides of which are associated with the Basic Triple (3,4,5) served as a primary instrument for the students’ objectification, mainly, by facilitating their ‘generic abstraction’ of the Pythagorean Triples.

MDE techniques are more and more used in praxis. However, there is currently a lack of detailed reports about how different MDE techniques are integrated into the development and combined with each other. To learn more about such MDE settings, we performed a descriptive and exploratory field study with SAP, which is a worldwide operating company with around 50.000 employees and builds enterprise software applications. This technical report describes insights we got during this study. For example, we identified that MDE settings are subject to evolution. Finally, this report outlines directions for future research to provide practical advises for the application of MDE settings. / Techniken der modellgetriebenen Entwicklung (MDE) werden mehr und mehr in der Praxis eingesetzt. Dabei gibt es wenige detaillierte Berichte darüber wie unterschiedliche MDE-Techniken kombiniert und in die Entwicklung integriert werden. Die vorliegende beschreibende Feldstudie dient dem Zweck, in SAP genutzte MDE-Ansätze detailliert zu beschreiben. SAP ist ein weltweit operierendes Unternehmen, hat ca. 50 000 Mitarbeiter und stellt Softwarelösungen für Firmen her. Der vorliegende technische Bericht beschreibt die Einblicke die wir in dieser Studie erhalten haben. Dazu gehört die Einsicht, dass MDE Ansätze einer Evolution unterliegen. Schließlich umreißt dieser Bericht mögliche Richtungen für zukünftige Forschung um praktische Ratschläge für die Gestaltung von MDE Ansätzen geben zu können.

This study concerns a teaching design with the purpose to facilitate the students’ objectification of the Pythagorean Theorem. Twelve 14-year old students (N=12) participated in the study before the theorem was introduced to them at school. The design incorporated ideas from the ‘embodied mind’ framework, history and realistic mathematics, linking ‘embodied verticality’ with ‘perpendicularity’. The qualitative analyses suggested that the participants were led to the conquest of the ‘first level of objectification’ (through numbers) of the Pythagorean Theorem, showing also evidence of appropriate ‘fore-conceptions’ of the ‘second level of objectification’ (through proof) of the theorem. The triangle the sides of which are associated with the Basic Triple (3,4,5) served as a primary instrument for the students’ objectification, mainly, by facilitating their ‘generic abstraction’ of the Pythagorean Triples.

Model-driven software development requires techniques to consistently propagate modifications between different related models to realize its full potential. For large-scale models, efficiency is essential in this respect. In this paper, we present an improved model synchronization algorithm based on triple graph grammars that is highly efficient and, therefore, can also synchronize large-scale models sufficiently fast. We can show, that the overall algorithm has optimal complexity if it is dominating the rule matching and further present extensive measurements that show the efficiency of the presented model transformation and synchronization technique. / Die Model-getriebene Softwareentwicklung benötigt Techniken zur Übertragung von Änderungen zwischen verschiedenen zusammenhängenden Modellen, um vollständig nutzbar zu sein. Bei großen Modellen spielt hier die Effizienz eine entscheidende Rolle. In diesem Bericht stellen wir einen verbesserten Modellsynchronisationsalgorithmus vor, der auf Tripel-Graph-Grammatiken basiert. Dieser arbeitet sehr effizient und kann auch sehr große Modelle schnell synchronisieren. Wir können zeigen, dass der Gesamtalgortihmus eine optimale Komplexität aufweist, sofern er die Ausführung dominiert. Die Effizient des Algorithmus' wird durch einige Benchmarkergebnisse belegt.

