This thesis is concerned with stochastic heat equation with memory and nonlinear energy supply. The main motivation to study such systems comes from Thermodynamics, see [85]. The main objective of this work is to study the existence and uniqueness of solutions to such equations and to investigate some fundamental properties of solutions like continuous dependence on initial conditions. In our approach we follow the seminal papers by Da Prato and Clement [10], where the stochastic heat equation with memory is tranformed into an integral equation in a function space and the so-called mild solutions are studied. In the aforementioned papers only linear equations with additive noise were investigated. The main contribution of this work is the extension of this approach to nonlinear equations. Our main tools are the theory of stochastic convolutions as developed in [33] and the theory of resolvent kernels for deterministic linear heat equations with memory, see[10]. Since the solution at time t depends on the whole history of the process up to time t, the resolvent kernel does not define a semigroup of operators in the state space of the process and therefore a ???standard??? theory of stochastic evolution equations as presented in the monograph [33] does not apply. A more delicate analysis of the resolvent kernles and the associated stochastic convolutions is needed. We will describe now content of this thesis in more detail. Introductory Chapters 1 and 2 collect some basic and essentially well known facts about the Wiener process, stochastic integrals, stochastic convolutions and integral kernels. However, some results in Chapter 2 dealing with stochastic convolution with respect to non-homogenous Wiener process are extensions of the existing theory. The main results of this thesis are presented in Chapters 3 and 4. In Chapter 3 we prove the existence and uniqueness of solutions to heat equations with additive noise and either Lipschitz or dissipative nonlinearities. In both cases we prove the continuous dependence of solutions on initial conditions. In Chapter 4 we prove the existence and uniqueness of solutions and continuous dependence on initial conditions for equations with multiplicative noise. The diffusion coefficients defined by unbounded operators are allowed.

Thesis (M.Sc. (Applied Mathematics))--North-West University, Potchefstroom Campus, 2009.

M.Sc. (Mathematics) / Please refer to full text to view abstract.

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Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d’une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d’algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n’est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d’algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés. / In this thesis we present the formalization of three principal results that are the Jordan normal form of a matrix, the Bolzano-Weierstraß theorem, and the Perron-Frobenius theorem. To formalize the Jordan normal form, we introduce many concepts of linear algebra like block diagonal matrices, companion matrices, invariant factors, ... The formalization of Bolzano-Weierstraß theorem needs to develop some theory about topological space and metric space. The Perron-Frobenius theorem is not completly formalized. The proof of this theorem uses both algebraic and topological results. We will show how we reuse the previous results.

