[pt] Este trabalho apresenta aplicações da técnica de otimização topológica para problemas de escoamento com fluidos não Newtonianos, usando o método dos elementos virtuais (VEM) em domínios bidimensionais arbitrários. O objetivo é projetar a trajetória ótima, a partir da minimização da energia dissipativa, de um escoamento governado pelas equações de Navier-Stokes-Brinkman e do modelo não Newtoniano de Carreau-Yasuda. A abordagem de porosidade proposta por (Borrvall e Petersson, 2003) [1] é usada na formulação do problema de otimização topológica. Para resolver este problema numericamente é usado o método VEM, recentemente proposto. A principal característica que diferencia o VEM do método dos elementos finitos (FEM) é que as funções de interpolação no interior dos elementos não precisam ser computadas explicitamente. Isso ocorre porque a integração é feita em funções polinomiais e bases de ordem inferior, permitindo assim uma grande flexibilidade no que diz respeito ao uso de elementos não convexos. Portanto, o cálculo das matrizes e vetores elementares se reduz à avaliação de grandezas geométricas nos contornos desses elementos. Finalmente, são apresentados exemplos numéricos representativos para demonstrar a eficiência do VEM em comparação com o FEM e a aplicabilidade da otimização topológica para esta classe de problemas de escoamento. / [en] This work presents selected applications of topology optimization for non-Newtonian fluid flow problems using the virtual element method (VEM) in arbitrary two-dimensional domains. The objective is to design an optimal layout into a fluid flow domain to minimize dissipative energy governed by the Navier-Stokes-Brinkman and non-Newtonian Carreau-Yasuda model equations. The porosity approach proposed by (Borrvall and Petersson, 2003) [1] is used in the topology optimization formulation. To solve this problem numerically, the recently proposed VEM method is used. The key feature that distinguishes VEM from the standard finite element method (FEM) is that the interpolation functions in the interior of the elements do not need to be computed explicitly. This is because the integration is on lower-order polynomial and basis functions, and there is great flexibility by using a non-convex element. Therefore, the computation of the main element matrices and vectors are reduced to the evaluation of geometric quantities on the boundary of the elements. Finally, several numerical examples are provided to demonstrate the efficiency of the VEM compared to FEM and the applicability of the topology optimization to fluid flow problems.

[pt] A Equação da Difusividade Hidráulica Não-Linear (EDHN) modela o escoamento monofásico de fluidos em meios porosos levando em conta a variação das propriedades da rocha e do fluido presente no interior de seus poros. Normalmente, a solução adimensional da linha-fonte pD(rD, tD) para escoamento de líquidos é encontrada por meio do uso da transformada de Laplace ou transformação de Boltzmann, o qual, o perfil transiente de pressões em coordenadas cartesianas é descrito pela função erro complementar erfc(xD, yD, tD) e, em coordenadas cilíndricas pela função integral exponencial Ei(rD, tD). Este trabalho propõe a solução analítica pelo método de expansão assíntotica de primeira ordem em séries, para solução de alguns problemas de escoamento de petróleo em meios porosos com permeabilidade dependente da pressão de poros e termo fonte. A solução geral será implementada no software Matlab (marca registrada) e a calibração do modelo matemático será realizada comparandose a solução obtida neste trabalho com a solução calculada por meio de um simulador de fluxo óleo em meios porosos denominado IMEX (marca registrada) , amplamente usado na indústria de petróleo e em pesquisas científicas e que usa o método de diferenças finitas. A solução geral da equação diferencial é dada pela soma da solução para escoamento de líquidos com permeabilidade constante e o termo de primeira ordem da expansão assintótica, composto pela não linearidade devido à variação de permeabilidade. O efeito da variação instantânea de permeabilidade em função da pressão de poros é claramente demonstrado nos gráficos diagnósticos e especializados apresentados. / [en] The Nonlinear Hydraulic Diffusivity Equation (NHDE) models the singlephase flow of fluids in porous media considering the variation in the properties of the rock and the fluid present inside its pores. Normally, the dimensionless linear solution for the flow of oil is performed using the Laplace and Fourier transform or Boltzmann transformation and provides the unsteady pressure profile in Cartesian coordinates given by complementary error function erfc(xD, yD, tD) and in cylindrical coordinates described by the exponential integral function Ei(rD, tD). This work develops a new analytical model based on an integro-differential solution to predict the formation mechanical damage caused by the permeability loss during the well-reservoir life-cycle for several oil flow problems. The appropriate Green s function (GF) to solve NHDE for each well-reservoir setting approached in this thesis is used. The general solution is implemented in the Matlab (trademark) and the mathematical model calibration will be carried out by comparing the solution obtained in this work to the porous media finite difference oil flow simulator named IMEX (trademark). The general solution of the NHDE is computed by the sum of the linear solution (constant permeability) and the first order term of the asymptotic series expansion, composed of the nonlinear effect of the permeability loss. The instantaneous permeability loss effect is clearly noticed in the diagnostic and specialized plots.

