本論文在固定利率的情況下，推導了超越界限數據選擇權(Crossing Barrier Digital Options)的評價模型及其避險比率，選擇權的條件可以是買權或賣權，上限或下限，甚至是雙重界限，以及出局或入局等，經組合變化後可以產生許多不同的種類，因此我們依序介紹了六種單一界限型態的選擇權及兩種雙重界限型態的選擇權，以供讀者參考比較。

本論文的研究目的，主要是希望利用新奇選擇權（exotic option）來降低保本型基金的高風險投資部分的權利金，提升參與率，藉此吸引投資人。因為近年來保本型基金面臨最大的問題就是『市場波動度變大，造成衍生性商品的價格上升，侵蝕了保本率。』(Lee,2001)，因為波動度和商品價格具有正比的關係。再加入浮動利率之考量之後，求出更精確的封閉解，以及本文所提『雙邊連動』，提升商品吸引力。 在精算科學界，Esscher transform是一種沿用已久的工具。Gerber and Shiu (1994)闡述在某些假設下評價衍生性證券時，Esscher transform是一種有效率的方法。本論文延伸『Esscher transform』方法來求出商品評價的公式解。 本論文的主要貢獻就是引用Esscher transform（Gerber and Shiu,1994架構傳統機率測度轉換並且求出上(下)出局、上(下)生效等保本型指數連動商品的封閉解，並且加入一個新的概念，『雙邊連動』，作為整篇論文的主要貢獻。基於上述原因，本論文研究成果可以分為下面幾項： 1.以『Esscher transform』為本論文的評價模型，加以說明驗證。 2.設計出雙邊保本的保本型指數連動商品，並且找出封閉解以及探討此種商品的可行性及市場性。 3.利用電腦模擬求算評價公式的避險參數。求出多元常態累積機率分配函數，以期能夠解出多資產連動商品的理論價格。並且整理出上下限型的機率密度整理表。 在程式應用的方面，本論文利用了『Mathematica』求取避險參數，因而不必再費時的計算就可以求出正確的避險參數，及利用計量軟體『R』來求算多元常態累積機率分配函數，使本論文的多因子分析不在只是理論。

本文研究最近在市面上常見的結構型債券，利用Martingale評價方法以及數值方法求出結構型商品的理論價格以及利用情境分析來推估期末可能的報酬，提供投資人與券商對於結構型商品特性與風險的了解，並且提供發行商避險的參考。然而結構型商品的複雜程度往往是來自於隱含的新奇選擇權，本文亦分析商品內含的新奇選擇權，使得投資人更了解結構型商品的組成，發行商也可藉以由組成的概念進而設計新的結構型商品。

選擇權的評價方式，一般可分封閉解（Closed-Form Solution）與數值方法（Numerical Method）兩大類。封閉解如Black-Sholes公式，其計算速度快，但缺乏彈性，例如無法評價美式選擇權及大部分的新奇選擇權；相反的，數值方法則是相當具有彈性，但卻會比較耗時。本文結合數值方法中的樹網模型，再輔以封閉解維持應有的彈性，加快計算速度，吾人將此方法稱之為分解結合法。 Ritchken（1995）的三元樹模型在評價重設型選擇權時，能解決由重設界限所導致非線性誤差之問題，故本文以Ritchken的三元樹模型結合歐式或美式公式解成為分解結合法，對多種的歐式以及美式重設型選擇權進行評價。本文首先，針對單期單價式與整段期間單價式的重設型選擇權，來推導適用於分解結合法之方法。再以這兩種基本的重設型選擇權為基礎，將相同概念推廣至其他更複雜的歐式重設型選擇權以及美式的重設型選擇權，並且將分解結合法和單純Ritchken三元樹網模型在評價重設型選擇權的效率，做一詳細的比較。 本文的結果顯示，無論是評價何種歐式或是美式的重設型選擇權，利用分解結合法不但能夠提高計算的速度，同時在某些條件下的選擇權，還能增加評價的正確性。

本文主要評價與分析兩種結構型債券：一為目標贖回雪球型利率連動債、一為雙匯率連動債。 第一個商品利率連動債券為十年期、每季付息債券，其指標利率為三個月期LIBOR利率。本文以BGM市場模型進行評價，同時考慮40個遠期三個月期LIBOR利率的動態過程，而每個動態過程之間的相關係數為一40維度的方陣，為了加速計算速度採用Weigel(2004)運用線性代數降秩的方法，使原本相關係數矩陣由「秩40」降為「秩11」後，不僅可以加快運算速度又不會使原本相關係數矩陣失真。以蒙地卡羅模擬利率路徑評價後並進行敏感性分析。 第二個商品雙匯率連動債券連結到兩個匯率指標：歐元兌日圓及美元兌新台幣。其中連結歐元兌日圓匯率的報酬型態為雙界限出局二元選擇權，而連結美元兌新台幣匯率的報酬型態為下出界選擇權。本文利用Ritchken(1995)三元樹分別建構兩個匯率界限選擇權的評價，並發現歐元兌日圓匯率界限選擇權的價值佔債券面額的比例極小，故之後只針對美元兌新台幣匯率界限選擇權進行敏感性分析。

