Das Thema dieser Arbeit ist die spektraltheoretische Untersuchung von zufälligen Operatoren, die zu einem minimal ergodischen bzw. strikt ergodischen Delone dynamischen System assoziiert sind. Es werden kontinuierliche sowie diskrete Modelle untersucht. Diese Modelle sind mathematische Modelle zur Beschreibung von Festkörpern, bei denen die Punkte der einzelnen, in einem Delone dynamischen System enthaltenen, Delone-Mengen die Atompositionen eines Festkörpers beschreiben. Delone-Mengen, die in einem minimal ergodischen Delone dynamischen System enthalten sind weisen eine sehr hohe Ordnungsstruktur auf, sind aber nicht notwendigerweise periodisch. Sie können daher zur Modellierung von Quasikristallen verwendet werden. In dieser Arbeit wird das Spektrum der assoziierten Operatoren im kontinuierlichen sowie im diskreten Fall untersucht.

Es wird Anderson-Lokalisierung und starke dynamische Lokalisierung für Quantengraphen mit Gitterstruktur mit Multiskalenanalyse bewiesen. Für eine weitere Klasse von Quantengraphen wird eine lineare Wegner-Abschätzung gezeigt, woraus die Lipschitz-Stetigkeit der integrierten Zustandsdichte folgt.

Es wird Anderson-Lokalisierung und starke dynamische Lokalisierung für Quantengraphen mit Gitterstruktur mit Multiskalenanalyse bewiesen. Für eine weitere Klasse von Quantengraphen wird eine lineare Wegner-Abschätzung gezeigt, woraus die Lipschitz-Stetigkeit der integrierten Zustandsdichte folgt.

Untersucht werden instationäre Wärmeleitprobleme mit gemischen Randbedingungen 2. und 3. Art. Die Probleme weisen als stochastische Einflussgröße einen zufälligen Wärmeleitkoeffizienten auf. Aus einer Ortsdiskretisierung nach dem Vorbild der Methode der finiten Elemente (FEM) geht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit zufälliger Systemmatrix hervor. Unter der Annahme kleiner stochastischer Schwankungen lässt sich die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe als Entwicklung bezüglich eines Störungsparameters darstellen. Dies ermöglicht die genäherte Berechnung von Erwartungswert- und Korrelationsfunktion der approximativen Lösung des ursprünglichen Randanfangswertproblems. Konkrete Berechnungen werden für ein eindimesionales Wärmeleitproblem angegeben, wobei der Wärmeleitkoeffizient als zufällige Funktion sowie als Zufallsgröße modelliert wird.

Ein metrischer Graph mit einem selbstadjungierten, negativen Laplace-Operator wird Quantengraph genannt. In dieser Arbeit werden Transporteigenschaften zufälliger Laplace-Operatoren betrachtet. Dazu wird die Multiskalenanalyse (MSA) von euklidischen Räumen auf metrische Graphen angepasst. Eine Überdeckung der metrischen Graphen wird aus gleichmäßig polynomiellem Wachstum und der gleichmäßigen Beschränkung der Kantenlängen gewonnen. Als Hilfsmittel für die MSA werden eine Combes-Thomas-Abschätzung und eine Geometrische Resolventenungleichung bewiesen. Zusammen mit einer Wegner-Abschätzung und der Existenz von verallgemeinerten Eigenfunktionen wird mittels der modifizierten MSA spektrale Lokalisierung (d.h. reines Punktspektrum) mit polynomiell fallenden Eigenfunktionen am unteren Rand des Spektrums für negative Laplace-Operatoren mit zufälligem Potential geschlossen. Dabei sind alle Randbedingungen, die eine nach unten beschränkten Operator liefern, wählbar. / We prove spectral localization for infinite metric graphs with a self-adjoint Laplace operator and a random potential. Therefor we adapt the multiscale analysis (MSA) from the euclidean case to metric graphs. In the MSA a covering of the graph is needed which is obtained from a uniform polynomial growth of the graph. The geometric restrictions of the graph contain a uniform bound on the edge lengths. As boundary conditions we allow all settings which give a lower bounded self-adjoint operator with an associated quadratic form. The result is spectral localization (i.e. pure point spectrum) with polynomially decaying eigenfunctions in a small interval at the ground state energy.

