Orientador: Eliris Cristina Rizziolli / Resumo: A proposta deste trabalho é aprofundar os estudos sobre a estrutura algébrica dos anéis. Neste sentido tratamos dos Domínios de Fatoração Única (UFD), Domínios Euclidianos e do anel dos Inteiros Gaussianos, bem como resultados pertinentes neste contexto / Abstract: The purpose of this paper is to further study the algebraic structure of the rings. In this sense we deal with the Unique Factorization Domains Euclidean Domains and the Ring of the Gaussian Integers, as well as pertinent results in this context / Mestre

Orientador: Odivaldo José Seraphim / Resumo: A drenagem do solo tem por objetivo a remoção por meios artificiais, do excesso de água acumulado, tornando o solo mais aproveitável ou adequado às atividades do homem. A ação de irrigação e drenagem subterrânea, com base em parâmetros hidrodinâmicos do solo, poderá, sem dúvida, levar a erros grosseiros. Para evitar tais erros, sempre que possível, utilizam-se dados sobre as condições obtidas em experimentos de campo, sobre as condições de flutuação do nível freático. A instrumentação para medida do nível freático à distância, cujos dados possam ser prontamente usados para controle automático da irrigação, poderá assegurar a produção econômica no curto prazo e, no longo prazo, a proteção ambiental. Com o avanço tecnológico na área de automação voltada às atividades agrícolas, nesta pesquisa propõe-se o desenvolvimento de um projeto para automatização de controle do nível freático da várzea, através de poços de observação instalados nesta área, que pertencente ao Departamento de Engenharia Rural da FCA, utilizando-se de um Controlador Lógico Programável e sistemas de transmissão de dados. Esta proposta fornece condições de avaliar o controle do nível do lençol freático em situações de sub-irrigação e drenagem controlada permitindo o manejo e controle racional do uso de água, evitando desperdícios, com armazenamento do excedente. / Abstract: The soil drainage aims for the removal of the accumulated excess of water by artificial means, turning the soil more profitable or adapted to human's activities. The irrigation system and the subsurface drainage together, in a meaning of hydrodynamic parameters of the soil, do can lead to erros. To correct such errors, when possible, is necessary to use data obtained from field experiments under flotation conditions of the water table level. The instrumentation for measurement of the water table at distance, whose data can be ready used for automated irrigation control, can assure the economic production at a short period and, at a long period, the enviromental protection. With the tecnological progress in the automation area turned to agricultural activities, this work aims for the design of an automated project to control the floodplain (varzea) water table, through observation wells installed in that area which belong to the Rural Engineering Department of the Faculty of Agronomic Sciences, using the Programmable Logical Controller and data transmissions systems. This proposal provides conditions to evaluate the water table at subsurface and controlled drainage conditions, allowing the management and rational control of water use, avoiding water wastage with storage of the surplus. / Mestre

The aim of this thesis is to describe the resolution (partial and strict) of irreducible quasi ordinary surfaces (algebroids), by Lipman's approach. To achieve our goal, we de ne to the quasi ordinary surfaces (algebroids) and describe their parametrization by quasi ordinary branches, we also de ne the quasi ordinary rings, local rings of the quasi ordinary irreducible surfaces, and we study the relationship that exists between the tangent cone and singular locus of a quasi ordinary ring (invariants that appear in these resolutions) and the distinguished pairs of a quasi ordinary normalized branch that represents this ring. Also, we de ne the special transforms of a quasi ordinary ring and show that they are again quasi ordinary. We conclude with an example of these resolutions. / El objetivo de este trabajo de tesis es describir la resolución (parcial y estricta) de superficies (algebroides) casi ordinarias irreducibles, mediante el enfoque de Lipman. Con dicho objetivo, definimos a las superficies (algebroides) casi ordinarias y describimos su parametrización por ramas casi ordinarias, también definimos a los anillos casi ordinarios, anillos locales de las superficies casi ordinarias irreducibles, y estudiamos la relación que existe entre el cono tangente y lugar singular de un anillo casi ordinario (invariantes que aparecen en estas resoluciones) y los pares distinguidos de una rama casi ordinaria normalizada que representa a este anillo. Asimismo, definimos las transformadas especiales de un anillo casi ordinario y mostramos que ellas son otra vez casi ordinarias. Concluimos con un ejemplo de estas resoluciones. / Tesis

