Η ΒΥΠ διαθέτει αντίτυπο της διατριβής σε έντυπη μορφή στο βιβλιοστάσιο διδακτορικών διατριβών που βρίσκεται στο ισόγειο του κτιρίου της. / Ακριβής και πλήρης αναλυτική λύση για το ευθύ πρόβλημα του Βιομαγνητισμού του ανθρώπινου εγκεφάλου είναι γνωστή για την περίπτωση που η πηγή του μετρούμενου μαγνητικού πεδίου θεωρείται σημειακό διπολικό ρεύμα εντός σφαιρικού ομογενούς αγωγού. Στην παρούσα διατριβή το ευθύ πρόβλημα του Βιοηλεκτρομαγνητισμού επιλύεται για το πλέον ρεαλιστικό πρότυπο του ομογενούς ελλειψοειδούς εγκεφάλου. Οι πρώτοι όροι προσέγγισης του ηλεκτρικού δυναμικού στο εσωτερικό και στο εξωτερικό του αγωγού παράγονται, καθώς και ο τετραπολικός όρος του πολυπολικού αναπτύγματος του εξωτερικού πεδίου μαγνητικής επαγωγής, κατά τρόπον ώστε να προβάλλεται ο ανισότροπος χαρακτήρας της ελλειψοειδούς γεωμετρίας, αλλά και η δομή της εξάρτησης των πεδίων από τη Φυσική και τη Γεωμετρία.Η επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων στη σφαιρική γεωμετρία καθώς και η επίπονη διαδικασία της αναγωγής των αποτελεσμάτων του ελλειψοειδούς προτύπου στα αντίστοιχα αποτελέσματα του σφαιροειδούς και του σφαιρικού προτύπου, απέδωσε χρήσιμα ποιοτικά συμπεράσματα ως προς τη σύγκριση των χρησιμοποιούμενων γεωμετρικών προτύπων. Ειδικότερα, όπως αποδείχτηκε, η αύξηση της ανισοτροπίας του προτύπου αντιστοιχεί στην εμφάνιση στα αποτελέσματα για τα εξωτερικά πεδία, της συνοριακής επιφάνειας του αγωγού, η οποία απουσιάζει από τα αντίστοιχα αποτελέσματα του πλήρως ισότροπου σφαιρικού αγωγού.Επιπλέον προσδιορίστηκε ο τρόπος με τον οποίο η πηγή εισέρχεται στον τετραπολικό όρο της μαγνητικής επαγωγής στα τρία πρότυπα, μέσω της ροπής, τροποποιημένης όπου χρειάζεται, και της θέσης της. Συνέπεια τούτου ήταν ο προσδιορισμός των μαγνητικά σιωπηλών πηγών σε κάθε πρότυπο, όπου αποδείχτηκε ότι μία πηγή που έχει προσανατολισμό κάθετο στην επιφάνεια του εκάστοτε αγωγού στο σημείο που ορίζει το διάνυσμα θέσης της, είναι σιωπηλή, δηλαδή δεν παράγει μαγνητικό πεδίο μετρήσιμο εξωτερικά του αγωγού.Τέλος, η διατριβή περιλαμβάνει μελέτη της ελλειψοειδούς γεωμετρίας και ανάλυσης του ελλειψοειδούς συστήματος συντεταγμένων, καθώς και εμβάθυνση στη διαδικασία αναγωγής αυτής της γεωμετρίας στη σφαιροειδή και στη σφαιρική. Ειδικά μελετώνται γεωμετρικές και αναλυτικές σχέσεις σύνδεσης του ελλειψοειδούς με το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, με σκοπό την βαθύτερη κατανόηση των αποτελεσμάτων της διατριβής στα αντίστοιχα πρότυπα, αλλά και των δυνατοτήτων εκμετάλλευσης τους στη μελλοντική αντιμετώπιση των αντιστρόφων προβλημάτων του Βιοηλεκτρομαγνητισμού. / An exact and complete analytic solution for the forward problem, in the theory of Biomagnetics of the human brain, is known only for the case where the source of the measured magnetic field, in the exterior of a homogeneous sphere, is considered to be a point current dipole. It is also known for special directions of the source inside a spheroidal homogeneous conductor. In the present thesis the corresponding problem for the more realistic ellipsoidal brain model is solved up to its first multipole term. The leading terms of the electric potential in the interior and the exterior of the conductor , as well as the leading quadrupolic term of the multipole expansion of the exterior magnetic induction field, are obtained. The results are given in a form that exhibits the anisotropic character of the ellipsoidal geometry and the structure of the dependence of the fields on Physics and Geometry. The solution of the corresponding problems in spherical geometry as well as the laborious task of reducing the ellipsoidal results in the corresponding spheroidal