In this thesis, we numerically investigate quantum turbulence in trapped atomic Bose-Einstein condensates (BECs). We first discuss the appropriate qualitative characterization of turbulence in these systems, showing the limitation of analogies with classical hydrodynamics and turbulence in large superfluid Helium experiments. Due to their lack of available length scales, our investigated systems can only fit the ultraquantum (or Vinen) type of quantum turbulence. Secondly, we propose experimentally feasible schemes for more controlled investigations of turbulence making use of dynamical instability of multicharged vortices as an onset for complex vortex dynamics. In two dimensions, our suggested scheme allows control over vortex polarization in the harmonically trapped system. This setup is then used to study how turbulence decays in such a scenario, through the phenomenological modeling of a vortex-number rate equation. As a consequence, we were able to identify that vortex annihilation in these trapped systems happens through a four-vortex process. For three dimensions, we have first provided a study on the decay of a quadruply-charged vortex, also in a harmonically trapped BEC. Having this setting as a comparison point, we propose a quasi-isotropic turbulent system, starting from a phase-imprinted initial state of two doubly-charged, anti-parallel vortices. The vortex turbulence arisen from such configuration was shown to agree with the Vinen turbulent regime, after we characterized specific features of its decay, such as the energy spectrum [E(k) ∼ k1] and the time evolution of the vortex-line density [L(t) ∼ t1]. Although these features have been frequently verified in the context of superfluid Helium turbulence, here this identification was for the first time done for realistic, trapped atomic BECs. / Nesta tese, investigamos numericamente a turbulência quântica em condensados de Bose- Einstein (BECs) aprisionados. Discutimos, inicialmente, a caracterização qualitativa apropriada para estes sistemas, mostrando a limitação de analogias tipicamente feitas com hidrodinâmica clássica e turbulência em grandes sistemas com Hélio superfluido. Devido às suas limitadas escalas espaciais, os sistemas investigados somente podem exibir o tipo de turbulência conhecida como ultra-quântica (ou de Vinen). Em seguida, propomos sistemas experimentalmente factíveis que permitem investigações mais controladas da turbulência, fazendo uso da instabilidade dinâmica de vórtices multi-carregados como ponto de partida para geração de dinâmicas complexas. Em duas dimensões, nossa proposta permite controle sobre a polarização de vórtices em sistemas aprisionados em potencial harmônico. Este arranjo é então utilizado no estudo do decaimento da turbulência nesse contexto, através de um modelo fenomenológico para equação que descreve a taxa de variação do número de vórtices. Como consequência, pudemos verificar que a aniquilação de vórtices dá-se através de um processo que envolve quatro vórtices. Em três dimensões, apresentamos um estudo do decaimento de um vórtice de carga topológica quatro, também em potencial harmônico. Mantendo em mente esse sistema a título de comparação, propomos um cenário turbulento, quase-isotrópico, partindo de um estado inicial formado por dois vórtices duplamente carregados, mas orientados anti-paralelamente. Verificamos que a turbulência decorrente desse arranjo coincide com a regime de Vinen analisando características do seu decaimento, especificamente obtendo o espectro de energia [E(k) ∼ k1] e evolução temporal da densidade de linhas de vórtices [L(t) ∼ t1]. Apesar de que essas características são comumente encontradas no contexto de Hélio superfluido, apresentamos pela primeira vez essa identificação no cenário realístico de BEC aprisionados.

