本篇論文旨在探討蒙地卡羅法（Monte Carlo Method）之原理，以以及其在等待行列（Queueing Theory）上之應用。蒙地卡羅法是一種實驗數學，它利用亂數之構成原理，解決一般無法（或難以）用理論演算求解之數學模式，它的應用很廣，諸如偏微分之數值解法上，電子□路上，通信工學上，計算機system上，原子核工學上，等待行列上等等，均可應用蒙地卡羅法以解決某些難解模式；至本論文僅就等待行列上之應用簡略闡述，即利用負相關法，求平均等待時間，又如求傳票之平均等待期間，看傳票在會計員手上空閒時間如何，以做定員之決定，事務流動之變更，工作效率之向上等之決策；又如求算最優雇用服務人數，俾使顧客不致等待，這些就是本論文研究蒙地卡羅法以在等待行列上之應用之論點。 論文共分三章，第一章之重點在說明蒙地卡羅法發生之原因，及應用此方法之優點。第二章分別說明各種蒙地卡羅法之原理及例示，用各種不同方法求出其解，再求出相對效率，以比較其優劣。第三章主在討論等待行例上之應用。 本論文之撰寫，幸蒙吾師 鄭堯柈教授之不斷鼓勵和悉心指導，並提供其研究論文為參考，方克完成，特此誌謝。 本門科學博大精深，以生所學之有限，寫此論文，錯誤之處，勢必眾多，懇請師長，惠於指教，則幸甚矣。

最低保證提領附約(Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit；GMWB)為變額年金保險之創新型態附約，附有最低保證提領附約之契約，以期初投資總額計算最低保證提領金額，提供被保險人規避連結投資標的物而產生之資產跌價損失風險，給予被保險人於保險契約到期前提領最低保證金額。 　　本研究依據Milevsky and Salisbury (2006)保證提領附約計價模型及基本假設架構，將附約分解為確定年金與亞式匯率選擇權契約，利用蒙地卡羅方法，計算隱含之避險成本，以2007年台灣定存利率實證分析及對照，探究保險人合理避險成本，藉由保證提領率、無險利率、連結標的物波動度三種參數進行敏感度分析，歸納參數對避險成本之影響，提供保險機構於發行最低保證提領附約時，避險成本之參考依據。 　　由數值計算結果歸納發現，最低保證提領附約之避險成本與保證提領率、無險利率與標的物波動度三項參數有關，摘要如下： 1. 無險利率與避險成本呈反向關係，給定銀行利率2.34%，每期保證提領率7%，連結標的波動度20%時，保險人之避險成本為270基準點。 2. 標的物波動度與避險成本呈正向關係，於給定本研究條件下，連結標的物波動度為30%時，保險人之避險成本顯著增加為600基準點。 3. 保證提領率與避險成本呈正向關係，於給定本研究條件下，模擬數值結果顯示，保證提領率每增加0.5%，保險人避險成本將再增加20基準點。

本篇論文主要是分析投資型外幣定存及其之設計原理，並且根據臺灣目前推出的產品分別利用蒙地卡羅模擬，評價投資型外幣存款，並且將其與美金定存利率比較，就其實證結果解釋其發生的原因。 所謂投資型外幣定存是一種結合外幣定存與選擇權的理財方式，透過外幣存款本金所孳生利息，去投資一些選擇權商品（可能包括指數、外匯、利率、重金屬價格…等），並且依照契約分別訂定標的物和區間信置，如果表現達到預期目標（也就是落在設定區間內），可獲得較一般定期存款為高的報酬，若未如預期，因為只有用利息的部分投資，所以可以領回本金，因此它是一個百分之百保本的理財管道。 本文採用Monte-Carlo模擬的方法，來評估其每一項產品之預期報酬。外匯、利率及指數每日收盤資料來自於AREMOS資料庫系統，至於隱含波動度資料則是由費城股票交易所之外匯選擇權獲得。 根據結果顯示所模擬出來的預期報酬率大都小於美元之定存利率，其解釋可能是存在金融創新，畢竟臺灣的投資人是第一次接觸這類型的商品，因此它的獨特和不可複製的特性造成兩者之間的差距。

