Nous utilisons la méthode d'équivalence de Cartan pour réaliser une étude géométrique des équations différentielles ordinaires du second ordre et du premier ordre, sous l'action des transformations ponctuelles préservant les aires dans le cas du second ordre et de certaines autres transformations dans le cas du premier. Cela nous permet de caractériser de manière invariante toutes les équations différentielles du second ordre se ramenant à y"=0. De plus nous associons à toute telle équation, une connexion de Cartan affine normale dont la courbure contient tous ses invariants. Dans le cas du premier ordre nous apportons un regard nouveau sur une étude de R. Liouville concernant l'équation différentielle d'Abel. Enfin dans un autre ordre d'idées nous réalisons une étude de certaines solutions algébriques de l'équation de Riccati. / Abstract

Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées L^2 solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. <br /><br />Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. <br /><br />Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. <br /><br />Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. <br /><br />Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schrödinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

Nous utilisons trois discrétisations connues pour leur localisation fréquentielle et spatiale: les bases d'ondelettes, les paquets d'ondelettes et les bases de cosinus locaux. Nous avons construit et programmé deux algorithmes: --- pour l'équation parabolique non-linéaire $\Delta(u)+\1e^(c*u)=f$ avec $f$ présentant une singularité, notre algorithme calcule la compression optimale en dimension 1 et 2, avec résultats numériques pour la dimension 1. --- pour l'équation intégrale oscillante correspondant à la Combined Integral Field Equation qui est en rapport avec le problème de diffraction des ondes (Helmholtz) par un obstacle régulier 2D, lorsque la longueur d'onde diminue vers $0$. Les trois discrétisations ci-dessus sont testées, et nous étudions sa bonne compressibité dans une analyse précise des obstacles à la compression menée de manière asymptotique. Des résultats originaux, montrant que N degrés de liberté par longueur d'onde suffisent à hautes fréquences, ont été démontrés, et les matrices résultant de ce seuillage ont été étudiées, illustrations et preuves à l'appui.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.

Pour simuler la propagation laser, nous utilisons l'approximation paraxiale de l'équation de Klein-Gordon.<br />Dans une première partie, nous menons une analyse asymptotique de l'équation de Klein-Gordon. Nous obtenons dans divers cas des problèmes approchés de type Schrödinger ou advection-Schrödinger. Nous montrons que ces problèmes sont bien posés et estimons la différence entre problème exact et problème approché.<br />Dans une deuxième partie, nous étudions le problème d'advection-Schrödinger sur un domaine borné et non plus sur tout l'espace, et montrons quelle condition au bord il faut imposer pour que la solution de notre problème sur le domaine soit la restriction de la solution sur l'espace entier.<br />Dans une troisième partie, nous utilisons les résultats précédents pour construire une méthode de résolution numérique, et présentons les simulations obtenues.

Les temps de trajet, amplitudes et angles à la source des ondes sismiques sont utilisés dans de nombreuses applications telles que la migration, la tomographie, l'estimation de la sensibilité de détection et la localisation des microséismes. Dans le contexte de la microsismicité, il est nécessaire de calculer en quasi temps réel ces attributs avec précision. Nous avons développé ici un ensemble d'algorithmes rapides et précis en 3D pour des modèles à fort contraste de vitesse.Nous présentons une nouvelle méthode pour calculer les temps de trajet, les amplitudes et les angles à la source des ondes correspondant aux premières arrivées. Plus précisément, nous résolvons l'équation Eikonal, l'équation de transport et l'équation des angles en nous basant sur une approche par différences finies pour des modèles de vitesse en 3D. Nous proposons une nouvelle méthode hybride qui bénéficie des avantages respectifs de plusieurs approches existantes de résolution de l'équation Eikonal. En particulier, les approches classiques proposent généralement de résoudre directement les équations et font l'approximation localement d'une onde plane. Cette approximation n'est pas bien adaptée au voisinage de la source car la courbure du front d'onde est importante. Des erreurs de temps de trajet sont alors générées près de la position de la source, puis propagées à travers tout le modèle de vitesse. Ceci empêche de calculer correctement les amplitudes et les angles à la source puisqu'ils reposent sur les gradients des temps. Nous surmontons cette difficulté en introduisant les opérateurs sphériques ; plus précisément nous reformulons les temps de trajet, amplitudes et angles à la source par la méthode des perturbations.Nous validons nos nouvelles méthodes pour différents modèles à fort contraste de vitesse en 2D et 3D et montrons notre contribution par rapport aux approches existantes. Nos résultats sont similaires à ceux calculés en utilisant la modélisation de la forme d'onde totale alors qu'ils sont bien moins coûteux en temps de calcul. Ces résultats ouvrent donc de nouvelles perspectives pour de nombreuses applications telles que la migration, l'estimation de la sensibilité de détection et l'inversion des mécanismes au foyer.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à l'étude mathématique du transport dans les systèmes de Hall quantiques en milieu désordonné. Plus précisément nous commençons par étudier la théorie de la réponse linéaire dans le cas continu pour un opérateur de Schrödinger magnétique aléatoire. Nous exploitons le formalisme de l'intégration non commutative pour développer une théorie de la réponse linéaire adaptée au problème et obtenir une formule de Kubo-Středa. Dans un deuxième temps nous nous intéressons à la quantification des courants de bord créés par un mur magnétique modélisé par un Hamiltonien d'Iwatsuka. Nous démontrons la stabilité de cette quantification sous certaines perturbations magnétiques. Enfin nous achevons ce travail de thèse par une discussion plus approfondie sur le formalisme développé dans la première partie, de manière à permettre une généralisation future de la théorie de la réponse linéaire.

Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcum Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale : la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes L1 et Linfini pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre

Le contrôle de santé des structures par méthodes vibratoires se heurte à l'influence prédominante des effets thermiques et suscite le besoin de méthodes d'assimilation thermique en temps réel pour éliminer ces effets. On propose des algorithmes qui permettent de reconstituer, à un instant donné, le champ de température dans une structure tridimensionnelle à partir de mesures ponctuelles enregistrées sur un intervalle de temps précédant cet instant. La démarche adoptée est celle de la méthode adjointe tirée de la théorie du contrôle optimal : on résout un problème de minimisation au sens des moindres carrés d'une fonction de coût mesurant l'écart entre les données et le champ de température reconstruit. La minimisation dans un espace de type H1 lève la difficulté habituelle de la méthode adjointe à la fin de la fenêtre d'observation, ce qui permet la reconstruction précise de la température à l'instant courant. La définition des valeurs ponctuelles du champ de température impose le choix d'espaces de contrôle de régularité importante. Pour pouvoir utiliser des méthodes usuelles de discrétisation malgré un second membre formé de masses de Dirac, l'état adjoint est défini par des techniques spécifiques fondées sur la transposition. Le formalisme dual adopté conduit à poser le problème dans un espace essentiellement unidimensionnel. En réduisant la quantité de calculs en ligne, au prix d'une série de précalculs, il donne lieu à des algorithmes d'assimilation en temps réel applicables à des structures tridimensionnelles de géométrie complexe. La robustesse des méthodes par rapport aux erreurs de modélisation et au bruit de mesure est évaluée numériquement et validée expérimentalement.