Dans un premier temps, nous étudions une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (notées EDSRs) qui sont reliées à des conditions de Neumann semi-linéaires relatives à des phénomènes ergodiques. La particularité de ces problèmes est que la constante ergodique apparaît dans la condition au bord. Nous étudions l'existence et l'unicité de solutions pour de telles EDSRs ergodiques ainsi que le lien avec les équations aux dérivées partielles et nous appliquons ces résultats à des problèmes de contrôle ergodique optimal. Dans une deuxième partie nous généralisons des travaux de P. Briand et Y. Hu publiés en 2008. Ces derniers ont prouvé un résultat d'unicité pour les solutions d'EDSRs quadratiques de générateur convexe et de condition terminale non bornée ayant tous leurs moments exponentiels finis. Nous prouvons que ce résultat d'unicité reste vrai pour des solutions qui admettent uniquement certains moments exponentiels finis, ces moments étant reliés de manière naturelle à ceux présents dans le théorème d'existence. Nous améliorons aussi la formule de Feynman-Kac non linéaire prouvée par P. Briand et Y. Hu. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique d'EDSRs quadratiques markoviennes dont la condition terminale est bornée. Nous estimons dans un premier temps des bornes déterministes sur le processus Z. Nous donnons ensuite un nouveau schéma de discrétisation en temps dont la particularité est que la grille de discrétisation est non uniforme. Enfin nous obtenons une vitesse de convergence pour ce schéma. Par ailleurs, quelques simulations numériques permettent d'étudier l'efficacité de notre nouveau schéma dans un cadre pratique.

La quantité totale de lipides et la composition en acides gras participent au déterminisme de la qualité des produits carnés et jouent un rôle dans de nombreuses pathologies. Par conséquent la maitrise du métabolisme des lipides constitue un important enjeu industriel et de santé publique. De nombreuses données expérimentales et bibliographiques sont actuellement disponibles sur le métabolisme des lipides dans différentes espèces. Néamoins, la hiérarchie d'importance des voies métaboliques et les régulateurs clefs de ce métabolisme dans différentes conditions expérimentales restent mal connus. Cette these propose d'utiliser les outils de la modélisation pour intégrer les données disponibles sur le métabolisme des lipides et des acides gras. Pour cela, deux modèles complémentaires ont été développés : un modèle dynamique simple comprenant le minimum de fonctions biologiques et de régulations nécessaire pour expliquer des données expérimentales métaboliques, et un modèle à large échelle comprenant un maximum d'informations issues des bases de données de connaissances. Le premier est un ensemble d'équations différentielles ordinaires décrivant les principales voies biochimiques du métabolisme des lipides indépendamment de l'espèce, de l'organe et des conditions expérimentales. Ce modèle a été confronté aux données biologiques décrivant les variations des acides gras dans le foie et le tissu adipeux lors de 72 heures de mise à jeun chez des souris de génotype sauvages et knockout pour PPARα (un facteur de transcription responsable notamment de l'activation de l'oxydation des acides gras). Nous mettons ainsi en évidence l'importance de la captation des acides gras sanguins par le foie, de l'oxydation hépatique des acides gras mais aussi et de maniere plus surprenante, des voies de désaturation et élongation des acides gras actives meme chez l'animal a jeun. L'existence d'un régulateur inconnu de l'élongation-désaturation des acides gras autre que PPARα est également suggérée. Le second modèle est un graphe d'influence qui réunit un maximum d'informations bibliogra- phiques pour les croiser avec des données transcriptomiques obtenues à haut débit. L'analyse de trois bases de connaissances bibliographiques (Gardon, une base interne experte ; TRANSPATH et Ingenuity, deux bases commerciales) a permis de mettre en évidence une forte complémenta- rité de la bibliographie extraite et des influences exploitables qu'elles référencent. Suite à cette analyse un graphe d'influence a été construit et l'analyse de sa topologie a permis de mettre en évidence les éléments les plus connectés possédant un lien avec le métabolisme énergétique. Ces deux démarches ont souligné l'intéret de la modélisation pour mettre en exergue des voies connues mais aussi inconnues, et suggérer ainsi de nouvelles expérimentations.

Cette thèse est constituée de trois parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie, on s'intéresse à la résolution de problème de contrôle stochastique par des méthodes de quantification. La quantification consiste à trouver la meilleure approximation d'une loi de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec un nombre donné N de points supportant cette loi. Nous allons expliciter un cadre de programmation dynamique " générique " qui permet de résoudre de nombreux problèmes de contrôle stochastique comme les problèmes de temps d'arrêt optimal, de maximisation d'utilité, d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, de filtrage... Dans ce cadre, nous donnons trois schémas de discrétisation en espace associée à la quantification d'une chaîne de Markov. Dans la deuxième partie, nous présentons un schéma numérique pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades doublement réfléchies. Nous nous plaçons dans un cadre général qui contient des sauts et des processus progressifs dépendant de la trajectoire. On propose une approximation du type schéma d'Euler. Nous prouvons la convergence du schéma pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades quand le nombre de pas de temps n tend vers l'infini. Nous donnons aussi la vitesse de convergence pour les game options. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la réplication des dérivés sur la variance réalisée. On propose une couverture robuste au modèle de volatilité constituée de positions dynamiques sur des options européennes. On étend ensuite cette méthodologie aux options sur fond et aux processus à saut.

