Made available in DSpace on 2014-12-02T11:16:50Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-09-23Bitstream added on 2014-12-02T11:21:24Z : No. of bitstreams: 1 000793723.pdf: 894587 bytes, checksum: d84e35b5ea20299d24690c0512f3dab7 (MD5) / O objetivo deste trabalho é trazer atividades (teóricas e práticas), em torno de um tema único o Número de Ouro, a ser explorado em diversos conteúdos já existentes no atual currículo de Matemática. A partir deste tema, introduzir a ideia de Razão Extrema e Média e, logo após, trazer o conceito de Razão Áurea e, assim, induzir os alunos a obter o Número de Ouro, entender suas propriedades matemáticas e suas aplicações em torno do Triângulo Áureo e Retângulo Áureo / The goal of this work is to bring new activities (theoretical and practical), around a single subject (The Golden Number), to be exploited in several existing content in the current mathematical curriculum at school. From this subject, we introduce the idea of extreme and mean ratio, as well the concept of the Golden Ratio, so, we expect that students can be able to get the Golden Number and understand their mathematical properties and their applications (related to Golden Triangle and Golden Rectangle)

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-06-24T16:31:02Z No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-06-26T13:47:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Made available in DSpace on 2015-06-26T13:47:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Considere os números de Fibonacci (Fn), os números de Lucas (Ln) e os números binomiais (C(n; k)), os fenômenos que por eles são enumerados e as principais identidades envolvendo esses números. Seguindo o trabalho de Arthur Benjamin e Jennifer Quinn [1], vamos demonstrar tais identidades mostrando que podemos contar o mesmo fenômeno de duas formas diferentes. Inicialmente vamos estudar os números binomiais, mais comuns no Ensino Médio e que estão no contexto da Combinatória, considerada pela maioria dos alunos e professores como o assunto mais difícil de entender e ensinar naquele segmento de ensino. Em seguida faremos uma abordagem combinatória de algumas identidades envolvendo números de Fibonacci e de Lucas através de um estudo das coberturas de um tabuleiro 1 x n, das palavras binárias e das composições de um inteiro positivo n. Sobre as composições, basearemos nosso trabalho no estudo feito por Hoggatt [7] para fazer as demonstrações de algumas das identidades propostas. Apresentaremos novas identidades de Fibonacci e Lucas. Finalmente faremos uma proposta de sequência didática para ser aplicada na educação básica como motivadora para o estudo da Combinatória e dos números de Fibonacci. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Consider Fibonacci numbers (Fn), Lucas numbers (Ln) and binomial numbers (C(n, k)) and the several identities involving these numbers. Following the work of Arthur Benjamin and Jennifer Quinn [1], we will demonstrate some identities by showing that it is possible to count the same situation in two different ways. Firstly, we will study binomial numbers (which are more common in high school) which belongs to the context of Combinatorics, considered by most students and teachers as the most dificult subject to understand and teach. Then we will work on combinatorial approaches of some identities involving Fibonacci and Lucas numbers by studying coverings of a 1 x n board, binary words, and compositions of a positive integer. About compositions, our work will be based on the study by Hoggatt [7] to demonstrate some of the proposed identities. Also, shall present new identities for Fibonacci and Lucas numbers. Finally, we shall make a proposal for a teaching sequence to be applied in basic education as a motivator for the study of Combinatorics and Fibonacci numbers.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Camila Duarte (camiladias@bce.unb.br) on 2016-07-18T17:45:52Z No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / A famosa e amplamente estudada sequência de Fibonacci é determinada pela recorrênciaFn= Fn-1 + Fn-2, onde F0 = 0 e F1 = 1. Podemos estender essa sequência para sequências recorrentes de ordem maior. Logo, para k ≥ 2 e n ≥ −(k − 2), sejaF(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, onde F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 e F(k)1 = 1. Vamos estudar algumas equações Diofantinasenvolvendo tais sequências. Num primeiro momento, lembramos que um número perfeito é um natural que é soma de seus divisores próprios. Então, vamos aplicar formas lineares em logaritmo para achar números perfeitos pares em sequências de Fibonacci generalizadas. Em outras palavras, vamos estudar a equaçãoF(k)n = 2p-1(2p-1). Em outro problema, vamos estudar a valorização 2−ádica de F(k)n quando k = 4, a fim de procurar fatoriais nessa sequência, ou seja, vamos estudar a equaçãoQn = m!. Também, vamos usar técnicas parecidas para resolver um caso particular da equação de Brocard-Ramanujan, n2 = m! + 1, quando o inteiro né um número da sequência mencionada previamente. / The famous and widely studied Fibonacci sequence is determined by there currence Fn= Fn-1 + Fn-2, where F0 = 0 and F1 = 1. We can extend this sequence for higher order recurrences. So, for k ≥ 2 and n ≥ −(k − 2), let F(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, where F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 and F(k)1 = 1.We shall study some Diophantine equations involving such sequences. First, were call that a perfect number is a natural number which equals the sum of all its proper divisors. Then, we shall apply linear forms in logarithms to find even perfect numbers in genereralized Fibonacci sequences. In other words, we shall study the Diophantine equation F(k)n = 2p-1(2p-1).In another problem, we shall study the 2− adic valuation ofF(k)n, when k = 4, in order to find factorials in that sequence, i.e., we shall study the equation Qn= m!. Also, we shall use similar techniques to solve a particular case of the Brocard-Ramanujan equation, n2 = m! + 1, when the integern is a number of the previously mentioned sequence.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / Submitted by Guimaraes Jacqueline (jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-12-02T11:17:51Z No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2016-01-26T11:54:30Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-01-26T11:54:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Neste trabalho apresentamos uma abordagem sobre sequências recursivas, ou simplesmente recorrências. Discorremos sobre recorrências lineares, principalmente as de primeira e segunda ordem, estudando soluções e apresentando propriedades e fazendo paralelos com algumas sequências comuns ao cotidiano do estudante de Matemática. Apresentamos também, casos clássicos desse tipo de sequências como os números de Fibonacci e de Lucas; os números figurados: poligonais e piramidais; e ainda, aplicações em áreas como a Combinatória e Matemática Financeira. No trabalho ainda abordamos uma proposta de exercícios a alunos do Ensino Médio. Relatamos a experiência de atividades em sala de aula, as dificuldades encontradas, resultados apresentados, bem como os relatos das impressões que os alunos tiveram ao estudar esse tema. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We present in this paper an approach to recursive sequences, or simply recurrences. Wediscuss linear recurrences, especially the first and second order, studying solutions and presentingproperties and making parallels with some common sequences to the mathematicsstudent daily. We also present, classics examples of such sequences as Fibonacci number sand Lucas numbers, the figured numbers: polygonal and pyramidal, and also applications in areas as Combinatory and Mathematical Finance. At work even we approach a proposed exercises to high school students. We report the activities of experience in the classroom, the difficulties encountered, the results, as wellas the reports of the impressions that the students had to study this subject.

