A set of definitions, theorems and proofs to describe the Laplace transformation.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rogerio Ferreira da Fonseca.pdf: 1033862 bytes, checksum: 7874e284aff29ac820ecbd35113c89ae (MD5) Previous issue date: 2010-11-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This research is theoretical and has the goal of studying the concept of the real number. Epistemological issues are discussed surrounding the concept of number in general, and in particular the concept of real numbers. The discussions are based on the concept of complementarity as regards the analysis of cognitive and epistemological aspects of mathematical concepts. The focus of the research is to investigate a new proposal for the concept of numbers presented by the British mathematician John Horton Conway of Princeton University, which allows one to uniquely answer the question, What is a number? , which has long mobilized Mathematics philosophers and epistemologists. In addition, for this theory, a class of games is presented as a model for interpretation or application of the theory, thereby conceptualizing number as a game. Moreover, the game has assisted in learning Mathematics. We can conclude with this research that Conway s theory, in a complementary manner, can add new elements to the classical approaches to the concept of number, can indicate some of its weaknesses, and can highlight the importance of epistemological questioning in the evolution of mathematical knowledge. Another result of this research is to indicate the fertility of the concept of number that opens new frontiers for Mathematics. It is our opinion that Mathematics Education needs to be and should be close to advances in Mathematics / Esta pesquisa é de cunho teórico e tem por alvo o estudo do conceito de número real. Nela são discutidas questões de ordem epistemológicas que cercam o conceito de número, em geral, e em particular o conceito de número real. As discussões estão fundamentadas no conceito de complementaridade no que concerne à análise de aspectos cognitivos e epistemológicos de conceitos matemáticos. O foco da pesquisa é investigar uma nova proposta de conceituação de número apresentada pelo matemático inglês John Horton Conway, da Universidade de Princeton, a qual possibilita responder, de forma única, à questão: o que é número?, indagação que mobilizou filósofos e epistemólogos da Matemática por muito tempo. Além disso, para esta teoria uma classe de jogos se apresenta como um modelo de interpretação ou aplicação da teoria, conceituando então número como um jogo. Aliás, o jogo tem sido um auxiliar na aprendizagem da Matemática. Podemos inferir com esta pesquisa que a teoria de Conway de forma complementar pode acrescentar novos elementos às abordagens clássicas da conceituação de número, apontar algumas de suas fragilidades e destacar a importância dos questionamentos epistemológicos para a evolução do conhecimento matemático. Outro resultado desta pesquisa é indicar a fertilidade do conceito de número que ainda abre novas fronteiras para a Matemática. É nosso julgamento que a Educação Matemática precisa e deve estar próxima dos avanços da Matemática

Este trabalho busca, num primeiro momento, caracterizar a problemática aprendizagem do número real na Escola Básica, aplicando questionários-sondagem, analisando livros didáticos e comparando-os com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Num segundo momento desenvolvemos um efetivo estudo de Matemática: as maneiras mais comuns de se construir números reais e a equivalência entre todas elas. Mostramos também como, a partir de cada uma destas abordagens, chega-se à representação decimal de um número real positivo. Finalizamos com uma proposta pedagógica para o Ensino Fundamental, e uma experiência didática, numa 8ª série, de construção de um número real via medição exata de segmentos de reta. / The first part of this work is an attempt to characterize the problem of learning the concept of real number in Elementary School, making use of questionnaires and analyzing school books as well as the National Parameters for the teaching of Mathematics. The second part deals with the Mathematics involved in the construction of the real numbers, namely, different ways of constructing this set and also the equivalence between all those constructions. We also show how each one of those constructions leads to the decimal representation of a positive real number. The last part of this work consists of a pedagogic proposal for the construction of the real number making use of the (exact) measure of a line segment and the description and conclusions of its implementation in an 8th year of Elementary School.