保險是個非常專門的行業，它所包括的範圍很廣，而再保險又為保險之保險，其經營猶是難上加難，再保險計劃中，最困難的即為自留額的釐訂，而自留額的多寡，不僅直接影響公司營運的結果，甚至波及被保險人的權益，社會的安定。因此當公司決定自留額時應慎加考慮。影響自留額的因素很多，以往自留額的釐訂是靠人為的直覺判斷，而今由於數學與統計的發展，將其應用在保險上，希望經由可依據的資料，用數理的方法發展出合理可信的自留額模式，以輔佐主觀的缺失。 本文中所使用的資料為火險臨分，依承保範圍分為普通火險和火險附加險兩部份。在決定損失函數時我們所採用的方法有蒙第卡羅模擬法，及為統計方法中之最適測試法，其中蒙第卡羅法是由歷史的資料中整理出可用的資訊，再由電腦模擬的方法，估算出在各種可能情形下的平均 總理賠金額的分配。最適測試法是利用危險理論的觀念推算平均總理賠金額。希望經由這兩種;一為實驗，一為理論所求得的結果，互相補助，找出在假設情況下之最適自留額。 將理論與實務結合起來分析，保險公司對於已結案的歷史保單來討論，若採取上述方法所得超額賠款再保險之最適自留額是否的確比當初傳統經驗法則所訂之自留額產生之淨賠款額度低。本文即舉一例，得知險別的特性，對於再保險的方式影響很大，當該險適用超額賠款再保險時，由科學依據所發展出的自留額模式的確較人為判斷佳。

本文以Hull&White評價亞式選擇權（算數平均式選擇權）的模型為基礎來評價一般式的亞式選擇權。所謂一般性的亞式選擇權指的是一般市場上衍生性商品或結構型商品所常看到的亞式條款。 Hull&White評價亞式選擇權的模型設計路徑函數紀錄所需標的資產價格的方式解決了亞式選擇權的評價困難，並且具有良好的效率（比蒙地卡羅法快20倍以上）。但是Hull&White的評價模型對於評價的條款形式卻有許多的限制，使得具有良好效率的模型無法用於評價市場上一般常見的平均式條款。因此本文的目的就是對Hull&White的模型做擴充，使得其模型可用於一般商品常設計的亞式條款上。 本文對Hull&White模型所做的擴充主要是針對一般常見的平均條款：取特定或固定某些日期平均的亞式選擇權（如四季平均選擇權）、取特定某一段期間內標的資產價格平均的亞式選擇權（如最後一個月平均選擇權）及移動平均選擇權。擴充後的模型的評價效果非常具效率，且與蒙地卡羅法所評價的結果相比可快1000~10000倍以上，也解決了Hull&White一定要納入期出標的資產價格的假設。尤其在評價移動平均選擇權時，由於移動平均的結構與Hull&White所評價的亞式選擇結構有較大的差異，因此在對模型做擴充時所做的修正與調整較多，但其結果仍較其他評價方法更具效率。

