第一章(1)敘述向量空間（vecfor space）部份空間（subspace），同構（isomorphism）與擴張（extension）等之一般定義。 (2)依上述各定義導出並討論下列幾種向量空間之性質與關係。 (a)佈於實數集合R（其元素稱為純量）之向量空間有歐氏空間En(e)，R(R)……各元素X=R稱為各向量空間之向量（矩陣向量） (b)佈於集合之向量空間有……則為純量之集合，而……為各佈於之間向量之集合，故依同理可討論佈於……之各種向量空間。 (3)敘述線性變換（linear trans formation）之一般定義，並且依此定義導出各種向量空間之線性變換，計有實數A，矩陣與正射影變換等。 第二章(1)依隨機變數之意義，定義向量（行向量）……為隨機向量 (2)定義各隨機向量x，x之期望值（lexpectatm）E(x)，E(x)，分散秬陣（dispersion matrix）……互變數矩陣（covariamce mafr,x）C(x,y)，C(x,y)之意義。 (3)定義多元常態分配如下：設一隨機向量X'=(X1,.....Xp) 則之任意線性函數 X~Np(μ,ε)＜＝＞x之任意線性函數 t'X=t1X1+．．．+tpXp~N 同理可定義多元常態分配之隨機向量為 X~Np(μ,ε) 故本章主要目的在於根據上述之定義討論多元常態分配之各種性質，再所得之結果導出其機率密度函數值存在時。 第三章 本章係依上述所定義之多元常態母體X~Np(μ,ε) , X~Np(μ,ε)……中任抽一組簡單隨機樣本On(X1,.....Xn) , On(X1,.....Xn) 後再討論幾種樣本統計量之性質，計有樣本均數向量，樣本分散矩陣，T2統計量及Wisbar 分配，以便作為下一章討論之依據。 第四章 (1)在推定母數方面，先依直接方法推定母數之不偏推定量，再依最＊法推定母數之最□推定量。 (2)在檢定虛無假設問題上，主要目的在於討論用一般＊度比檢定方法求出檢度比（固依即可建立檢定基準） 故本章主要目的除了討論母體為之各種檢定問題外，亦加以討論母體為之情形時之各種檢定問題。 第五章 列舉幾點說明常態分配在統計學上之應用及重要性。

關於二維之變數，Arnold and Press (1989) 首先提出檢驗兩個條件分配是否滿足相容性的理論。本研究嘗試對n維之變數，探討n個條件分配滿足相容性的檢驗方式；並提出在三維聯合分配下，給定三個條件分配為常態(normal) 時，檢驗此三個條件分配滿足相容性的充分必要條件；最後，並推導出此三個條件分配滿足相容性時，其所對應的聯合機率密度函數之公式。若此三個條件分配其所對應的聯合機率密度函數進一步假設為常態時，檢驗其相容性的充分必要條件可更加以簡化。 / Arnold and Press (1989) first provide the theory about the compatibility of two conditional distributions in two dimensions. In this research, we extend the two dimensional cases to the high dimensional cases. In particular, we find the necessary and sufficient conditions of the compatibility of three conditional normal distributions in three dimensions. Furthermore, we also provide a formula to find the joint probability density function when three dimensional conditional normal distributions are compatible. Finally, simple sufficient and necessary conditions are also given when the joint distribution is further assumed to be normal.

根據Arnold and Press (1989) 提出檢驗兩個條件分配是否滿足相容條件的理論內容，本研究推論出，當給定二個條件機率密度函數的形式為常態（normal）時，如何判斷這兩個條件常態分配是否相容的充要條件，並進而推論出這兩個條件常態分配對應的聯合機率密度函數亦為常態分配的條件。我們更進一步透過電腦模擬方法，提供兩個不同聯合常態分配下所分別得到的兩組不同條件分配樣本，據以推得當對應的母數相差到何種程度時，可判定這兩組樣本其原始母體不同。 / Arnold and Press (1989) provide the theory about the compatibility of two conditional densities. In this research, we use their results to find the sufficient conditions of the compatibility of two conditional densities, which have the normal form. New sufficient conditions are also given if we further assume that corresponding joint density is normal. In addition, we use computer to generate two different samples from two different conditional normal distributions, which are from two different joint normal distributions. With the repeated samples, we provide the ranges of one population parameter when the other population parameters are fixed so that the samples are almost always incompatible.

