Dans cette thèse, on considère des problèmes issus de l'analyse d'EDP stochastiques paraboliques non-dégénérées et dégénérées, de lois de conservation hyperboliques stochastiques, et d'EDS avec coefficients continus. Dans une première partie, on s'intéresse à des EDPS paraboliques dégénérées- on adapte les notions de formulation et de solutions cinétiques, puis on établit l'existence, l'unicité ainsi que la dépendance continu en la condition initiale. Comme résultat préliminaire, on obtient la régularité des solutions dans le cas non-dégénéré, sous l'hypothèse que les coefficients sont suffisamment réguliers et ont des dérivées bornées. Dans une deuxième partie, on considère des lois de conservation hyperboliques avec un forçage stochastique, et on étudie leur approximation au sens de Bhatnagar-Gross-Krook. En particulier, on décrit les lois de conservation comme limites hydrodynamiques du modèle BGK stochastique lorsque le paramètre d'échelle microscopique tend vers 0. Dans une troisième partie, on donne une preuve nouvelle et élémentaire du théorème classique de Skorokhod, concernant l'existence de solutions faibles d'EDS à coefficients continus, sous une condition de type Lyapunov appropriée. / In this thesis, we address several problems arising in the study of nondegenerate and degenerate parabolic SPDEs, stochastic hyperbolic conservation laws and SDEs with continues coefficients. In the first part, we are interested in degenerate parabolic SPDEs, adapt the notion of kinetic formulation and kinetic solution and establish existence, uniqueness as well as continuous dependence on initial data. As a preliminary result we obtain regularity of solutions in the nondegenerate case under the hypothesis that all the coefficients are sufficiently smooth and have bounded derivatives. In the second part, we consider hyperbolic conservation laws with stochastic forcing and study their approximations in the sense of Bhatnagar-Gross-Krook. In particular, we describe the conservation laws as a hydrodynamic limit of the stochastic BGK model as the microscopic scale vanishes. In the last part, we provide a new and fairly elementary proof of Skorkhod's classical theorem on existence of weak solutions to SDEs with continuous coefficients satisfying a suitable Lyapunov condition.

On considère une famille (Pδ)δ>0 de problèmes aux limites et de transmission dans un domaine avec couche mince, écrit sous la forme d'une équation différentielle d'ordre deux abstraite de type elliptique . Une nouvelle approche pour la résolution de (Pδ)δ>0 est présentée dans ce travail utilisant le concept physique d'impédance. Cette méthode est différente de celle qui utilise un changement d'échelle sur la couche mince voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.]. Elle permet d'obtenir un problème direct et simplifié où l'effet de la couche mince se retrouve complètement décrit par l'opérateur d'impédance. Les techniques employées sont essentiellement basées sur le calcul fonctionnel de Dunford, la théorie des semi-groupes, l'interpolation et quelques idées des travaux de [R. Labbas, Thèse d'état], [Dore G., Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.] et [Favini A., Labbas R., Maingot S., Tanabe H., Yagi A.]. On obtient des résultats nouveaux d'existence, d'unicité et de régularité maximale dans les espaces de Hölder pour fixé et ensuite on étudie le passage à la limite quand δ→0 de (Pδ)δ>0. Ce travail complète ainsi ce qui a été obtenu dans le cadre Lp, voir [Favini A., Labbas R., Lemrabet K. and Maingot S.].

Cette thèse est dédiée au développement et à l'application de méthodes ensemblistes pour l'estimation d'état et de paramètres pour des systèmes non-linéaires. Deux types de modèles sont considérés : modèles donnés par des fonctions explicites à variables complexes et modèles décrits par des équations différentielles ordinaires (EDOs). L'identification de paramètres de modèles décrits par des fonctions explicites est réalisée à l'aide des techniques d'inversion ensembliste par analyse par intervalles. Par ailleurs, les modèles utilisés sont à variables complexes ; dans ce cas l'évaluation de la sortie se fait à l'aide d'intervalles complexes. Dans ce travail, nous avons développé une arithmétique des intervalles complexes basée sur la représentation polaire. La multiplication et la division sont des opérations exactes, mais la somme et la différence ne le sont pas. Pour réduire le pessimisme introduit par ces dernières opérations, nous avons développé des algorithmes assurant les propriétés de minimalité. Cette bibliothèque a été associée aux méthodes d'inversion ensembliste dans le cadre de l'estimation de paramètres de modèles diélectriques, d'une part, et pour l'identification de paramètres thermophysiques d'autre part. Dans la deuxième partie de cette thèse, des algorithmes d'estimation d'état pour des systèmes décrits par des équations différentielles sont présentés. Ils permettent de fournir, à chaque instant, un ensemble contenant d'une manière garantie, toutes les valeurs du vecteur d'état compatibles avec les mesures et avec les bornes d'erreurs. Ces estimateurs sont basés sur des méthodes d'intégration garantie d'EDOs et sur l'inversion ensembliste. Enfin, une technique d'estimation de paramètres de modèles décrits par des EDOs est proposée.

