On dispose de deux notions de positivité pour les (1,1)-classes de cohomologies d'une variété complexe: l'effectivité numérique, induite par la positivité au sens de Lelong des formes différentielles, et la pseudoeffectivité, plus faible, induite par celle des courants. Dans une première partie, nous construisons des obstructions locales à l'effectivité numérique d'une classe pseudoeffective, ce qui permet de la décomposer en une partie nef en codimension un et un diviseur exceptionnel. Dans un second temps, nous nous intéressons au volume d'un fibré en droites, qui est un invariant mesurant sa positivité. Nous en donnons une interprétation en terme de géométrie différentielle, et nous montrons comment ce volume s'inscrit dans une théorie de l'``intersection mobile'', qui ne conserve que les parties numériquement effectives des classes de cohomologie. Finalement, nous étudions le cas des surfaces et des variétés hyperkähleriennes, pour lesquelles la géométrie de la forme d'intersection permet une description plus détaillée de ces constructions.

On s'intéresse aux groupes de cohomologie à support de faisceaux sur des variétés algébriques. On étudie surtout, pour des fibrés en droites sur des variétés où opère un groupe réductif $G$, la cohomologie à support dans certaines sous-variétés invariantes par l'action d'un sous-groupe de Borel de $G$. On obtient ainsi des représentations de l'algèbre de Lie de $G$ que l'on analyse : on en donne des filtrations dont le gradué associé fait apparaître des ``modules de Verma généralisés''. Grâce au complexe de Grothendieck-Cousin, cette étude permet de retrouver le théorème de Borel-Weil-Bott sur les variétés de drapeaux et aussi de déterminer tous les groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les compactifications $G \times G-$équivariantes de $G$ (en particulier sur les compactifications magnifiques). Cela généralise la description bien connue des groupes de cohomologie des fibrés en droites sur les variétés toriques complètes.

Dans cette thèse, on s'intéresse, sous deux aspects différents, à la cohomologie des variétés de Griffiths-Schmid attachées à une forme anisotrope du groupe SU(2,2). Ces variétés ont l'avantage, au contraire des variétés de Shimura, de parfois faire apparaître dans leur cohomologie des limites dégénérées de séries discrètes. La première partie étudie ce phénomène dans le cas des limites totalement dégénérées. On prouve que les classes attachées à ces représentations peuvent s'exprimer comme cup-produits d'autres classes attachées à des séries discrètes. La seconde partie étudie les liens entre deux différentes variétés de Griffiths-Schmid obtenues à partir de deux structures complexes. L'une est celle considérée dans la première partie, et l'autre est fibrée holomorphiquement sur une variété de Shimura. On prouve l'existence d'une application bijective entre certains espaces de cohomologie, en s'appuyant sur une interprétation en termes de fonctions holomorphes de la cohomologie de Dolbeault. Ce résultat est généralisé dans l'annexe aux cas des groupes SU(n,n) et SU(n+1,n).

La conjecture d'André-Pink affirme qu'une sous-variété d'une variété de Shimura ayant une intersection dense avec une orbite de Hecke est faiblement spéciale. On démontre cette conjecture dans le cas de courbes dans une variété de Shimura de type abélien, ainsi que dans certains cas de sous-variétés de dimension supérieure. Ceci est un cas spécial de la conjecture de Zilber-Pink. C'est une généralisation de théorèmes d'Edixhoven et Yafaev quand l'orbite de Hecke se compose de points spéciaux, de Pink quand l'orbite de Hecke se compose de points Galois génériques, et de Habegger et Pila quand la variété de Shimura est un produit de courbes modulaires. Notre démonstration de la conjecture d'André-Pink pour les courbes dans l'espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées est basée sur la méthode de Pila et Zannier, utilisant une variante forte du théorème de comptage de Pila-Wilkie. On obtient les bornes galoisiennes requises grâce au théorème d'isogénie de Masser et Wüstholz. Afin de relier les bornes sur les isogénies aux hauteurs, on démontre également diverses bornes concernant l'arithmétique des formes hermitiennes sur l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne. Afin d'étendre le résultat sur la conjecture d'André-Pink aux courbes dans les variétés de Shimura de type abélien et à certains cas de sous-variétés de dimension supérieure, on étudie les propriétés fonctorielles de plusieurs variantes des orbites de Hecke. Un chapitre concerne les rangs des groupes de Mumford-Tate de variétés abéliennes complexes. On y démontre une minoration de ces rangs en fonction de la dimension de la variété abélienne, étant donné que ses sous-variétés abéliennes simples sont deux à deux non isogènes.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle. / Blasius and Rogawski have stated a conjecture saying that the action of the Frobenius element on the cohomology of a Shimura variety is annihilated by some polynomial with coefficients in the Hecke algebra. This is the analogue of the Eichler-Shimura congruence relation for the modular curve. In this thesis, we prove this conjecture for Shimura varieties associated to unitary groups in signature (n-1,1) when n is odd. We also investigate some particular aspects in the case n=3. We explicitely show the congruence relation on the ordinary locus. Further, we study the graph of supersingular Dieudonné crystals and liftings of isogenies to characteristic zero.