Neste trabalho foi realizado um estudo experimental da turbulência e do transporte de partículas e energia induzido por flutuações na borda do plasma do tokamak TBR-1. Para isto, foi utilizado um conjunto de sondas eletrostáticas (incluindo uma sonda tripla de resposta rápida) e magnéticas, especialmente construído para este fim. Técnicas de análise espectral foram aplicadas aos dados e permitiram verificar a influência das flutuações da temperatura nos parâmetros de transporte. Os resultados mostram que o nível relativo das flutuações da temperatura é da ordem de 10% e os da densidade e do potencial variam de ~10 a ~ 30 %. As flutuações eletrostáticas possuem faixas largas de freqüência e números de onda, o que caracteriza a borda do plasma como um meio turbulento. Estas flutuações se propagam no sentido da deriva diamagnética dos íons. A correção das flutuações das grandezas do plasma utilizando as flutuações da temperatura causou mudanças significativas nos transportes de partículas e energia induzidos por flutuações, nas posições mais internas da borda do plasma. O tempo de confinamento de partículas, calculado a partir deste transporte, está na faixa de ~1 a ~ 1,5 ms, que é da mesma ordem do tempo de confinamento obtido por outros métodos, indicando assim que o transporte induzido por flutuações pode ser considerado como o principal processo de perda de partículas na borda do plasma. Utilizando perturbações magnéticas externas, verificamos que a temperatura e a densidade diminuem e há alterações significativas nas características das flutuações eletrostáticas e magnéticas. Os transportes de partículas e de energia também são afetados, diminuindo nas posições mais internas da borda do plasma. Estes efeitos mostram que a borda do plasma torna-se um meio menos turbulento e que estas perturbações são um meio efetivo de controle do transporte nesta região. / In this work we report an experimental study of the turbulence and the particle and energy transport due to fluctuations in the plasma edge of the TBR-1 tokamak. For this study a special set of electrostatic probes (including one fast response triple probe) and magnetic probes have been constructed. The triple probe permitted measurements of temperature fluctuations. Spectral analysis techniques were applied to the data and permitted to verify the influence of temperature fluctuations on the transport parameters. Our results indicate that the relative level of temperature fluctuations is ~ 10 % and the relative levels of density and potential fluctuations are in the range from ~ 10 to ~ 30 %. The electrostatic fluctuations are broadband in frequencies and wave numbers indicating that plasma edge is a turbulent medium. These fluctuations propagate in the ion diamagnetic drift direction. If temperature fluctuations are taken into account, significant modifications in the calculated transport parameters are obtained mainly in the inner positions of plasma edge. The particle confinement time, calculated from the transport corrected by the temperature fluctuations, is in the range from ~ 1 to ~ 1.5 ms. These values are comparable with those calculated by using other methods, indicating that transport induced by fluctuations is the main process of particle loss in the TBR-1 plasma edge. Controlled electrical currents circulating in helical windings were used to produce magnetic perturbations. These perturbations produce a decrease in the plasma mean density and temperature, and a significant alteration in the electrostatic and magnetic fluctuations. The transport parameters are also affected, decreasing at the inner positions of the plasma edge. The effect of these magnetic fields shows that these perturbations are an effective mean to control the transport in this region.

Uma das dificuldades relacionadas com a exploração de petróleo é o transporte de óleo pesado, que devido a sua alta viscosidade, acarreta em uma elevada perda de carga no sistema. Para proporcionar economia de energia aplica-se o método do Core Annular Flow (CAF) onde é utilizado um escoamento anular bifásico em que a água escoa na periferia da tubulação para redução do gasto energético. O presente trabalho visou compreender e reproduzir este fenômeno, desenvolvendo simulações em CFD através do pacote comercial ANSYS FLUENT considerando o escoamento 3D, turbulento, isotérmico e incompressível para casos estacionários e transientes. A interface entre a água e o óleo foi adequadamente reproduzida em diferentes geometrias como tubo reto e com curva. O método LES para simulação de grandes escalas provou ser o melhor método de turbulência dentre os testados, como k-epsilon e modelo de tensores de Reynolds, de forma com que a interface fosse representada corretamente. O modelo para sistema multifásico adotado foi o Volume de Fluido (VOF), comparado com o comportamento experimental e com dados da literatura. Os fenômenos de swirl observados experimentalmente também foram reproduzidos de forma satisfatória. / One of the difficulties related to oil exploration is the transportation of heavy oil, which due to its high viscosity, causes a high pressure drop in the system. In order to provide energy savings, the Core Annular Flow (CAF) method applies where a two-phase annular flow occurs in which water flows at the periphery adjacent to the pipe to reduce energy expenditure. The present work aimed to understand and reproduce this phenomenon, developing CFD simulations through the commercial package ANSYS FLUENT considering flow as 3D, turbulent, isothermal and incompressible for stationary and transient cases. The interface between water and oil has been properly reproduced in different geometries such as straight pipe and pipe with a curve. The LES method for large scale simulation proved to be the best turbulence method among the tested, such as k-epsilon and Reynolds stress model, so that the interface was correctly represented. The model for the multiphase system adopted was the Volume of Fluid (VOF), compared to the experimental behavior and with data from the literature. The experimentally observed swirl phenomena were also reproduced satisfactorily.

