Les mesures des niveaux d'expression de tous les gènes d'un génome requièrent une analyse<br />statistique afin d'obtenir des conclusions fiables. Les biologistes ont du mal à faire un choix dans la<br />foule de méthodes existantes. Afin de déterminer quelle méthode est la plus adéquate pour la<br />problématique abordée, des comparaisons de méthodes d'analyse disponibles sont nécessaires.<br />Actuellement les critères de comparaison se révèlent soit lacunaires ou soit non pertinents du point de<br />vue biologique.<br />Nous avons introduit un nouveau critère biologique de comparaison des méthodes d'analyse du<br />transcriptome fondé sur une structure des génomes bactériens : les opérons. Les gènes d'un opéron<br />sont généralement transcrits sur un même ARNm. Si un gène d'un opéron bactérien est identifié, les<br />autres gènes de l'opéron devraient l'être également. Nous avons ainsi comparé des méthodes<br />d'analyse appliquées au transcriptome : l'ACP et l'ACI, respectivement analyses en composantes<br />principales et indépendantes, l'ANOVA, analyse de variance, la régression des moindres carrés<br />partiels PLS et différents t-tests. Chaque méthode aborde le nuage de données d'un point de vue<br />différent ce qui donne des résultats complémentaires. Globalement, l'ACI a fourni les meilleurs<br />résultats tant en sensibilité qu'en terme de précision.<br />Un autre aspect, en plein développement, de l'analyse du transcriptome est la méta-analyse de<br />données d'origines diverses malgré les biais inhérents à cette technologie. Généralement ces métaanalyses<br />visent à préciser les résultats concernant des gènes différentiellement exprimés ou coexprimés.<br />Elles ouvrent également la possibilité d'étudier de nouveaux champs en biologie. Nous<br />avons utilisé des données de transcriptome indépendantes afin d'étudier l'organisation de l'expression<br />des gènes et, ainsi, celle du chromosome bactérien. L'étude du transcriptome de trois bactéries, B.<br />subtilis, E. coli et S. meliloti a révélé des corrélations d'expression à longue distance valables quel que<br />soit le gène étudié. Les structures en opéron se manifestent clairement au travers de cette étude, qui<br />a également permis de préciser que la co-expression de gènes proches s'étend au-delà des opérons<br />dans une région qui se répand jusqu'à une centaine de gènes.<br />Pour conclure, l'analyse du transcriptome n'a pas réellement nécessité la mise au point de méthodes<br />d'analyse statistiques spécifiques. Cependant, elle permet d'aborder de nouveaux horizons dans la<br />biologie, et notamment l'organisation chromosomique du génome bactérien.

Cette thèse concerne trois sujets de probabilités numériques et de mathématiques financières. D'abord, nous étudions le module de régularité L2 en temps de la composante Z d'une EDSR markovienne à coefficients lipschitziens, mais dont la fonction terminale g est irrégulière. Ce module est lié à l'erreur d'approximation par schéma d'Euler. Nous montrons, de façon optimale, que l'ordre de convergence est explicitement lié à la régularité fractionnaire de g. Ensuite, nous proposons une méthode de Monte-Carlo séquentielle pour le calcul efficace du prix d'une tranche de CDO, basée sur des variables de contrôle séquentielles, dans un cadre où les taux de recouvrement sont aléatoires et i.i.d. Enfin, nous analysons l'erreur de couverture associée à la stratégie en Delta-Gamma. La régularité fractionnaire de la fonction payoff joue un rôle crucial dans le choix des dates de rebalancement, afin d'atteindre des vitesses de convergence optimales.

