Cette thèse est consacrée à l’étude des propriétés qualitatives de solutions d’une équation d’évolution de type Hamilton-Jacobi avec une diffusion donnée par l’opérateur p-Laplacien. On s’attache principalement à l’étude de l’effet de la diffusion non-linéaire sur le phénomène d’explosion du gradient. Les principales questions qu’on étudie portent sur l’existence locale, régularité, profil spatial d’explosion et la localisation des points d’explosion. En particulier on montre un résultat d’explosion en seul point du bord. Dans le chapitre 4, on utilise une approche de solutions de viscosité pour prolonger la solution explosive au delà des singularités et on étudie son comportement en temps grands. Dans l’avant dernier chapitre on s’intéresse au caractère borné des solutions globales du problème unidimensionnel. Dans le dernier chapitre on démontre une estimation de gradient locale en espace et on l’utilise pour obtenir un résultat de type Liouville. On s’inspire et on compare nos résultats avec les résultats connus pour le cas de la diffusion linéaire. / This thesis is devoted to the study of qualitative properties of solutions of an evolution equation of Hamilton-Jacobi type with a p-Laplacian diffusion. It is mainly concerned with the study of the effect of the non-linear diffusion on the gradient blow-up phenomenon. The main issues we are studying are: local existence and uniqueness, regularity, spatial profile of gradient blow-up and localization of the singularities. We provide examples where the gradient blow-up set is reduced to a single point. In Chapter 4, a viscosity solution approachis used to extend the blowing-up solutions beyond the singularities and an ergodic problem is also analyzed in order to study their long time behavior. In the penultimate chapter, we address the question of boundedness of global solutions to the one-dimensional problem. In the last chapter we prove a local in space, gradient estimate and we use it to obtain a Liouville-type theorem.

Le problème de Zolotarev pour des ensembles discrets apparaît pour décrire le taux de convergence de la méthode ADI, dans l’approximation de certaines fonctions matricielles ou encore pour quantifier le taux de décroissance des valeurs singulières de certaines matrices structurées. De plus, la réduction de modèle constitue un enjeu important en théorie du contrôle linéaire, et on peut prédire la qualité de l’approximation d’un système dynamique linéaire continu stationnaire de grande dimension donné grâce à la résolution approchée d’une équation de Sylvester. Après avoir prouvé l’existence d’un minimiseur pour le troisième problème de Zolotarev pour des ensembles discrets, on détermine dans cette thèse le comportement asymptotique faible de ce problème sous certaines hypothèses de régularité. Pour mener cette étude, on considère un problème de minimisation d’énergie sous contraintes pour des mesures signées en théorie du potentiel logarithmique.On discute également la précision de nos résultats asymptotiques pour des ensembles discrets généraux du plan complexe, et une formule intégrale explicite est établie dans le cas particulier de deux sous-ensembles discrets de l’axe réel symétriques par rapport à l’origine. L’impact de nos résultats théoriques pour l’analyse du taux de convergence de la méthode ADI appliquée pour la résolution approchée d’une équation de Lyapounov est estimé à l’aide de plusieurs exemples numériques après avoir exposé l’algorithme nous permettant d’obtenir les paramètres utilisés. Mots clés : Théorie du potentiel / The Zolotarev problem with respect to discrete sets arises naturally to describe both the convergence rate of the ADI method, to compute approximation of various functions of matrices and to quantify the decreasing rate of singular values of structured matrices. Moreover, the theory of model reduction is a key problem in linear control theory, and the quality of the approximation of continuous stationnary linear dynamical system might be predicted with the computation of the solution of a Sylvester equation. Once proved the existence of a minimizer for the third Zolotarev problem with respect to discrete sets, we give the weak asymptotic behaviour of the Zolotarev quantity under some regularity hypothesis. In this purpose, we introduce a problem of energy minimization with constraints in logarithmic potential theory with respect to signed measures. We discuss the accuracy of our results for general discrete sets in the complex plane, and we prove an explicit integral formula in the particular case of two discret subsets of the real axis symmetric with respect to the imaginary axis. Then, the impact of our theoretical results concerning the analysis of the convergence rate of the ADI method applied to solve a Sylvester equation is estimated with various numerical examples after the description of the algorithm which we used to compute the parameters.

