Wir betrachten Optimalsteuerungsprobleme, die von partiellen Differentialgleichungen beziehungsweise Variationsungleichungen mit Differentialoperatoren erster Ordnung abhängen. Wir führen die Reformulierung eines Tagebauplanungsproblems, das auf stetigen Funktionen beruht, ein. Das Resultat ist ein Optimalsteuerungsproblem für Viskositätslösungen einer Eikonalgleichung. Die Existenz von Lösungen dieses und bestimmter Hilfsprobleme, die von semilinearen PDG‘s mit künstlicher Viskosität abhängen, wird bewiesen, Stationaritätsbedingungen hergeleitet und ein schwaches Konsistenzresultat für stationäre Punkte präsentiert. Des Weiteren betrachten wir Optimalsteuerungsprobleme, die von stationären Variationsungleichungen erster Art mit linearen Differentialoperatoren erster Ordnung abhängen. Wir diskutieren Lösbarkeit und Stationaritätskonzepte für diese Probleme. Für letzteres vergleichen wir Ergebnisse, die entweder durch die Anwendung von Penalisierungs- und Regularisierungsansätzen direkt auf Ebene von Differentialoperatoren erster Ordnung oder als Grenzwertprozess von Stationaritätssystemen für viskositätsregularisierte Optimalsteuerungsprobleme unter passenden Annahmen erhalten werden. Um die Konsistenz von ursprünglichem und regularisierten Problemen zu sichern, wird ein bekanntes Ergebnis für Lösungen von VU’s mit degeneriertem Differentialoperator erweitert. In beiden Fällen ist die erhaltene Stationarität schwächer als W-stationarität. Die theoretischen Ergebnisse werden anhand numerischer Beispiele verifiziert. Wir erweitern diese Ergebnisse auf Optimalsteuerungsprobleme bezüglich zeitabhängiger VU’s mit Differentialoperatoren erster Ordnung. Hierfür wird die Existenz von Lösungen bewiesen und erneut ein Stationaritätssystem mit Hilfe verschwindender Viskositäten unter bestimmten Beschränktheitsannahmen hergeleitet. Die erhaltenen Ergebnisse werden anhand von numerischen Beispielen verifiziert. / We consider problems of optimal control subject to partial differential equations and variational inequality problems with first order differential operators. We introduce a reformulation of an open pit mine planning problem that is based on continuous functions. The resulting formulation is a problem of optimal control subject to viscosity solutions of a partial differential equation of Eikonal Type. The existence of solutions to this problem and auxiliary problems of optimal control subject to regularized, semilinear PDE’s with artificial viscosity is proven. For the latter a first order optimality condition is established and a mild consistency result for the stationary points is proven. Further we study certain problems of optimal control subject to time-independent variational inequalities of the first kind with linear first order differential operators. We discuss solvability and stationarity concepts for such problems. In the latter case, we compare the results obtained by either utilizing penalization-regularization strategies directly on the first order level or considering the limit of systems for viscosity-regularized problems under suitable assumptions. To guarantee the consistency of the original and viscosity-regularized problems of optimal control, we extend known results for solutions to variational inequalities with degenerated differential operators. In both cases, the resulting stationarity concepts are weaker than W-stationarity. We validate the theoretical findings by numerical experiments for several examples. Finally, we extend the results from the time-independent to the case of problems of optimal control subject to VI’s with linear first order differential operators that are time-dependent. After establishing the existence of solutions to the problem of optimal control, a stationarity system is derived by a vanishing viscosity approach under certain boundedness assumptions and the theoretical findings are validated by numerical experiments.