Ce travail s'inscrit principalement dans le domaine de synthèse d'observateurs pour des synthèses non linéaires. D'une part le développement d'une nouvelle méthodologie de synthèse est proposée et d'autre part des résultats supplémentaires pour les observateurs à horizon glissant sont donnés. La première partie est plus directement dédiée aux rappels des notions de base d'observabilité des systèmes linéaires et non linéaires, ainsi qu'à la description des principales techniques de synthèse d'observateurs. De cette étude, il a été possible d'énoncer les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Dans une deuxième partie et grâce à l'étude des différentes techniques de synthèse, une nouvelle méthodologie de synthèse d'observateur pour des systèmes non linéaires a été développée. Cette méthodologie divise un systhème en [n] problèmes d'optimisation scalaires, dénommés problèmes élémentaires, qui peuvent être résolus en parallèle en utilisant un solveur numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi sclaire que pour de systèmes de grand ordre peut être très interessant de l'appliquer. La dernière partie est concentrée sur les observateurs à horizon glissant plus classiques et de traiter le cas où les hypothèses de régularité uniforme globale ne sont pas supposées. la description technique correspondante est donné à travers des définitions du rayon de régularité et du rayon d'observabilité.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des inclusions de la forme 0∈ f( x) + F(x), où f est une application univoque et F est une application multivoque à graphe fermé. Ces dernières années, diverses méthodes de résolutions d'inclusions de ce type ont été développées par les chercheurs et, après un bref rappel sur quelques notions d'analyse (univoque et multivoque) nous en présentons quelques unes utilisant l'hypothèse de régularité métrique sur l'application multivoque. Dans la suite de notre travail, plutôt que d'utiliser cette hypothèse de régularité métrique, nous lui préférons des hypothèses directement liées à la solution qui sont la semistabilité et l'hemistabilité. Notons que la semistabilité d'une solution x̅ de l'inclusion 0∈G(x) est en fait équivalente à la sous-régularité métrique forte de l'application multivoque G en x̅ pour 0. Après avoir présenté des méthodes utilisant la semistabilité et l'hemistabilité, nous exposons les nouveaux résultats auxquels nous avons abouti qui consistent essentiellement en des améliorations des méthodes présentées. Ce que nous entendons par améliorations se décline en deux points principaux : soit nous obtenons un meilleur taux de convergence, soit nous utilisons des hypothèses plus faibles qui nous permettent d'obtenir des taux de convergence similaires. / In this thesis, we focus on inclusions in the form of 0∈ f( x) + F(x), where f is a single-valued function and F is a set-valued map with closed graph. In the last few years, various methods to solve such inclusions have been developed; after having recalled some notions in analysis (single-valued and set-valued) we present some of them using metric regularity on the set-valued map. Then, instead of considering this metric regularity assumption, we prefer assumptions which are directly connected to the solution, that are semistability and hemistability. One can note that semistabily of a solution x̅ of the inclusion 0∈G(x) is actually equivalent strong metric subregularity on the set-valued map G at x̅ for 0. After having presented some methods using semistability and hemistability, we show the new results we obtained, most of them being improvement of the presented methods. What we mean by improvement is mainly a better convergence rate on the one hand, and weaker assumptions that lead to similar convergence rate, on the other.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles. / The work presented in this thesis concerns the study of the fractal geometry of stochastic processes using the formalism of 2-microlocal analysis. The latter has been introduced in another branch of mathematics -functional analysis- but has also proved to be relevant to describe the geometry of deterministic functions or random processes, extending in particular the classic Hölder exponents. Several classes of processes are investigated in this manuscript, beginning with continuous martingales and Ito integrals. In particular, the characterisation of the 2-microlocal regularity of the latter leads to the introduction of a closely related concept: the pseudo 2-microlocal frontier. We also investigate using this formalism a class of Gaussian processes called multifractional Brownian motion and obtain a fine description of its Hölder and 2-microlocal behaviours. In addition, we characterize entirely the Hausdorff and Box dimensions of its graph. In our study of Lévy processes, we combine the 2-microlocal formalism and multifractal analysis to describe their regularity, exhibiting in particular some subtle geometrical behaviours which are not captured by classic tools. Furthermore, as a corollary of this result, we also determine the multifractal spectrum of another family of processes: the fractional Lévy processes. Lastly, we also define a class of multiparameter and set-indexed Markov processes and study its properties.