Cette thèse doctorale prétend contribuer, premièrement, à soumettre à discussioncette interprétation dominante de la pensée philosophique et scientifique du PèreMinime Marin Mersenne (1588-1648), étant portée et structurée par la question duscepticisme, et deuxièmement, à mettre en avant la manière dont cette philosophieincarne l’esprit de la révolution scientifique du XVIIe siècle par sa capacité de se mettreen question dans sa recherche insatiable de la vérité; une recherche accompagnée d’unsouci de conservation de l’ordre politique et religieux. L’hypothèse principale de notretravail consiste à affirmer une profonde transformation dans la conception de la musique: transformation qui mène d’une science quadriviale et subalterne aux mathématiques,exigeant la soumission au jugement de la raison dans la pratique, à une science physiqueet mathématique, dont la recherche se fonde sur de nombreuses expériences,reconnaissant l’individualité de l’expérience esthétique, la liberté de l’imagination descompositeurs et le caractère ineffable du sublime musical. Il s’agit d’une transformationqui n’est pas exempte de difficultés, car elle ne conduit pas simplement à affirmerl’existence de deux périodes dans la pensée de Mersenne. En effet, il exprime ses doutessur la pertinence de l’approche spéculative lorsqu’il discute avec ses correspondants surla réforme musicale proposée à l’imitation des anciens et ne cesse de rappeler laperfection des rapports numériques des consonances lorsqu’il est prêt à les mettre enquestion en acceptant et en cherchant les fondements de la pratique de l’accordage desinstruments. Or, malgré cette complexité (voire ces contradictions) nous jugeons et nousprétendons montrer que cette transformation est indéniable et que l’épistémologie duMinime doit être analysée à la lumière des problématiques et de nouvelles expériencesscientifiques auxquelles il est confronté et non comme une manière de donner réponseaux arguments du scepticisme. / This PhD dissertation provides a critical perspective of the dominantinterpretation of the scientific and philosophical works of Father Marin Mersenne(1588-1648) entirely structured by the sceptical question. The development of his ideasabout music embodies the spirit of the scientific revolution which emerges in theseventeenth-century. His investigation has the capacity to put his methods into questionwith an insatiable quest for the truth; a quest that involves political and religiousconcerns. The aim of this study is to show a profound transformation in the conceptionof music. This transformation that leads from a science of the quadrivium (subordinateto mathematics and claiming superiority of the judgement of reason) to a physical andmathematical science grounded on experience that recognizes the individuality of theesthetic experience, the liberty of the imagination of the composers and the ineffabilityof the sublime. It is quite difficult however to identify the existence of two differentstages in Mersenne’s thought. It is surprising how he expresses doubts about therelevance of the speculative approach to music whereas a musical reform is proposed inhis apologetic writings, having as a model the perfection of proportions of consonancesand rhythmic combinations well known by the ancients. And also, when he accepts thepractice of musical temperament, challenging the observation of the mathematicalperfection, he will continue to remind the proportions underlying the consonances.Despite this complexity (even these contradictions) we consider and pretend to showthat this transformation is undeniable and that the Mersenne epistemology must beanalysed according to the scientific questions and experiences which he faces in hisinvestigations and not as a response to a sceptical crisis.

Le platonisme mathématique, la thèse selon laquelle les mathématiques portent sur des objets abstraits existant de manière indépendante à notre esprit et notre langage, est un des sujets les plus débattues dans la philosophie des mathématiques. L’image des mathématiques qui s’en dégage est souvent perçue comme se heurtant à des problèmes épistémologiques considérables : si il est vrai que les mathématiques sont une science qui porte sur des objets en dehors de l’espace et du temps, comment nous, des êtres situés spatio-temporellement, pouvons avoir une quelconque connaissance mathématique ? En conséquence, la défense du platonisme et le débat sur l’ontologie des mathématiques se sont largement concentrées sur cette dimension épistémologique. Dans ce travail de thèse, nous essaierons de réitérer le rôle de la métaphysique et de la pratique des mathématiques dans le débat sur l’ontologie des objets mathématiques. Notre objectif principal est plus particulièrement le développement et l’application d’un programme métaphysique général, capable de rendre compte des aspects ontologiques des mathématiques qui sont propres à une interprétation platoniste des mathématiques. Pour ce faire, notre stratégie consiste à insister tout d’abord sur le besoin de clarification des thèses platonistes concernant la nature abstraite des objets mathématiques et l’indépendance de ces objets et à essayer d’étendre la portée du platonisme au-delà des concepts et théories mathématiques habituelles. / Mathematical platonism is the idea according to which mathematics is about a domain of abstract objects, existing independently of our though and language. It is one of the central subjects in philosophy of mathematics, and is often considered to face important epistemological problems. If, as the platonist thinks, mathematics really are a science of objects outside of space and time, then how is mathematical knowledge even possible? As a consequence of the epistemological problem, the debate has focused mainly around the epistemological dimension of platonism. In this study however, we will try to move away from epistemology and restate the role of metaphysics and mathematical practice in the ontological debate on mathematical objects. Our main objective will be to develop and apply a general metaphysical program in order to explain the ontological aspects of a platonist interpretation of mathematics. In order to do this, it will be necessary to clarify the abstract nature of mathematical objects and the ontological independence of these entities, and to extend the scope of platonism beyond the usual concepts and mathematical theories.