In this thesis, we present the generation and studies of a 87Rb Bose-Einstein condensate (BEC) perturbed by an oscillatory excitation. The atoms are trapped in a harmonic magnetic trap where, after an evaporative cooling process, we produce the BEC. In order to study the effect caused by oscillatory excitations, a quadrupole magnetic field time oscillatory is superimposed to the trapping potential. Through this perturbation, collective modes were observed. The dipole mode is excited even for low excitation amplitudes. However, a minimum excitation energy is needed to excite the condensate quadrupole mode. Observing the excited cloud in TOF expansion, we note that for excitation amplitude in which the quadrupole mode is excited, the cloud expands without invert its aspect ratio. By looking these clouds, after long time-of-flight, it was possible to see vortices and, sometimes, a turbulent state in the condensed cloud. We calculated the momentum distribution of the perturbed BECs and a power law behavior, like the law to Kolmogorov turbulence, was observed. Furthermore, we show that using the method that we have developed to calculate the momentum distribution, the distribution curve (including the power law exponent) exhibits a dependence on the quadrupole mode oscillation of the cloud. The randomness distribution of peaks and depletions in density distribution image of an expanded turbulent BEC, remind us to the intensity profile of a speckle light beam. The analogy between matter-wave speckle and light speckle is justified by showing the similarities in the spatial propagation (or time expansion) of the waves. In addition, the second order correlation function is evaluated and the same dependence with distance was observed for the both waves. This creates the possibility to understand the properties of quantum matter in a disordered state. The propagation of a three-dimensional speckle field (as the matter-wave speckle described here) creates an opportunity to investigate the speckle phenomenon existing in dimensions higher than 2D (the case of light speckle). / Nesta tese, descrevemos a produção e os estudos de condensados de Bose-Einstein, em átomos de 87Rb, perturbados através de excitações oscilatórias. Os átomos aprisionados são aprisionados em uma armadilha magnética harmônica onde produzimos o condensado de Bose-Einstein após o processo de resfriamento evaporativo. Com o objetivo de estudar o efeito de excitações oscilatórias, um campo magnético quadrupolar temporalmente oscilanteé superposto ao campo de aprisionamento. Através dessa perturbação, podemos observar a excitação de modos coletivos no condensado. Mesmo para baixas amplitudes de excitação, o modo dipolar é facilmente excitado. Porém, observamos que para excitar o modo quadrupolar no condensado é necessária uma energia mínima. Através da expansão em tempo de voo da nuvem excitada, identificamos que, para amplitude de excitação na quail o modo quadrupolar é excitado, a nuvem expande sem inverter o aspect ratio. Analisando essas nuvens por longos tempos de voo, foi possível observar alguns vórtices e, às vezes, um estado turbulento na nuvem condensada. Calculamos a distribuição de momento dessas nuvens e notamos que ela exibe um comportamento de lei de potência, parecido com a lei de Kolmogorov para turbulência. Além disso, mostramos que pelo nosso método que desenvolvemos para calcular a distribuição de momento, a forma da curva dessa distribuição (inclusive o expoente da lei de potência) exibe uma dependência com o modo quadrupolar de oscilação da nuvem. A distribuição desordenada de picos e depleções, na imagem da distribuição de densidade do condensado turbulento expandido, assemelha-se ao perfil de intensidade de um feixe de luz com speckle. A analogia entre speckle de onda de matéria e de luz é fundamentada através das semelhanças entre a propagação (ou expansão) dessas duas ondas. Além disso, a função de correlação de segunda ordem foi calculada e a mesma dependência com a distância foi observada para as duas ondas. Isto cria a possibilidade de entender melhor as propriedades da matéria quântica em um estado de desordem. A propagação de um campo de speckle tridimensional (como é o caso do speckle de onda de matéria aqui descrito) cria uma oportunidade de investigar o fenômeno de speckle em dimensões maiores que 2D (o caso do speckle de luz).