Nous nous intéressons à des résultats d'approximation et de régularité pour des solutions de viscosité d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. Dans le chapitre 1, nous proposons, pour une classe générale d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires munies de conditions de Neumann inhomogènes, une interprétation de contrôle déterministe par des jeux répétés à deux personnes qui consiste à représenter la solution comme la limite de la suite des scores associés aux jeux. La condition de Neumann intervient par une pénalisation adaptée près de la frontière. En s'inspirant d'une approche abstraite proposée par Barles et Souganidis, nous prouvons la convergence en établissant des propriétés de monotonie, stabilité et consistance. Le chapitre 2 est consacré à des résultats de régularité sur les solutions d'équations paraboliques non-linéaires associés à un opérateur uniformément elliptique. Nous donnons une estimation de la mesure de Lebesgue de l'ensemble des points possédant un développement de Taylor quadratique global avec un contrôle sur la taille du terme cubique. Sous une hypothèse supplémentaire sur la régularité de la non-linéarité, nous en déduisons un résultat de régularité partielle höldérienne des solutions. Dans les chapitres 3 et 4, nous proposons une méthode générale pour obtenir des taux algébriques de convergence de solutions de schémas d'approximation vers la solution de viscosité sous l'hypothèse d'uniforme ellipticité de l'opérateur. Nous donnons un taux de convergence pour des schémas elliptiques obtenus par principe de programmation dynamique et nous prouvons un taux pour des schémas paraboliques par différences finies et implicites en temps. / In this thesis we study some approximation and regularity results for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic and parabolic equations. In the first chapter, we consider a broad class of fully nonlinear elliptic and parabolic equations with inhomogeneous Neumann boundary conditions. We provide a deterministic control interpretation through two-person repeated games which represents the solution as the limit of the sequence of the scores associated to the games. The Neumann condition is modeled by a suitable penalization near the boundary. Inspiring by an abstract method of Barles and Souganidis, we prove the convergence of the score to the solution of the equation by establishing monotonicity, stability and consistency. The second chapter presents some regularity results about viscosity solutions of parabolic equations associated to a uniformly elliptic operator. First we obtain a Lebesgue measure estimate on the points having a quadratic Taylor expansion with a controlled cubic term. Under an additional assumption on the regularity of the nonlinearity, we deduce a partial regularity result about the Hölder regularity of these solutions. In the third and fourth chapters, we propose a general approach to determine algebraic rates of convergence of solutions of approximation schemes to the viscosity solution of fully nonlinear elliptic or parabolic equations under the assumption of uniform ellipticity of the operator. We first give the rate associated to the elliptic schemes derived by dynamic programming principles and proposed by Kohn and Serfaty. We then prove a rate of convergence for finite-difference schemes implicit in time associated to fully nonlinear parabolic equations.

Dans cette thèse on étudie des équations de la mécanique des fluides. On considère deux modèles : les équations de Navier-Stokes équation dans R3 en présence d'une force extérieure, et l'équation de Prandtl dans le demi plan. Pour le système de Navier-Stokes, on s'intéresse à l'existence locale en temps, l'unicité, le comportement global en temps et des critères d'explosion. Pour l'équation de Prandtl dans le demi plan, on s'intéresse à la régularité Gevrey. Le manuscrit est constitué de quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on introduit quelques concepts de base sur les équations de la mécanique des fluides et on rappelle le sens physique des deux modèles précédents ainsi que quelques résultats mathématiques. Ensuite on énonce brièvement nos principaux résultats et les motivations. Enfin on mentionne quelques problèmes ouverts. Le second chapitre est consacré au problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes dans R3 en présence d'une petite force extérieure, peu régulière. On démontre l'existence locale en temps pour ce système pour toute donnée initiale appartenant à un espace de Besov critique avec régularité négative. On obtient de plus trois résultats d'unicité pour ces solutions. Enfin on étudie le comportement en temps grand et la stabilité de solutions a priori globales. Le troisième chapitre traite d'un critère d'explosion pour les équations de Navier-Stokes avec une force extérieure indépendante du temps. On met en place une décomposition en profils pour les équations de Navier-Stokes forcées. Cette décomposition permet de faire un lien entre les équations forcées et non forcées, ce qui permet de traduire une information d'explosion de la solution non forcée vers la solution forcée. Dans le Chapitre 4 on étudie l'effet régularisant Gevrey de la solution locale en temps de l'équation de Prandtl dans le demi plan. Il est bien connu que l'équation de couche limite de Prandtl est instable pour des données initiales générales, et bien posée dans des espaces de Sobolev pour des données initiales monotones. Sous une hypothèse de monotonie de la vitesse tangentielle du flot, on démontre la régularité Gevrey pour la solution de l'équation de Prandtl dans le demi plan pour des données initiales dans un espace de Sobolev. / This thesis deals with equations of fluid dynamics. We consider the following two models: one is the Navier-Stokes equation in R3 with an external force, the other one is the Prandtl equation on the half plane. For the Navier-Stokes system, we focus on the local in time existence, uniqueness, long-time behavior and blowup criterion. For the Prandtl equation on the half-plane, we consider the Gevrey regularity. This thesis consists in four chapters. In the first chapter, we introduce some background on equations of fluid dynamics and recall the physical meaning of the above two models as well as some well-known mathematical results. Next, we state our main results and motivations briefly. At last we mention some open problems. The second chapter is devoted to the Cauchy problem for the Navier-Stokes equation equipped with a small rough external force in R3. We show the local in time existence for this system for any initial data belonging to a critical Besov space with negative regularity. Moreover we obtain three kinds of uniqueness results for the above solutions. Finally, we study the long-time behavior and stability of priori global solutions.The third chapter deals with a blow-up criterion for the Navier-Stokes equation with a time independent external force. We develop a profile decomposition for the forced Navier-Stokes equation. The decomposition enables us to connect the forced and the unforced equations, which provides the blow-up information from the unforced solution to the forced solution. In Chapter 4, we study the Gevrey smoothing effect of the local in time solution to the Prandtl equation in the half plane. It is well-known that the Prandtl boundary layer equation is unstable for general initial data, and is well-posed in Sobolev spaces for monotonic initial data. Under a monotonicity assumption on the tangential velocity of the outflow, we prove Gevrey regularity for the solution to Prandtl equation in the half plane with initial data belonging to some Sobolev space.