Cette thèse concerne trois sujets de probabilités numériques et de mathématiques financières. D'abord, nous étudions le module de régularité L2 en temps de la composante Z d'une EDSR markovienne à coefficients lipschitziens, mais dont la fonction terminale g est irrégulière. Ce module est lié à l'erreur d'approximation par schéma d'Euler. Nous montrons, de façon optimale, que l'ordre de convergence est explicitement lié à la régularité fractionnaire de g. Ensuite, nous proposons une méthode de Monte-Carlo séquentielle pour le calcul efficace du prix d'une tranche de CDO, basée sur des variables de contrôle séquentielles, dans un cadre où les taux de recouvrement sont aléatoires et i.i.d. Enfin, nous analysons l'erreur de couverture associée à la stratégie en Delta-Gamma. La régularité fractionnaire de la fonction payoff joue un rôle crucial dans le choix des dates de rebalancement, afin d'atteindre des vitesses de convergence optimales.

Dans la première partie de ma thèse, en adaptant l'idée de Jien et Ma (2010), l'objectif principal est étudier les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades, semi-linéaires ou nonlinéaires, régies par un mouvement brownien standard et un mouvement brownien fractionnaire indépendant, ainsi que les équations différentielles partielles stochastiques associées régies par le mouvement brownien fractionnaire. Pour le cas semi-linéaire, dans un papier en collaboration avec Jorge A. Leόn (CINVESTAV, Mexique), nous utilisons le calcul de Malliavin dans le cadre du mouvement brownien fractionnaire et la transformation de Girsanov anticipative. Pour le cas nonlinéaire, nous appliquons la transformation de Doss-Sussmann. Dans la deuxième partie nous étudions la régularité, à savoir la continuité de Lipschitz conjointe et la semiconcavité conjointe, de la solution de viscosité pour une classe générale d'équations aux dérivées partielles-intégrales non locales de type Hamilton-Jacobi-Bellman. Pour cette fin nous employons l'interprétation stochastique par une équation différentielle stochastique rétrograde contrôlée avec sauts, en appliquant du changement de temps pour le mouvement brownien et la transformation de Kulik pour la mesure aléatoire de Poisson. Notre travail est une généralisation des travaux de Buckdahn, Cannarsa et Quincampoix (2010) et Buckdahn, Huang et Li (2011).

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d'énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire.

La thèse porte sur des problèmes de contrôle optimal où la dynamique est donnée par des équations différentielles avec mémoire. Pour ces problèmes d'optimisation, des conditions d'optimalité sont établies ; celles du second ordre constituent une part importante des résultats de la thèse. Dans le cas - sans mémoire - des équations différentielles ordinaires, les conditions d'optimalité standards sont renforcées en ne faisant intervenir que les multiplicateurs de Lagrange pour lesquels le principe de Pontryaguine est satisfait. Cette restriction à un sous-ensemble des multiplicateurs représente un défi dans l'établissement des conditions nécessaires et permet aux conditions suffisantes d'assurer l'optimalité locale dans un sens plus fort. Les conditions standards sont d'autre part étendues au cas - avec mémoire - des équations intégrales. Les contraintes pures sur l'état du problème précédent ont été conservées et nécessitent une étude spécifique à la dynamique intégrale. Une autre forme de mémoire dans l'équation d'état d'un problème de contrôle optimal provient d'un travail de modélisation avec l'optimisation thérapeutique comme application médicale en vue. La dynamique de populations de cellules cancéreuses sous l'action d'un traitement est ramenée à des équations différentielles à retards ; le comportement asymptotique en temps long du modèle structuré en âge est également étudié.

La thèse porte sur des problèmes de contrôle optimal où la dynamique est donnée par des équations différentielles avec mémoire. Pour ces problèmes d'optimisation, des conditions d'optimalité sont établies ; celles du second ordre constituent une part importante des résultats de la thèse. Dans le cas - sans mémoire - des équations différentielles ordinaires, les conditions d'optimalité standards sont renforcées en ne faisant intervenir que les multiplicateurs de Lagrange pour lesquels le principe de Pontryaguine est satisfait. Cette restriction à un sous-ensemble des multiplicateurs représente un défi dans l'établissement des conditions nécessaires et permet aux conditions suffisantes d'assurer l'optimalité locale dans un sens plus fort. Les conditions standards sont d'autre part étendues au cas - avec mémoire - des équations intégrales. Les contraintes pures sur l'état du problème précédent ont été conservées et nécessitent une étude spécifique à la dynamique intégrale. Une autre forme de mémoire dans l'équation d'état d'un problème de contrôle optimal provient d'un travail de modélisation avec l'optimisation thérapeutique comme application médicale en vue. La dynamique de populations de cellules cancéreuses sous l'action d'un traitement est ramenée à des équations différentielles à retards ; le comportement asymptotique en temps long du modèle structuré en âge est également étudié.