本文目的在運用Adaptive Mesh Model，以具有高解析度的細網結構(fine mesh)來評價重設選擇權，以解決傳統Ritchken(1995) 樹狀模型在運用上會出現一些無法有效率運算和收斂狀況不佳二個問題。 本文的貢獻在發現評價重設選擇權可以使用下降生效界限選擇權的原理來探討。另外為解決上述Ritchken模型所面臨的二個問題，應用Adaptive Mesh Model於下生效界限選擇權，設置適當之細網結構，演算出更精確的重設選擇權價格。而且本樹網模型不再受限於美式下出界選擇權與美式下生效界限選擇權的組合不一定是美式重設選擇權的困擾。故在納入Adaptive Mesh Model的下降生效界限選擇權來評價歐式或美式重設選擇權，可以獲得良好的收斂效率。

衍生自Black-Scholes選擇權評價公式之動態避險策略，礙於現實世界當中連續避險之不可行，兼之以交易成本之考量，使其在實務運用上困難重重。尤其是在股價波動劇烈之際，動態避險根本無法順利進行。本論文所探討之選擇權靜態複製方式，便是希望克服動態避險連續交易及交易成本之困難。任一選擇權之靜態複製組合乃由同標的之其它選擇權所構成。其於建構完成之後，不需再有其它後續之調整動作，便可複製標的資產於未來一段時間，以及標的資產在某些價位之下的價值，因之稱為"靜態"複製組合 就理論而言，欲達成完全複製之目的需使用無限多個選擇權來進行複製。但本文將說明即使是在只使用少數選擇權的情況之下，亦可達成很不錯之複複製效果。本文探討之對象分標準選擇權與新奇選擇權，新奇選擇權以界限選擇權為主，再延伸至執行價可重設之選擇權。我們將詳細地說明如何建構這些選擇權之靜態複製組合，並以案例說明其複製效果。 動態避險針對的為選擇權之Delta風險；而靜態複製則試圖對Gamma風險進行規避。嚴格而言，靜態複製組合只有在標的資產波動度及無險利率等因素均維持不變之下才可說是靜態的。因而本文亦探討在前述因素變動之下，靜態複製之效果將受到何種程度之影響。 除了在避險交易上的功用之外，靜態複製之概念亦可廣泛地應用到評價與新商品的設計方面。在臺灣金融市場走向國際化、自由化的過程當中，這些都是臺灣金融業者應極力加強與貯備實力的。而在這方面，靜態複製或許可為其一大助力。 論 文 摘 要 I 目 錄 II 表 目 次 IV 圖 目 次 V 第一章、 緒論 1 第一節、 研究背景與動機 1 第二節、 研究目的 3 第三節、 研究架構與流程圖 4 第二章、 選擇權基本理論探討 6 第一節、 選擇權評價模型 6 一、 Black - Scholes 選擇權評價模型 （Black - Scholes Option Pricing Model） 6 二、 二項式選擇權評價模型 （Binomial Option Pricing Model） 9 第二節、 選擇權風險因子之探討 13 第三節、 動態複製之原理以及其在實務上難以克服的困難 18 一、 動態複製（Dynamic Hedging） 18 二、 實務運用上難以克服的困難 19 第四節、 靜態複製及其於實務上的運用 23 一、 靜態複製之原理 23 二、 於實務上的運用 25 第三章、 標準選擇權之靜態複製 27 第一節、 靜態避險組合之建構：BINOMIAL WORLD 27 第二節、 靜態複製組合之建構：REAL WORLD 34 一、 靜態複製組合建構方式一 37 二、 靜態複製組合建構方式二 40 三、 靜態複製組合建構方式三 44 第三節、 理論上之靜態複製與動態複製之比較 48 一、 蒙地卡羅模擬法介紹 48 二、 模擬結果與分析 50 第四節、 S&P 500股價指數選擇權動態避險與靜態避險之比較 61 第四章、 新奇選擇權之靜態複製 69 第一節、 界限選擇權 (BARRIER OPTION) 69 一、 界限選擇權簡介 69 二、 界限選擇權之風險因子 71 三、 靜態避險組合之建構：Binomial World 74 四、 靜態避險組合之建構：Real World 76 第二節、 重設型選擇權（RESET OPTION） 86 一、 重設型選擇權基本概念 86 二、 重設型選擇權之評價方式 87 三、 重設型選擇權之靜態避險 88 第五章、 敏感性分析 92 第一節、 標準選擇權之敏感性分析 92 一、 對標的資產價格波動度之敏感性分析 92 二、 對利率之敏感度分析 96 第二節、 界限選擇權之敏感性分析 99 一、 對標的資產波動度之敏感性分析 99 二、 對利率之敏感性分析 100 第六章、 結論 103 第一節、 研究結論 103 一、 靜態複製組合建構方式與複製效果 103 二、 對標的資產波動度與無險利率之敏感性 105 第二節、 對後續研究者的建議 106 附錄一：靜態避險之數學模式 107 附錄二：其它標準選擇權靜態複製之例子 110 附 表 114 參考文獻 135