During the overall development of complex engineering systems different modeling notations are employed. For example, in the domain of automotive systems system engineering models are employed quite early to capture the requirements and basic structuring of the entire system, while software engineering models are used later on to describe the concrete software architecture. Each model helps in addressing the specific design issue with appropriate notations and at a suitable level of abstraction. However, when we step forward from system design to the software design, the engineers have to ensure that all decisions captured in the system design model are correctly transferred to the software engineering model. Even worse, when changes occur later on in either model, today the consistency has to be reestablished in a cumbersome manual step. In this report, we present in an extended version of [Holger Giese, Stefan Neumann, and Stephan Hildebrandt. Model Synchronization at Work: Keeping SysML and AUTOSAR Models Consistent. In Gregor Engels, Claus Lewerentz, Wilhelm Schäfer, Andy Schürr, and B. Westfechtel, editors, Graph Transformations and Model Driven Enginering - Essays Dedicated to Manfred Nagl on the Occasion of his 65th Birthday, volume 5765 of Lecture Notes in Computer Science, pages 555–579. Springer Berlin / Heidelberg, 2010.] how model synchronization and consistency rules can be applied to automate this task and ensure that the different models are kept consistent. We also introduce a general approach for model synchronization. Besides synchronization, the approach consists of tool adapters as well as consistency rules covering the overlap between the synchronized parts of a model and the rest. We present the model synchronization algorithm based on triple graph grammars in detail and further exemplify the general approach by means of a model synchronization solution between system engineering models in SysML and software engineering models in AUTOSAR which has been developed for an industrial partner. In the appendix as extension to [19] the meta-models and all TGG rules for the SysML to AUTOSAR model synchronization are documented. / Bei der Entwicklung komplexer technischer Systeme werden verschiedene Modellierungssprachen verwendet. Zum Beispiel werden bei der Entwicklung von Systemen in der Automobilindustrie bereits früh im Entwicklungsprozess Systemmodelle verwendet, um die Anforderungen und die grobe Struktur des Gesamtsystems darzustellen. Später werden Softwaremodelle verwendet, um die konkrete Softwarearchitektur zu modellieren. Jedes Modell stellt spezifische Entwurfsaspekte mit Hilfe passender Notationen auf einem angemessenen Abstraktionsniveau dar. Wenn jedoch vom Systementwurf zum Softwareentwurf übergegangen wird, müssen die Entwicklungsingenieure sicherstellen, dass alle Entwurfsentscheidungen, die im Systemmodell enthalten sind, korrekt auf das Softwaremodell übertragen werden. Sobald danach auch noch Änderungen auftreten, muss die Konsistenz zwischen den Modellen in einem aufwändigen manuellen Schritt wiederhergestellt werden. In diesem Bericht zeigen wir, wie Modellsynchronisation und Konsistenzregeln zur Automatisierung dieses Arbeitsschrittes verwendet und die Konsistenz zwischen den Modellen sichergestellt werden können. Außerdem stellen wir einen allgemeinen Ansatz zur Modellsynchronisation vor. Neben der reinen Synchronisation umfasst unsere Lösung weiterhin Tool-Adapter, sowie Konsistenzregeln, die sowohl die Teile der Modelle abdecken, die synchronisiert werden können, als auch die restlichen Teile. Der Modellsynchronisationsalgorithmus basiert auf Tripel-Graph-Grammatiken und wird im Detail erläutert. An Hand einer konkreten Transformation zwischen SysML- und AUTOSAR-Modellen, die im Rahmen eines Industrieprojektes entwickelt wurde, wird der Ansatz demonstriert. Im Anhang des Berichts sind alle TGG-Regeln für die SysML-zu-AUTOSAR-Transformation dokumentiert.

Die vorliegende Arbeit behandelt die Modellierung einer Quantenpunkt-LED und die Berechnung des elektrischen Stromes und der Lichtproduktion im Landauer-Büttiker-Formalismus. Die Elektron-Photon-Wechselwirkung kann im Landauer-Büttiker-Formalismus behandelt werden, indem wir annehmen, dass jedes Elektron mit einem separaten Photonenfeld interagiert. Dies erlaubt es uns, ein Elektron zusammen mit seinem Photonenfeld als „einzelnes, nicht wechselwirkendes Teilchen“ im Sinne des Landauer-Büttiker-Formalismusses zu betrachten. Wir entwickeln ein Modell einer QP-LED, dessen Elektron-Photon-Wechselwirkung auf dem Jaynes-Cummings-Modell basiert, das die Interaktion eines Quantenpunkts mit einer Mode des elektromagnetischen Feldes beschreibt. Um auch die Energieverteilung der emittierten Photonen analysieren zu können, schlagen wir ein auf einem Pauli-Fierz-Modell basiertes Modell vor. Anstelle einer einzelnen Mode modelliert es Photonen beliebiger Energie, allerdings beschränken wir uns auf den Unterraum mit maximal einem Photon. Wir beweisen eine abstrakte Landauer-Büttiker-Formel, die für alle relativ nuklearen Streusysteme gilt. Sie ist ähnlich zu dem Ergebnis von Aschbacher et al. (2007), unterscheidet sich aber in der Regularisierung des Stroms. Wir wenden das abstrakte Ergebnis auf die Jaynes-Cummings-QP-LED an. Als Startpunkt für die Berechnung der Streumatrix verallgemeinern wir die Darstellung der Streumatrix durch die Weyl-Funktion eines Randwert-Triplets von Behrndt et al. (2010) vom Fall für Störungen endlichen Ranges auf den Fall relativ nuklearer Störungen. Dies deckt insbesondere den Fall der Jaynes-Cummings-QP-LED ab. Die Resolventendifferenz der Pauli-Fierz-QP-LED ist nicht nuklear, weshalb wir eine verallgemeinerte Landauer-Büttiker-Formel für eine gewisse Klasse von Multiplikationsoperatoren beweisen, die in der Faser nuklear sind. Dieses abstrakte Resultat liefert uns auch für die Pauli-Fierz-QP-LED eine Landauer-Büttiker-Formel. / This thesis treats the modeling of a quantum dot LED and the calculation of the electric current and the light production in the Landauer-Büttiker framework. The electron-photon interaction is fitted into the Landauer-Büttiker framework by assuming that every electron interacts with a separate photon field. It allows us to consider an electron together with its photon field as a ''single non-interacting particle'' in the sense of the Landauer-Büttiker formalism. We develop a model of a QD-LED with an electron-photon interaction that is based on the Jaynes-Cummings model, which describes the interaction of a quantum dot with a single mode of the electromagnetic field. To be able to analyze the energy distribution of the emitted photons, we propose a second model of a QD-LED that is based on a one-dimensional Pauli-Fierz model. It models photons of arbitrary positive energy instead of just a single mode, but we restrict it to the subspace of at most one photon. We prove an abstract Landauer-Büttiker formula that applies to all relatively trace class interactions. It is similar to the result by Aschbacher et al. (2007), but differs in the regularization of the flux. We apply this formula to the Jaynes-Cummings QD-LED. Since knowing of the scattering matrix is essential for explicit calculations with the Landauer-Büttiker formula, we generalize a result by Behrndt et al. (2010) on a representation of the scattering matrix in terms of the Weyl function of a boundary triplet from the finite rank case to relatively trace class perturbations, which covers the case of the Jaynes-Cummings QD-LED. The resolvent difference of the Pauli-Fierz QD-LED is not trace class, whence we prove a generalized Landauer-Büttiker formula for a certain multiplication operators that are trace class in the fiber. This abstract result gives us a Landauer-Büttiker formula also for the Pauli-Fierz QD-LED.