En el presente trabajo estudiaremos que es imposible obtener una fórmula a base de operaciones fundamentales (adición, sustracción, división, multiplicación, potenciación y radicación) que nos dé las soluciones de una ecuación algebraica general de grado n mayor o igual que 5. Este problema fue resuelto por el matemático Niels Henrik y por Évariste Galois. Daremos una demostración algo “más geométrica" que la clásica demostración vía la teoría de Galois. La idea central será el estudio de las \deformaciones" que sufren las raíces de un polinomio como consecuencia de una \deformación" del polinomio. / Tesis

Made available in DSpace on 2019-03-30T00:23:26Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2018-12-17 / The current teaching conveys techniques that constitute a little revealing aspect of Mathematics, full of rules and processes without meanings, mechanically passed on to the students. With this research was developed and applied an educational software that mediates the mathematical teaching for children or people who are starting in the algebra study, denominated GAMEALG, with central focus on the concept of unknowns, the first dilemma of the transition from arithmetic to algebra. Thus, we seek a teaching that involves a clear understanding of the facts and concepts, contributing to an adequate contextualization of the same. A rich teaching in knowing what is done, in logical search of solutions. It is necessary to monitor the student in the reasoning development, that helps him to solve problems that involve more complex formulas and to identify the mathematical knowledge. The present study was born from the following questions: What should be done through computer game to teach the concept of incognito and the subsequent resolution of equations without mechanization? How to give meaning and representation to this concept? What daily life real facts should be used to assist in this process? How to simulate this reality digitally? This research aims to develop an educational software to mediate the teaching of algebra and the children digital inclusion in public schools, as well as to develop a methodology for pedagogical mediation through the software developed for the teaching of elementary concepts such as unknown and resolution of first-degree equations of an unknown. The research was carried out in four stages: first, the researcher interviewed mathematics teachers and collected introduction to algebra books; in the second, software was developed based on the previous stage and the researcher's praxis; already in the third, it was applied in the classroom and in the last stage, the results statistical analysis and the investigation qualitative analysis were done. The survey participants were 43 students from the 5th grade of a Fortaleza city public school. The students were allocated into two groups: Control Group (CT) and Test Group (TG). All students participated in blackboard basic explanations and two written exams. The TG was submitted to interaction with GAMEALG educational software. However, the CG was not submitted to this purpose of learning experience. During the written test the experimenter asked the student for explanations, trying to understand the perspective he adopted in the answer. The data were analyzed according to the following aspects: performance and nature of the presented answers. U statistical test of Mann-Whitney indicated that the test group students had higher performance levels than the control group students in the written test. These participants (TG) showed better performance in the conceptual field of unknowns understanding. The analysis of the answers nature corroborates this result and points out qualitative and quantitative improvements in the test group. Key-words: educational software, algebra, learning theories, conceptual fields, Vergnaud. / O ensino atual veicula técnicas que constituem um aspecto pouco revelador da Matemática, cheias de regras e processos sem significados, repassadas de forma mecânica aos alunos. Com essa pesquisa foi desenvolvido e aplicado um software educativo mediador do ensino matemático para crianças ou pessoas que estão se iniciando no estudo da álgebra, denominado GAMEALG, com foco central no conceito de incógnitas, o primeiro dilema da transição da aritmética para a álgebra. Assim, busca-se um ensino que envolva compreensão clara dos fatos e conceitos, contribuindo para uma contextualização adequada dos mesmos. Um ensino rico em saber o que se faz, em