[pt] Nesta tese, a teoria das hastes de Cosserat é revisitada e aplicada à dinâmica de coluna de perfuração. O objetivo é estudar o comportamento dessas estruturas dentro de poços de petróleo curvos. Para atingir este objetivo, um modelo estrutural determinístico é construído onde as tubos de perfuração (drill-pipes) e o conjunto de fundo (bottom hole assembly) são considerados como uma estrutura unidimensional de Cosserat. Em seguida, é desenvolvida uma estratégia para tratar o contato lateral em poços com configuração curvilínea. Depois disso, o problema de contorno livre é tratado mediante uma estratégia que considera como a condição de borda evolui à medida que a estrutura de perfuração avança. Isto é feito mediante uma formulação de interação broca-rocha que deve considerar a dinâmica de corte. Para isso, uma equação extra, de advecção, é resolvida junto com as equações de movimento de Cosserat. Em seguida, alguns casos de aplicação são apresentados. Numa primeira instancia, alguns elementos do problema são avaliados separadamente. Seguidamente, eles são integrados e analisados de forma conjunta. Por exemplo, primeiramente uma coluna de perfuração sem contato de fundo (off-bottom) é simulada, ou seja, sem contato broca-rocha, para estudar o comportamento e a implementação da estratégia para o contato lateral. Aqui também são calibrados alguns dos parâmetros do modelo de atrito. Em seguida, a estratégia para contabilizar o corte na rocha é implementada em um modelo 2-DOF de baixa dimensão e em um semi-discreto onde a dinâmica de torção é modelada como uma equação de onda. Os resultados mostram que o uso de abordagens contínuas resulta mais apropriade que aquelas onde se utilizam modelos de baixa dimensãom, particularmente quando são consideradas colunas longas, e quando há interesse em analisar não apenas o comportamento da broca, mas também o comportamento do sistema mecânico ao longo dos tubos de perfuração. Isso é reforçado por outro exemplo onde a dinâmica de corte é combinada com a formulação de Cosserat. Observações semelhantes do ponto de vista qualitativo são encontradas. Resumindo os resultados obtidos, as diferenças nas previsões dadas pelos modelos de baixa dimensão e o de unidimensional de Cosserat justificam o desenvolvimento e aplicação da abordagem com esta formulação em estruturas de perfuração. Finalmente, a modo de introduzir outro aspecto importante em colunas de perfuração e que pode ser uma linha de pesquisa para continuar o trabalho, a variabilidades presente em elementos como rocha, inclui-se um caso de aplicação considerando um poço horizontal e um campo estocástico de atrito. / [en] In this thesis, the theory of Cosserat rods is applied to the dynamics of drill-strings. The main objective is to evaluate the behaviour of these strings when they move within curved wells. To achieve this goal, a deterministic structural model is constructed, where the drill-pipes and the bottom hole assembly are taken as a Cosserat rod. Next, a strategy to deal with the lateral contact in curved well configurations is developed. After that, the free boundary problem is assessed: while drilling, the boundary changes due to cutting, modifying the position of the soil and, consequently, changing the bit-rock interaction forces. For this reason, a bit-rock model that can account for the cutting dynamics is adopted, in which an extra advection equation is solved together with the equations of motion of the Cosserat rod. Next, application cases are provided. First, some effects included in the model are tested in isolation, such as the lateral friction, the lateral contact, and the cutting. After that, they are all combined. In the first analysis, an off-bottom string is simulated, i.e. without contact at the bit. This allows testing the formulation associated with the lateral contact. Also, the