Este trabalho busca, num primeiro momento, caracterizar a problemática aprendizagem do número real na Escola Básica, aplicando questionários-sondagem, analisando livros didáticos e comparando-os com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Num segundo momento desenvolvemos um efetivo estudo de Matemática: as maneiras mais comuns de se construir números reais e a equivalência entre todas elas. Mostramos também como, a partir de cada uma destas abordagens, chega-se à representação decimal de um número real positivo. Finalizamos com uma proposta pedagógica para o Ensino Fundamental, e uma experiência didática, numa 8ª série, de construção de um número real via medição exata de segmentos de reta. / The first part of this work is an attempt to characterize the problem of learning the concept of real number in Elementary School, making use of questionnaires and analyzing school books as well as the National Parameters for the teaching of Mathematics. The second part deals with the Mathematics involved in the construction of the real numbers, namely, different ways of constructing this set and also the equivalence between all those constructions. We also show how each one of those constructions leads to the decimal representation of a positive real number. The last part of this work consists of a pedagogic proposal for the construction of the real number making use of the (exact) measure of a line segment and the description and conclusions of its implementation in an 8th year of Elementary School.

Este trabalho busca, num primeiro momento, caracterizar a problemática aprendizagem do número real na Escola Básica, aplicando questionários-sondagem, analisando livros didáticos e comparando-os com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Num segundo momento desenvolvemos um efetivo estudo de Matemática: as maneiras mais comuns de se construir números reais e a equivalência entre todas elas. Mostramos também como, a partir de cada uma destas abordagens, chega-se à representação decimal de um número real positivo. Finalizamos com uma proposta pedagógica para o Ensino Fundamental, e uma experiência didática, numa 8ª série, de construção de um número real via medição exata de segmentos de reta. / The first part of this work is an attempt to characterize the problem of learning the concept of real number in Elementary School, making use of questionnaires and analyzing school books as well as the National Parameters for the teaching of Mathematics. The second part deals with the Mathematics involved in the construction of the real numbers, namely, different ways of constructing this set and also the equivalence between all those constructions. We also show how each one of those constructions leads to the decimal representation of a positive real number. The last part of this work consists of a pedagogic proposal for the construction of the real number making use of the (exact) measure of a line segment and the description and conclusions of its implementation in an 8th year of Elementary School.

O trabalho constitui-se na formação da imagem conceitual do professor, na inter-relação indivíduo-coletividade, a fim de compreender a relação da imagem conceitual com o desenvolvimento da reta real na perspectiva lógico-histórica desse conceito. Os procedimentos metodológicos fundamentam-se nas contribuições teóricas da pesquisa-ação, cujo problema social se configura no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. Os sujeitos são educadores matemáticos: pesquisadora e professores do Ensino Fundamental e Médio. O desenvolvimento da imagem conceitual e aspectos de seu ensino realizou-se por meio de um curso de formação contínua para professores organizado sob os pressupostos da atividade orientadora de ensino e da perspectiva lógico-histórica do conceito. O curso abordou a transição de um campo numérico a outro, com foco na reta real, partindo da formulação do sistema de numeração posicional e a transição para o número natural, seguindo a fração como número racional, o irracional resultante da incomensurabilidade e o contínuo numérico - a reta real - como a captação numérica do movimento. Os aportes teórico-metodológicos do materialismo dialético e da atividade contribuíram para a compreensão do movimento da imagem conceitual. A análise da imagem conceitual orientou-se pela reprodução dos principais nexos conceituais no desenvolvimento do pensamento numérico. A intertextualidade, como recurso que proporciona evidenciar o movimento da imagem conceitual dos sujeitos na exposição e análise dos dados, possibilitou perceber que a dialética do pensamento numérico transita entre discreto-denso-contínuo, comensurável-incomensurável, finito-infinito, cardinalidade-ordenação. Neste movimento do pensamento revelam-se dilemas, a negação de um conhecimento, negação da negação, lógica dialética e lógica formal e as categorias dialéticas: forma e conteúdo, aparência e essência, análise e síntese, empírico e teórico, lógico e histórico, intuição e dedução. Conclui-se que o desenvolvimento da imagem conceitual individual de conceito matemático, ocorre na relação