and spherical cases, has brought up useful conclusions concerning these three geometrical models. In particular it has been proved that, as the anisotropy of the model is increased, the corresponding results for the exterior fields incorporate the boundary of the conductor, which is totally absent in the corresponding results of the isotropic spherical model. Furthermore, the way that the source enters in the quadrupolic term of the magnetic induction field is identified as the vector product of its moment, modified when needed, by its position vector. Consequently, the magnetic silent sources for each model, i.e. sources that produce non detectable exterior magnetic field, are also characterized. Actually, a source that is oriented normally to the boundary of the conductor in the direction of its location, is shown to be always silent. Finally, the present thesis includes a study of ellipsoidal geometry and of the related ellipsoidal coordinate system, as well as a thorough examination of its reduction process to the spheroidal and spherical system. Geometric and analytic connection relations between the ellipsoidal and the spherical system are obtained, aiming to a better understanding of the results of the present thesis. Furthermore this study sets the basis for broadening the possibilities of solving some of the inverse problems of Bioelectromagnetics.

- / -

Η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζεται στο πρόβλημα της “μετάβασης” από την δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην τριτοβάθμια προτείνοντας την σύνδεση των Στοιχειωδών με τα Ανώτερα Μαθηματικά. Η σύνδεση αυτή επιχειρείται να γίνει μέσω κατάλληλα επιλεγμένων θεμάτων και οι μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες αποτελούν ένα ελκυστικό αντικείμενο για έρευνα στο παραπάνω πλαίσιο. Η διατριβή αυτή, αφορά τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και τα μοντέλα τους και ιδιαίτερα την Ελλειπτική Γεωμετρία: καθώς αυτή μοντελοποιείται πάνω στη σφαίρα, θα μπορούσε να αποτελέσει τη “γέφυρα” για το πέρασμα από την Ευκλείδεια στις μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή από την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέχρι την αξιωματική θεμελίωση του Hilbert. Περισσότερη έμφαση δίνεται στα μοντέλα των μη Ευκλειδείων και προτείνεται μια κατηγοριοποίηση αυτών για παιδαγωγικούς σκοπούς καθώς και ένα μοντέλο της Ελλειπτικής Γεωμετρίας για πιθανή διδακτική χρήση. Επίσης αναλύεται ένα νέο θεωρητικό πλαίσιο έρευνας για την διδακτική της γεωμετρίας και στην συνέχεια θα περιγραφεί η ερευνητική μεθοδολογία και το κυρίως διδακτικό πείραμα. Στο διδακτικό πείραμα, στο οποίο βασίζεται η διατριβή αυτή, συμμετείχαν φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών οι οποίοι ασχολήθηκαν, μεταξύ άλλων, με ζητήματα όπως: η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας και η κατασκευή μοντέλου της Ελλειπτικής Γεωμετρίας. / In this thesis, we investigate university students' interaction in an attempt to construct a model of elliptic geometry. In order to study the several ways in which geometrical meaning is produced through context and practices, we introduce three different types of use of geometrical concepts, namely as (1) elements of representation of spatial experience, (2) objects of traditional school practice, and (3) constituents of an abstract mathematical theory. The analysis of students' dialog according to this framework reveals how students develop their ability to communicate mathematically and negotiate their meanings. Students with a different use of geometrical concepts were able to interact and understand their peers.