busca lógica de soluções. Faz-se necessário monitorar o aluno no desenvolvimento do raciocínio, que o auxilie a resolver problemas que envolvam fórmulas mais complexas e a identificar o conhecimento matemático. O presente estudo nasceu das seguintes indagações: O que deve ser feito através de jogo computacional para ensinar o conceito de incógnita e a posterior resolução de equações sem mecanização? Como dar significado e representação a esse conceito? Que fatos reais do cotidiano devem ser usados para auxiliar nesse processo? Como simular digitalmente essa realidade? Esta pesquisa tem por objetivo desenvolver um software educativo para mediar o ensino de álgebra e a inclusão digital de crianças em escolas públicas, bem como, desenvolver uma metodologia para mediação pedagógica por meio do software desenvolvido para o ensino de conceitos elementares como incógnita e resolução de equações do primeiro grau de uma incógnita. A pesquisa se deu em quatro etapas: primeira, o pesquisador entrevistou professores de matemática e coletou livros de introdução à álgebra; na segunda, desenvolveu-se o software baseado na etapa anterior e na práxis do pesquisador; já na terceira, aplicou-se em sala de aula e na última etapa, fez-se a análise estatística dos resultados e a análise qualitativa da investigação. Os participantes da pesquisa foram 43 alunos do 5º ano de uma escola pública da cidade de Fortaleza. Os estudantes foram alocados em dois grupos: Grupo Controle (GC) e Grupo Teste (GT). Todos os alunos participaram de explicações em básicas em lousa e a duas provas escritas. O GT foi submetido a interação com o software educativo GAMEALG. Todavia, o GC não foi submetido a essa experiência com o objeto de aprendizagem. No decorrer da prova escrita o experimentador solicitava explicações ao estudante, procurando compreender a perspectiva por ele adotada na resposta. Os dados foram analisados em função dos seguintes aspectos: desempenho e natureza das respostas apresentadas. Os testes estatísticos U de Mann-Whitney indicaram que os estudantes do grupo teste apresentam níveis de desempenho superior quando comparados aos estudantes do grupo controle na prova escrita. Estes participantes (GT) apresentaram melhor desempenho no que tange a compreensão do campo conceitual de incógnitas. A análise da natureza das respostas corrobora com este resultado e apontam melhoras de natureza qualitativa e quantitativa no grupo teste. Palavras - chave: software educativo, álgebra, teorias da aprendizagem, campos conceituais, Vergnaud.

Submitted by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2012-12-11T12:35:59Z No. of bitstreams: 3 TeresinhaPadilha.pdf: 5815336 bytes, checksum: acf782f23c7cc10c499749cb06934974 (MD5) license_text: 19951 bytes, checksum: 49b474ac87052564e7446b2f4796a474 (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2012-12-11T12:37:05Z (GMT) No. of bitstreams: 3 TeresinhaPadilha.pdf: 5815336 bytes, checksum: acf782f23c7cc10c499749cb06934974 (MD5) license_text: 19951 bytes, checksum: 49b474ac87052564e7446b2f4796a474 (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) / Made available in DSpace on 2012-12-11T12:37:05Z (GMT). No. of bitstreams: 3 TeresinhaPadilha.pdf: 5815336 bytes, checksum: acf782f23c7cc10c499749cb06934974 (MD5) license_text: 19951 bytes, checksum: 49b474ac87052564e7446b2f4796a474 (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) / O presente estudo analisa uma proposta de construção de fractais no desenvolvimento de conteúdos matemáticos. Propusemos uma pesquisa qualitativa com o objetivo de investigar como a construção de fractais com o software Geogebra poderia suscitar conhecimentos geométricos e algébricos. Desenvolvemos uma intervenção pedagógica com alunos da 7a série do Ensino Fundamental de uma escola municipal, e o material produzido pelos alunos constituiu-se na principal fonte de coleta de dados. Numa proposta de não unicidade do recurso computacional, também construímos cartões fractais e fractais tridimensionais. Finalmente, aplicamos um questionário onde os alunos fizeram considerações acerca da intervenção pedagógica. De acordo com as análises realizadas e tendo por base as respostas do questionário aplicado, a produção realizada pelos alunos e as observações registradas durante o desenvolvimento da intervenção pedagógica ficou evidenciado que: o trabalho contribuiu na obtenção de uma forma motivadora, interativa e viável da abordagem da Geometria Fractal; o software Geogebra foi importante ferramenta de apoio na construção dos fractais; a Geometria Fractal é uma possibilidade interessante de associarmos a geometria e a álgebra numa proposta diferenciada de forma a contemplar as duas áreas de conhecimento.