Dans cette thèse, nous cherchons à introduire un cadre d’étude des problèmes de mathématiques financières qui prennent en compte l’incertitude du modèle. Cette incertitude sera spécifiée par une famille de probabilités martingales qui n’est pas, à priori, supposée dominée (c’est-à-dire que ces mesures ne sont pas équivalentes à une probabilité de référence, ni même absolument continues). La première partie est consacrée à la présentation du cadre d’étude et de ses propriétés. La seconde partie traite de l’étude du problème de maximisation de l’utilité de la valeur terminale d’un portefeuille, en considérant ce cadre d’étude. La troisième et la quatrième partie sont dédiées à la définition et aux propriétés des mesures de risque dans notre cadre. Finalement, nous concluons ce travail en proposant un cadre d’étude dynamique pour introduire des mesures de risque dynamiques. / In this thesis, the intent is to introduce a framework in order to study problems of financial mathematics, which take into account the model uncertainty. The model uncertainty is speci?ed by a very general set of martingale laws, which represents all the possible laws of the underlying assets. This set is not supposed « a priori » dominated, meaning the laws are not necessarily equivalent or absolutely continuous with respect to a reference probability. First section deals with framework presentation and its related properties. The second one studies the problem of maximizing utility of ?nal wealth in our framework. Third and fourth section are about definition and properties of risk measures derivated from our framework. Eventually, we conclude the thesis by introducing a dynamic framework to define dynamic risk measures.

This study sought to understand how a group of pre-service teachers in a combined secondary science and mathematics teaching methods course conceptualized and experienced interdisciplinary approaches to teaching. Although knowing how to plan interdisciplinary activities is an essential teaching practice in Quebec, these pre-service teachers faced many challenges during the process of learning to teach with this approach. By using two interdisciplinary frameworks (Nikitina, 2005; Boix Mansilla & Duraising, 2007), I qualitatively analyzed the development of the pre-service teachers' prior and emerging ideas about interdisciplinarity and their ability to plan interdisciplinary teaching activities. The provincial curriculum and issues related to time greatly shaped students' conceptions about interdisciplinarity in the classroom and constrained their ability to plan for and envision the enactment of interdisciplinary lessons in secondary science and mathematics classes. In addition, images of themselves as content-specialists, self-efficacy beliefs in relation to interdisciplinary teaching, and student learning as a source of teacher motivation emerged as key factors promoting or interrupting the development of interdisciplinary teaching approaches. Examination of these factors highlights the need for teacher-education programs to provide opportunities for pre-service teachers to explore how they see themselves as educators, increase their instructional self-efficacy beliefs, and motivate them to teach in an interdisciplinary fashion. Keywords: interdisciplinary teaching, student-teachers, curriculum, teacher-education program, self-efficacy, motivation / Cette étude a cherché à comprendre comment un groupe d'enseignants en formation qui suivaient un cours sur les méthodes d'enseignement combiné de science et de mathématique au secondaire conceptualisaient les démarches d'enseignement interdisciplinaire et en faisaient l'expérience. Même s'ils savent que le fait de planifier des activités interdisciplinaires est une pratique d'enseignement essentielle au Québec, ces futurs enseignants faisaient face à nombre de défis pendant le processus d'apprentissage de cette démarche d'enseignement. À l'aide de deux structures interdisciplinaires (Nikitina, 2005; Boix Mansilla & Duraising, 2007), j'ai réalisé une analyse qualitative de la progression des concepts antérieurs et émergents des enseignants en formation à l'égard de l'interdisciplinarité et de leur capacité à planifier des activités d'enseignement interdisciplinaire. Le cursus provincial et les enjeux relatifs au temps ont permis de donner une structure solide aux conceptions des étudiants quant à l'interdisciplinarité dans la classe, et ont freiné leur capacité de planifier et d'imaginer la réalisation de cours interdisciplinaires en science et en mathématique au secondaire. En outre, leur perception d'eux-mêmes à titre de spécialistes de contenu, le sentiment d'efficacité personnelle en lien avec l'enseignement interdisciplinaire et l'acquisition des connaissances des étudiants comme source de motivation pour l'enseignant ont émergé comme les facteurs clés faisant la promotion ou interrompant le développement de démarches d'enseignement interdisciplinaire. L'examen de ces facteurs met en lumière le besoin de programmes d'éducation qui offriraient aux futurs enseignants l'occasion d'explorer la façon dont ils se perçoivent en tant qu'éducateurs, d'augmenter leur sentiment d'efficacité personnelle et de les motiver à enseigner dans un mode interdisciplinaire. Mots clés : enseignement interdisciplinaire, étudiant-enseignants, cursus, programme d'éducation à l'intention des enseignants, sentiment d'efficacité personnelle, motivation