Τα τελευταία χρόνια, γίνεται πολύς λόγος για τους καρκινικούς όγκους, καθώς η νόσος αυτή προσβάλλει ολοένα και περισσότερα άτομα κάθε χρόνο. Ιδιαίτερη βαρύτητα έχει δοθεί τόσο ερευνητικά όσο και ιατρικά στην αντιμετώπιση του καρκίνου μέσω θεραπευτικών τεχνικών (χημειοθεραπείες, χειρουργικές επεμβάσεις κλπ) καθώς και στην βελτίωση των συνθηκών διαβίωσης των καρκινοπαθών. Επίσης, αρκετή έμφαση στην έρευνα σχετικά με την ανάπτυξη του καρκίνου σε βιοχημικό επίπεδο και για την βαθύτερη κατανόηση της νόσου. Η έρευνα αφορά ερευνητές πολλών διαφορετικών ειδικοτήτων μεταξύ των οποίων και των μαθηματικών. Από το 1954 με την πρόταση των Armitage και Doll σχετικά με την μαθηματική μοντελοποίηση της γένεσης των καρκινικών όγκων, αρκετοί έχουν ασχοληθεί με την μαθηματική προτυποποίηση των διαφόρων φάσεων του καρκίνου, από την δημιουργία του μέχρι και την αντίσταση του σε φαρμακευτική αγωγή. Η εργασία αυτή πραγματεύεται την μαθηματική θεμελίωση και προτυποποίηση των καρκινικών όγκων όσον αφορά την γεωμετρική τους ανάπτυξη. Με βάση το θεμελιώδες μαθηματικό μοντέλο που προτάθηκε το 1976 από τον H. P. Greenspan, μελετάται η επίπτωση επιφανειακών διαταραχών στην ανάπτυξη σφαιρικών καθώς και ελλειψοειδών όγκων. Στην πρωτότυπη εργασία, η μελέτη περιορίστηκε στην ανάλυση των διαταραχών με μεταβλητή την πολική γωνία των σφαιρικών συντεταγμένων. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η γενίκευση του μοντέλου διαταραχών και στις δυο γωνίες του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων (πολική θ και αζιμουθιακή φ). Στην συνέχεια επεκτείνεται η μέθοδος σε τρία μοντέλα που γενικεύουν τις παραδοχές του αρχικού μοντέλου διατηρώντας την παραδοχή της σφαιρικής γεωμετρίας και μελετάται η ευστάθεια των αντίστοιχων επιφανειακών διαταραχών. Τέλος, μελετάται και η ευστάθεια του ίδιου προβλήματος στην ελλειψοειδή γεωμετρία επειδή η ανισοτροπία του ελλειψοειδούς σχήματος καθιστά πιο ρεαλιστική την προσέγγιση του πραγματικού σχήματος του καρκινικού όγκου. / The mathematical analysis of the tumour growth attracted a lot of interest in the last two decades. However, as of today no generally accepted model for tumour growth exists. This is due partially to the incomplete understanding of the related pathology as well as the extremely complicated procedure that guides the evolution of a tumour. Moreover, the growth of a tumour does depend on the available tissue surrounding the tumour and therefore it represents a physical case that is realistically modelled by ellipsoidal geometry. The remarkable aspect of the ellipsoidal shape is that it represents the sphere of the anisotropic space. It provides the appropriate geometrical model for any direction dependent physical quantity. In the present work we analyze the stability of a spherical tumour for four continuous models of an avascular tumour and the stability study of an ellipsoidal tumour. For all five models, conditions for the stability are stated and the results are implemented numerically. For the spherical cases, it is observed that the steady state radii that secure the stability of the tumour are different for each of the four models, and that results to differences in the stable and unstable modes. As for the ellipsoidal model, it is shown that, in contrast to the highly symmetric spherical case, where stability is possible to be achieved, there are no conditions that secure the stability of an ellipsoidal tumour. Hence, as in many physical cases, the observed instability is a consequence of the lack of symmetry.