indivíduo-coletividade e, pode ser coerente com o significado científico elaborado historicamente por meio da realização de uma atividade orientadora de ensino fundamentada em pressupostos lógico-históricos do conceito. / This work consists of a study of the formation teachers\' concept image by the individualcollective inter-relation, in order to understand the relation of concept image with the development of the number line in a logical-historical perspective of the concept. The methodological procedures are based on the action research theoretical contribution, whose social problem appears in the mathematics teaching and learning field. The subjects are mathematics educators: the researcher and secondary school teachers. The development of the concept image and its teaching aspects were achieved during a teacher continuous training course, which was organized according to the teaching oriented activity contributions and the logical-historical perspective of the concept. One approach of this training course was the transition from one numerical field to another; a special attention was focussed on the number line, beginning with the formulation of the positional number system and the transition to the natural number, regarding the fraction as a rational number, the irrational number as a result of the incommensurability. Other approach was the arithmetic continuity - as the numerical capitation of the movement. The theoretical and methodological basis of the dialectical materialism and the activity theory contribute to the understanding of the concept image movement. The concept image analysis was guided by the reproduction of the main internal connections of numerical thought development. The intertextuality, as a resource which highlights the subjects\' concept image in the exposition and in the data analysis, made possible to realize that the dialectic of the numerical thought oscillates between the discreet- dense-continuous, the incommensurable and the commensurable, the finite and the infinite, the cardinality and the ordinance. Dilemmas, negation of knowledge, negation of negation, dialectical and formal logic and dialectical categories: form and content, appearance and essence, analysis and synthesis, empirical and theoretical, logical and historical, intuition and deduction, are revealed in this movement. In conclusion, the individual concept image\'s development of the mathematical concept takes place in the individual-collective relations and it can be coherent with the historically elaborated scientific meaning by performing a teaching oriented activity based on the logical-historical concept assumptions.

Submitted by FERNANDO HENRIQUE LOPES null (prof.fernandohenrique@hotmail.com) on 2017-09-26T12:07:17Z No. of bitstreams: 1 Dissertação FINAL.pdf: 738423 bytes, checksum: 268542ff74b4d1d629da8bc04263c740 (MD5) / Approved for entry into archive by Monique Sasaki (sayumi_sasaki@hotmail.com) on 2017-09-28T12:36:50Z (GMT) No. of bitstreams: 1 lopes_fh_me_sjrp.pdf: 738423 bytes, checksum: 268542ff74b4d1d629da8bc04263c740 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-28T12:36:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 lopes_fh_me_sjrp.pdf: 738423 bytes, checksum: 268542ff74b4d1d629da8bc04263c740 (MD5) Previous issue date: 2017-08-28 / O presente trabalho tem como objetivo principal apresentar a definição e propriedades de progressões geométricas de 2º grau, geralmente não trabalhadas no estudo de sequências numéricas, que é iniciado no 1º Ano do Ensino Médio. Para isto, é realizado um estudo de casos gerais para sequências e séries de números reais, para posteriormente, exibir aplicações do conceito no Ensino Médio. Inicialmente é apresentado ao aluno as definições e propriedades de sequências e séries, que requer um estudo mais aprofundado uma vez que é um assunto de maior complexidade para aplicação em turmas de ensino médio. Tais propriedades são utilizadas como ferramentas para o desenvolvimento posterior de progressões aritméticas e geométricas, tanto de 1ª como de 2ª ordem. Uma vez definidas as progressões, atividades sobre o assunto são aplicadas aos alunos para que os mesmos dissertem sobre suas facilidades e dificuldades encontradas na resolução. / The present work has as main objective to present the definition and properties of geometric progressions of 2nd degree, usually not worked in the study of numerical sequences, that is initiated in the 1st Year of High School. For this, a study of general cases for sequences and series of real numbers is carried out, later, to show applications of the concept in High School. Initially the definitions and properties of sequences and series are presented to the student, which requires a more in-depth study since it is a subject of greater complexity for application in high school classes. These properties are used as tools for the later development of arithmetic and geometric progressions, both 1st and 2nd order. Once the progressions are defined, activities on the subject are applied to the students so that they tell about their facilities and difficulties found in the resolution.