Orientador: Vanderlei Minori Horita / Banca: Parham Salehyan / Banca: Márcio de Jesus Soares / Resumo: O objetivo deste trabalho é trazer atividades (teóricas e práticas), em torno de um tema único o Número de Ouro, a ser explorado em diversos conteúdos já existentes no atual currículo de Matemática. A partir deste tema, introduzir a ideia de Razão Extrema e Média e, logo após, trazer o conceito de Razão Áurea e, assim, induzir os alunos a obter o Número de Ouro, entender suas propriedades matemáticas e suas aplicações em torno do Triângulo Áureo e Retângulo Áureo / Abstract: The goal of this work is to bring new activities (theoretical and practical), around a single subject (The Golden Number), to be exploited in several existing content in the current mathematical curriculum at school. From this subject, we introduce the idea of extreme and mean ratio, as well the concept of the Golden Ratio, so, we expect that students can be able to get the Golden Number and understand their mathematical properties and their applications (related to Golden Triangle and Golden Rectangle) / Mestre

Let 1, 2, 3, 5, 8, … denote the Fibonacci sequence beginning with 1 and 2, and then setting each subsequent number to the sum of the two previous ones. Every positive integer n can be expressed as a sum of distinct Fibonacci numbers in one or more ways. Setting R(n) to be the number of ways n can be written as a sum of distinct Fibonacci numbers, we exhibit certain regularity properties of R(n), one of which is connected to the Euler φ-function. In addition, using a theorem of Fine and Wilf, we give a formula for R(n) in terms of binomial coefficients modulo two.