第一章為緒論。 第二章為多變量常態分配、球狀常態分配、威夏特（WISHART） 分配以及最大數化的 基本概念。 第三章為球狀檢定，討論其檢定的不變性、一火偏性以及在Ｈ下的動差和正合（EXAC T）分配，最後以Ｕ─１檢定步驟來驗證球狀檢定。 第四章為一些均勻性變當數方法和球狀聯立檢定，將分別介紹Ｌ□檢定、Ｍ檢定以及 八種球狀聯立檢定之方法。 第五章為主畏成份檢定，將介紹一些最後Ｋ個特徵值相等的檢定方法以及實例分析。 第六章為結論，並說明其進一步研究的方向。

論文名稱：波動聚集考慮與否下之風險值衡量 校所別：國立政治大學國際貿易研究所 指導教授：饒秀華博士、翁久幸博士 研究生：丘至平 關鍵字：風險值、波動聚集、厚尾、混合常態分配、Laplace分配 論文提要內容： 眾多文獻指出金融資產報酬具有厚尾(Fat-Tail)及波動聚集(Volatility Clustering)的現象。而在尾端風險的衡量方面，究竟此一非齊質變異數應否考慮亦為各方所爭論。本文之研究擬以非條件分配（即Mixture Normal、Laplace及Normal三種分配）和條件分配（即一般常用之Garch(1，1)模式加上Mixture Normal及Laplace分配）等五種方式對台灣加權股價指數及開放式一般股票型基金日報酬率資料估計風險值，輔以回溯測試決定適用之分配。 在實證結果方面，Laplace分配優於混合常態分配之風險值估計，其原因是不論台灣加權股價指數報酬率或基金報酬率的資料並未分成"左右"兩群，而是類似單一分配，因此在用實際資料配適此分配時，混合常態分配僅能區別出平均數近似，而數異數不同的兩個常態分配。而Laplace分配較混合常態分配為厚尾，故混合常態分配表現劣於Laplace分配。 就台灣加權股價指數報酬率而言，除了在1%的顯著水準及250天的估計期間，Garch(1，1)-Laplace所得之漏損率為最接近者外，其餘均是以Laplace分配所求得之漏損率最佳。 就開放式一般股票型基金報酬率而言，不論估計期間為何（250或500天），在1%的顯著水準下，Laplace分配對風險值估計較佳；在5%的顯著水準下，以Garch(1，1)-Laplace得到良好的風險值估計。或許如Danielsson and de Vries(2000)所說，縱使就一般資產報酬有波動聚集的情況，然就極端事件(α=l%)而言並不具有此一現象，故以非條件之Laplace分配求算尾端風險即可。

本研究探討評價一籃子信用商品有效率的估計方法，所謂有效率是指計算簡單、快速且能達到變異數縮減，Chiang, Yueh, and Hsieh (2007)提出一個有效演算法，模型中將系統性風險因子與非系統性風險因子視為常態分配，但考慮現實情況系統性風險因子未必為對稱分配，因此本文系統性風險採用偏斜常態分配，而非系統性風險為常態分配。根據Chiang, Yueh, and Hsieh (2007)所提之演算法，並將其延伸至多個系統性風險因子，探討此方法在系統風險為偏斜常態分配下變異數縮減的效果。以不同的投資組合計算其違約給付金額，並與蒙地卡羅法模擬結果比較，由於此方法皆在至少有k個違約發生的事件下抽樣，因此所需模擬次數較少，計算時間也較短，且可達到變異數縮減。 單一系統性風險因子模型，當 ρ 值高，變異數縮減效果越好，且變異數縮減的效果也隨著 k 值越大效果越好。在二個系統性風險因子模型，變異數縮減的效果也是隨著 k 值越大效果越好。就各因子的權重而言，變異數縮減的效果原則上對權重較大的因子做重點抽樣，變異數縮減效果較顯著，但是此方法對於極為右偏的分配時，對權重較大的因子做重點抽樣效果不彰，此時反而針對對稱分配做重點抽樣的效果較佳。此方法就到期時間做探討，發現到期時間越長變異數縮減效果越差。

本文主要目的在檢定臺灣股票報酬率是否為序列隨機；臺灣股票報酬率分 配是否符合常態分配、穩定分配。其中實證結果發現：拒絕臺灣股票報酬 率為序列隨機；拒絕臺灣股票報酬率分配呈常態分配、穩定分配。由於拒 絕臺灣股票報酬率為序列隨機，故將原資料隨機化後再次進行常態、穩定 分配之檢定、結果發現拒絕隨機化後之臺灣股票報酬率分配呈常態分配， 但不能拒絕隨機化後之臺灣股票報酬率分配呈穩定分配。