Dans cette thèse, nous étudions certaines équations différentielles partielles avec mécanisme dissipatif, telles que l'équation de Boltzmann, l'équation de Landau et certains systèmes hyperboliques symétriques avec type de dissipation. L'existence globale de solutions ou les taux de dégradation optimaux des solutions pour ces systèmes sont envisagées dans les espaces de Sobolev ou de Besov. Les propriétés de lissage des solutions sont également étudiées. Dans cette thèse, nous prouvons principalement les quatre suivants résultats, voir les chapitres 3-6 pour plus de détails. Pour le premier résultat, nous étudions le problème de Cauchy pour le non linéaire inhomogène équation de Landau avec des molécules Maxwelliennes (= 0). Voir des résultats connus pour l'équation de Boltzmann et l'équation de Landau, leur existence globale de solutions est principalement prouvée dans certains espaces de Sobolev (pondérés) et nécessite un indice de régularité élevé, voir Guo [62], une série d'oeuvres d'Alexander Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] et des références à ce sujet. Récemment, Duan-Liu-Xu [52] et Morimoto-Sakamoto [145] ont obtenu les résultats de l'existence globale de solutions à l'équation de Boltzmann dans l'espace critique de Besov. Motivés par leurs oeuvres, nous établissons l'existence globale de la solution dans des espaces de Besov spatialement critiques dans le cadre de perturbation. Précisément, si le datum initial est une petite perturbation de la distribution d'équilibre dans l'espace Chemin-Lerner eL 2v (B3=2 2;1 ), alors le problème de Cauchy de Landau admet qu'une solution globale appartient à eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Notre résultat améliore le résultat dans [62] et étend le résultat d'existence globale de l'équation de Boltzmann dans [52, 145] à l'équation de Landau. Deuxièmement, nous considérons le problème de Cauchy pour l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu a considéré l'équation de Kac non-coupée spatialement inhomogène dans les espaces de Sobolev et a montré que le problème de Cauchy pour la fluctuation autour de la distribution maxwellienne admise S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Propriétés de régularité Gelfand-Shilov par rapport à la variable de vélocité et propriétés de régularisation G1+ 1 2s Gevrey à la variable de position. Et les auteurs ont supposé qu'il restait encore à déterminer si les indices de régularité 1 + 1 2s étaient nets ou non. Dans cette thèse, si la donnée initiale appartient à l'espace de Besov spatialement critique, nous pouvons prouver que l'équation de Kac inhomogène est bien posée dans un cadre de perturbation. De plus, il est montré que la solution bénéficie des propriétés de régularisation de Gelfand-Shilov en ce qui concerne la variable de vitesse et des propriétés de régularisation de Gevrey en ce qui concerne la variable de position. Dans notre thèse, l'indice de régularité de Gelfand-Shilov est amélioré pour être optimal. Et ce résultat est le premier qui présente un effet de lissage pour l'équation cinétique dans les espaces de Besov. A propos du troisième résultat, nous considérons les équations de Navier-Stokes-Maxwell compressibles apparaissant dans la physique des plasmas, qui est un exemple concret de systèmes composites hyperboliques-paraboliques à dissipation non symétrique. On observe que le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes-Maxwell admet le mécanisme dissipatif de type perte de régularité. Par conséquent, une régularité plus