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Rhapsody for Piano and Small Orchestra is a one-movement composition in a concerto fashion for seventeen players, and is about nine minutes in duration. The overall form of this work is A B C D E D1 C1 B1 A1. This work contains various hidden compositional devices such as the golden section principle and a palindrome structure. These devices are applied not only to the structure of the work, but also to the pitch related and rhythm-related matters. Also, certain melodic and rhythmic cells are employed for each section in the developmental procedure of that section almost exclusively. Since this work is a concerto-like piece, there are two cadenza-like passages for the piano with an accompanying solo instrument, which plays the obbligato passage. The following essay addresses the form, pitch materials, harmony, rhythm and technical difficulties, orchestration, and variant elements between the corresponding sections used in this work.

[pt] Este trabalho teve o intuito de conciliar o ensino de matemática com práticas muito presentes no cotidiano dos alunos nos dias atuais: o uso da tecnologia e a comunicação através da fotografia. Com esse objetivo, foram selecionados conteúdos matemáticos que historicamente estão relacionados com a beleza e harmonia: a razão áurea e a sequência de Fibonacci. Tais enfoques permitem associações diretas em outros campos do conhecimento como por exemplo, a arte, a natureza, o estudo do corpo humano que trouxeram significância, cultura, interdisciplinaridade e criticidade ao presente estudo. Por outro lado, a fotografia também carrega na sua essência conceitos de harmonia, beleza, composição e enquadramento e possibilita o desenvolvimento da criatividade e da inovação propiciando uma quebra dos métodos tradicionais na sala de aula. Por fim, a proposta aqui apresentada defende o uso da tecnologia a favor do desenvolvimento de propostas pedagógicas que incrementem o processo de ensino e aprendizagem, através do incentivo ao uso orientado de celulares na escola. A proposta foi experimentada com alunos do nono ano de uma escola da rede municipal de ensino do Rio de Janeiro e, pôde-se perceber que, a dinâmica empregada motivou os alunos, possibilitou um crescimento acadêmico e social e permitiu a construção de aulas criativas e cooperativas. Conceitos básicos, matemáticos e históricos, dos temas escolhidos assim como a descrição da proposta e os resultados alcançados na experimentação são expostos ao longo desse trabalho que pretende ser mais uma proposta a colaborar para o crescimento da educação básica no país. / [en] This work had the intention to conciliate the teaching of mathematics with very common practices in student s daily routine nowadays: the use of technology and communication through photography. With this objective, mathematical topics historically related to beauty and harmony were selected: the golden ratio and the Fibonacci sequence. Such approaches allow direct associations in other fields of knowledge like art, nature, the study of the human body which brought significance, culture, interdisciplinarity and criticism to the present study. On the other hand, photography also brings in its essence concepts of beauty, harmony and framing, making the development of creativity and innovation possible and allowing a break of the traditional methods in classroom. At last, the presented proposal defends the use of technology favoring the development of pedagogic proposals that boost the process of teaching and learning through the incentive of the guided use of cellphones in school. The proposal was experimented with 9th (ninth) grade students from a Rio de Janeiro municipal school and, it can be noticed that, the employed dynamics motivated the students, enabled academical and social growth and allowed the construction of creative and cooperative classes. Basic, mathematical and historical concepts of the chosen themes, as the proposal description and the results achieved in the experiments are exposed in the course of this work, which intends to be one more proposal to collaborate to the growth of basic education in the country.

Le cube de Fibonacci est un sous-graphe isométrique de l'hyper- cube ayant un nombre de Fibonacci de sommets. Le cube de Fibonacci a été initialement introduit par W-J. Hsu comme un réseau d'interconnexion et, comme l'hypercube, il a des propriétés topologiques très attractives, mais avec une croissance plus modérée. Parmi ces propriétés, nous discutons de l'hamiltonicité dans le cube de Fibonacci et aussi dans le cube de Lucas qui est obtenu à partir du cube de Fibonacci en supprimant toutes les chaînes qui commencent et nissent avec 1. Nous trouvons également le nombre de som- mets des cubes de Fibonacci et Lucas ayant une certaine excentricité. En n, nous présentons une étude de deux cubes du point de vue de la domination et du 2-packing. / The Fibonacci cube is an isometric subgraph of the hypercube having a Fibonacci number of vertices. The Fibonacci cube was originally proposed by W-J. Hsu as an interconnection network and like the hypercube it has very attractive topological properties but with a more moderated growth. Among these properties, we discuss the hamiltonicity in the Fibonacci cube and also in the Lucas cube which is obtained by removing all the strings that begin and end with 1 from the Fibonacci cube. We give also the eccentricity sequences of the Fibonacci and the Lucas cubes. Finally, we present a study of both cubes from the domination and the 2-packing points of view.