calibration of the lateral friction parameters is made. Following that, the strategy to account for the cutting at the bit is implemented in a low-dimensional 2-DOF model, and in a semi-discrete model with a continuous wave equation for the torsional dynamics. The results show that the use of continuous approaches is more appropriate than low-dimensional models. Especially when long columns are considered, and when there is interest in understanding not only the behaviour at the bit but also along drill-pipes. This finding is reinforced by another application where the cutting dynamics are combined with the Cosserat rod formulation. Again, similar observations from a qualitative point of view are found. Overall, the differences in the results between the lumped low-dimensional models and the continuous Cosserat rod justify the development and application of the Cosserat approach to drilling structures. Finally, an introductory stochastic analysis concerning the variability of the rock is presented as an introduction to a future line of research, where stochasticity is included. / [es] En esta tesis, la teoria de Cosserat para elementos unidimensionales es revisitada y aplicada a la simulación de columnas de perforación. El objetivo es estudiar el comportamiento de estas estructuras en pozos de geometría curva. Para alcanzar este objetivo se construye un modelo determinístico. En este modelo, los caños de perforación (drill-pipes) y el conjunto de fondo (bottom hole assembly) son modelados como una estructura unidimensional de Cosserat. Seguidamente, una estrategia para tratar con el contacto lateral en pozos curvos es desarrollada. Luego, el problema de frontera libre es estudiado: durante la perforación, la condición de borde cambia debido al cambio del perfil altimétrico del terreno, alterando su posición y consecuentemente las fuerzas asociadas a la interacción broca-roca. Por esta razón, se decide utilizar un modelo de interacción broca-roca que tiene en cuenta la dinámica del corte. En este abordaje una ecuación extra, la ecuación de advección, es resuelta en forma acoplada con las ecuaciones del movimiento de la estructura de Cosserat. Algunos ejemplos de aplicación son presentados. En una primera instancia, algunos de los elementos del problema son estudiados en forma aislada. Luego combinados en un modelo completo. Por ejemplo, el caso de una columna sin contacto de fondo (off-bottom) es tratado para evaluar el comportamiento y la implementación de la estrategia mencionada para detectar el contacto lateral. Además, se efectúa la calibración de alguno de los parámetros relacionados con la fricción lateral. Luego, la estrategia para considerar el corte en la punta es implementada en un modelo de 2-DOF, y en otro semi-discreto donde se considera un modelo de ecuación de onda para la dinámica torsional. Los resultados muestran que el uso de formulaciones continuas es más apropiado que aquellas formulaciones donde se utilizan modelos de dimensiones reducidas, particularmente cuando se estudia columnas largas donde el interés se centra en entender no solo el comportamiento de la broca sino también a lo largo de la tubería. Este resultado es reforzado por otro caso de aplicación en donde se combina la dinámica de corte con un modelo de Cosserat. Observaciones similares son vistas en el comportamiento cualitativo de la solución. En resumen, las diferencias observadas en los diferentes ejemplos de aplicación entre los modelos de dimensiones reducidas y el modelo continuo de Cosserat justifican el desarrollo y la aplicación de la teoría de Cosserat a estructuras de perforación. Finalmente, dado que uno de los objetivos planteados también es considerar la variabilidad en algunos elementos como ser las propiedades de la roca, un caso de aplicación considerando un pozo horizontal es mostrado.