O trabalho constitui-se na formação da imagem conceitual do professor, na inter-relação indivíduo-coletividade, a fim de compreender a relação da imagem conceitual com o desenvolvimento da reta real na perspectiva lógico-histórica desse conceito. Os procedimentos metodológicos fundamentam-se nas contribuições teóricas da pesquisa-ação, cujo problema social se configura no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. Os sujeitos são educadores matemáticos: pesquisadora e professores do Ensino Fundamental e Médio. O desenvolvimento da imagem conceitual e aspectos de seu ensino realizou-se por meio de um curso de formação contínua para professores organizado sob os pressupostos da atividade orientadora de ensino e da perspectiva lógico-histórica do conceito. O curso abordou a transição de um campo numérico a outro, com foco na reta real, partindo da formulação do sistema de numeração posicional e a transição para o número natural, seguindo a fração como número racional, o irracional resultante da incomensurabilidade e o contínuo numérico - a reta real - como a captação numérica do movimento. Os aportes teórico-metodológicos do materialismo dialético e da atividade contribuíram para a compreensão do movimento da imagem conceitual. A análise da imagem conceitual orientou-se pela reprodução dos principais nexos conceituais no desenvolvimento do pensamento numérico. A intertextualidade, como recurso que proporciona evidenciar o movimento da imagem conceitual dos sujeitos na exposição e análise dos dados, possibilitou perceber que a dialética do pensamento numérico transita entre discreto-denso-contínuo, comensurável-incomensurável, finito-infinito, cardinalidade-ordenação. Neste movimento do pensamento revelam-se dilemas, a negação de um conhecimento, negação da negação, lógica dialética e lógica formal e as categorias dialéticas: forma e conteúdo, aparência e essência, análise e síntese, empírico e teórico, lógico e histórico, intuição e dedução. Conclui-se que o desenvolvimento da imagem conceitual individual de conceito matemático, ocorre na relação indivíduo-coletividade e, pode ser coerente com o significado científico elaborado historicamente por meio da realização de uma atividade orientadora de ensino fundamentada em pressupostos lógico-históricos do conceito. / This work consists of a study of the formation teachers\' concept image by the individualcollective inter-relation, in order to understand the relation of concept image with the development of the number line in a logical-historical perspective of the concept. The methodological procedures are based on the action research theoretical contribution, whose social problem appears in the mathematics teaching and learning field. The subjects are mathematics educators: the researcher and secondary school teachers. The development of the concept image and its teaching aspects were achieved during a teacher continuous training course, which was organized according to the teaching oriented activity contributions and the logical-historical perspective of the concept. One approach of this training course was the transition from one numerical field to another; a special attention was focussed on the number line, beginning with the formulation of the positional number system and the transition to the natural number, regarding the fraction as a rational number, the irrational number as a result of the incommensurability. Other approach was the arithmetic continuity - as the numerical capitation of the movement. The theoretical and methodological basis of the dialectical materialism and the activity theory contribute to the understanding of the concept image movement. The concept image analysis was guided by the reproduction of the main internal connections of numerical thought development. The intertextuality, as a resource which highlights the subjects\' concept image in the exposition and in the data analysis, made possible to realize that the dialectic of the numerical thought oscillates between the discreet- dense-continuous, the incommensurable and the commensurable, the finite and the infinite, the cardinality and the ordinance. Dilemmas, negation of knowledge, negation of negation, dialectical and formal logic and dialectical categories: form and content, appearance and essence, analysis and synthesis, empirical and theoretical, logical and historical, intuition and deduction, are revealed in this movement. In conclusion, the individual concept image\'s development of the mathematical concept takes place in the individual-collective relations and it can be coherent with the historically elaborated scientific meaning by performing a teaching oriented activity based on the logical-historical concept assumptions.