Το θέμα στην ουσία αφορά την Αξιωματική θεμελίωση του Ευκλείδη (καθ'ύλη αξιωματική) που έχει ως αντικείμενο την μελέτη της γεωμετρίας του φυσικού χώρου, και επομένως διατηρεί τον εμπειρικό της χαρακτήρα. Επομένως ο φυσικός αυτός χώρος εφοδιάζει τον μελετητή και με μια ισχυρή γεωμετρική διαίσθηση. Από την άλλη μεριά η αφηρημένη αξιωματική του Hilbert, και η σχετική θεμελίωση της Γεωμετρίας, καταφέρνει να εξοβελίσει την γεωμετρική διαίσθηση. Από κει και πέρα η αλγεβροποίηση των μαθηματικών, εξοβελίζει και αυτή την γεωμετρική άποψη. / We present the axiomatic method of Euclid's elements in geometry (~300 B.C.) and the axiomatization of Euclid's geometry later (first quarter of the twentieth century) by Hilbert and Tarski (formalization).

Αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η αναζήτηση των διαρμονικών υποπολλαπλοτήτων της σφαίρας S3. Η μέθοδος που εφαρμόζεται συνδέεται με την αρχή του λογισμού των μεταβολών. Γίνεται σύντομη ανάλυση της μεθοδολογίας του λογισμού των μεταβολών και εφαρμογή αυτής σε γνωστές θεωρίες μεταξύ των οποίων είναι οι αρμονικές και διαρμονικές απεικονίσεις. Ορίζουμε τις έννοιες των αρμονικών και διαρμονικών απεικονίσεων μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων Riemann και δίνουμαι παραδείγματα τέτοιων απεικονίσεων. Τέλος, προσδιορίζουμαι τις διαρμονικές καμπύλες και τις διαρμονικές επιφάνειες της σφαίρας S3. Οι κεντρικές μας αναφορές είναι οι εργασίες : (1) Biharmonic submanifolds in spheres, Israel.J.Math.,130(2002), 109-123, των R.Caddeo, S. Montaldo και C .Oniciuic. (2) A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 10(1978), 1-68 των J. Eells και L.Lemaire. / The object of this project is the investigation of the biharmonic submanifolds of sphere S3. The method we apply is the variational method. We shortly analyse the method of variations and we describe some theorys as they derived by this method. Between those theorys are the harmonic and biharmonic maps. We define the notions of harmonic and biharmonic maps between two Riemannian manifolds and we introduce some examples. Finally, we allocate the biharmonic curves and surfaces of sphere S3. The central references are: (1) Biharmonic submanifolds in spheres, Israel.J.Math.,130(2002), 109-123, των R.Caddeo, S. Montaldo και C .Oniciuic. (2) A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 10(1978), 1-68 των J. Eells και L.Lemaire.

Οι κινητικές δομές δεδομένων KDSs (kinetic data structures) είναι ένα νέο πλαίσιο εργασίας για το σχεδιασμό και την ανάλυση αλγορίθμων σχετικών με γεωμε- τρικά αντικείμενα (ευθύγραμμα τμήματα, πολύγωνα, δίσκοι κ.τ.λ.) σε κίνηση. Σκο- πός μας είναι να διατηρήσουμε ένα χαρακτηριστικό ενός συνόλου κινούμενων αντι- κειμένων, π.χ. την κυρτή θήκη ή το κοντινότερο ζευγάρι του. Η διατήρηση του χαρα κτηριστικού γίνεται μέσω ενός συνόλου συνθηκών που εγγυώνται την εγκυρότητα της δομής κάθε χρονική στιγμή και το οποίο μεταβάλλεται με το χρόνο λόγω της κίνησης. Οι συνθήκες αποθηκεύονται σε μια ουρά διατεταγμένες χρονολογικά. Κάθε φορά που αλλάζει το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει ενημερώνουμε τη δομή μας και την ουρά. Η πρώτη ενότητα της εργασίας είναι μια εισαγωγή στις KDSs. Αναφέρουμε βασικές έννοιες και ιδέες των KDSs όπως: συνάρτηση διαμόρφωσης, πιστοποιητικά, κρίσιμα γεγονότα. Επίσης, ασχολούμαστε και με τα μέτρα απόδοσής τους. Στη δεύτερη ενότητα ασχολούμαστε με τους δυαδικούς διαχωρισμούς χώρου BSPs, πρώτα σε στατικό και κατόπιν σε κινητικό περιβάλλον. Συγκεκριμένα παρουσιάζουμε τρεις αλγορίθμους για τη διατήρηση του BSP ενός συνόλου κινούμενων ευθυγράμμων τμημάτων στο επίπεδο. Σύμφωνα με τον πρώτο γνωστό αλγόριθμο που διατυπώθηκε για την αποτελεσματική διατήρηση του BSP για ένα σύνολο μη-τεμνόμενων ευθυγράμμων τμημάτων S στο επίπεδο χρησιμοποιώντας τη φιλοσοφία των KDSs, κατασκευάζουμε έναν BSP για το S θεωρώντας τα ευθύγραμμα τμήματα στάσιμα και στη συνέχεια τον διατηρούμε καθώς αυτά κινούνται. Ο δεύτερος αλγόριθμος είναι ουσιαστικά μια επέκταση του πρώτου καθώς ασχολείται με το ίδιο πρόβλημα, αλλά για τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Αλλάζει