élevée est généralement nécessaire pour obtenir le taux de dégradation optimal de L1(R3)-L2(R3) type, en comparaison avec cela pour l'existence globale dans le temps de solutions lisses. / In this thesis, we study some kinetic equations and some partial differential equations with dissipative mechanism, such as Boltzmann equation, Landau equation and some non-symmetric hyperbolic systems with dissipation type. Global existence of solutions or optimal decay rates of solutions for these systems are considered in Sobolev spaces or Besov spaces. Also the smoothing properties of solutions are studied. In this thesis, we mainly prove the following four results, see Chapters 3-6 for more details. For the _rst result, we investigate the Cauchy problem for the inhomogeneous nonlinear Landau equation with Maxwellian molecules ( = 0). See from some known results for Boltzmann equation and Landau equation, their global existence of solutions are mainly proved in some (weighted) Sobolev spaces and require a high regularity index, see Guo [62], a series works of Alexandre-Morimoto-Ukai-Xu-Yang [5, 6, 7, 9] and references therein. Recently, Duan-Liu-Xu [52] and Morimoto-Sakamoto [145] obtained the global existence results of solutions to the Boltzmann equation in critical Besov spaces. Motivated by their works, we establish the global existence of solutions for Landau equation in spatially critical Besov spaces in perturbation framework. Precisely, if the initial datum is a small perturbation of the equilibrium distribution in the Chemin-Lerner space eL 2v (B3=2 2;1 ), then the Cauchy problem of Landau equation admits a global solution belongs to eL 1t eL 2v (B3=2 2;1 ). Our results improve the result in [62] and extend the global existence result for Boltzmann equation in [52, 145] to Landau equation. Secondly, we consider the Cauchy problem for the spatially nhomogeneous non-cuto_ Kac equation. Lerner-Morimoto-Pravda-Starov-Xu [117] considered the spatially inhomogeneous non-cuto_ Kac equation in Sobolev spaces and showed that the Cauchy problem for the uctuation around the Maxwellian distribution admitted S 1+ 1 2s 1+ 1 2s Gelfand-Shilov regularity properties with respect to the velocity variable and G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. And the authors conjectured that it remained still open to determine whether the regularity indices 1+ 1 2s is sharp or not. In this thesis, if the initial datum belongs to the spatially critical Besov space eL 2v (B1=2 2;1 ), we prove the well-posedness to the inhomogeneous Kac equation under a perturbation framework. Furthermore, it is shown that the weak solution enjoys S 3s+1 2s(s+1) 3s+1 2s(s+1) Gelfand-Shilov regularizing properties with respect to the velocity variableand G1+ 1 2s Gevrey regularizing properties with respect to the position variable. In our results, the Gelfand-Shilov regularity index is improved to be optimal. And this result is the _rst one that exhibits smoothing e_ect for the kinetic equation in Besov spaces. About the third result, we consider compressible Navier-Stokes-Maxwell equations arising in plasmas physics, which is a concrete example of hyperbolic-parabolic composite systems with non-symmetric dissipation. It is observed that the Cauchy problem for Navier-Stokes-Maxwell equations admits the dissipative mechanism of regularity-loss type. Consequently, extra higher regularity is usually needed to obtain the optimal decay rate of L1(R3)-L2(R3) type, in comparison with that for the global-in-time existence of smooth solutions.