Em função de recentes desenvolvimentos no processo de cálculo de sistemas térmicos de proteção contra gelo em aerofólios, foi identificada a importância da camada limite transicional para a correta previsão do coeficiente de troca de calor externo. O presente trabalho discute os métodos utilizados na modelagem numérica de turbulência e transição, testa a capacidade de um modelo k-epsilon de baixo Reynolds avaliar corretamente a transição para o escoamento em uma placa plana bidimensional e mostra que o acoplamento de uma função de transporte de intermitência ao modelo de turbulência de duas equações é uma alternativa eficiente para se aumentar a qualidade da previsão da transição calculada. A filtragem pela variável de intermitência atua corrigindo os níveis de turbulência fornecidos pelo modelo de duas equações durante a transição. Entre os atrativos da função de transporte de intermitência estão a simplicidade das condições de contorno e o fato de serem expansíveis para escoamentos tridimensionais. Uma equação de transporte de intermitência é implementada e acoplada com um modelo de duas equações do programa Fluent. O modelo é testado para três níveis de turbulência do escoamento livre. Os resultados obtidos são comparados com experimentos e com aqueles fornecidos pelo modelo original sem modificações. As distribuições do coeficiente de atrito e de fator de forma ao longo da placa com a função de intermitência mostram boa concordância com os valores verificados experimentalmente, apresentando significativa melhora em relação àqueles obtidos com o modelo \\ke\\ baixo Reynolds. / As a result of recent developments in the field of thermal anti-ice protection in airfoils, was ideintified the relevance of accurately modeling the transitional boundary layer in order to predict the external heat transfer coefficient. The present work reviews the existing alternatives to turbulence and transition modeling, tests the ability of a low-Reynolds \\ke\\ model in the evaluation of transition for a bidimensional flat plate and shows that the coupling of an intemittency transport function with a two equation turbulence model improves the prediction of transition. The filtering with the intermittency function acts correcting the turbulence intensity levels provided by the two equation model during transition. The simple boundary conditions and the expandability to tridimensional flows are other important characteristics of the intermittency functions. An intermittency transport equation is implemented and tested with a two equation turbulence model of the software Fluent. The model is tested for three freestream turbulence levels and the results are compared with experiments and with those obtained with the original model without modifications. The heat transfer coefficient and boundary layer shape factor evolution calculated with the coupled intermittency transport function show good agreement with experiments, improving the quality of the results of the original model.

Circuitos de convecção natural ou sistemas de circulação natural são empregados em diversas áreas da engenharia. Reatores nucleares refrigerados a água utilizam circuitos de circulação natural como método passivo de seguranca. Em situações críticas, sem qualquer controle externo, o sistema permanece em segurança por suas próprias características de funcionamento (intrinsecamente seguro). O trabalho proposto consiste em estudar numericamente o circuito de circulação natural de água, localizado no Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares / Comissão Nacional de Energia Nuclear em São Paulo, por meio do uso de modelos matemáticos, objetivando determinar o padrão do escoamento em condições sem mudança de fase líquido-vapor. A comparação dos resultados de temperatura obtidos por cada um dos modelos de turbulência aos pontos instrumentados no circuito experimental, na condição transitória, revelou desvios significativos nas respostas do modelo de zero equação. Desvios intermediário foram observados nos modelos de transporte da viscosidade turbulenta (EVTE), k - ω, SST e SSG e resultados melhores foram vericados nos modelos k - ε e DES (com significativa superioridade do primeiro modelo). / Natural circulation loops apply to many engineering applications such as: water heating solar energy system (thermo-siphons), thermal management of electrical components (voltage converter), geothermal energy, nuclear reactors, etc. In pressurized water nuclear reactors, known as PWR\'s, the natural circulation loops are employed to ensure passive safety. In critical situations, the heat transfer will occur only by natural convection, without any external control or mechanical devices. This feature is desired and has been considered in modern nuclear reactor projects. This work consists of a numerical study of the natural circulation loop, located at the Instituto de Pesquisas Energeticas e Nucleares / Comissão Nacional de Energia Nuclear in São Paulo, Brazil, in order to establish the ow pattern in single phase conditions. The comparison of numerical results to experiments in transient condition revealed significant deviations for the Zero Equation turbulence model. Intermediate deviations for the Eddy Viscosity Turbulence Equation (EVTE), k - ω, SST e SSG models. And the best results are obtained by the k - ε e DES models (with better results for the k - ε model).

