Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini.

Notre thèse porte sur le rôle du marquage aspectuel dans le marquage de la simultanéité d'évènements en arabe tunisien L1, en français L1 et en français L2 par des apprenants tunisiens à travers différents stades acquisitionnels. Nous examinons la manière dont les marqueurs explicites de l'aspect en déroulement qa:'id et "en train de" en arabe tunisien et en français respectivement, sont employés pour exprimer cette relation temporelle, en concurrence avec les formes, la forme verbale préfixée en arabe tunisien et le présent de l'indicatif en français. Nous utilisons une tâche verbale complexe de récits d'évènements simultanés, qui partagent un intervalle sur l'axe du temps, basée sur huit vidéos qui présentent deux situations se déroulant en parallèle. Deux types de simultanéité sont exploités : La simultanéité parfaite (quand les deux situations sont parallèles) et l'emboîtement (quand une situation est cadrée par une autre situation). Nos informateurs en français et en arabe tunisien ont deux profiles, très scolarisés et très peu ou pas du tout scolarisés. Nous montrons que la réponse des informateurs à la tâche ainsi que leur emploi des marqueurs de l'aspect en déroulement pour exprimer la simultanéité varient selon leurs profiles. Nous expliquons la différence observée entre les deux groupes par le développement de leurs habitudes de répondre aux tâches. Ceci est une compétence qui est particulièrement acquise avec la scolarisation. Nous remarquons qu'en général, l'emploi de qa:'id et de "en train de" est moins fréquent que celui des formes simples. Cependant, qa:'id ainsi que "en train de" jouent un rôle discursif, au delà du niveau de la proposition. Nous postulons que malgré les similarités entre les deux langues en ce qui concerne le marquage de l'aspect en déroulement, notamment, la présence de marqueurs lexicaux, pas complètement grammaticalisés qui coexistent avec des formes non marquées, la manière dont ils s'emploient dans le discours d'évènements simultanés montre des différences importantes. Nous expliquons que "en train de" joue un rôle plus contrastif que qa:'id et que son emploi dans le discours obéit à des règles plus strictes. En ce qui concerne l'emboîtement, il décrit un évènement globalisant qui encadre le deuxième. Dans le cas d'évènements parfaitement simultanés, et quand "en train de" et présent de l'indicatif sont utilisés, la proposition contenant "en train de" précède généralement celle qui contient la proposition avec présent de l'indicatif. qa:id n'obéit pas à une telle règle et peut être employé avant ou après la forme simple. L'analyse contrastive du français L1 et L2 révèle que l'utilisation des apprenants des marqueurs de l'aspect en déroulement dévie de celle des francophones natifs. Ils généralisent l'emploi de "en train de" et appliquent des règles différentes quant à l'interaction entre les différentes formes marquées et non marquées dans le discours. Les apprenants ne maîtrisent pas son rôle dans le discours même à des stades acquisitionnels très avancés, malgré son possible émergence dans les variétés basique et intermédiaire. Nous concluons que l'emploi du marqueur "en train de" par des francophones natifs implique la maitrise de son rôle au niveau discursif. Ce rôle n'étant pas facilement accessible de l'input peut représenter une vraie difficulté pour les apprenants dans l'acquisition de la périphrase.

Cette thèse de doctorat est consacrée à la cohomologie cyclique périodique des produits croisés généralisés. Ces derniers sont des C*-algèbres construites à partir d'un bimodule hilbertien. Notre étude s'organise en deux axes complémentaires : un résultat général valable pour les produits croisés généralisés lisses à croissance modérée et un résultat spécifique aux variétés de Heisenberg quantiques. Dans un premier temps, nous introduisons une classe de " versions lisses " des produits croisés généralisés, que nous appelons " produits croisés généralisés lisses à croissance modérée ". Notre premier résultat est que sur ces algèbres, les foncteurs k-stables, invariants sous difféotopie et semi-exacts (comme la cohomologie cyclique périodique) donnent naissance à un hexagone exact analogue à la suite de Pimsner-Voiculescu. Pour prouver cette propriété, nous nous appuierons sur les travaux de Cuntz et tout particulièrement sur la notion de contexte de Morita. Dans un second temps, nous illustrons cette construction en l'appliquant aux variétés de Heisenberg quantiques (QHM). En tirant profit de l'action du groupe de Heisenberg H3 sur les QHM, nous construisons des représentants explicites de la K-théorie et de la cohomologie cyclique. Nous pouvons alors effectuer des calculs explicites d'appariements de Chern-Connes. En combinant ces calculs avec la suite exacte à 6 termes de la première partie, nous construisons des bases explicites de la cohomologie cyclique périodique des QHM. Notre second résultat est donc une description relativement complète et totalement explicite de la K-théorie et de la cohomologie cyclique périodique des QHM.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la hauteur sur les variétés abéliennes, et plus précisément à la répartition des petits points dans les sous-variétés algébriques de variétés abéliennes. On a cherché à établir une version quantitative de la propriété de Bogomolov en minorant le minimum essentiel des sous-variétés algébriques de variétés abéliennes (sauf celles incluses dans un translaté de sous-variété abélienne stricte).