Submitted by FERNANDA DA SILVA VON PORSTER (fdsvporster@univates.br) on 2017-06-08T17:24:21Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) 2016AyrtonGoesdeMagalhaes.pdf: 2207025 bytes, checksum: 4ec1e001a76d19912af4e70a7bcd2249 (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2017-06-11T17:04:35Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) 2016AyrtonGoesdeMagalhaes.pdf: 2207025 bytes, checksum: 4ec1e001a76d19912af4e70a7bcd2249 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-11T17:04:35Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) 2016AyrtonGoesdeMagalhaes.pdf: 2207025 bytes, checksum: 4ec1e001a76d19912af4e70a7bcd2249 (MD5) Previous issue date: 2017-06 / Esta dissertação teve como propósito analisar as dificuldades para a construção de conceitos algébricos por alunos do 7º ano de uma escola de Ensino Fundamental, localizada no município de Santana, Estado do Amapá. O problema de pesquisa foi: Como os alunos do 7º ano desenvolvem conceitos algébricos? Como objetivos específicos, a pesquisa procurou: (i) Explorar atividades com padrões geométricos com os alunos para investigar como se dá a passagem da linguagem corrente para a algébrica e (ii) Analisar as contribuições de atividades com padrões geométricos para a compreensão de algumas operações da álgebra por letra ou símbolo. O aporte teórico utilizado teve como base os estudos de Usiskin (1999), que aponta a generalização de padrões como um caminho para o estudo do ensino e aprendizagem da álgebra, e os trabalhos de Lins e Gimenez (2006), que estudam o desenvolvimento do pensamento algébrico. Esta pesquisa, de natureza qualitativa, foi desenvolvida com oito alunos selecionados de uma turma com 34 alunos do 7º ano. Nesse contexto, a coleta de dados ocorreu em três momentos: 1º) por meio da aplicação de questionário investigativo, 2º) pela realização de oito aulas práticas e 3º) pela aplicação do questionário de percepção. A análise dos dados revelou que a maioria dos alunos consegue identificar e desenhar os elementos que completam uma sequência, empenhando-se nas atividades. No entanto, apresentam lacunas em relação à aritmética, erros no uso da elaboração das regras, problemas na leitura e na interpretação da situação problema, dificuldades para identificar generalizações e dificuldades na escrita de seu pensamento algébrico. / This dissertation aimed to analyze the difficulties for the construction of algebraic concepts by students of the 7th year of grade school (Fundamental Teaching), in Santana City, state of Amapá. The research problem was: How do the students of the 7th year build algebraic concepts? As specific objective, the research sought (i) to make the most of the activities with geometric patterns with the students in order to investigate how the change from the current language into algebraic one is carried out; (ii) to analyze the contributions of activities with geometric patterns for the comprehension about some operations in algebra with letter or symbol. The theoretical framework was based on the study by Usiskin (1999) that points the generalization of patterns as way to the study of Teaching and Learning of algebra, and the works by Lins and Gimenez (2006) that study the development of algebraic thought. This research, of qualitative basis, has been developed with eight students selected from a group of 34 in a class of the 7th year. In this context, the data collection was accomplished in three moments, 1) by applying investigative questionnaires; 2) by carrying out eight practical classes; and 3) by applying a questionnaire to analyze ones perception. The analysis of the data has revealed that most of the students are able to identify and draw the elements that complete a sequence when striving in the activities. Nevertheless, they show some learning gaps in relation to arithmetic, take mistakes in rule making, problems in reading and difficulties in: interpreting the problem situation, identifying generalizations and writing their algebraic thought.

En el primer capítulo se introduce la función $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ como aproximación de la función zeta de Riemann y se pondrá de relieve una de sus principales propiedades, que es la de ser una función entera de tipo exponencial de clase C. Se presenta, utilizando la noción de distribución de Levinson, una demostración de la densidad de ceros de este tipo de funciones distinta a la obtenida por los autores de [41]. Se dará también, con la condición de existencia de ceros sobre el eje imaginario, una fórmula sobre la distribución de dichos ceros. Después, se presentan algunos resultados sobre el número de ceros dentro de rectángulos de aproximaciones de la función zeta de Riemann y se expone cómo el uso de la función $H_{n}(z)$ permite obtener una fórmula precisa del número de ceros dentro de ciertos rectángulos. En el segundo capítulo se demuestra que para unas ciertas aproximaciones de la zeta de Riemann, es decir, las sumas parciales, hay densidad de las partes reales de sus ceros simples dentro de intervalos incluidos en sus bandas críticas. Los resultados de este capítulo aparecen en [14]. En el tercer capítulo se propone, utilizando aritmética y funciones completamente multiplicativas, un método para transportar una propiedad topológica de ceros de ciertos polinomios exponenciales, llamados polinomios de Dirichlet. Se utiliza el teorema de equivalencia de Bohr, muy conocido para las series de Dirichlet. Se demuestra que se puede aplicar este resultado a los polinomios de Dirichlet, lo cual nos da un método explícito para construir polinomios obteniendo la propiedad requerida y formando, al mismo tiempo, clases de equivalencia. En el cuarto capítulo, después de haber introducido el tema de las cuerdas fractales no reticulares, se demuestran conjeturas expuestas por Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuysen en [30], relacionadas con la densidad de las partes reales de ceros de polinomios de Dirichlet asociados a dichas cuerdas. Se puede encontrar estos resultados en [13]. En el último capítulo se exponen algunos resultados sobre la relación entre los polinomios de Dirichlet y las ecuaciones en diferencias de tipo neutro. Demostramos un resultado de inestabilidad para dichas ecuaciones y, utilizando el resultado anterior, se propone la creación de clases de equivalencias de ecuaciones en diferencias inestables. Al final de cada capítulo, se presentan algunos temas abiertos que podrían ser desarrollados en el futuro. / In the first one we introduce the function $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ as an approximation of the Riemann's zeta function and we focus on one of its most important properties, which is to be an entire function of exponential type of $\mathcal{C}$ class. We present, using the Levinson's notion of distribution, a demonstration of the density of the zeros of such functions. This proof is different to the authors one (see [41]). We also give a formula of the distribution of zeros on the imaginary axis (if they exist). Then, we show some results on the number of zeros in rectangles of approximations of the Riemann's zeta function and we will show how the use of the function $H_{n}(z)$ gives us a precise formula on the number of zeros in some specific rectangles. In the second chapter we prove that for some particular approximations of the Riemann's zeta functions, i. e., the partial sums, there is density in the real parts of its simple zeros in some intervals of their respective critical strips. The results of this chapter can be found in [14]. In the third chapter, using arithmetic and completely multiplicative functions, we offer a method to carry a topological property of the zeros of some exponential polynomials named Dirichlet polynomials. We use the Bohr-equivalence theorem which is usually used for Dirichlet series. We show that we can use it for Dirichlet poynomials too and we obtain an explicit method to construct polynomials with the desired property. In the fourth chapter we introduce the notion of nonlattice fractal strings and then we prove the conjetures of Michel Lapidus and Machiel van Frankenhuysen (see [30]), which have a relation with the density of the real parts of the zeros of Dirichlet polynomials associated to such strings. These results appear in [13]. In the last chapter we present some results on the relation between Dirichlet polynomials and differential equations in differences of neutral type. We prove a result on unstability for such equations and using the previous result we will create some equivalent classes of differential equations with unstability. At the end of each chapter, we present some open problems which could be further developed in future research.