Submitted by Cátia Araújo (catia.araujo@unipampa.edu.br) on 2017-09-29T12:46:00Z No. of bitstreams: 1 Eduardo Stüker - 2017.pdf: 7313484 bytes, checksum: 62b33528c60c5929fa82fa9096afeeee (MD5) / Approved for entry into archive by Marlucy Farias Medeiros (marlucy.farias@unipampa.edu.br) on 2017-09-29T16:25:01Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Eduardo Stüker - 2017.pdf: 7313484 bytes, checksum: 62b33528c60c5929fa82fa9096afeeee (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-29T16:25:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Eduardo Stüker - 2017.pdf: 7313484 bytes, checksum: 62b33528c60c5929fa82fa9096afeeee (MD5) Previous issue date: 2017-08-18 / Este trabalho tem por objetivo principal analisar a influência de um parque eólico sobre as variáveis que controlam o escoamento atmosférico na camada limite atmosférica. O período simulado foi todo o ano de 2008, utilizando duas configurações diferentes: sem parque eólico (simplesmente o modelo Weather Research and Forecasting (WRF)) e o com parque eólico (o modelo WRF com o módulo Fitch, que parametriza a influência de aerogeradores no escoamento atmosférico), ambas utilizando a parametrização de camada limite (PCL) Yonsei-University (YSU). A partir da simulação sem parque eólico é feita a validação do modelo, utilizando dados observacionais coletados em duas estações automáticas do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), os municípios de Alegrete-RS e Quaraí-RS. Os índices de correlação para as estações de Alegrete-RS e Quarai-RS foram de aproximadamente 80% a 85%, respectivamente. Porém, essa análise, também mostrou uma tendência de o WRF superestimar os dados observados. O parque eólico idealizado nesse trabalho possui 100 aerogeradores de 3 MW de potência com 120 m de altura e com rotor medindo 125 m de diâmetro. Os resultados indicam que e o parque geraria, no ano de 2008, 89; 1 MWh de energia elétrica, com um fator de capacidade (FC) de 29; 7%. A partir da comparação entre os resultados das simulações com as duas configurações, a influência da presença do parque eólico sobre o comportamento das variáveis que controlam o escoamento médio na atmosfera é analisado. Apesar da velocidade do vento responder de maneira adequada, a temperatura e a turbulência do escoamento próximo à superfície diminuem, apesar da parametrização utilizada para as turbinas eólicas transformar parte da energia mecânica, parte em energia na forma de calor e parte em turbulência. Uma análise da dependência da turbulência próximo à superfície, com a estabilidade vertical do escoamento indica que a turbulência que está sendo gerada pelas turbinas não está chegando até a superfície. Esse problema pode estar diretamente relacionado com a parametrização de camada limite escolhido. / The main objective of this work is to analyze the influence of a wind farm on the variables that control the atmospheric flow in the atmospheric boundary layer (ABL). The period simulated was the whole year of 2008, by using two different configurations: without wind farm (simply Weather Research and Forecasting (WRF) model) and with a wind farm (the WRF model with the module Fitch, which parameterizes the influence of the wind turbines in the atmospheric flow), both of them using the boundary layer module (PBL-module) Yonsei-University (YSU). From the simulations without the wind farm the model validation is done, with the observed data collected in two automatic stations of Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), in Alegrete-RS e Quaraí-RS. The correlation ratio for the stations of Alegrete-RS and Quarai-Rs was, approximately, 80% a 85%, respectively. However, this analysis, also showed a tendency in the model overestimation of the observed data. The idealized wind farm, in this work, has 100 wind turbines of 3 MW of power with 120 m of height and with rotor measuring 125 m of diameter. The results show that the wind farm would generate, in 2008, 89; 1 MWh of electric energy, with a capacity factor of 29; 7%. From the comparison between the results of the simulations with both configurations, the influence of the presence of the wind farm over the behavior of the variables that control the mean flow in the atmosphere is analyzed. In spite of adequate answer of the wind velocity, the temperature and the turbulence of the flow decreases in the presence of the wind farm, although the parametrization for the wind turbines to change part of the mechanical energy of the flow part in heat and in part in turbulence. An analysis of the dependence of the turbulence, near the ground, with the vertical stability of the flow indicates that the turbulence generate by turbines does not arrive in the low levels of the atmosphere. This problem can be directly caused by the PBL-module chosen.