Cette thèse s'intéresse à la recherche de points rationnels sur les courbes elliptiques. Darmon et Logan ont proposé une construction conjecturale de points rationnels sur des courbes elliptiques modulaires définies sur un corps de nombres totalement réel. Cette construction va au delà de la construction classique des points de Heegner. C'est sur la généralisation de ces travaux que porte cette thèse. Après un premier chapitre de rappels concernant essentiellement les variétés de Shimura, on construit, dans le chapitre deux une forme différentielle dont l'ensemble des périodes est, sous une conjecture due à Yoshida, un réseau. On y définit aussi un ensemble de cycles dont la classe d'homologie est de torsion. A l'aide de ces données, on énonce au chapitre suivant une conjecture généralisant celle de Darmon et Logan. On s'interesse aussi aux propriétés de ces nouveaux points, principalement en lien avec les théorèmes "classiques" de Gross-Zagier et Gross-Kohnen-Zagier. Le chapitre 4 tente de rendre holomorphes les opérations du chapitre 2, et le chapitre 5 de les rendre plus explicites. Cette thèse comporte une annexe concernant les vérifications informatiques de la conjecture de Darmon.

Le logarithme discret sur les courbes elliptiques fournit la panoplie standard de la cryptographie à clé publique: chiffrement asymétrique, signature, authentification. Son extension à des courbes hyperelliptiques de genre supérieur se heurte à la difficulté de construire de telles courbes qui soient sécurisées. Dans cette thèse nous utilisons la théorie des fonctions thêta développée par \name{Mumford} pour construire des algorithmes efficaces pour manipuler les variétés abéliennes. En particulier nous donnons une généralisation complète des formules de Vélu sur les courbes elliptiques pour le calcul d'isogénie sur des variétés abéliennes. Nous donnons également un nouvel algorithme pour le calcul efficace de couplage sur les variétés abéliennes en utilisant les coordonnées thêta. Enfin, nous présentons une méthode de compression des coordonnées pour améliorer l'arithmétique sur les coordonnées thêta de grand niveau. Ces applications découlent d'une analyse fine des formules d'addition sur les fonctions thêta. Si les résultats de cette thèse sont valables pour toute variété abélienne, pour les applications nous nous concentrons surtout sur les Jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre~$2$, qui est le cas le plus significatif cryptographiquement.

Dans cette thèse, on étudie comment la positivité du fibré tangent d'une variété projective complexe infl uence la géométrie de la variété sous-jacente. Dans la première partie, on étudie les variétés (principalement les surfaces) dont le fibré tangent est pseudo-effectif. Dans la deuxième partie on montre que pour un entier strictement positif p, si la puissance tensorielle p-ème du fibré tangent d'une variété projective contient la puissance p-ème d'un fibré en droites ample, alors la variété est isomorphe à un espace projectif ou à une quadrique.

Nous définissons deux nouvelles versions de l'homologie de Floer, l'homologie de Floer-Novikov et l'homologie de Floer relevée. Nous les appliquons pour obtenir de nouveaux résultats sur la conjecture d'Arnold concernant sous-variétés lagrangiennes exactes du fibré cotagent et sur la conjecture d'Audin qui porte sur le nombre de Maslov d'une sous-variété lagrangienne asphérique de l'espace euclidien.

Cette thèse a pour objet d'étudier l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. Nous construisons d'abord une solution formelle à coefficients polynomiaux. Ensuite, nous donnons une approximation asymptotique des coefficients de la solution formelle. Ces estimations nous permettent d'obtenir une quasi-solution c'est à dire une fonction qui vérifie l'équation aux différences avec une erreur exponentiellement petite, puis de déterminer le comportement asymptotique de la distance entre les deux variétés. Pour conclure, nous démontrons qu'une constante alpha dans le terme dominant de la distance entre les variétés n'est pas nulle et nous donnons une approximation précise de cette constante. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation (Application standard). Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al., mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente. Ce cas est plus difficile que le précédent parce qu'il s'agit d'une équation du second ordre.

Cette thèse est centrée sur l'étude des disques analytiques attachés à une sous-variété. <br /><br />Dans une première partie, nous obtenons une paramétrisation explicite d'une famille particulière de disques holomorphes attachés à différents types d'hypersurfaces réelles non-dégénérée de $\C^n$. Ces disques sont invariants sous l'action des biholomorphismes. Nous utilisons cette paramétrisation pour construire une représentation circulaire de l'hypersurface, ce qui donne également des propriétés d'unicité pour les biholomorphismes.<br /><br />Dans une seconde partie, nous considérons les applications pseudo-holomorphes propres entre domaines bornés strictement pseudoconvexes de variétés presque complexes. Nous montrons qu'une telle application se prolonge au bord. Nous établissons le lien entre la régularité hölderienne de l'application au bord et la régularité des structures presque complexes, et nous donnons des estimations explicites des normes hölderiennes.