C'est le souci d'une modélisation mathématique à la fois précise et maniable qui constitue le dénominateur commun à ces travaux de thèse. Nous nous sommes en particulier intéressés à deux champs d'application des probabilités les marchés financiers et la biologie. Le premier chapitre détaille nos motivations. Il résume nos principaux résultats, les compare aux travaux existants et suggère des extensions possibles. Au deuxième chapitre, suite aux articles de Talay et Tubaro (1990) et Bally et Talay (1996), nous mesurons l'erreur que l'on commet lorsque l'on approche la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique par celle de son schéma d'Euler. Sous hypothèse d'ellipticité, l'utilisation conjointe de techniques probabilistes et analytiques nous permet d'obtenir un développement limité fonctionnel, dans des espaces de fonctions très régulières de type noyau gaussien, du "noyau de transition" du schéma d'Euler, en fonction du pas de temps de discrétisation. Ce résultat trouve une application naturelle en mathématiques financières. Il donne la vitesse de convergence des prix, deltas et gammas d'options européennes pour une classe extrêmement large de payoffs. Il nous permet aussi de construire, au chapitre 3, dans l'analyse d'un modèle à volatilité stochastique proposé par Fouque, Papanicolaou et Sircar (2000), un algorithme d'évaluation et de couverture des options européennes dans lequel l'équilibre entre l'erreur statistique, due à l'échantillonnage "Monte-Carlo", et l'erreur de discrétisation temporelle est assuré de manière adaptative. Enfin, le dernier chapitre a pour thème le vieillissement cellulaire et est le fruit d'une coopération avec des biologistes de la Faculté de Médecine Necker à Paris. Les données expérimentales se présentent sous forme d'un arbre binaire de taux de croissance, à partir duquel nos collègues biologistes souhaitent détecter deux sous populations. Pour expliquer ces données, nous proposons un modèle autorégressif avec bifurcation, généralisant celui proposé par Cowan et Staudte en 1986, puis construisons et implémentons des procédures permettant d'estimer des paramètres et de tester des hypothèses biologiques. Pour ce faire, nous introduisons le concept de "chaînes de Markov bifurcantes", prouvons que cette famille de processus stochastiques satisfait des théorèmes limites originaux que nous appliquons au modèle et confrontons aux données, confirmant l'intuition et les calculs préliminaires des biologistes.

Qu'est-ce qu'un cas particulier ? Comment un mathématicien peut-il dire qu'un phénomène est «exceptionnel» et ne se produit pas «en général» ? Ces questions sont abordées dans cette thèse sous un angle historique, à partir d'un corpus de textes de Poincaré constitué autour de trois pôles: son étude des points singuliers des équations différentielles (1881), son travail sur le théorème (1889, 1890, 1891), et son mémoire sur les géodésiques des surfaces convexes (1905). Je me suis intéressée à ce que Poincaré désigne comme cas particuliers, comme exceptions, aux moyens qu'il met en oeuvre pour les étudier et les caractériser, à la place qu'il leur donne.<br /><br />La nature de cette problématique m'a amenée à développer une méthode particulière de travail historique, centrée sur une exploitation systématique des textes en tant que textes, et non simplement comme véhiculant des résultats mathématiques. J'ai examiné les formes textuelles élaborées pour énoncer et démontrer les résultats visés, la terminologie employée, les rapports établis par l'auteur entre différents résultats. Cette analyse minutieuse des textes apporte un nouvel éclairage sur des sources qui avaient, pour certaines, déjà fait l'objet d'une étude historique. De plus, en permettant de décrire des méthodes de travail de Poincaré touchant à la question du général, elle fait apparaître certains traits caractéristiques de sa démarche de mathématicien.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude théorique et numérique des équations différentielles stochastiques multivoques et leurs applications à la modélisation de structures mécaniques sous sollicitations aléatoires. Les équations différentielles stochastiques considérées comportent dans le terme de dérive un opérateur multivoque maximal monotone pour lesquelles l'existence et l'unicité de solutions ont déjà été obtenues dans un cadre euclidien. Pour de telles équations on montre la convergence d'un schéma numérique, faisant intervenir grâce à la maximalité et à la monotonie des opérateurs considérés, des applications exclusivement univoques, rendant son implémentation aisée. Un ordre de convergence est de plus obtenu sous certaines conditions sur le coefficient de diffusion. Pour enrichir la modélisation, on envisage des équations différentielles stochastiques multivoques d'ordre 2 évoluant sur une variété riemanienne pour lesquelles ont été obtenues l'existence et l'unicité d'une solution. Des simulations numériques sur des modèles d'association en série ou en parallèle de ressorts, amortisseurs et patins (ou éléments de Saint-Venant), dont la formalisation mathématique fait intervenir des équations différentielles stochastiques multivoques, ont permis de valider des méthodes d'identification de paramètres à partir de cycles d'hystérésis.

Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons des intégrales d'ordre m et leur associons des formules d'Ito. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas du mouvement brownien fractionnaire. Dans la seconde partie, nous étudions les approximations aux premier et second ordres des intégrales d'ordre m. Nous donnons des résultats de convergences presque-sure et en loi. Dans la troisième partie, nous nous intéressons aux équations différentielles dirigées par une fonction holdérienne. Nous donnons un résultat d'existence et d'unicité et étudions deux approximations de la solution. Dans la quatrième partie, nous étudions l'absolue continuité de la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement brownien fractionnaire. Nous proposons un critère simple assurant que la solution au temps t admet une densité. Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'estimation du coefficient de volatilité de la solution d'une équation différentielle stochastique classique. Nous construisons également un test d'adéquation.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

L'objet de cette thèse est la compréhension et la prévision du comportement des polycristaux composés de deux phases. La spécificité de ce problème est liée à la microstructure du matériau. Celle-ci est à la fois constituée de plusieurs phases cristallographiques (allotropiques) distinctes (le matériau est en ce sens un matériau composite) et de cristaux présentant un grand nombre de formes et d'orientations, ce qui est classique dans le cas d'un matériau polycristallin. C'est avec l'idée que cette double source d'hétérogénéité doit avoir une influence sur le comportement, à l'échelle macroscopique mais aussi aux échelles plus fines, que nous avons abordé les problèmes de mise en forme rencontrés dans le cas d'un acier austéno-ferritique. L'enjeu de ce travail est de construire un modèle visant à reproduire les phénomènes observés lors de caractérisations expérimentales du matériau. L'hétérogénéité du matériau, la complexité de sa microstructure et l'aspect non déterministe attaché à sa description nous ont conduit à utiliser des modèles d'homogénéisation pour aborder ce problème. Le premier objectif fixé fut donc de faire la revue des caractéristiques du matériau d'étude et des méthodes d'homogénéisation existantes qui peuvent nous aider à le modéliser ; c'est l'objet des deux premiers chapitres de ce travail. A l'issue de cette synthèse bibliographique, nous nous interrogerons sur les spécificités de la description morphologique de ces polycristaux biphasés. L'absence de modèle permettant de caractériser l'influence de la répartition des phases sur le comportement mécanique d'un tel matériau nous conduira à proposer un nouveau modèle qui sera présenté au chapitre 3. Cette nouvelle description étant posée, il nous faudra évaluer ses capacités à produire des effets liés à la distribution des phases et caractériser leurs conditions d'apparition. Afin d'obtenir ces informations, nous considérerons au chapitre 4 des situations tests principalement axées sur l'importance de certains paramètres tels le contraste inter-phase, la non linéarité et la fraction volumique. Ce chapitre sera également l'occasion de vérifier l'implémentation du modèle en confrontant les résultats obtenus, dans des cas simples, avec certains résultats issus de la littérature ou fournis par des logiciels à notre disposition. Après avoir considéré ces situations de référence nous chercherons à nous rapprocher du matériau d'étude. Pour ce faire, nous proposerons des mesures expérimentales permettant d'obtenir des caractérisations directement utilisables dans le cadre du modèle précédemment introduit. Ces résultats expérimentaux, obtenus en collaboration avec l'université de Sheffield, constitueront des données de référence que rions chercherons à reproduire dans la suite du travail. Le chapitre 6 propose de telles comparaisons modèle/expérience intégrant l'évolution micro structurale qui apparaît au cours de la sollicitation. Dans cette partie, ainsi que dans celle qui suit, nous discuterons des résultats obtenus, des défauts de nos modélisations et de nos caractérisations expérimentales, afin de pouvoir conclure quant à la pertinence de notre approche. L'ensemble de ce travail se place dans le cadre des comportements non linéaires, il sera donc question de linéarisation dans ce mémoire, néanmoins ce n'est pas sur cet aspect que se situent, à proprement parler, les développements nouveaux. En effet, une autre étape critique du traitement d'un polycristal biphasé, qui est d'ailleurs fondamentale pour tous les matériaux hétérogènes, est la représentation de la microstructure ainsi que celle des mécanismes responsables du comportement mécanique des matériaux. La théorie des composites nous offre des outils éprouvés pour mener à bien cette description, nous avons donc essayé ici, de mettre à profit ces connaissances dans un cas où le modèle auto-cohérent semble trop restrictif.

Ce document de synthèse est consacré à l'interprétation probabiliste de certaines équations d'évolution liénaires ou non-linéaires ainsi qu'à l'étude de méthodes numériques probabilistes. La première partie réunit plusieurs résultats qui mettent en évidence les liens qui existent entre les équations aux dérivées partielles et les processus de diffusion pour des modèles linéaires ou non-linéaires. Un paragraphe important est consacré à l'approche probabiliste des modèles de coagulation et/ou fragmentation. Nous présentons dans la seconde partie la construction de nouveaux algorithmes de simulation de type Monte-Carlo pour une large classe d'équations différentielles stochastiques. Cette méthode permet d'estimer de façon précise le premier moment de sortie d'un domaine et la position de sortie pour un processus stochastique. Nous nous intéressons ensuite aux techniques d'échantillonnage pondéré afin de réduire la variance de nos éstimateurs. Dans la troisième partie nous présentons des travaux sur l'analyse fine de certains processus stochastiques dans les espaces de Besov. La quatrième partie est consacrée à des applications issues de collaborations industrielles.