Este trabalho investiga o escoamento turbulento no entorno da interface entre um meio limpo e um meio poroso, com a finalidade de ajustar as condições de contorno de salto de tensão cisalhante e de fluxo difusivo de energia cinética de turbulência, usada na abordagem macroscópica. Como modelo para o meio poroso, são consideradas várias geometrias compostas de hastes de formas diversas (haste cilíndrica, haste elíptica longitudinal e haste elíptica transversal). O comportamento das propriedades do escoamento em função da morfologia da estrutura porosa é analisado. As equações que governam o escoamento são numericamente resolvidas na fase líquida ao redor das hastes sólidas. O método numérico empregado para a discretização das equações é o método dos volumes finitos com arranjo co-localizado num sistema de coordenadas generalizadas. O algoritmo PISO é usado para correção do campo de pressão. Após a obtenção destes resultados, denominado resultados distribuídos, foi utilizado o conceito de média volumétrica, em uma célula de cálculo para transferir os resultados distribuídos do domínio "microscópico" para o domínio macroscópico - denominado resultados integrados. A partir do ajuste de curva dos valores pontuais de velocidade e energia cinética de turbulência no meio poroso e no meio limpo, foram estimados os coeficientes de salto de tensão, ß e de salto de fluxo difusivo de energia cinética, ßk. A metodologia de integração desenvolvida para obtenção dos coeficientes de salto, além de preservar a maioria das informações do escoamento distribuído, resulta em valores fisicamente coerentes de tensão e de fluxo difusivo de energia cinética. Para os casos analisados, os valores do coeficiente de salto de tensão, ß, que melhor acomodam a transferência de quantidade de movimento na interface são, ß=1,4824, para escoamento laminar, e ß=0,6536, para escoamento turbulento, evidenciando a dependência do coeficiente de salto ao regime de escoamento. Além disso, é apresentado o coeficiente de salto de fluxo difusivo de energia cinética de turbulência modificado, ß#c=1,6244, que ajusta a troca de fluxo difusivo de (K)v entre as camadas de fluido acima e abaixo da interface, independentemente dos valores de porosidade, fc, analisados.

A computer code was developed from scratch to simulate the flow over the NACA 0012 airfoil at different Reynolds and Mach numbers. The domain was discretized in a structured-grid context. The equations were numerically solved by a finite-volume technique, using three different time-marching schemes. The Euler flow was initially modeled as well as a Reynolds-averaged Navier Stokes formulation was calculated. The Baldwin and Lomax turbulence model was employed to close the problem. The influence of a number of numerical parameters upon the computational solutions was investigated in the first phase of the work. The inviscid simulations were compared with other numerical results available in the literature. Each modification is thoroughly described and compared to the base-line case. Conclusions were drawn regarding how each of these chances affected the final result. The last Euler simulation was done using the Jameson, MacCormack and the Shu schemes in order to select the most appropriate one of the three to be employed to solve the Reynolds-averaged Navier Stokes equations. The viscous flow simulations started with the incompressible, laminar flow over a flat plate. The implementation of the viscous terms was validated calculating and comparing the results with the known Blasius analytical solution. Finally, the compressible, turbulent viscous flow over the NACA 0012 airfoil was numerically solved. The pressure coefficient distribution along the airfoil chord and the normal force coefficient were compared with experimental data due to Harris.

The literature has documented proposals for macroscopic energy equation modeling for porous media considering the local thermal equilibrium hypothesis and laminar flow. In addition, a two-energy equation model has been proposed for conduction and laminar convection in packed beds. With the aim of contributing to new developments, this work treats turbulent heat transport modeling in porous media under the local thermal non-equilibrium assumption. Macroscopic time-average equations for continuity, momentum and energy are presented based on the recently established double decomposition concept (spatial deviations and temporal fluctuations of flow properties). Interfacial heat transfer coefficients are numerically determined for an infinite medium over which the fully developed flow condition prevails. The numerical technique employed for discretizing the governing equations is the control volume method. Laminar and turbulent flow results for the macroscopic heat transfer coefficient, between the fluid and solid phase in a periodic cell, are presented. Furthermore, fully developed forced convection in a porous channel bounded by parallel plates is considered based on a two-energy equation model. In conclusion, solutions for temperature profile and Nusselt number are obtained and presented for laminar and turbulent flows.