Das Thema dieser Arbeit ist die spektraltheoretische Untersuchung von zufälligen Operatoren, die zu einem minimal ergodischen bzw. strikt ergodischen Delone dynamischen System assoziiert sind. Es werden kontinuierliche sowie diskrete Modelle untersucht. Diese Modelle sind mathematische Modelle zur Beschreibung von Festkörpern, bei denen die Punkte der einzelnen, in einem Delone dynamischen System enthaltenen, Delone-Mengen die Atompositionen eines Festkörpers beschreiben. Delone-Mengen, die in einem minimal ergodischen Delone dynamischen System enthalten sind weisen eine sehr hohe Ordnungsstruktur auf, sind aber nicht notwendigerweise periodisch. Sie können daher zur Modellierung von Quasikristallen verwendet werden. In dieser Arbeit wird das Spektrum der assoziierten Operatoren im kontinuierlichen sowie im diskreten Fall untersucht.

Es wird Anderson-Lokalisierung und starke dynamische Lokalisierung für Quantengraphen mit Gitterstruktur mit Multiskalenanalyse bewiesen. Für eine weitere Klasse von Quantengraphen wird eine lineare Wegner-Abschätzung gezeigt, woraus die Lipschitz-Stetigkeit der integrierten Zustandsdichte folgt.

Es wird Anderson-Lokalisierung und starke dynamische Lokalisierung für Quantengraphen mit Gitterstruktur mit Multiskalenanalyse bewiesen. Für eine weitere Klasse von Quantengraphen wird eine lineare Wegner-Abschätzung gezeigt, woraus die Lipschitz-Stetigkeit der integrierten Zustandsdichte folgt.

Untersucht werden instationäre Wärmeleitprobleme mit gemischen Randbedingungen 2. und 3. Art. Die Probleme weisen als stochastische Einflussgröße einen zufälligen Wärmeleitkoeffizienten auf. Aus einer Ortsdiskretisierung nach dem Vorbild der Methode der finiten Elemente (FEM) geht ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit zufälliger Systemmatrix hervor. Unter der Annahme kleiner stochastischer Schwankungen lässt sich die Lösung der zugehörigen Anfangswertaufgabe als Entwicklung bezüglich eines Störungsparameters darstellen. Dies ermöglicht die genäherte Berechnung von Erwartungswert- und Korrelationsfunktion der approximativen Lösung des ursprünglichen Randanfangswertproblems. Konkrete Berechnungen werden für ein eindimesionales Wärmeleitproblem angegeben, wobei der Wärmeleitkoeffizient als zufällige Funktion sowie als Zufallsgröße modelliert wird.

This thesis is divided into a theoretical part, aimed at developing statements around the newly introduced concept of pattern morphisms, and a practical part, where we present use cases of pattern structures. A first insight of our work clarifies the facts on projections of pattern structures. We discovered that a projection of a pattern structure does not always lead again to a pattern structure. A solution to this problem, and one of the most important points of this thesis, is the introduction of pattern morphisms in Chapter4. Pattern morphisms make it possible to describe relationships between pattern structures, and thus enable a deeper understanding of pattern structures in general. They also provide the means to describe projections of pattern structures that lead to pattern structures again. In Chapter5 and Chapter6, we looked at the impact of morphisms between pattern structures on concept lattices and on their representations and thus clarified the theoretical background of existing research in this field. The application part reveals that random forests can be described through pattern structures, which constitutes another central achievement of our work. In order to demonstrate the practical relevance of our findings, we included a use case where this finding is used to build an algorithm that solves a real world classification problem of red wines. The prediction accuracy of the random forest is better, but the high interpretability makes our algorithm valuable. Another approach to the red wine classification problem is presented in Chapter 8, where, starting from an elementary pattern structure, we built a classification model that yielded good results.