Généralisation de la théorie du contrôle classique développée pour les E.D.O. au cas des E.D.P. Reformulation des critères de la théorie du contrôle suivant 2 approches : théorie formelle des E.D.P. et algèbre différentiel. Un accent tout particulier est accordé au critère de contrôlabilité dont la généralisation aux E.D.P. constitue l'apport essentiel de cette étude. L'approche algébrique est utilisée pour conduire à un raisonnement qui permet la généralisation et la clarification de ces critères. Cependant c'est la théorie des E.D.P. qui permet d'élaborer des tests pour vérifier ces critères sur machine grâce a des logiciels de calcul formel. Nouvelle théorie du contrôle appliquée à de nombreux exemples de la physique (tourbillons de Bénard, dynamique des câbles, équations d'Euler, équations de Maxwell...) et des calculs explicites de degré de transcendance différentielle très complexes.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse on étudie la stabilité orbitale des ondes solitaires de deux types d’équations d’évolution non linéaires: l’équation de Degasperis-Procesi (DP), qui est une équation du type Camassa-Holm, et l’équation de Kawahara généralisée (gKW), qui correspond à une équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) supplémentée d’un terme d’ordre 5. Sur le modèle DP on apporte une amélioration significative de la preuve de la stabilité d’un peakon donnée par Lin et Liu. Puis, en utilisant la méthode de Martel-Merle-Tsai adaptée par El Dika-Molinet dans le cas de l’équation de Camassa-Holm, on montre que la somme de N peakons, de vitesses croissantes et suffisamment distants les uns des autres à l’instant initial, est orbitalement stable. Sur le modèle de Kawahara généralisé, on prouve l’existence de deux branches d’ondes solitaires : l’une construite en appliquant le théorème des fonctions implicites au voisinage d’une onde solitaire explicite de gKW découverte par Dey. al., l’autre construite en résolvant un problème de minimisation sur R, avec une contrainte qui force la famille à converger vers le soliton explicite de l’équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV) lorsque le coefficient devant l’opérateur d’ordre 5 tend vers 0. Par remise à l’échelle, on obtient ainsi une branche constituée d’ondes solitaires voyageant à faibles vitesses. On prouve ensuite que les ondes solitaires constituant ces deux branches sont orbitalement stables en appliquant la méthode spectrale introduite par Benjamin et des arguments de continuité. / No summary available

Dans ce travail, nous nous intéressons à des modèles cinétiques décrivant un aérosol constitué de particules solides dans un gaz raréfié. Ces modèles sont constitués d'un couplage de deux Équations aux Dérivées Partielles décrivant l'évolution spatio-temporelle des distributions en molécules de gaz et en particules de poussière. Le modèle présenté dans la première partie de ce travail est constitué d'un couplage de deux équations de type Boltzmann, dans lequel l'interaction entre les molécules de gaz et les particules de poussière est décrite par deux opérateurs de collision. Nous proposons deux modélisations de ces opérateurs. Dans la première, les collisions entre particules et molécules sont supposées élastiques. Dans la seconde, nous modélisons ces collisions par un mécanisme inélastique de réflexion diffuse sur la surface des particules. Nous établissons alors des opérateurs de collision d'expressions non classiques. D'un point de vue mathématique, nous montrons que le couplage homogène en espace muni des opérateurs de collision élastiques possède des solutions faibles préservant la masse et l'énergie, et vérifiant une inégalité d'entropie. Nous proposons ensuite une mise en oeuvre numérique du modèle dit de réflexion diffuse, basé sur un code de type Direct Simulation Monte Carlo. Celle-ci met en évidence un coût de simulation de l'opérateur particules-molécules trop élevé lorsque les particules ont un rayon trop grand. Nous introduisons alors dans la deuxième partie de ce travail un modèle constitué d'un couplage (par l'intermédiaire d'une force de traînée) entre une équation de Vlasov et une équation de Boltzmann. Pour cela, nous effectuons un adimensionnement du premier système, suivi d'un développement asymptotique de l'opérateur de collision particules-molécules adimensionné en fonction du rapport de masse entre une molécule et une particule de poussière. Nous justifions ensuite rigoureusement ce développement asymptotique dans le cas homogène en espace et pour le modèle de collisions élastiques en prouvant que les solutions du couplage Boltzmann/Boltzmann convergent faiblement vers des solutions du couplage asymptotique Vlasov/Boltzmann. Nous établissons pour cela une nouvelle variante de l'inégalité de Povzner, adaptée au cas de particules de masses très différentes. Par ailleurs, nous comparons numériquement les systèmes Boltzmann/Boltzmann et Vlasov/Boltzmann pour le modèle dit de réflexion diffuse. La mise en oeuvre numérique du système Vlasov/Boltzmann est réalisée par couplage entre une méthode de type Particle-In-Cell et une méthode Monte-Carlo. Enfin, nous présentons l'application de ces modèles à la simulation numérique de la mobilisation et du transport de particules de poussière au début d'un accident de perte de vide, dans le cadre d'étude de sûreté pour le réacteur ITER

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal