Esta tese representa uma sequencia natural a trabalhos de vários autores, em que se busca obter resultados novos sobre aplicações birracionais usando técnicas de álgebra comutativa. Uma das lacunas conhecidas é o problema da característica do corpo de base. Habitualmente tratados separadamente, o caso de característica zero e de característica prima, deixam a desejar do ponto de vista da unificação dos resultados gerais. Outro aspecto relevado é o do enunciado de critérios de birracionalidade alternativos ao tradicional cálculo do grau de uma aplicação racional. O principal objetivo deste trabalho é discutir um invariante numérico de birracionalidade válido em característica arbitrária, denominado posto Jacobiano dual. Este invariante depende fortemente da estrutura graduada da álgebra de Rees do ideal de base da aplicação racional, a qual permite uma análise mais precisa do que o tratamento geométrico habitual do gráfico como variedade "b lowup". _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT: This thesis stands as a natural sequence to the work of several authors, seeking to obtain new results on birational maps using techniques from commutative algebra. One of the classical problems in the theory of birational maps is the case where the characteristic of the base field is positive. The usual separate treatment of the case of characteristic zero and characteristic prime falls short of unifying general results. Another aspect scarcely dealt with is the statement of a birationality criterion which stands as an alternative to the traditional calculation of the degree of a rational map. The main objective of this work is a numerical invariant of birationality valid in arbitrary characteristic, called the Jacobian dual rank. This invariant depends strongly on the structure of the graded Rees algebra of the base ideal of a rational map, which allows a more precise analysis than the usual geometric treatment of the graph as a "blowup".

Submitted by Danielle Karla Martins Silva (danielle.martins@ufpe.br) on 2015-03-12T16:03:51Z No. of bitstreams: 2 TESE Maral Mostafazadehfard.pdf: 759835 bytes, checksum: 0db918f26f85cab03090a30fba1d2b36 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-12T16:03:51Z (GMT). No. of bitstreams: 2 TESE Maral Mostafazadehfard.pdf: 759835 bytes, checksum: 0db918f26f85cab03090a30fba1d2b36 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Previous issue date: 2014 / CNPq / Os resultados desta tese se enquadram na teoria dos polin^omios homaloidais, com ^enfase no caso de determinantes. O objetivo principal e o estudo das propriedades homol ogicas do determinante da matriz gen erica de Hankel e de uma de suas degenera c~oes, como um m etodo de abordar o seu comportamento de natureza homal oide. No caso da matriz de Hankel gen erica, em caracter stica zero, concluimos que o Hessiano do determinante e n~ao nulo (equivalentemente, o mapa polar associado e dominante), mas o determinante n~ao e homal oide. No caso degenerado, sabese que o determinante e homal oide (provado por Cilibert-Russo-Simis [3]); aqui, determinamos os invariantes num ericos e homol ogicos do respectivo ideal gradiente (polar), esses podendo ser usados para simpli car algumas passagens no argumento de [3]. Os principais resultados da tese s~ao baseados em ferramentas n~ao triviais da algebra comutativa e a natureza do uso dessas ferramentas e um dos recursos importantes desta tese.

First in this dissertation we make a brief overview about basic tools of commutative algebra required for understanding the rest of the text. Then, we present the definition of symbolic powers and we discuss their basic properties, mainly emphasizing questions such as primary decomposition and calculation of generators. We conclude this work by showing actual results that relate the symbolic powers with other notions in commutative algebra and algebraic geometry. / Nesta dissertação fazemos inicialmente um breve apanhado sobre ferramentas básicas de álgebra comutativa úteis para o entendimento do resto do texto. Em seguida, apresentamos a definição de potências simbólicas e discutimos suas propriedades mais elementares, destacando sobretudo questões como decomposição primária e cálculo de geradores. Finalizamos o trabalho mostrando resultados atuais que relacionam as potências simbólicas com outras noções da álgebra comutativa e geometria algébrica.

Fundação de Apoio a Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergipe - FAPITEC/SE / The Rees algebra of an ideal is an algebraic construction that takes place in commutative algebra and algebraic geometry. Currently, the study of arithmetic and homological properties of this object is cause for diverse research in commutative algebra. Our main goal in this work is to address aspects such as dimension and defining equations of the Rees algebra and other algebras that relate to it. / A álgebra de Rees de um ideal é uma construção algébrica que ocupa lugar de destaque na álgebra comutativa e na geometria algébrica. Atualmente, o estudo de propriedades aritméticas e homológicas desse objeto é motivo de diversas pesquisas em álgebra comutativa. Nosso principal objetivo nesse trabalho é tratar de aspectos como dimensão e equações de definição da álgebra de Rees e de outras álgebras que relacionam-se com ela.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The notion of symbolic power dates back to W. Krull, who used it in the proof of the famous theorem of principal ideal, this a crucial milestone in the short history of commutative algebra. Later, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees and others have shown how this purely algebraic notion has important signi cance in algebraic geometry. In this paper we study the symbolic powers showing some of its most fundamental properties and their connections with various aspects of algebraic geometry and commutative algebra. / A no ção de potência simb ólica remonta a W. Krull, que a usou na prova do c élebre teorema do ideal principal, este um marco crucial na curta hist ória da álgebra comutativa. Mais adiante, O. Zariski, M. Nagata, D. Rees e outros mostraram como esta no ção puramente alg ébrica tem importante signi ficado em geometria alg ébrica. Neste trabalho estudaremos as potências simb ólicas evidenciando algumas de suas propriedades mais fundamentais e suas conexões com aspectos variados da geometria alg ébrica e álgebra comutativa.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, under the view of commutative algebra, we will study reductions of an ideal, the concept was introduced by Northcott and Rees. First of all, we will give preliminary no- tions about dimension theory, Hilbert’s polynomial, Hilbert-Samuel’s polynomial, regularity of modules and superficial elements. Next we will discuss the main theme of this dissertation, where we will talk about integral closure of ideal, reduction and the Rees algebra, moreover, we will establish connections between these concepts. Finally, we will discuss some applica- tions in Hilbert-Samuel's polynomial and multiplicity theory, in which some recent results will be presented. / Neste trabalho, sob a luz da álgebra comutativa, estudaremos reduções de um ideal, tal conceito foi introduzido por Northcott e Rees. Em um primeiro momento, daremos noções preliminares sobre teoria de dimensão, polinômio de Hilbert, polinômio de Hilbert-Samuel, regularidade de módulos e elementos superficiais. Na sequência discutiremos o tema principal da dissertação, no qual falaremos de fecho integral de um ideal, redução e a álgebra de Rees, além disso, estabeleceremos conexões entre esses conceitos. Por fim, discutiremos algumas aplicações na teoria de multiplicidade e polinômio de Hilbert-Samuel, no qual será apresentado alguns resultados recentes. / São Cristóvão, SE