Le but de cette thèse est de construire de nouvelles variétés algébriques complexes de Fano et à canonique triviale dans les espaces homogènes et d'analyser leur géométrie. On commence en construisant les variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes dans les grassmanniennes généralisées. On donne une complète classification en dimension 4. On prouve que les uniques variétés de dimension 4 hyper-Kahleriennes ainsi construites sont les exemples de Beauville-Donagi et Debarre-Voisin. Le même résultat vaut dans les grassmanniennes ordinaires en toute dimension quand le fibré est irréductible. Ensuite on utilise les lieux de dégénérescence orbitaux (ODL), qui généralisent les lieux de dégénérescence classiques, pour construire d'autres variétés. On rappelle les propriétés basiques des ODL, qu'on définit à partir d'une adhérence d'orbite. On construit trois schémas de Hilbert de deux points sur une K3 comme ODL, et beaucoup d'autres exemples de variétés de Calabi-Yau et de Fano. Puis on étudie les adhérences d'orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4; ceci nous permet de construire davantage de variétés spéciales comme ODL. Pour finir, on analyse les grassmanniennes bisymplectiques, qui sont des Fano particulières. Elles admettent l'action d'un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie leurs petites déformations. Ensuite, on étudie la cohomologie (équivariante) des grassmanniennes symplectiques, qui est utile pour mieux comprendre la cohomologie des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail un cas explicite en dimension 6. / The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. In the first part we construct special varieties as zero loci of homogeneous bundles inside generalized Grassmannians. We give a complete classification for varieties of small dimension when the bundle is completely reducible. Thus, we prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kahler are the examples of Beauville-Donagi and Debarre-Voisin. The same holds in ordinary Grassmannians when the bundle is irreducible in any dimension. In the second part we use orbital degeneracy loci (ODL), which are a generalization of classical degeneracy loci, to construct new varieties. ODL are constructed from a model, which is usually an orbit closure inside a representation. We recall the fundamental properties of ODL. As an illustration of the construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as ODL, and many examples of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n, D_4; this allows us to construct some special varieties as ODL.Finally we focus on a particular class of Fano varieties, namely bisymplectic Grassmannians. These varieties admit the action of a torus with a finite number of fixed points. We find the dimension of their moduli space. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better that of bisymplectic ones. We analyze in detail the case of dimension 6.

Mes recherches se situent à l'interface de la géométrie Riemannienne et des géométries de contact et symplectique et portent sur la construction des métriques Kähler ou Sasakie-Einstein, sur l'étude des systèmes Hamiltonians conformes, la géométrie des fibrés cosphériques et les groupoïdes de Lie propres. Le thème principal de cette thèse est l'étude des applications des symétries Lie en géométrie différentielle et systèmes dynamiques. Le premier chapitre de cette thèse étudie la réduction singulière des symétries du fibré cosphérique, les propriétés conservatives des systèmes de contact et leurs réduction. Le fibré cosphérique d'une variété différentiable $M$ (dénoté par $S^*(M)$) est le quotient de son fibré cotangent sans la section nulle par rapport à l'action par multiplication de $\RR^+$ qui couvre l'identité sur $M$. C'est une variété de contact qui détient en géométrie de contact la position analogue du fibré cotangent en géométrie symplectique. En utilisant une métrique Riemannienne sur $M$, on peut identifier $S^*(M)$ avec son fibré tangent unitaire et son champ de Reeb avec le champ géodésique de $M$. Si $M$ est munie de l'action propre d'un groupe de Lie $G$, le relèvement de cette action à $S^*(M)$ respecte la structure de contact et admet une application moment équivariante $J$. Nous étudions les propriétés topologiques et géométriques de l'espace réduit à moment zéro de $S^*(M)$, i.e. $\left(S^*(M)\right)_0 :=J^{-1}(0)/G$. Ainsi, nous généralisons les résultats de \cite{dragulete--ornea--ratiu} au cas singulier. Appliquant la théorie générale de réduction de contact, théorie dévéloppée par Lerman et Willett dans \cite{lerman--willett} et \cite{willett}, on obtient des espaces qui perdent toute information sur la structure interne du fibré cosphérique. En plus, la projection du fibré cosphérique sur sa base descend à une surjection continue de $\left(S^*(M)\right)_0$ à $M/G$, mais qui n'est pas un morphisme d'espaces stratifiés si on munit l'espace réduit avec sa stratification de contact et l'espace de base avec la stratification standarde de type orbitale définie par l'action du groupe de Lie. Compte tenu des théorèmes de réduction du fibré cotangent (cas régulier et singulier) et du fibré cosphérique ( cas régulier), on s'attend à ce que les strates de contact aient une structure fibrée additionnelle. Pour résoudre ces problèmes, nous introduisons une nouvelle stratification de $\left(S^*(M)\right)_0$, nommée la \emph{stratification C-L} (les deux majuscules symbolisent la nature coisotrope ou Legendréenne de leurs strates). Elle est compatible avec la stratification de contact de $\left(S^*(M)\right)_0$ et la stratification de type orbital de $M/G$. Aussi, elle est plus fine que la stratification de contact et rend la projection de $\left(S^*(M)\right)_0$ sur $M/G$ un morphism d'espaces stratifiés. Chaque strate C-L est un fibré sur une strate de type orbital de $M/G$ et elle peut être vue comme une union de strates C-L, une d'entre elles étant ouverte et dense dans la strate de contact correspondante et difféomorphe à un fibré cosphérique. Ainsi, nous avons identifié les strates maximales munies de structure de fibrés cosférique. Les autres strates sont des sous-variétés coisotropes ou Legendre dans les composantes de contact qui les contiennent. Par conséquant nous faison une analyse géométrique et topologique complète de l'espace réduit. Nous analysons aussi le comportement de la projection sur $\left(S^*(M)\right)_0$ du flot de Reeb (flot géodésique). L'ensemble de champs de vecteurs de contact (les analogues des champs de vecteurs Hamiltonians en géométrie symplectique) forment le "groupe de Lie" de l'algèbre des transformations de contact. Dans le premier chapitre nous présentons aussi la réduction des systèmes de contact (qui, localement, sont en correspondence bijective avec les équations non-autonomes de Hamilton-Jacobi) et les systèmes Hamiltonians dépendants de temps. Dans le deuxième chapitre nous étudions les propriétés géométriques des quotients de variétés Sasaki et Kähler. Nous construisons une procédure de réduction pour les variétés symplectiques et Kähler (munies de symétries générées par un groupe de Lie) qui utilise les préimages rayon de l'application moment. Précisémmant, au lieu de considérer comme dans la réduction de Marsden-Weinstein (ponctuelle) la préimage d'une valeur moment $\mu$, nous utilisons la préimage de $\RR^+\mu$, le rayon positif de $\mu$. Nous avons trois motivations pour développer cette construction. Une est géométrique: la construction des espaces réduits de variétés Kähler correspondant á un moment non nulle qui soient canoniques dans le sense que la structure Kähler réduite est la projection de la structure Kähler initiale. La réduction ponctuelle (Marsden-Weinstein) donnée par $M_\mu:=J^{-1}(\mu)/G_\mu$ où $\mu$ est une valeur de l'application moment $J$ et $G_\mu$ est le sous-groupe d'isotropie de $\mu$ par rapport à l'action coadjointe de $G$ n'est pas toujours bien définie dans le cas Kähler (si $G\neq G_\mu$). Le problème est causé par le fait que la structure complexe de $M$ ne préserve pas la distribution horizontale de la submersion Riemannienne qui projète $J^{-1}(\mu)$ sur $M_\mu$. La solution proposée dans la litterature utilise l'espace réduit à moment zéro de la difference symplectique de $M$ avec l'orbite coadjointe de $\mu$ munie d'une forme Kähler-Einstein unique (construite par exemple dans \cite{besse}, Chapitre $8$) et différente de la forme de Kostant-Kirillov-Souriau. L'unicité de la forme sur l'orbite coadjointe garantit un espace réduit bien défini. Par contre, ne plus utiliser la forme de Kostant-Kirillov-Souriau entraîne le fait que l'espace réduit n'est plus canonique. L'espace réduit rayon que nous construisons est canonique et peut être défini pour tout moment. Il est le quotient de $J^{-1}(\RR^+\mu)$ par rapport à un certain sous-groupe normal de $G_\mu$. La deuxième raison est une application à l'étude des systèmes Hamiltonians conformes (voir \cite{mclachlan--perlmutter}). Ce sont des systèmes mécaniques non-autonomes, avec friction dont les courves intégrales préservent, dans le cas des symétries, les préimages rayons de l'application moment. Nous extendons la notion de champ Hamiltonian conforme, en montrant qu'on peut ainsi inclure dans cet étude de nouveaux systèmes mécaniques. également, nous présentons la réduction de systèmes Hamiltonians conformes. La troisième raison consiste à trouver des conditions necéssaires et suffisantes pour que les espaces réduits (rayons) des variétés Kähler (Sasakian)-Einstein soient aussi Kähler (Sasakian)-Einstein. Nous nous occupons de cela dans le deuxième chapitre de la thèse, dans \cite{dragulete--ornea} et dans \cite{dragulete--doi} où