Las t-estructuras en categorías trianguladas fueron introducidas a principios de los ochenta del último siglo por Beilinson, Bernstein y Deligne [BBD], en su estudio de los haces perversos sobre una variedad analítica o algebraica. El descubrimiento fundamental de este concepto era la existencia de una categoría abeliana “escondida”, llamada por ellos el corazón de la t-estructura, que permitía el desarrollo de una teoría de homología intrínseca dentro de la propia categoría triangulada en cuestión. Surge de manera natural las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuándo el corazón de una t-estructura es una categoría de Grothendieck?. 2. ¿Cuándo es él una categoría de módulos?. Lo inabordable de la pregunta, ha hecho que sólo se estudien casos particulares de la misma, estableciendo condiciones en la t-estructura así como también en la categoría triangulada en cuestión. De hecho, todos los trabajos que conocemos en está dirección, están concentrados en la llamada t-estructura de Happel-Reiten-Smalo (ver [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]). En esta tesis, se abordaron las cuestiones 1 y 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo, solventado algunos casos que no fueron cubiertos en los trabajos [CGM], [CG], [CMT], [HKM] y [MT]. Por otra parte, una de las novedades de esta tesis, fue el estudiar las cuestiones 1 y 2, para t-estructuras más generales que el caso de Happel-Reiten-Smalo. En el capítulo 5 se estudia el corazón de las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano. A continuación, daremos una lista de los resultados más relevantes de esta tesis. Resultados Cuestión 1, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, fijamos una categoría de Grothendieck G y un par de torsión t = (T,F) en G y denotaremos por Ht el corazón de la t-estructura asociada en D(G). En primera instancia se mostró que Ht es una categoría abeliana AB5 si, y sólo si, los funtores de homologías Hk: Ht → G, conmutan con límites directos, para todo entero k. También probamos que si Ht es una categoría de Grothendieck entonces F es cerrada para límites directos en G. Como una consecuencia de nuestros resultados, para los pares de torsión inclinantes y coinclinantes, se logro dar resultados más allá de la condición de Grothendieck, generalizando algunos resultados de [CMT] y [BK]. Cuestión 2, para la t-estructura de Happel-Reiten-Smalo: En este caso, el par de torsión t = (T,F) se fija en la categoría de módulos R-Mod sobre un anillo asociativo con unidad R. En el capítulo 4, se da respuesta definitiva a esta cuestión, en términos de un progenerador de Ht. Aprovechando dicho resultado, en el caso de pares de torsión introducidos por Hoshino, Kato y Miyachi, llamados pares de torsión HKM en lo que sigue, establecimos la relación precisa entre un complejo HKM que define el par de torsión y progenerador de Ht. Como consecuencia, se muestra un ejemplo de un complejo HKM que no está en el corazón y otro ejemplo de un par de torsión que no es un par de torsión HKM, cuyo corazón es una categoría de módulos. Por otra parte, para los pares de torsión hereditarios las condiciones que deben exigirse a un complejo para ser un progenerador de Ht se simplifican, surgiendo de manera natural las ternas TTF(=torsion torsionfree). En el caso en que suponemos que t = (T,F) es la parte derecha de una terna TTF en R-Mod, bajo unas hipótesis suficientemente generales, las condiciones a exigir al complejo, quedan reducidas. Otra pregunta natural que surge es la de encontrar un progenerador de Ht que sea lo más sencillo posible. En la tesis se estudiamos cuándo dicho progenerador puede ser elegido de manera que sea una suma directa de tallos. En el caso de un solo tallo, se logra dar un ejemplo de un par de torsión no inclinante cuyo corazón es una categoría de módulos que admite un progenerador de la forma V[0] para algún módulo V en T. Cuestiones 1 y 2, para las t-estructuras compactamente generadas en la categoría derivada de un anillo conmutativo Noetheriano: Alonso, Jeremías y Saorín [AJS], clasifican las t-estructuras compactamente generada en D(R), donde R es un anillo conmutativo Noetheriano, en términos de filtraciones por soportes del espectro de R. Denotaremos por Ф tal filtración, y por HФ el corazón de la t-estructura asociada en D(R). Primero probamos que HФ siempre tiene un generador, así la cuestión 1 se reduce a determinar cuándo dicho corazón es una categoría abeliana AB5. Luego probamos que si Ф es una filtración acotada por la izquierda, entonces HФ es AB5 y por lo tanto, es una categoría de Grothendieck. A diferencia de la cuestión 1, la cuestión 2 es totalmente cubierta en la tesis. En esta repsuesta, la categoría cociente de R-Mod por una clase de torsión hereditaria juega un papel importante. Referencias [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489. / T-structures on triangulated categories were introduced in the early eighties of last century by Beilinson, Bernstein and Deligne [BBD] in their study of perverse sheaves on an analytic or an algebraic variety. The main discovery of this concept was the existence of a 'hidden' abelian category, called by them the heart of the t-structure, which allowed the development of a homology theory that is intrinsic to the triangulated category. In a natural way the following questions arise: 1. When is the heart of a t-structure a Grothendieck category? 