Effiziente und zuverlässige a posteriori Fehlerabschätzungen sind eine Hauptzutat für die effiziente numerische Berechnung von Lösungen zu Variationsungleichungen durch die Finite-Elemente-Methode. Die vorliegende Arbeit untersucht zuverlässige und effiziente Fehlerabschätzungen für beliebige Finite-Elemente-Methoden und drei Variationsungleichungen, nämlich dem Hindernisproblem, dem Signorini Problem und dem Bingham Problem in zwei Raumdimensionen. Die Fehlerabschätzungen hängen vom zum Problem gehörenden Lagrange Multiplikator ab, der eine Verbindung zwischen der Variationsungleichung und dem zugehörigen linearen Problem darstellt. Effizienz und Zuverlässigkeit werden bezüglich eines totalen Fehlers gezeigt. Die Fehleranschätzungen fordern minimale Regularität. Die Approximation der exakten Lösung erfüllt die Dirichlet Randbedingungen und die Approximation des Lagrange Multiplikators ist nicht-positiv im Falle des Hindernis- und Signoriniproblems, und hat Betrag kleiner gleich 1 für das Bingham Problem. Dieses allgemeine Vorgehen ermöglicht das Einbinden nicht-exakter diskreter Lösungen, welche im Kontext dieser Ungleichungen auftreten. Aus dem Blickwinkel der Anwendungen ist Effizienz und Zuverlässigkeit im Bezug auf den Fehler der primalen Variablen in der Energienorm von großem Interesse. Solche Abschätzungen hängen von der Wahl eines effizienten diskreten Lagrange Multiplikators ab. Im Falle des Hindernis- und Signorini Problems werden postive Beispiele für drei Finite-Elemente Methoden, der konformen Courant Methode, der nicht-konformen Crouzeix-Raviart Methode und der gemischten Raviart-Thomas Methode niedrigster Ordnung hergeleitet. Partielle Resultate liegen im Fall des Bingham Problems vor. Numerischer Experimente heben die theoretischen Ergebnisse hervor und zeigen Effizienz und Zuverlässigkeit. Die numerischen Tests legen nahe, dass der aus den Abschätzungen resultierende adaptive Algorithmus mit optimaler Konvergenzrate konvergiert. / Efficient and reliable a posteriori error estimates are a key ingredient for the efficient numerical computation of solutions for variational inequalities by the finite element method. This thesis studies such reliable and efficient error estimates for arbitrary finite element methods and three representative variational inequalities, namely the obstacle problem, the Signorini problem, and the Bingham problem in two space dimensions. The error estimates rely on a problem connected Lagrange multiplier, which presents a connection between the variational inequality and the corresponding linear problem. Reliability and efficiency are shown with respect to some total error. Reliability and efficiency are shown under minimal regularity assumptions. The approximation to the exact solution satisfies the Dirichlet boundary conditions, and an approximation of the Lagrange multiplier is non-positive in the case of the obstacle and Signorini problem and has an absolute value smaller than 1 for the Bingham flow problem. These general assumptions allow for reliable and efficient a posteriori error analysis even in the presence of inexact solve, which naturally occurs in the context of variational inequalities. From the point of view of the applications, reliability and efficiency with respect to the error of the primal variable in the energy norm is of great interest. Such estimates depend on the efficient design of a discrete Lagrange multiplier. Affirmative examples of discrete Lagrange multipliers are presented for the obstacle and Signorini problem and three different first-order finite element methods, namely the conforming Courant, the non-conforming Crouzeix-Raviart, and the mixed Raviart-Thomas FEM. Partial results exist for the Bingham flow problem. Numerical experiments highlight the theoretical results, and show efficiency and reliability. The numerical tests suggest that the resulting adaptive algorithms converge with optimal convergence rates.

Zusammenfassung Diese Arbeit ist ein Versuch, verschiedene klassische und neuere Methodender glatten bzw. nichtglatten Optimierung zu verallgemeinern und in ihrem Zusammenhang darzustellen. Als Hauptinstrument erweist sich dabei die sogenannte verallgemeinerte Kojima-Funktion. Neben reichlichen Beispielen setzen wir einen besonderen Akzent auf die Betrachtung von Variationsungleichungen, Komplementaritaetsaufgaben und der Standartaufgabeder mathematischen Programmierung. Unter natuerlichen Voraussetzungen an diese Probleme kann man u.a. Barriere-, Straf- und SQP-Typ-Methoden, die auf Newton-Verfahrenbasieren, aber auch Modelle, die sogenannte NCP-Funktionen benutzen, mittelsspezieller Stoerungen der Kojima-Funktion exakt modellieren. Daneben werdendurch explizite und natuerliche Wahl der Stoerungsparameter auch neue Methoden dieser Arten vorgeschlagen. Die Vorteile solcher Modellierungsind ueberzeugend vor allem wegen der direkt moeglichen (auf Stabilitaetseigenschaften der Kojima-Gleichung beruhendenden)Loesungsabschaetzungen und weil die entsprechenden Nullstellen ziemlich einfach als Loesungen bekannter Ersatzprobleme interpretiert werden koennen. Ein weiterer Aspekt der Arbeit besteht in der genaueren Untersuchungder "nichtglatten Faelle". Hier wird die Theorie von verschiedenen verallgemeinerten Ableitungen und dadurch entstehenden verallgemeinerten Newton-Verfahren, die im Buch "Nonsmooth Equations in Optimization" von