界限選擇權雖屬新奇選擇權的一種，但在國外卻已是交易頻繁的商品，而在國內則尚未有此一商品的交易發生。因此，為了能讓國內投資人與券商更了解此一商品，本研究便以界限選擇權為對象，針對其訂價與避險兩大主題進行研究，期能獲至有貢獻之結論。 在訂價方面，以二項評價模型對界限選擇權進行評價時，會產生鋸齒狀的收歛情況，對於精確評價界限選擇權造成極大的困擾。本研究對此問題提供一修正二項評價模型的方法，可以有效地消除評價時收歛不佳的現象。 在避險方面，本研究使用靜態避險法對其進行避險，並結合修正後之二項評價模型以建構在靜態避險法下所需之複製投資組合，此乃以往所未有之研究。在本文中所獲至之結果顯示，使用靜態避險法對界限選擇權進行避險所達成之避險效率實為在動態避險下所不能及；同時，隨著時間間隔的縮小，避險效率會隨之提高。此外，使用修正後之二項評價模型所建構之複製投資組合較以未修正之二項評價模型所建構之複製投資組合，在避險效率上會有較佳之表現。 第一章 緒論 1 第一節 研究背景 .1 第二節 研究動機與目的 1 第三節 研究架構與流程 2 第二章 界限選擇權之簡介及其應用 5 第一節 界限選擇權之簡介 5 第二節 界限選擇權之應用 7 第三章 文獻探討 14 第一節 選擇權訂價模式 14 第二節 界限選擇權之訂價 19 第三節 界限選擇權之避險 22 第四章 界限選擇權之訂價分析 23 第一節 二項評價模型之訂價法 23 第二節 對二項評價模型之修正 29 第三節 避險係數之分析 36 第五章 界限選擇權之避險分析 39 第一節 靜態避險法之介紹 39 第二節 避險效率之分析 43 第六章 結論與建議 62 第一節 結論 62 第二節 研究限制 63 第三節 後續研究建議 63 參考文獻 65 附錄：MATLAB程式 67 / Barrier option is one of those exotic options, yet it has been frequently traded in the foreign options markets. In Taiwan, this commodity is still new to most of us. Consequently, for a better understand and probably the issuance of this commodity, this research focuses on the pricing and hedging of barrier options, hoping that the research can obtain contributive conclusions. On pricing, when using CRR model as a pricing method for barrier options, there exists a situation which the convergence of the pricing is saw-toothed, contributing to the imprecise pricing results. This study provides a modification for the CRR model that can mitigate the saw-toothed convergence very effectively. On hedging, this study uses static hedge as a hedging measure, combining with the modified CRR model, which has very been studied before. The results of this study tell that, using static hedge can reach a very accurate hedging results, which is not attainable using dynamic hedge. Also, the more the time spacing shrinks, the more exact the hedge is. Finally, using modified CRR model as a basis producing replicating portfolio under static hedge can have a better performance in hedging than that of using unmodified CRR model.

本論文一共分為兩大主題，分別為匯率連結商品之評價與分析，及違約事件相關係數之估計。在結構型金融商品於市場上熱賣之後，金融業者紛紛投入財務工程領域，競相推出類似的產品。然而，自1971年世界各國開始實行浮動匯率制度之後，匯率風險較以往提高不少，因此各種不同設計的外匯衍生性商品開始不斷地問世。有鑑於此，本文希望藉由分析市場上的匯率商品：「新加坡華僑銀行一年期匯率連結結構型存款」，讓發行商和投資人了解結構型商品設計的要點與風險所在。在此商品中，本文利用多變數蒙地卡羅模擬法求出商品的近似價格，除了看發行商是否有利可尋之外，也提供發行商可行之避險策略。同時，本文也透過商品條款分析與情境分析，讓投資人了解其獲利所在與將面臨的風險。 / 由於近年來信用事件層出不窮，顯示出信用風險控管的重要性，信用衍生性商品也因而開始蓬勃發展。目前信用衍生性商品以信用違約交換為最大宗，擔保債權憑證(Collateralized Debt Obligations, CDO)為其次。由於一籃子信用衍生性商品和擔保債權憑證涉及多檔標的資產，在評價時，公司之間的違約相關係數是個重要因子，因此本文在另一個主題上，透過Robert Jarrow與Donald van Deventer(2005)提出的違約相關係數之估計方法，以簡約模型估計違約相關係數，利用台灣公司資料做實證分析，期許對連結多項標的資產之信用衍生性商品之評價有所幫助。