το σύνολο των πιστοποιητικών και οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να αλλάξει η δομή του BSP. Ο τρίτος αλγόριθμος χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό τρόπο για την κατασκευή και διατήρηση του BSP για το σύνολο S βελτιώνοντας τον αρχικό. Στην τρίτη ενότητα ασχολούμαστε με τη διατήρηση του Voronoi διαγράμματος (VD) για ένα σύνολο κινούμενων, πιθανώς τεμνόμενων δίσκων στο επίπεδο και του συμπαγούς Voronoi διαγράμματος για ένα σύνολο μη-τεμνόμενων κυρτών πολυγώνων στο επίπεδο (το συμπαγές VD είναι δυϊκό του VD, αλλά το μέγεθός του είναι συνάρτηση του αριθμού των πολυγώνων και όχι του αριθμού των κορυφών). Και στις δύο περιπτώσεις, η επίλυση του προβλήματος ανάγεται στη διατήρηση του δυϊκού του VD, της τριγωνοποίησης Delaunay DT . Η διατήρηση της DT βασίζεται στο γεγονός ότι ένα σύνολο τοπικών συνθηκών (έλεγχοι InCircle), πιστοποιούν την ολική ορθότητα της δομής και τοπικές επιδιορθώσεις είναι πάντα εφικτές. Έτσι, καθώς τα αντικείμενα κινούνται, έχουμε κάθε στιγμή μια έγκυρη DT και συνεπώς ένα έγκυρο VD. Τέλος, αναφέρουμε μια KDS για τον εντοπισμό συγκρούσεων μεταξύ δύο απλών πολυγώνων σε κίνηση. Ο αλγόριθμος διατηρεί μια υποδιαίρεση του ελεύθερου χώρου μεταξύ των πολυγώνων, που καλείται external relative geodesic triangulation, η οποία πιστοποιεί τη μη-σύγκρουσή των πολυγώνων. / Kinetic Data Structures (KDSs) are a new framework for designing and analyzing algorithms for geometrics objects (segments, polygons, disks etc.) in motion. Our goal is to maintain an attribute of a set of moving objects, for example the convex hull or the closest pair. The maintenance of the attribute is made through a set of conditions that guarantee the validity of the structure every moment. This set is changed with time due to the motion. The conditions are stored in a queue ordered chronologically. Every time the attribute is changed, we update the structure and the queue. The first chapter is an introduction to the KDSs. We mention basic notions and ideas of the KDSs, like: configuration function, certificates, critical events. Furthermore, we discuss their measure of performance. In the second chapter we deal with the Binary Space Partitions (BSPs), first in static and then in kinetic environment. Specifically, we present three algorithms for the maintenance of a BSP for a set of moving segments in the plane. According to the first known algorithm which was proposed for efficiently maintaining the BSP for a set of non-intersecting segments S in the plane using the philosophy of KDSs, we construct a BSP - considering that the segments are static - and then we maintain it as the segments move. The second algorithm is substantially an expansion of the first algorithm as it deals with the same problem, but for intersecting segments. The set of the certificates is changed as well as the set of critical events. The third algorithm uses a different technique for the construction and maintenance of the BSP for the set S. It is an improvement of the first algorithm. In the third chapter, we deal with the maintenance of the Voronoi diagram (VD) for a set of moving, probably intersecting disks in the plane and the maintenance of a compact Voronoi-like diagram for a set of non-intersecting, convex polygons in the plane (compact VD is dual to VD, except that its size is a function of the number of polygons and not of the number of vertices). In both cases, we solve the problem by maintaining the dual graph of VD, the Delaunay triangulation (DT ). The maintenance of the DT is based in the fact that a set of local conditions (InCircle tests) guarantee the total correctness of the structure and we are able to do only local changes. So, as the objects move, we have a valid DT every moment and consequently a valid VD. Finally, we mention a KDS for detecting collisions between two simple polygons in motion. In order to do so, we create a planar subdivision of the free space between the polygons, called External Relative Geodesic Triangulation, which certify their disjointness.