L'espace de Wasserstein est l'ensemble des mesures de probabilité définies sur un domaine fixé et muni de la distance de Wasserstein quadratique. Dans ce travail, nous étudions des problèmes variationnels dans lesquels les inconnues sont des applications à valeurs dans l'espace de Wasserstein.Quand l'espace de départ est un segment, c'est-à-dire quand les inconnues sont des courbes à valeurs dans l'espace de Wasserstein, nous nous intéressons à des modèles où, en plus de l'action des courbes, des termes pénalisant les configurations de congestion sont présents. Nous développons des techniques permettant d'extraire de la régularité à partir de l'interaction entre l'évolution optimale de la densité (minimisation de l'action) et la pénalisation de la congestion, et nous les appliquons à l'étude des jeux à champ moyen et de la formulation variationelle des équations d'Euler.Quand l'espace de départ n'est plus seulement un segment mais un domaine de l'espace euclidien, nous considérons seulement le problème de Dirichlet, c'est-à-dire la minimisation de l'action (qui peut être appelée l'énergie de Dirichlet) parmi toutes les applications dont les valeurs sur le bord du domaine de départ sont fixées. Les solutions sont appelées les applications harmoniques à valeurs dans l'espace de Wasserstein. Nous montrons que les différentes définitions de l'énergie de Dirichlet présentes dans la littérature sont en fait équivalentes; que le problème de Dirichlet est bien posé sous des hypothèses assez faibles; que le principe de superposition est mis en échec lorsque l'espace de départ n'est pas un segment; que l'on peut formuler une sorte de principe du maximum; et nous proposons une méthode numérique pour calculer ces applications harmoniques. / The Wasserstein space is the space of probability measures over a given domain endowed with the quadratic Wasserstein distance. In this work, we study variational problems where the unknowns are mappings valued in the Wasserstein space. When the source space is a segment, i.e. when the unknowns are curves valued in the Wasserstein space, we are interested in models where, in addition to the action of the curves, there are some terms which penalize congested configurations. We develop techniques to extract regularity from the minimizers thanks to the interplay between optimal density evolution (minimization of the action) and penalization of congestion, and we apply them to the study of Mean Field Games and the variational formulation of the Euler equations. When the source space is no longer a segment but a domain of a Euclidean space, we consider only the Dirichlet problem, i.e. the minimization of the action (which can be called the Dirichlet energy) among mappings sharing a fixed value on the boundary of the source space. The solutions are called harmonic mappings valued in the Wasserstein space. We prove that the different definitions of the Dirichlet energy in the literature turn out to be equivalent; that the Dirichlet problem is well-posed under mild assumptions; that the superposition principle fails if the source space is no longer a segment; that a sort of maximum principle holds; and we provide a numerical method to compute these harmonic mappings.

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes provenant de l'étude mathématique des fluides incompressibles visqueux : la propagation de la régularité tangentielle et le mouvement d'une surface libre.La première question concerne plus particulièrement l'étude qualitative de l'évolution de quantités thermodynamiques telles que la température dans l'équation de Boussinesq sans diffusion et la densité dans le système de Navier-Stokes non homogène. Typiquement, on suppose que ces deux quantités sont, à l'instant initial, discontinues le long d'une interface à régularité h"oldérienne. Comme conséquence de résultats de propagation de régularité tangentielle pour le champ de vitesses, on établit que la régularité des interfaces persiste pour tout temps aussi bien en dimension deux d'espace, qu'en dimension supérieure (avec condition de petitesse). Notre approche suit celle du travail de J.-Y. Chemin dans les années 90 pour le problème des poches de tourbillon dans les fluides incompressiblesparfaits.Dans le cas présent, outre cette hypothèse de régularité tangentielle, nous n'avons besoin que d'une régularité critique sur le champ de vitesses.La démonstration repose sur le calcul para-différentiel et les espaces de multiplicateurs.Dans la dernière partie de la thèse, on considère le problème à frontière libre pour le système de Navier-Stokes incompressible à deux phases. Ce système permet de décrire l'évolution d'un mélange de deux fluides non miscibles tels que l'huile et l'eau par exemple. Différents cas de figure sont étudiés : le cas d'un réservoir borné, d'une goutte ou d'une rivière à profondeur finie.On établit l'existence et l'unicité à temps petit pour ce problème. Notre démonstration repose fortement sur des propriétés de régularité maximale parabolique de type $L_p$-$L_q / This thesis is dedicated to two different problems in the mathematical study of the viscous incompressible fluids: the persistence of tangential regularity and the motion of a free surface.The first problem concerns the study of the qualitative properties of some thermodynamical quantities in incompressible fluid models, such as the temperature for Boussinesq system with no diffusion and the density for the non-homogeneous Navier-Stokes system. Typically, we assume those two quantities to be initially piecewise constant along an interface with H"older regularity.As a consequence of stability of certain directional smoothness of the velocity field, we establish that the regularity of the interfaces persist globally with respect to time both in the two dimensional and higher dimensional cases (under some smallness condition). Our strategy is borrowed from the pioneering works by J.-Y.Chemin in 1990s on the vortex patch problem for ideal fluids.Let us emphasize that, apart from the directional regularity, we only impose rough (critical) regularity on the velocity field. The proof requires tools from para-differential calculus and multiplier space theory.In the last part of this thesis, we are concerned with the free boundary value problem for two-phase density-dependent Navier-Stokes system.This model is used to describe the motion of two immiscible liquids, like the oil and the water. Such mixture may occur in different situations, such as in a fixed bounded container, in a moving bounded droplet or in a river with finite depth. We establish the short time well-posedness for this problem. Our result strongly relies on the $L_p$-$L_q$ maximal regularity theoryfor parabolic equations