B. Kummer und D. Klatte vorgeschlagen und untersucht wurde, intensiv benutzt. Entscheidend ist dabei, dass die benutzten verallgemeinerten Ableitungen auch praktisch angewandt werden koennen, da man sie exakt ausrechnen kann. / This work attempts to generalize various classical and new methods of smooth or nonsmooth optimization and to show them in their interrelation. The main tool for doing this is the so-called generalized Kojima-function. In addition to numerous examples we specialy emphasize the consideration of variational inequalities, complementarity problems and the standard problem of mathematical programming. Under natural assumptions on these problems we can model e.g. barrier-, penalty-, and SQP-Type-methods basing on Newton methods, and also methods using the so-called NCP-function exactly by means of special perturbations of the Kojima-function. Furthermore, by the explicit and natural choice of the perturbation parameters new methods of these kinds are introduced. The benefit of such a modelling is obvious, first of all due to the direct solution estimation (basing on stability properties of the Kojima-equation) and because the corresponding zeros can easily be interpreted as solutions of known subproblems. A further aspect considered in this paper is the detailed investigation of "nonsmooth cases". The theory of various generalized derivatives and resulting generalized Newton methods, which is introduced and investigated in the book "Nonsmooth Equations in Optimization" of B. Kummer and D. Klatte, is intensely used here. The crucial point is the applicability of the used generalized derivatives in practice, since they can be calculated exactly.

Diese Arbeit behandelt garantierte Fehlerkontrolle für elliptische partielle Differentialgleichungen anhand des Poisson-Modellproblems, des Stokes-Problems und des Hindernisproblems. Hierzu werden garantierte obere Schranken für den Energiefehler zwischen exakter Lösung und diskreten Finite-Elemente-Approximationen erster Ordnung entwickelt. Ein verallgemeinerter Ansatz drückt den Energiefehler durch Dualnormen eines oder mehrerer Residuen aus. Hinzu kommen berechenbare Zusatzterme, wie Oszillationen der gegebenen Daten, mit expliziten Konstanten. Für die Abschätzung der Dualnormen der Residuen existieren viele verschiedene Techniken. Diese Arbeit beschäftigt sich vorrangig mit Equilibrierungsschätzern, basierend auf Raviart-Thomas-Elementen, welche effiziente garantierte obere Schranken ermöglichen. Diese Schätzer werden mit einem Postprocessing-Verfahren kombiniert, das deren Effizienz mit geringem zusätzlichen Rechenaufwand deutlich verbessert. Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden erzeugen zusätzlich ein Inkonsistenzresiduum, dessen Dualnorm mit Hilfe diverser konformer Approximationen abgeschätzt wird. Ein Nebenaspekt der Arbeit betrifft den expliziten residuen-basierten Fehlerschätzer, der für gewöhnlich optimale und leicht zu berechnende Verfeinerungsindikatoren für das adaptive Netzdesign liefert, aber nur schlechte garantierte obere Schranken. Eine neue Variante, die auf den equilibrierten Flüssen des Luce-Wohlmuth-Fehlerschätzers basiert, führt zu stark verbesserten Zuverlässigkeitskonstanten. Eine Vielzahl numerischer Experimente vergleicht alle implementierten Fehlerschätzer und zeigt, dass effiziente und garantierte Fehlerkontrolle in allen vorliegenden Modellproblemen möglich ist. Insbesondere zeigt ein Modellproblem, wie die Fehlerschätzer erweitert werden können, um auch auf Gebieten mit gekrümmten Rändern garantierte obere Schranken zu liefern. / This thesis studies guaranteed error control for elliptic partial differential equations on the basis of the Poisson model problem, the Stokes equations and the obstacle problem. The error control derives guaranteed upper bounds for the energy error between the exact solution and different finite element discretisations, namely conforming and nonconforming first-order approximations. The unified approach expresses the energy error by dual norms of one or more residuals plus computable extra terms, such as oscillations of the given data, with explicit constants. There exist various techniques for the estimation of the dual norms of such residuals. This thesis focuses on equilibration error estimators based on Raviart-Thomas finite elements, which permit efficient guaranteed upper bounds. The proposed postprocessing in this thesis considerably increases their efficiency at almost no additional computational costs. Nonconforming finite element methods also give rise to a nonconsistency residual that permits alternative treatment by conforming interpolations. A side aspect concerns the explicit residual-based error estimator that usually yields cheap and optimal refinement indicators for adaptive mesh refinement but not very sharp guaranteed upper bounds. A novel variant of the residual-based error estimator, based on the Luce-Wohlmuth equilibration design, leads to highly improved reliability constants. A large number of numerical experiments compares all implemented error estimators and provides evidence that efficient and guaranteed error control in the energy norm is indeed possible in all model problems under consideration. Particularly, one model problem demonstrates how to extend the error estimators for guaranteed error control on domains with curved boundary.

Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) treten in einer Vielzahl mathematischer Modelle auf, welche komplexe Equilibrium-artige Phänomene aus den Natur- oder Sozialwissenschaften beschreiben. Obgleich ihrer vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in Bereichen wie der Biologie, Kontinuumsmechanik, Physik, Geologie und Ökonomie sind Ergebnisse zur allgemeinen theoretischen und algorithmischen Lösung von QVIs in der Literatur eher rar gesät – insbesondere im unendlich-dimensionalen Kontext. Zentraler Gegenstand dieser Dissertation sind elliptische QVIs vom Hindernis-Typ mit einer zusätzlichen Volumen-Nebenbedingung, die durch ein vereinfachtes Modell eines nachgiebigen Hindernisses aus der Biomedizin motiviert werden. Aussagen zur Existenz von Lösungen werden durch die Charakterisierung der QVI als eine Fixpunkt Gleichung ermöglicht. Zur Lösung der betrachteten QVI selbst wird im Allgemeinen auf eine sequentielle Minimierungsmethode zurückgegriffen und eine Folge von Minimierungs- oder Variationsproblemen vom Hindernis-Typ betrachtet. In diesem Sinne ist für die numerische Behandlung der QVI die effiziente Lösung der auftretenden sequentiellen Probleme maßgeblich. Bei der Entwicklung geeigneter Lösungsmethoden wird insbesondere den Aspekten gitterunabhängige Verfahren sowie adaptive Diskretisierung des kontinuierlichen Problems mittels Finiter Elemente Rechnung getragen: Nach Anwendung der sequentiellen Minimierungsmethode auf die QVI werden die Hindernisprobleme durch eine Folge von Moreau–Yosida-regularisierten Problemen approximiert und anschliessend mit der nichtglatten (semismooth) Newton Methode und einer Pfadverfolgungsstrategie hinsichtlich des Yosida-Parameters gelöst. Die numerische Lösung erfolgt mittels einer adaptiver Finite Elemente Methode (AFEM), wobei die lokale Gitterverfeinerung auf a posteriori Residuen-basierten Schätzern des Approximierungsfehlers beruht. Numerische Experimente schließen die Arbeit ab. / Quasi-variational inequalities (QVIs) are used to describe complex equilibrium-type phenomena in many models in the natural and social sciences. Despite the abundance of different applications of QVIs—e.g., in biology, continuum mechanics, physics, geology, economics—there is only scarce literature on general theoretical and algorithmic approaches to solve problems involving QVIs particularly in infinite dimensions. This thesis focuses on elliptic obstacle-type QVIs with an additional volume constraint that are motivated by the simplified model of a compliant obstacle-type situation stemming from biomedicine. The first part of the thesis establishes existence of solutions to this type of QVIs under different sets of assumptions upon converting the problem to a fixed point equation. Unless the compliant obstacle map exhibits differentiability properties—in which case the problem can be regularised and solved directly in function space—the QVI can only be solved using a sequential variational or minimisation technique that leads to a sequence of obstacle-type problems. The ensuing parts of the thesis cover the efficient (numerical) solution of the emerging sequential problems where a major focus is on the aspects of mesh-independent performance of the solution method and the adaptive discretisation of the continuous problem based on finite elements. The obstacle-type problems resulting from using the sequential minimisation technique on the QVI are solved resorting to Moreau–Yosida-based approximation along with a semismooth Newton solver and a path-following regime for the sake of mesh-independence, which is subject of the second part. The corresponding discretised problems are solved with an adaptive finite element method (AFEM) that uses a posteriori residual-based error estimation techniques for Moreau–Yosida-based approximations of obstacle-type problems, the latter which are explored in the third part. The thesis concludes with numerical experiments.