Μια γρήγορη επίλυση του Delaunay Τριγωνισμός (DT) πρόβληματος αποτελεί ένα από τα βασικά συστατικά σε πολλές θεωριτικές και πρακτικές εφαρμογές. Οι υπάρχουσες μονάδες επεξεργασίας γραφικών (GPU), με βάση τις εφαρμογές των αλγορίθμων DT πάσχουν από δύο σοβαρά μειονεκτήματα. Το πρώτο σχετίζεται με την εξάρτηση του αλγορίθμου καθοδήγηση της GPU από την CPU για τους υπολογισμούς. Το δεύτερο πιο σοβαρό μειονέκτημα είναι η εξάρτησή τους από τη διανομή του σημειοσύνολου εισόδου. Οι περισσότεροι αλγορίθμοι για GPU έχουν καλή απόδοση μόνο με ομοιόμορφες κατανομές σημειοσύνολον. Προτείνουμε ένα καινούριο αλγόριθμο που δεν πάσχουν από τα παραπάνω προβλήματα. / A Fast solver of Delaunay Triangulation (DT) problem constitutes one of the basic ingredients in many practical and sientific applications. Existing Graphics Processing Units (GPU) based implementations of DT algorithms suffer from two serious drawbacks. The first is related to the dependency of the CPU guidance algorithm on GPU calculations. Albeit the modern GPUs have high computational throughput, if the feedback from CPU is necessary for the algorithmic evolution, the overhead caused by CPU-GPU communication can seriously degrade the performance. The second most serious drawback is their dependency on the distribution of the given point-set. Most of the GPU-based implementations can optimally run only on uniformly distributed point-sets, however, in many practical applications this is not the case.

Τα βασικά θέματα για την παρούσα Διπλωματική Εργασία είναι δύο: αφενός σκοπός μας είναι να εντοπίσουμε και να παρουσιάσουμε τους γεωμετρικούς κανόνες που χρησιμοποιούσαν, κατά την απόδοση των θεμάτων τους, οι καλλιτέχνες της Αναγέννησης, αφετέρου θέλουμε να αξιοποιήσουμε τη σύνδεση αυτή, μεταξύ τέχνης (κυρίως της ζωγραφικής) και γεωμετρίας, ώστε η διδασκαλία των γεωμετρικών εννοιών να αποκτήσει ένα πιο φιλικό χαρακτήρα για τους μαθητές. Ουσιαστικά η επιλογή του θέματος πραγματοποιήθηκε, εστιάζοντας στο διδακτικό στόχο που είχαμε κατά νου, ο οποίος αφορά τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να συνδυαστούν δυο διαφορετικοί τομείς μεταξύ τους, είτε μοιάζουν να συνδέονται άμεσα ή έμμεσα, η ζωγραφική και η γεωμετρία, με τη βοήθεια της τεχνολογίας, ώστε να ενισχυθεί η κατανόηση, η κριτική σκέψη και ο δημιουργικός χαρακτήρας της μάθησης, κατά τη διαδικασία της διδασκαλίας της γεωμετρίας. / The main themes for this thesis is two fold: first goal is to identify and present the geometrical rules used in the performance of their subjects, the artists of the Renaissance, other want to make the connection between art (mainly painting) and geometry, that the teaching of geometric concepts to gain a more friendly nature for students. Essentially the choice of subject was focusing on the learning objectives we had in mind, which is the way in which they can combine two different sectors together, seem to be associated either directly or indirectly, painting and geometry, using technology to enhance understanding, critical thinking and creative nature of learning in the process of teaching geometry.