Das Ziel dieser Arbeit ist es die mathematische Theorie der Begriffsalgebren zu entwickeln. Wir betrachten dabei hauptsaechlich das Repraesentationsproblem dieser vor Kurzem eingefuehrten Strukturen. Motiviert durch die Suche nach einer geeigneten Negation sind die Begriffsalgebren entstanden. Sie sind nicht nur fuer die Philosophie oder die Wissensrepraesentation von Interesse, sondern auch fuer andere Felder, wie zum Beispiel Logik oder Linguistik. Das Problem Negationen geeignet einzufuehren, ist sicher eines der aeltesten der wissenschaftlichen oder philosophischen Gemeinschaft und erregt auch zur Zeit die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler. Verschiedene Typen von Logik (die sich sehr stark durch die eigefuehrte Negation unterscheiden) unterstreichen die Wichtigkeit dieser Untersuchungen. In dieser Arbeit beschaeftigen wir uns hauptsaechlich mit der kontextuellen Logik, eine Herangehensweise der Formalen Begriffsanalyse, basierend auf der Idee, den Begriff als Einheit des Denkens aufzufassen. / The aim of this investigation is to develop a mathematical theory of concept algebras. We mainly consider the representation problem for this recently introduced class of structures. Motivated by the search of a "negation" on formal concepts, "concept algebras" are of considerable interest not only in Philosophy or Knowledge Representation, but also in other fields as Logic or Linguistics. The problem of negation is surely one of the oldest problems of the scientific and philosophic community, and still attracts the attention of many researchers. Various types of Logic (defined according to the behaviour of the corresponding negation) can attest this affirmation. In this thesis we focus on "Contextual Logic", a Formal Concept Analysis approach, based on concepts as units of thought.

Das Ziel dieser Arbeit ist es die mathematische Theorie der Begriffsalgebren zu entwickeln. Wir betrachten dabei hauptsaechlich das Repraesentationsproblem dieser vor Kurzem eingefuehrten Strukturen. Motiviert durch die Suche nach einer geeigneten Negation sind die Begriffsalgebren entstanden. Sie sind nicht nur fuer die Philosophie oder die Wissensrepraesentation von Interesse, sondern auch fuer andere Felder, wie zum Beispiel Logik oder Linguistik. Das Problem Negationen geeignet einzufuehren, ist sicher eines der aeltesten der wissenschaftlichen oder philosophischen Gemeinschaft und erregt auch zur Zeit die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler. Verschiedene Typen von Logik (die sich sehr stark durch die eigefuehrte Negation unterscheiden) unterstreichen die Wichtigkeit dieser Untersuchungen. In dieser Arbeit beschaeftigen wir uns hauptsaechlich mit der kontextuellen Logik, eine Herangehensweise der Formalen Begriffsanalyse, basierend auf der Idee, den Begriff als Einheit des Denkens aufzufassen. / The aim of this investigation is to develop a mathematical theory of concept algebras. We mainly consider the representation problem for this recently introduced class of structures. Motivated by the search of a "negation" on formal concepts, "concept algebras" are of considerable interest not only in Philosophy or Knowledge Representation, but also in other fields as Logic or Linguistics. The problem of negation is surely one of the oldest problems of the scientific and philosophic community, and still attracts the attention of many researchers. Various types of Logic (defined according to the behaviour of the corresponding negation) can attest this affirmation. In this thesis we focus on "Contextual Logic", a Formal Concept Analysis approach, based on concepts as units of thought.