Cette thèse est principalement constituée de trois articles traitant des processus markoviens additifs, des processus de Lévy et d'applications en finance et en assurance. Le premier chapitre est une introduction aux processus markoviens additifs (PMA), et une présentation du problème de ruine et de notions fondamentales des mathématiques financières. Le deuxième chapitre est essentiellement l'article "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" écrit en collaboration avec Manuel Morales et publié dans la revue European Actuarial Journal. Cet article étudie le problème de ruine pour un processus de risque markovien additif. Une identification de systèmes de Lévy est obtenue et utilisée pour donner une expression de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée lorsque le PMA est un processus de Lévy avec changement de régimes. Celle-ci est une généralisation des résultats existant dans la littérature pour les processus de risque de Lévy et les processus de risque markoviens additifs avec sauts "phase-type". Le troisième chapitre contient l'article "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" qui est soumis pour publication. Cet article présente une extension de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée pour un processus subordinateur de risque perturbé par un mouvement brownien. Cette extension contient une série de fonctions escomptée éspérée des minima successives dus aux sauts du processus de risque après la ruine. Celle-ci a des applications importantes en gestion de risque et est utilisée pour déterminer la valeur espérée du capital d'injection actualisé. Finallement, le quatrième chapitre contient l'article "The Minimal entropy martingale measure (MEMM) for a Markov-modulated exponential Lévy model" écrit en collaboration avec Romuald Hervé Momeya et publié dans la revue Asia-Pacific Financial Market. Cet article présente de nouveaux résultats en lien avec le problème de l'incomplétude dans un marché financier où le processus de prix de l'actif risqué est décrit par un modèle exponentiel markovien additif. Ces résultats consistent à charactériser la mesure martingale satisfaisant le critère de l'entropie. Cette mesure est utilisée pour calculer le prix d'une option, ainsi que des portefeuilles de couverture dans un modèle exponentiel de Lévy avec changement de régimes. / This thesis consists mainly of three papers concerned with Markov additive processes, Lévy processes and applications on finance and insurance. The first chapter is an introduction to Markov additive processes (MAP) and a presentation of the ruin problem and basic topics of Mathematical Finance. The second chapter contains the paper "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" written with Manuel Morales and that is published in the European Actuarial Journal. This paper studies the ruin problem for a Markov additive risk process. An expression of the expected discounted penalty function is obtained via identification of the Lévy systems. The third chapter contains the paper "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" that is submitted for publication. This paper presents an extension of the expected discounted penalty function in a setting involving aggregate claims modelled by a subordinator, and Brownian perturbation. This extension involves a sequence of expected discounted functions of successive minima reached by a jump of the risk process after ruin. It has important applications in risk management and in particular, it is used to compute the expected discounted value of capital injection. Finally, the fourth chapter contains the paper "The Minimal Entropy Martingale Measure (MEMM) for a Markov-Modulated Exponential" written with Romuald Hérvé Momeya and that is published in the journal Asia Pacific Financial Market. It presents new results related to the incompleteness problem in a financial market, where the risky asset is driven by Markov additive exponential model. These results characterize the martingale measure satisfying the entropy criterion. This measure is used to compute the price of the option and the portfolio of hedging in an exponential Markov-modulated Lévy model.