La gestion des ressources marines est l'un des enjeux majeurs du XXIe siècle. Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'étude du comportement migratoire des civelles (larves d'anguilles) dans l'estuaire de l'Adour. Le modèle, qui est constitué d'une équation aux dérivées partielles dégénérée de convection diffusion en 2D, prend en compte l'influence de la marée dynamique (système d'équations non linéaires dégénérées de Saint-Venant) et l'intensité lumineuse dans la colonne d'eau. Dans un premier temps, en appliquant la théorie du degré topologique nous avons montré l'existence de solutions stationnaires du modèle hydrodynamique. Par la suite, en injectant ces solutions dans notre modèle migratoire, nous avons établi l'existence de solutions en employant la théorie des semi-groupes, la méthode des caractéristiques et le théorème de J.-L. Lions. La positivité et des estimations a priori des densités biologiques avaient été fournies auparavant. Dans un second temps, nous présentons notre approche numérique. A l'aide des directions alternées et des pas fractionnaires dans un domaine réel de 30 km de long et de hauteur d'eau variable (bathymétrie réelle et influence de la marée) les résultats obtenus reproduisent bien qualitativement ce qui était attendu.

Nous étudions mathématiquement et numériquement des problèmes de réaction-diffusion avec convection. Dans la première partie, nous montrons sous certaines conditions que les opérateurs considérés ont la propriété de Fredholm, sont propres, et nous construisons un degré topologique pour ces opérateurs. Nous utilisons le degré pour étudier les bifurcations pour un problème d'ondes progressives de réaction-diffusion-convection, et nous montrons l'existence de fronts de réaction modifiés par la convection naturelle. Nous nous intéressons également aux instabilités convectives pour ces solutions. Nous étudions dans la deuxième partie l'influence de la tension de surface sur la stabilité des fronts. Dans le cas de liquides non miscibles, nous montrons que l'interaction de la tension de surface et de la réaction chimique peut conduire à une instabilité nouvelle. Dans le cas de liquides miscibles, nous modélisons la tension transitoire par une contrainte supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Nous montrons que le problème mathématique correspondant a une solution unique, et nous observons numériquement que les gradients de concentration peuvent engendrer des courants convectifs. Nous simulons l'évolution d'une goutte miscible sous l'influence de ces courants~: elle est comparable à celle d'une goutte non miscible sous l'action de la tension de surface, avec une tendance à s'arrondir ou à se scinder en gouttelettes. Nous montrons numé\-ri\-quement que la tension transitoire peut amplifier de petites déformations de fronts plans.

Cette thèse traite de la résolution numérique des équations de Fredholm de seconde espèce faiblement singulières, posées dans un espace de Banach. Les méthodes décrites ici sont appliquées plus particulièrement dans le cas de l'espace des fonctions continues sur un intervalle compact et dans le cas de l'espace des fonctions intégrables, au sens de Lebesgue, sur un intervalle compact. Le premier chapitre fixe brièvement le cadre théorique de cette étude. Différents types de convergence d'une suite d'opérateurs dans un espace de Banach complexe, ainsi que leurs propriétés, y sont notamment rappelés. Le deuxième chapitre est consacré à la description et à l'analyse de deux méthodes d'approximation de rang fini sur lesquelles sont appliqués trois schémas de raffinement itératif. Des majorations des erreurs relatives associées à chaque méthode et dans chacun des espaces fonctionnels considérés y sont déduites, ainsi que les taux de convergence des schémas de raffinement correspondants. Une description détaillée de la mise en \oe uvre de ces derniers est donnée. Le troisième chapitre traite de l'application de ces méthodes à la résolution numérique de l'équation de transfert. Cette équation intervient au sein d'un problème beaucoup plus vaste (émanant de la théorie du transfert) dont une brève description est donnée dans le cadre particulier des atmosphères stellaires. Des expériences numériques, portant sur la validation des méthodes proposées et sur des cas ayant un sens astrophysique, sont présentées. La fin de ce chapitre est consacrée à la description de méthodes asymptotiques de décomposition du domaine permettant de surmonter la difficulté de résoudre cette équation lorsque le paramètre d'intégration varie dans un intervalle très large, ce qui est le cas dans certaines applications astrophysiques.