Ένας από τους παράγοντες που ενοχοποιούνται για την ανάπτυξη ινομυϊκής υπερπλασίας στη φλεβική αναστόμωση των συνθετικών αρτηριοφλεβικών μοσχευμάτων, είναι η διαταραχή των αιμοδυναμικών συνθηκών στην περιοχή της αναστόμωσης. Για τον υπολογισμό της ροής, δηλαδή των πεδίων ταχύτητας, διατμητικής τάσης και στροβιλισμού, στην περιοχή αυτή, χρησιμοποιούνται μέθοδοι της υπολογιστικής δυναμικής των ρευστών, οι οποίες προϋποθέτουν γνώση της τριδιάστατης γεωμετρίας των αγγείων και του μοσχεύματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία αναπτύσσεται μια μεθοδολογία και ο αντίστοιχος αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της τριδιάστατης γεωμετρίας της κεντρικής γραμμής των αγγείων από διεπίπεδη αγγειογραφία, όπου η σχέση των δύο συστημάτων αναφοράς θεωρείται άγνωστη, καθώς και για τη σχεδίαση κυκλικών διατομών σε επιλεγμένες θέσεις για την προσέγγιση του αγγειακού αυλού. Η μέθοδος βασίζεται στην θεωρία των Metz – Fencil (1989) και απαιτεί την εκ των προτέρων γνώση δύο ζευγών αντίστοιχων σημείων στις προβολές για τον προσδιορισμό της σχέσης που συνδέει τα δύο συστήματα αναφοράς. Για την αναγνώριση αντίστοιχων σημείων στις προβολές χρησιμοποιείται η τεχνική της επιπολικής γραμμής, ενώ η ανακατασκευή της κεντρικής γραμμής πραγματοποιείται με χρήση παραμετρικής φυσικής spline. Πραγματοποιήθηκε έλεγχος της μεθόδου με χρήση πρότυπης γεωμετρίας και διαπιστώθηκε ότι η ακρίβεια της ανακατασκευής εξαρτάται από το πλήθος και την ποιότητα των σημείων ελέγχου της spline. Τελικά, η μέθοδος εφαρμόστηκε σε πρότυπο αντικείμενο, γνωστής γεωμετρίας, ανάλογης αυτής που λαμβάνεται σε πραγματικές αγγειογραφικές προβολές αρτηριοφλεβικής αναστόμωσης στην περιοχή της καρωτίδας και διαπιστώθηκε ότι ανακατασκευάζει με καλή ακρίβεια την κεντρική γραμμή του αντικειμένου. / One of the factors that have been incriminated for the growth of fibromuscular hyperplasia at the anastomosis of the synthetic arteriovenous implant, is the disturbance of the hemodynamic conditions at the region of the anastomosis. For the computation of the flow at this region, that is the fields of velocity, shear stress and rotation, methods of computational flow dynamics are used, which require that the 3D geometry of the vessels and the implant are known in advance. In this thesis, we developed a methodology and the respective algorithm for the determination of the 3D geometry of the central line of the vessels from biplane angiography, for which the relation of the two systems of coordinates are unknown, as well as for the drawing of circular cross section at selected positions for approximation of arterial lumen. The method is based on the theory of C.E.Metz and L.E.Fencil (1989) and requires the knowledge of two pairs of respective points on the views in advanced in order to calculate the rotation matrix and the translation vector that relate the two systems of coordinates. For recognition of respective points on the two views the epipolar line technique is being used, while the central line is reconstructed using a parametric natural spline. The method was tested using a model and it showed that the accuracy of the reconstruction depends on the number and the quality of the control points of the spline. Finally, the method was implemented on a model object with geometry, analogous to that we get from real angiographic views of arteriovenous anastomosis at the region of the carotid artery, and its central line was reconstructed with very good accuracy.