銀行在評分模型建置完成後需進行驗證工作，以瞭解評分模型是否能有效評出客戶的風險層級，穩健地估計區別鑑別力指標為驗證工作中的重點。在先前的文獻中假設正常授信戶與違約戶分數分配為常態分配。但在實際資料中，分配未必定為常態。因此本文接著探討在正常授信戶與違約授信戶之分配為混合分配，即兩分數分配為偏斜常態分配下，何種方法可以對於估計AUC具有較高的穩定性。本文比較五種估計AUC的方法，分別為常態核，經驗分配，曼惠尼近似，最大摡似法和EM演算法。模擬結果呈現(1)投信戶組合分配為兩常態分配下，最大摡似法在大部分違約率下都可以得到較窄的信賴區間。(2)組合分配為一常態與一偏斜常態及兩偏斜常態分配下，EM演算法在大部分情況有較窄的信賴區間，其中在兩偏斜常態分配下，表現更佳。(3)曼惠尼近似建構的信賴區間寬度最大，代表曼惠尼近似是較保守的估計方法。 / Banks face discrimination after constructing the rating systems to figure out whether the systems can discriminate defaulting and non-defaulting borrowers. Literature assumed the two score distribuion are normal distributed. However, the real data may not be normal distribuions. We assum the two score distribuions are skewed normal distribuions to discuss which method has more robustness to estimate the AUC value.Under skewed distribution, we propose EM algorithm to estimate the population parametric. If used properly, information about the population properties may be used to get better accuracy of estimation the AUC value.Numerical results show the EM algorithm method , comparing with other methods, has robustness in detect the rating systems have discirmatory power.

Hamilton (1989)發展出馬可夫轉換模型(Markov-switching Model)，由於該模型允許母體參數在不同時期，具有間斷性跳動性質，且跳動次數並不限定為一，並利用馬可夫鏈(Markov chain)的機制來掌控狀態間切換，解決混合分配模型狀態跳動毫無規則的問題，將可適可掌握金融與經濟變數所面臨的結構改變，以及解決在計測風險值(valued at risk)過程中，所存在報酬分配的高峰厚尾問題。 本文非僅是嘗試另一種方法，而是我們在探討股市報酬波動與景氣循環變數行為後，推判它較能夠捕捉實際的報酬波動與景氣循環行為。我們除作過去文獻較未顧及的，系統性地分析各種潛在風險值計測方法所適用與不適用報酬率變異情境，並嘗試使用允許參數來自不同波動狀態，對傳統ARCH模型加以修正之SWARCH模型，希對股市報酬波動提供更佳的分析。在景氣循環探討，針對馬可夫轉換模型加以修正，掌握台灣與南韓經濟結構與美國及日本等國迥異的問題。此外，我們也回溯、討論各種處理財經變數結構問題之實證模型差異，分析馬可夫轉換模型相對優、劣點。

Stacy (1962)首先提出廣義伽瑪分配 (generalized gamma distribution)，此分布被廣泛應用於存活分析 (survival analysis) 以及可靠度 (reliability) 中壽命時間的資料描述。事實上，像是指數分配 (exponential distribution)、韋伯分配 (Weibull distribution) 以及伽瑪分配 (gamma distribution) 都是廣義伽瑪分配的一個特例。 Bologna (1987)提出一個特殊的雙變量廣義伽瑪分配 (bivariate generalized gamma distribution) 可以經由雙變量常態分配 (bivariate normal distribution) 所推得。我們根據他的想法，提出多變量廣義伽瑪分配可以經由多變量常態分配所推得。在過去的研究中，學者們做了許多有關雙變量伽瑪分配。當我們提到雙變量常態分配，由於其分配的型式為唯一的，所以沒人任何人對其分配的型式有疑問。然而，雙變量伽瑪分配卻有很多不同的型式。 在這篇論文中的架構如下。在第二章中，我們介紹並討論雙變量廣義伽瑪分配可以經由雙變量常態分配所推得，接著推導參數估計以及介紹模擬的程序。在第三章中，我們介紹一些對稱以及非對稱的雙變量伽瑪分配，接著拓展到雙變量廣義伽瑪分配，有關參數的估計以及模擬結果也將在此章中討論。在第三章最後，我們建構參數的敏感度分析 (sensitivity analysis)。最後，在第四章中，我們陳述結論以及未來研究方向。 / The generalized gamma distribution was introduced by Stacy (1962). This distribution is useful to describe lifetime data when conducting survival analysis and reliability. In fact, it includes the widely used exponential, Weibull, and gamma distributions as special cases. Bologna (1987) showed that a special bivariate genenralized gamma distribution can be derived from a bivariate normal distribution. Follow his idea, we show that a multivariate generalized gamma distribution can be derived from a multivariate normal distribution. In the past, researchers spend much time in working on a bivariate gamma distribution. When a bivariate normal distribution is mentioned, no one feels puzzled about its form, since it has only one form. However, there are various forms of bivariate gamma distributions. In this paper is as following. In Chapter 2, we introduce and discuss the bivariate generalized gamma distribution, then the multivariate generalized gamma distribution is derived. We also develop parameters estimation and simulation procedure. In Chapter 3, we introduce some symmetrical and asymmetrical bivariate gamma distributions, then they are extended to the bivariate generalized gamma distributions. Problems of parameters estimation and simulation results are also discussed in Chapter 3. Besides, sensitivity analyses of parameters estimation are conducted. Finally, we state conclusion and future work in Chapter 4.