Nous présentons un modèle de division de cellules sanguines basé sur la présence d'un facteur appelé maturation et le partage du cycle en une phase de prolifération et une phase de repos. Il est représenté par un système S de deux équations de transport structuré en âge et maturité. En intégrant par rapport à l'âge, S devient un système d'équations aux dérivées partielles à retards structuré en maturité. Dans le chapitre 1, nous introduisons le contexte biologique, et nous présentons notre modèle. Dans le chapitre 2, nous étudions le modèle quand la phase de prolifération est fixe et la division est égale. Nous montrons l'existence et l'unicité puis un résultat liant les solutions aux cellules souches ainsi qu'un résultat d'invariance, de comportement asymptotique et d'instabilité. Dans le chapitre 3, nous supposons que la phase de prolifération varie suivant la maturité des cellules. Nous prouvons des résultats analogues au chapitre 2. Dans le chapitre 4, la phase de prolifération est fixe mais nous supposons la division inégale. En utilisant la théorie des opérateurs de Markov, nous prouvons un résultat de stabilité globale.

Le travail présenté dans ce mémoire est divisé en deux parties. La première partie est consacrée aux calculs des fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière, associées à une fonction localement lipschtizienne à valeurs vectorielles. Clarke avait établi en 1975 que la fonction d'appui du sous-différentiel généralisé était une dérivée directionnelle généralisée. Il est donc satisfaisant de constater que la fonction d'appui de la Jacobienne généralisée est une sorte de "divergence directionnelle généralisée". Dans la seconde partie, nous présentons un certain nombre d'applications de techniques issues de l'Analyse non lisse à la résolution d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ainsi nous utilisons la dualité convexe et le calcul sous-différentiel pour prouver que les formules dites de Hopf-Lax définissent des solutions explicites des équations de Hamilton-Jacobi associées (avec données initiales semicontinues inférieurement). Nous n'utilisons ni le fameux principe de comparaison de la théorie des solutions de viscosité ni régularisation. Nous traitons successivement le cas de la dimension finie et de la dimension infinie. Ces résultats nous permettent de trouver des estimations des solutions d'équations dont l'hamiltonien est la différence de deux fonctions convexes. Enfin, nous nous attachons à l'étude des solutions sci dans des espaces de Banach dits ``lisses''. Le théorème de la valeur moyenne de Clarke et Ledyaev nous permet de montrer un résultat d'``enveloppe'' : nous construisons une solution sci pour une équation dont l'hamiltonien est le supremum d'une famille d'hamiltoniens. Nous appliquons enfin les mêmes techniques pour prouver l'existence d'une solution sci minimale sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on recontre généralement dans la littérature.