由於人口死亡率的改善，全球人口高齡化現象已成為各國重視的議題，此人口結構的重大改變除了增添國家經濟發展的變量，所導致的長壽風險更衝擊著政府退休基金以及提供年金商品的保險公司。本研究將探討唐提年金制度之運作，期望能以唐提年金作為政府以及保險公司解決長壽風險之工具。 引用Piggott et al. (2005)之GSA模型(Group Self-Annuitization)，並以人口資料庫(Human Mortality Database)中之台灣男性死亡率資料進行情境模擬分析。相較于Piggott et al. (2005)，本文為探討未來死亡率改善趨勢對給付之影響，使用Lee-Carter死亡率模型來預估未來死亡率；另外，不同於Piggott et al. (2005)假設固定的投資報酬率，本文考慮每期投資報酬率之波動作為給付計算的重要參數之一。 本研究發現(1).不管是哪種投資組合當中，每期的平均年金給付隨著計劃時間增加。(2).每期的平均年金給付以及給付之分配在股票部位越高的投資組合中有越高的波動性。(3).GSA模型當中， 死亡率變數對於平均年金給付的影響較投資報酬率變數為大。另外，本文亦比較唐提年金制度與確定給付制度之不同：(1).唐提年金俱有充分的基金儲備特色，基金破產機率有限。(2). 在唐提年金體制下，退休金計劃提供者無需承擔基金投資風險。 / Tontine annuity schemes are introduced as a solution for annuity providers and governments to alleviate longevity risk. Applying Taiwan male mortality data to Group Self-Annuitization (GSA) as proposed in Piggott et al. (2005), this paperuses the Lee-Carter model, which incorporates longevity risk, in a simulation study to demonstrate how benefit payments increase in elder ages underdifferent scenarios. Unlike Piggott et al. (2005), we include deviations in both mortality and rate of return from expectations to compare benefit payments amongdifferent portfolios. Moreover, this paperdescribes the two features by whichtontine annuity schemesprevail overTaiwan’s Labor Insurance Annuity Schemes (LIAS): First, tontine annuity schemes are almost always fully funded. Second, the plan sponsor of tontine annuity schemesdoes not need to bear the investment risk.

過去針對動態相關係數的模擬多是固定條件相關(Constant Conditional Correlation; CCC)模型或動態條件相關(Dynamic Conditional Correlation; DCC)模型，且大多只針對權益風險相關係數。 本研究參照台灣RBC之C1風險與EIOPA (2014)對Solvency II的規範「The underlying assumptions in the standard formula for the Solvency Capital Requirement calculation」，針對市場風險：權益風險、利率風險、外匯風險，探討各類別間的相關係數是否顯著具動態性質。首先以Orthogonal-GARCH(O-GARCH)模型，對各個風險因子配適單變量的時間序列模型，此方法除了可縮減資料維度，也可改善多變量時間模型估計較不精準的問題。最後，以蒙地卡羅模擬出的動態相關係數情境，與原始非條件相關係數做比較。結果顯示許多相關係數顯著為動態序列，因此推斷保險公司的市場風險衡量，採用動態相關係數較為準確，更能符合保險監理本質。