[pt] O estudo dos números reais com ênfase no aluno do nível médio da escola básica é pouco explorado nas pesquisas em Educação Matemática no Brasil e em outros países. Constatamos, na revisão bibliográfica, que os números racionais e irracionais não fazem parte do repertório de conhecimento de grande parte dos futuros professores, apesar da experiência escolar, como alunos, de vários anos. Trata-se de um campo rico de investigação devido a sua relevância dentro do currículo de Matemática no Ensino Médio. Esta tese analisou as imagens conceituais dos alunos, quando foram estimulados a escrever e/ou falar sobre os números reais, motivados por atividades em que o uso da calculadora foi incentivado. Realizamos uma análise documental desse tema. Elaboramos e aplicamos atividades, priorizando as ideias de densidade e infinito. Utilizamos as representações decimais finitas e infinitas e os números irracionais da forma raiz quadrada de n , n natural, bem como elegemos o algoritmo da divisão como disparador desse processo. A metodologia clínico-qualitativa permitiu-nos coletar os dados em duas etapas: o estudo preliminar exploratório, com a aplicação de um questionário para 70 alunos; e o estudo principal, realizado com 12 alunos, nos quais o aluno foi constantemente solicitado a esclarecer seus julgamentos. O ambiente de pesquisa possibilitou a manifestação e a análise dos julgamentos prototípicos e analíticos que foram identificados por atributos relevantes e irrelevantes. Os resultados apontam para a necessidade de um trabalho efetivo, a partir do algoritmo da divisão, que consolide o conhecimento das representações decimais. O aumento do repertório de exemplos positivos e negativos relacionados às noções trabalhadas parece estimular descritores de imagem conceitual que são favoráveis para o desenvolvimento do conceito de número real. / [en] The study of real numbers with an emphasis on the High School students is underexplored in research in Mathematics Education in Brazil and other countries. In the literature review, we note that rational and irrational numbers are not part of the repertoire of knowledge of most prospective teachers, despite their school experience as students, for several years. This is a rich field of research because of its relevance in the Mathematics curriculum in High School. This thesis examined the conceptual images of students after they had been encouraged to write and to talk about real numbers, driven by activities in which the use of a calculator was stimulated. We conducted an analysis of documents of this subject. We elaborated and carried out activities, prioritizing the ideas of density and infinity. We used finite and infinite decimal representations and irrational square roots, and chose the division algorithm as a trigger of this process. The clinical-qualitative methodology allowed us to collect data in two stages: the preliminary exploratory study, by applying a questionnaire to 70 students; and the main study, conducted with 12 students, in which the students were constantly asked to explain their judgments. The research environment has enabled the demonstration and the analysis of prototypical and analytical judgments that were identified by relevant and irrelevant attributes. The results indicate the need for an effective work, from the division algorithm, which consolidates the knowledge about decimal representations. Increasing the repertoire of positive and negative examples related to the notions worked seems to stimulate conceptual image descriptors that are favorable for the development of the concept of real number.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_marisa_dias.pdf: 305016 bytes, checksum: 8c51ea350b061d06dcc177b7f6a7a452 (MD5) Previous issue date: 2006-04-12 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The study investigated concept image and concept definition related to the properties of the number line, and particularly the notion of density. The subjects were 45 teachers of secondary school mathematics (students aged 11-16 years) from São Paulo (Brazil). It was hypothesised that the teachers conceptions would match those of students in the age range that they teach. In order to validate this hypothesis, a diagnostic test was developed and the results of the teachers were compared with results obtained in both national and international studies of students conceptions. Analysis confirmed the hypothesis and indicated that both the concept image and concept definition used by the teachers were not coherent with formal. A sub-set of four teachers also participated in interviews developed with the aim of creating situations in which potential conflict factors would become cognitive conflict factors. Teachers reactions during these interviews indicated that these situations helped them to enhance to a higher intellectual stages in their reasoning about the number line / Esta pesquisa investigou conceito imagem e conceito definição relacionados às propriedades da reta real e, particularmente, à noção de densidade. Os sujeitos foram 45 professores de matemática do ensino fundamental e médio de São Paulo (Brasil). A hipótese foi que concepções dos professores seriam as mesmas apresentadas por estudantes, desse mesmo segmento de ensino. Para validarmos esta hipótese, desenvolvemos um teste diagnóstico e comparamos os resultados dos professores com os obtidos em pesquisas nacionais e internacionais sobre as concepções de estudantes. A investigação confirmou a hipótese e evidenciou a existência de conceitos imagem e definição não coerentes com o formal. Um grupo de quatro professores também participou de entrevistas desenvolvidas com o objetivo de criar situações nas quais fatores de conflito potencial tornassem fatores de conflito cognitivo. As reações dos professores durante essas entrevistas indicaram que essas situações possibilitam-lhes alcançar estágios intelectuais mais elevados em relação à reta real