Une déformation isomonodromique d'une sphère épointée est une famille de connexions logarithmiques plates sur cette dernière ayant toutes, à conjugaison globale près, la même représentation de monodromie. Ces objets sont paramétrés par les solutions d'une certaine famille d'équations aux dérivées partielles, les systèmes de Garnier, qui sont équivalents dans le cas de la sphère à quatre trous aux équations de Painlevé VI. L'objet des travaux présentés ici est de construire de nouvelles solutions algébriques des ces systèmes dans le cas de la sphère à cinq trous. Dans une première partie, nous classifions les déformations isomonodromiques algébriques obtenues par restriction aux droites d'une connexion logarithmique plate sur le plan projectif complexe dont le lieu polaire est une courbe quintique. On obtient ainsi deux nouvelles familles de solutions algébriques du système de Garnier associé. Dans une deuxième partie, nous exploitons le fait qu'une déformation isomonodromique algébrique correspond à une orbite finie sous l'action du groupe modulaire sur la variété des caractères de la sphère à cinq trous pour obtenir de nouveaux exemples de telles orbites. Nous employons pour ce faire la convolution intermédiaire sur les représentations de groupes libres développée par Katz Enfin, nous décrivons une généralisation partielle de ce procédé au cas d'un tore complexe à deux trous. / We call isomonodromic deformation any family of logarithmic flat connections over a punctured sphere having the same monodromy representation up to global conjugacy. These objects are parametrised by the solutions of a particular family of partial differential equations called Garnier systems, which are equivalent to the Painlevé VI equations in the four punctured case. The purpose of this thesis is to construct new algebraic solutions of these systems in the five punctured case. First, we give a classification of algebraic isomonodromic deformations obtained by restricting to lines some logarithmic flat connection over the complex projective plane whose singular locus is a quintic curve. We obtain two new families of algebraic solutions of the associated Garnier system. In a second part, we use the fact that any algebraic isomonodromic deformation corresponds to a finite orbit under the mapping class group action on the character variety of the five punctured sphere to obtain new examples of such orbits. We do this by using Katz's middle convolution on representations of free groups. Finally, we give a partial generalisation of this procedure in the case of a twice punctured complex torus.

Plusieurs modèles compartimentaux ont déjà été développés pour représenter le métabolisme desneurones et astrocytes. De tels modèles impliquent un trop grand nombre de variables pour êtreaccessibles à l’analyse mathématique et jusqu’à maintenant ils n’ont été discutés que par le biais desimulations numériques. Le point de vue adopté ici est de réduire la contribution de plusieurscompartiments en un terme de forçage, ne conservant que quelques variables dynamiques, et decaractériser ces termes de forçage qui sont compatibles avec les observations expérimentales. Nousdiscutons d’abord un système forcé à deux dimensions puis nous passons à un système à quatredimensions, qui permet alors de faire la distinction entre neurones et astrocytes. Nous nousconcentrons dans ces deux cas sur la compréhension de deux phénomènes important observésexpérimentalement. Le premier est la déflexion initiale ou dip initial de la concentration de lactateextracellulaire rapportée pour la première fois par Hu et Wilson, visualisée in vivo après unestimulation électrique de l’hippocampe d’un rat. L’autre est l’accrochage des fréquences en réponse àl’application d’une séquence périodique de stimulus, observé par Hu et Wilson, et discuté plus tard parl’équipe Aubert-Costalat-Magistretti-Pellerin, sur la base de simulations numériques du systèmeAubert-Costalat. Plus précisément, le dip initial peut être parfaitement expliqué dans le cadre d’unedynamique lente-rapide, par le théorème de l’existence d’une variété lente quand la variété critique estattractive. L’accrochage des fréquences est discutée à la fois au travers de simulations numériques deMatlab et d’une analyse mathématique des systèmes forcés lents-rapides. / Several compartmental models have been developed to represent the metabolism of neurons andastrocytes. Such models involve too many variables to be accessible to mathematical analysis and untilnow they were only discussed via numerical simulations. The viewpoint adopted here is to reduceseveral compartments contributions into a forcing term, keeping very few dynamical variables, andcharacterize these forcing terms which are compatible with the observations. We first discuss a twodimensionalforced system and then move to a four-dimensional system which allows to distinguishbetween neurons and astrocytes. We focus on these two cases in the understanding of two importantphenomena observed in experiments. One is the initial dip in the extracellular lactacte concentration,first reported in vivo by Hu and Wilson on rat brain hippocampus after an electrical stimulation. Theother is a frequency locking response to the application of a periodic sequence of stimuli, alsoobserved by Hu and Wilson, and further discussed by Aubert-Costalat-Magistretti-Pellerin, on thebasis of numerical simulations of the Aubert-Costalat system. More precisely, the initial dip can bewell explained, in the setting of fast-slow dynamics, by the theorem of existence of slow manifoldwhen the critical manifold is transversally attractive. The frequency locking is discussed both viaMatlab numerical simulations and mathematical analysis of forced fast-slow systems.