不同於一般電腦的數位位元資訊只有兩種可能數值0與1，量子電腦利用的是量子位元，係一個二維希爾伯特(Hilbert)空間中的單位向量，其表示方法為0與1的線性疊加態。量子模擬利用量子物理的基本線性疊加原理，來得到更有效率的方法處理計算科學的問題。本論文討論兩種量子演算法，量子隨機行走法則與量子退火最佳化演算法，在本論文中分成兩大部分，在第一部分中，我們研究在各種圖像中的量子隨機行走法則。研究隨機漫步有助於我們了解各種自然界中的隨機過程，如擴散作用與布朗運動。隨機漫步也已經被運用在許多的電腦演算法中，如搜尋演算法或者最佳化演算法。量子的隨機漫步係建立於量子力學的波函數，也是古典隨機漫步原理的延伸。但古典與量子隨機漫步卻有著非常不同的特性，比如量子隨機漫步傳播的速度大於古典的隨機漫步，且量子隨機漫步並不會像古典隨機漫步一樣會趨向穩定態。量子隨機漫步的時間演進係一由么正(unitary)算符所規範的么正過程，根據定義的不同，我們區分離散時間與連續時間兩種量子隨機漫步。在本論文中，我們研究與比較古典與量子的隨機漫步，分析在圖像以及無序環境上的模擬行走。第二部分，我們利用量子退火式演算解最佳化問題。退火係一材料從高溫控制降溫速度使其保持平衡態最後達成完美結晶結構的物理過程。與傳統的退火演算法利用熱擾動的方法不同，量子退火演算法利用的是量子擾動，使系統在其各種可能的解之間穿隧(tunneling)，以有效的達到最佳解。在本論文中，我們利用建立於路徑積分的蒙地卡羅(Monte Carlo)量子退火演算法，找出自旋玻璃的基態能量。我們以離散的虛數時間方法進行標準的量子蒙地卡羅以及連續的虛數時間方法進行路徑積分的蒙地卡羅，將這兩種量子方法與退火演算法結果的做分析比較。 / In standard classical digital computing, a unit of information takes only two possible values, say 0 or 1; In quantum computing, a unit of quantum information is a quantum bit or qubit, which is a unit vector in a two-dimensional Hilbert space, and is represented as a superposition of 0 and 1. Quantum simulation exploits the laws of quantum mechanics that involve the superposition principle to carry out computational tasks in a more efficient way than is possible with classical computers. This thesis is concerned with two quantum algorithms: quantum walks and quantum adiabatic optimization. This thesis is organized into two parts. In Part I, we study quantum walks on various graphs. Random walks are useful in understanding stochastic processes such as diffusion and Brownian motion. They have also been applied to many computational algorithms, such as search algorithms and algorithms for optimization problems. Quantum walks described by quantum mechanical wave functions are an extension of classical random walks. They have very different properties from classical random walks; for example, they do not in general converge toward a stationary distribution and potentially spread much faster. Quantum evolution is unitary; depending on the definition of unitary evolution operators, one distinguishes between discrete-time and continuous-time versions of quantum walks. We study these two versions of quantum walks. Quantum walks and classical random walks are compared in many examples, ranging from random walks on graphs to walks in disordered media. In Part II, we focus on optimization by quantum adiabatic algorithms (also known as quantum annealing algorithms). Annealing is a technique involving controlled cooling of a material to have perfect crystalline structures formed. Unlike classical simulated annealing in which thermal fluctuations are utilized for convergence in optimization problems, quantum annealing uses quantum fluctuations to explore the solution space via quantum tunneling, with the potential to hasten convergence to the best solution. In this thesis we implement quantum annealing based on path-integral quantum Monte Carlo (QMC) methods to find the ground states of Ising spin glasses. In particular, we investigate the effect of the discretization of imaginary time used in standard QMC methods and also perform continuous-time path integral Monte Carlo. We compare the results with those obtained by simulated annealing.

利率是金融市場一項非常重要的指標，其波動可說是直接地或間接地牽動整個金融市場的表現。劵商在承作各項金融商品買賣以及公司舉債時都不得不考慮利率波動可能造成的極大風險，於是在避險需求的帶動下，具有避險功能的利率衍生性商品種類愈來愈多，其結構也日趨複雜。而在眾多的利率衍生性商品中，利率交換選擇權佔有非常高的交易量。本文先介紹何謂利率交換選擇權、選擇權的買賣雙方如何執行契約、承作選擇權可能產生的風險以及選擇權目前的市場概況。熟悉了此金融商品後，另一個重要的問題即是進行評價。由於歐式利率交換選擇權已有公式解，故本文的重點在於使用數值方法中的最小平方蒙地卡羅法評價百慕達式利率交換選擇權。

本論文是利用市場模型評價『利差型債券』，債券付息的方式是連結到30年期CMS及10年期CMS，目前在評價利率衍生性金融商品以市場模型最符合實務的需要，並利用市場上的資料來校準波動度結構及遠期利率之間的相關係數矩陣，再利用蒙地卡羅法模擬出各期的遠期利率，再組合成契約需要的各期 CMS，就可模擬出債券的理論價格，而在模擬的過程中發現，當契約中轉換事件訂的越高，則發行商的利潤越低，訂的越低，發行商的利潤越高。