nous utilisons des techniques de A. Futaki. Ainsi, nous pouvons construire de nouvelles structures de Sasaki-Einstein. Comme exemples de réductions rayon symplectic (Kähler) et contact (Sasaki) nous traitons le cas des fibrés cotangent et cosphérique. Nous montrons qu'ils sont des espaces universels pour la réduction rayon. Des exemples d'actions toriques sur des sphères sont aussi décrits. Le troisième chapitre de cette thèse traite l'étude de l'espace des orbites d'un groupoïde propre. Dans \cite{weinstein--unu}, \cite{weinstein--doi} A. Weinstein a partiellement résolu le problème de la linéarisation des groupoïdes propres. En \cite{zung}, N. T. Zung l'a achevé en démontrant un théorème de type Bochner pour les groupoïdes propres. Nous prouvons un théorème de stratification de l'espace d'orbites d'un groupoïde propre en utilisant des idées de la théorie des foliations et le théorème de "slice" (linéarisation) de Weinstein et Zung. Nous montrons explicitement que le feuilletage orbital d'un groupoïde propre est un feuilletage Riemannien singulier dans le sense de Molino. Pour cela nous avons deux motivations. D'un côté nous voulons montrer qu'il y ait une équivalence entre groupoïdes propres et "orbispaces" (des espaces qui sont localement des quotiens par rapport à l'action d'un groupe de Lie compact) et d'un autre nous voulons étudier la réduction des actions infinitésimales (actions d'algèbres de Lie) qui ne sont pas intégrables à l'action d'un groupe de Lie. Ces actions et leur intégrabilité ont été étudiées, entre autres, par Palais (\cite{palais}), Michor, Alekseevsky.

La conjecture d'André-Pink affirme qu'une sous-variété d'une variété de Shimura ayant une intersection dense avec une orbite de Hecke est faiblement spéciale. On démontre cette conjecture dans le cas de courbes dans une variété de Shimura de type abélien, ainsi que dans certains cas de sous-variétés de dimension supérieure. Ceci est un cas spécial de la conjecture de Zilber-Pink. C'est une généralisation de théorèmes d'Edixhoven et Yafaev quand l'orbite de Hecke se compose de points spéciaux, de Pink quand l'orbite de Hecke se compose de points Galois génériques, et de Habegger et Pila quand la variété de Shimura est un produit de courbes modulaires. Notre démonstration de la conjecture d'André-Pink pour les courbes dans l'espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées est basée sur la méthode de Pila et Zannier, utilisant une variante forte du théorème de comptage de Pila-Wilkie. On obtient les bornes galoisiennes requises grâce au théorème d'isogénie de Masser et Wüstholz. Afin de relier les bornes sur les isogénies aux hauteurs, on démontre également diverses bornes concernant l'arithmétique des formes hermitiennes sur l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne. Afin d'étendre le résultat sur la conjecture d'André-Pink aux courbes dans les variétés de Shimura de type abélien et à certains cas de sous-variétés de dimension supérieure, on étudie les propriétés fonctorielles de plusieurs variantes des orbites de Hecke. Un chapitre concerne les rangs des groupes de Mumford-Tate de variétés abéliennes complexes. On y démontre une minoration de ces rangs en fonction de la dimension de la variété abélienne, étant donné que ses sous-variétés abéliennes simples sont deux à deux non isogènes. / The André-Pink conjecture predicts that a subvariety of a Shimura variety which has dense intersection with a Hecke orbit is weakly special. We prove this conjecture for curves in a Shimura variety of abelian type, as well as for certain cases for subvarieties of higher dimension. This is a special case of the Zilber-Pink conjecture. It generalises theorems of Edixhoven and Yafaev when the Hecke orbit consists of special points, of Pink when the Hecke orbit consists of Galois generic points, and of Habegger and Pila when the Shimura variety is a product of modular curves. Our proof of the André-Pink conjecture for curves in the moduli space of principally polarised abelian varieties is based on the Pila-Zannier method, using a strong form of the Pila-Wilkie counting theorem. The necessary Galois bounds are obtained from the Masser-Wüstholz isogeny theorem. In order to relate isogeny bounds to heights, we also prove various bounds concerning the arithmetic of Hermitian forms over the endomorphism ring of an abelian variety. In order to extend the result on the André-Pink conjecture to curves in Shimura varieties of abelian type and to some cases of higher-dimensional subvarieties, we study the functorial properties of Hecke orbits and variations thereof. One chapter concerns the ranks of Mumford-Tate groups of complex abelian varieties. We prove a lower bound for these ranks in terms of the dimension of the abelian variety, subject to the condition that the simple abelian subvarieties are pairwise non-isogenous.