L'objet de cette thèse est la compréhension et la prévision du comportement des polycristaux composés de deux phases. La spécificité de ce problème est liée à la microstructure du matériau. Celle-ci est à la fois constituée de plusieurs phases cristallographiques (allotropiques) distinctes (le matériau est en ce sens un matériau composite) et de cristaux présentant un grand nombre de formes et d'orientations, ce qui est classique dans le cas d'un matériau polycristallin. C'est avec l'idée que cette double source d'hétérogénéité doit avoir une influence sur le comportement, à l'échelle macroscopique mais aussi aux échelles plus fines, que nous avons abordé les problèmes de mise en forme rencontrés dans le cas d'un acier austéno-ferritique. L'enjeu de ce travail est de construire un modèle visant à reproduire les phénomènes observés lors de caractérisations expérimentales du matériau. L'hétérogénéité du matériau, la complexité de sa microstructure et l'aspect non déterministe attaché à sa description nous ont conduit à utiliser des modèles d'homogénéisation pour aborder ce problème. Le premier objectif fixé fut donc de faire la revue des caractéristiques du matériau d'étude et des méthodes d'homogénéisation existantes qui peuvent nous aider à le modéliser ; c'est l'objet des deux premiers chapitres de ce travail. A l'issue de cette synthèse bibliographique, nous nous interrogerons sur les spécificités de la description morphologique de ces polycristaux biphasés. L'absence de modèle permettant de caractériser l'influence de la répartition des phases sur le comportement mécanique d'un tel matériau nous conduira à proposer un nouveau modèle qui sera présenté au chapitre 3. Cette nouvelle description étant posée, il nous faudra évaluer ses capacités à produire des effets liés à la distribution des phases et caractériser leurs conditions d'apparition. Afin d'obtenir ces informations, nous considérerons au chapitre 4 des situations tests principalement axées sur l'importance de certains paramètres tels le contraste inter-phase, la non linéarité et la fraction volumique. Ce chapitre sera également l'occasion de vérifier l'implémentation du modèle en confrontant les résultats obtenus, dans des cas simples, avec certains résultats issus de la littérature ou fournis par des logiciels à notre disposition. Après avoir considéré ces situations de référence nous chercherons à nous rapprocher du matériau d'étude. Pour ce faire, nous proposerons des mesures expérimentales permettant d'obtenir des caractérisations directement utilisables dans le cadre du modèle précédemment introduit. Ces résultats expérimentaux, obtenus en collaboration avec l'université de Sheffield, constitueront des données de référence que rions chercherons à reproduire dans la suite du travail. Le chapitre 6 propose de telles comparaisons modèle/expérience intégrant l'évolution micro structurale qui apparaît au cours de la sollicitation. Dans cette partie, ainsi que dans celle qui suit, nous discuterons des résultats obtenus, des défauts de nos modélisations et de nos caractérisations expérimentales, afin de pouvoir conclure quant à la pertinence de notre approche. L'ensemble de ce travail se place dans le cadre des comportements non linéaires, il sera donc question de linéarisation dans ce mémoire, néanmoins ce n'est pas sur cet aspect que se situent, à proprement parler, les développements nouveaux. En effet, une autre étape critique du traitement d'un polycristal biphasé, qui est d'ailleurs fondamentale pour tous les matériaux hétérogènes, est la représentation de la microstructure ainsi que celle des mécanismes responsables du comportement mécanique des matériaux. La théorie des composites nous offre des outils éprouvés pour mener à bien cette description, nous avons donc essayé ici, de mettre à profit ces connaissances dans un cas où le modèle auto-cohérent semble trop restrictif.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et de Pomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique, et prouvons que cette extension est maximale, et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky- Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-de Sitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire.

Le slugging (ou écoulement à bouchons) est un régime d'écoulement polyphasique indésirable apparaissant sur les systèmes de production de pétrole. Dans ce manuscrit, nous étudions la dynamique de ce phénomène intermittent dans le but de le supprimer par actionnement automatique de la vanne de sortie. Nous proposons des solutions de contrôle applicables dans une vaste gamme de situations industrielles. Après une analyse quantitative des propriétés physiques du slugging, nous proposons un modèle à paramètres distribués d'écoulement diphasique (gaz-liquide) reproduisant ce phénomène. Le modèle prend la forme d'un système hyperbolique de lois de conservation, pour lequel nous proposons un schéma de résolution numérique. De plus, nous procédons à une analyse de stabilité via la construction d'une fonction de Lyapunov de contrôle stricte pour le problème aux deux bouts avec condition initiale. Ensuite, nous présentons un modèle de dimension finie capable de reproduire les oscillations de pression et de débit qui caractérisent le slugging. Après une analyse des propriétés dynamiques de ce système, nous décrivons comment calibrer les paramètres du modèle afin que son comportement corresponde à celui d'un système donné. Enfin, nous proposons des lois de contrôle sous la forme de boucles de rétroaction, basées sur l'analyse du modèle réduit, dans deux situations industrielles distinctes : selon qu'un capteur de pression de fond est disponible ou non. Les performances de ces solutions sont comparées avec les méthodes correspondant à l'état de l'art dans chaque situation. La conclusion de cette étude est qu'il n'est pas systématiquement nécessaire de disposer d'un capteur de pression de fond pour stabiliser l'écoulement. Quand un tel capteur est disponible, la loi de contrôle que nous proposons possède de meilleures propriétés de stabilisation que les méthodes communément utilisées dans l'industrie, ce qui, lors du passage à l'échelle, devrait se traduire par une augmentation de la production de pétrole.