2. When is it a category of modules? The intractability of the questions has led to study only particular cases of them, by establishing conditions on the t-structure as well as on the triangulated category in question. In fact, all the works that we know of in this respect are focused on the so-called t-structure of Happel-Reiten-Smalo (see [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]). In this thesis, we tackled questions 1 and 2 above for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo and solved some cases that were not covered in the work [CGM], [CG], [CMT], [HKM] and [MT]. On the other hand, one of the novelties of the thesis was to study questions 1 and 2, for t-structures more general than the Happel-Reiten-Smalo case. In chapter 5 we study the heart of compactly generated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring. In the sequel we give a list of the most relevant results in the thesis. Results Question 1, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, we fix a Grothendieck category G and a torsion pair t=(T,F) in G and we will denote by Ht the heart of the associated t-structure in D(G). First, we proved that Ht is an AB5 abelian category if, and only if, the homology functors Hk: Ht → G commute with direct limits, for each integer k. We also proved that if Ht is a Grothendieck category then F is closed under taking direct limits in G. As a consequence of our results, for tilting and cotilting torsion pairs we managed to give results further than the Grothendieck case, generalizing results from [CMT] and [BK]. Question 2, for the t-structure of Happel-Reiten-Smalo: In this case, the torsion pair t=(T,F) is fixed in the module category R-Mod over an associative ring with unit R. In chapter 4 a definitive answer to the question is given, in terms of a progenerator of Ht. Taking advantage of this result, in the case of the torsion pairs introduced by Hoshino, Kato and Miyachi, called HKM torsion pairs in the sequel, we established the precise relationship between an HKM complex which defines the torsion pair and the progenerator of Ht. As a consequence, we show an example of an HKM complex which is not in the heart and another example of a non-HKM torsion pair whose heart is a module category. On the other hand, for hereditary torsion pairs, the conditions to impose to a complex in order for it to be a progenerator of Ht get simplified, appearing in a natural way the TTF (=torsion torsionfree) triples. When we assume that t=(T,F) is the right constituent pair of a TTF triple in R-Mod, under sufficiently general hypotheses, the conditions to impose to the complex get reduced. Another natural by-side question which arises is that of finding a progenerator of Ht which is the simplest possible. In the thesis we study when such a progenerator can be chosen to be a direct sum of stalk complexes. In the case of a unique stalk complexes, we manage to give an example of a non-tilting torsion pair whose heart is a module category which admits a progenerator of the form V[0], for some module V in T. Questions 1 y 2, for compactly genrated t-structures in the derived category of a commutative Noetherian ring: Alonso, Jeremías and Saorín [AJS] classify the compactly generated t-structres in D(R), where R is a commutative Noetherian ring, in terms of filtrations by supports of the spectrum of R. We will denote by Φ such a filtration and by HΦ the heart of the associated t-structure in D(R). We first proved that HΦ always has a generator, so that question 1 reduces to determine when this heart is an AB5 abelian category. We then proved that if Φ is a left bounded filtration, then HΦ is AB5 and, hence, a Grothendieck category. Unlike question 1, question 2 has been completely answered in the thesis. In this answer the quotient category of R-Mod by a hereditary torsion class plays a very important role. References [AJS] L. Alonso, A. Jeremías, M. Saorín, Compactly generated t-structures on the derived category of a Noetherian ring, Journal of Algebra, 324 (2010), 313-346. [BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux Pervers”. Analysis and topology on singulas spaces, I, Luminy 1981, Astèrisque. 100. Soc. Math. France, Paris. (1982), 5-171. [BK] A.B. Buan, H. Krause, Cotilting modules over tame hereditary algebras. Pacific J. Math 211(1)(2003), 41-59. [CG] R. Colpi, E. Gregorio, The Heart of cotilting theory pair is a Grothendieck category, Preprint. [CGM] R. Colpi, E. Gregorio, F. Mantese, On the Heart of a faithful torsion theory, Journal of Algebra, 307 (2007), 841-863 [CMT] R. Colpi, F. Mantese, A. Tonolo, When the heart of a faithful torsion pair is a module category, Journal of Pure and Applied Algebra, 215 (2011) 2923-2936. [HRS] D. Happel, I. Reiten, S.O. Smalo, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996). [HKM] M. Hoshino, Y. Kato, J-I. Miyachi, On t-structures and torsion theories induced by compact objects, Journal of Pure and Applied Algebra, 167 (2002), 15-35. [MT] F. Mantese, A. Tonolo, On the heart associated with a torsion pair, Topology and its Applications, 159 (2012), 2483-2489.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Faculdade de Educação, 2008. / Submitted by Suelen Silva dos Santos (suelenunb@yahoo.com.br) on 2009-09-21T17:38:04Z No. of bitstreams: 1 Dissert_Sandra Aparecida.pdf: 2622826 bytes, checksum: 11431d7e7045284cb18904605608efc2 (MD5) / Approved for entry into archive by Gomes Neide(nagomes2005@gmail.com) on 2010-12-15T19:33:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissert_Sandra Aparecida.pdf: 2622826 bytes, checksum: 11431d7e7045284cb18904605608efc2 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-12-15T19:33:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissert_Sandra Aparecida.pdf: 2622826 bytes, checksum: 11431d7e7045284cb18904605608efc2 (MD5) Previous issue date: 2008 / Esta pesquisa teve como objetivo investigar as potencialidades da Investigação Matemática em sala de aula, na construção de conceitos algébricos pelos alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, com a participação de uma professora-colaboradora. O nosso trabalho de investigação partiu da idéia de Ponte (2003), Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2004) e Chevallard, Bosch e Gascón (2001), fundamentados pela teoria de Vygotsky (1934) e Vergnaud (1994) sobre a formação de conceitos. Com esses referenciais, realizamos uma pesquisa de campo na qual propusemos a investigação realizada em grupos de alunos, convidados a não só resolver um problema, mas também a registrarem que conclusões tiraram na realização dessa tarefa e que processos usaram para chegar a essas conclusões (questões levantadas, como organizaram os dados, conjecturas provadas e não provadas, procedimentos usados para validação das conjecturas etc). Os problemas apresentados para os alunos tiveram como características situações das quais eles ainda não possuíam estruturas anteriores já prontas e que, para conseguirem resolver, teriam que mobilizar esquemas, elaborar hipóteses, testar resultados, conversar com os colegas para chegarem às resoluções. O papel do professor nesse caso foi o de mediar a construção desses conhecimentos, e não o de mostrar o modelo pronto. O estudo mostrou que as aulas de investigação podem ter um grande potencial nas aulas de Matemática, pois se constituiu num ambiente de interação e troca, favorecendo o aluno a criar atitudes de predisposição, interesse e entusiasmo pela atividade matemática. Favoreceu também o surgimento de teoremas em ato e conceitos em ato, contribuindo para entendermos um pouco mais como se dá a construção matemática dos alunos e, também, forneceu-nos dados importantes sobre em que momento em cada aluno estava em sua aprendizagem. ________________________________________________________________________________ ABSTRACT / This research has the purpose of investigating the potentialities of the Mathematical Investigation in our classroom, in the construction of algebraic concepts by students of the seventh grade of junior high school, with the participation of a collaborating teacher. Our investigative work arose from the idea of Ponte (2003), Fiorentini, Fernandes and Cristóvão (2004) as well as Chevallard, Bosch and Gascón (2001), based on the theory of Vygotsky (1934) and Vergnaud (1994) about the formation of concepts. With such references, we performed a field research in which we proposed an investigation carried out by the students, who were organized in groups and invited to not only solve the problem, but also to register their findings (the issues raised by the problem, how they organized the data, conjectures which were proven and the ones which were not proven, the procedures used to validate such conjectures, etc). The problems presented to the students had as a characteristic situations in which they did not have previous structures already solved, and in order to solve such problems, the students had to mobilize schedules, create hypothesizes, test results and talk to their peers to get a solution. The teacher’s role in this case was to mediate the construction of such knowledge, and not to demonstrate the model already done. The study showed that the investigation classes may have a great potential in classes of Mathematics, since they were built in an environment of interaction and exchange, influencing the students to create an attitude of predisposition, interest and enthusiasm for the mathematical activity. They also favored the surge of theorems in act and concepts in act, which contributed to our understanding of how the students’ mathematical construction occurs and also they provided us with important data about the moment in which each student is learning.