Ce document de synthèse est consacré à l'interprétation probabiliste de certaines équations d'évolution liénaires ou non-linéaires ainsi qu'à l'étude de méthodes numériques probabilistes. La première partie réunit plusieurs résultats qui mettent en évidence les liens qui existent entre les équations aux dérivées partielles et les processus de diffusion pour des modèles linéaires ou non-linéaires. Un paragraphe important est consacré à l'approche probabiliste des modèles de coagulation et/ou fragmentation. Nous présentons dans la seconde partie la construction de nouveaux algorithmes de simulation de type Monte-Carlo pour une large classe d'équations différentielles stochastiques. Cette méthode permet d'estimer de façon précise le premier moment de sortie d'un domaine et la position de sortie pour un processus stochastique. Nous nous intéressons ensuite aux techniques d'échantillonnage pondéré afin de réduire la variance de nos éstimateurs. Dans la troisième partie nous présentons des travaux sur l'analyse fine de certains processus stochastiques dans les espaces de Besov. La quatrième partie est consacrée à des applications issues de collaborations industrielles.

Ce rapport résume les recherches que j'ai entreprises depuis la fin de mon doctorat de thèse à l'automne 2001. Le travail présenté a été fait dans le cadre de divers projets et en collaboration avec de nombreux chercheurs : l'Imperial College London, Royaume-Uni (2001–2004) ; Bureau de Recherches Géologiques et Minières (BRGM), France (2004–présent) ; le Centre de recherches pour le génie parasismique (Earthquake Engineering Research Centre) à l'Université d'Islande (2009– 2010). En outre, ce rapport énumère les activités d'enseignement, de supervision et de conseils dans lesquels j'ai été impliqué depuis 2001. Ma recherche s'est principalement focalisée sur la prédiction de mouvements fort du sol à des fins d'ingénierie, soit pour des projets de conception ou de rénovation, soit pour l'évaluation de l'aléa et du risque sismique. La plupart de mes études portent sur l'estimation des mouvements sismiques empiriques par le biais des équations de prédiction de mouvements du sol (GMPEs, aussi appelées modèles de mouvements du sol ou relations d'atténuation). Cette recherche met l'accent sur : l'amélioration des prévisions des mouvements du sol médians et de la variabilité associée ; la quantification, la compréhension et potentiellement la réduction de la variabilité ; l'évaluation et la modélisation de la dépendance régionale des mouvements du sol ; et la confrontation de simulations et d'estimations empiriques. Mes recherches montrent que, bien que des progrès significatifs ont été accomplis au cours des deux dernières décennies dans l'amélioration de la précision des estimations de mouvements du sol médians pour un scénario donné, l'incertitude épistémique reste élevée et cela doit être pris en compte aussi bien dans l'évaluation de l'aléa que du risque sismique. En outre, toutes les méthodes permettant de réduire les écarts-types de GMPEs proposées jusqu'à présent, même si elles semblaient prometteuses, se sont révélées largement inefficaces. Mes études ont démontré que les mouvements sismique du sol peuvent varier considérablement selon les séismes ou les sites d'étude. Cela aussi doit être pris en compte lors de l'évaluation de l'aléa et du risque sismique. Toute tentative de réduire les incertitudes épistémiques et de dériver les GMPEs avec des écartstypes plus faibles sont tributaires d'une part de l'augmentation de la densité des réseaux de mouvements forts ; et d'autre part et peut-être de manière plus importante encore, de l'amélioration de la precision des métadonnées associées aux enregistrements de mouvements forts. Une telle base de données ainsi améliorée devrait conduire à une meilleure compréhension des phénomènes physiques et, de ce fait, à des résultats empiriques concernant l'effet de source, de trajet et de site sur les mouvements sismiques.