Studiens syfte är att synliggöra hur lärare använder det matematiska språket vid undervisandet av addition i årskurserna 1–3. För att uppfylla syftet undersöktes fem lärare vilka observerades vid två tillfällen, där observationerna följdes upp med en intervju. För att analysera lärarnas matematiska språk användes Bergvalls (2016), Hajers, Kindenbergs och Ramsfeldts (2016) samt Kiselmans och Mouwitzs (2008) kategorisering och definiering av matematikens språk. Även lärarnas intervjusvar användes för att bringa klarhet i lärarnas ord- och begreppsanvändning. Resultatet visar att det främst är synonymer till additionens formella ord som används av studiens lärare. Samtliga lärare menar att det matematiska språket ska genomsyra undervisningen. De ser sig själva som språkliga förebilder där de aktivt ska använda additionens formella ord. Det är dock inte lärarens syn på vikten av formellt matematiska språk som påverkar dennes ord- och begreppsval utan lärarens uppfattning om elevens språkliga förmåga. / The aim of this study is to shine a light on how teachers use the mathematical language when teaching addition in grades 1–3. Five teachers were examined to achieve the purpose of the study. The teachers were observed on two occasions which were followed up with an interview. To analyze the teachers' mathematical languages Bergvall’s (2016), Hajer’s, Kindenberg's and Ramsfeldt’s (2016) and Kiselman’s and Mouwitz's (2008) categorizations and definitions of mathematical language were used. The teachers' interview responses were also used to bring clarity to the results from the observations. The result of the study shows that it is primarily synonyms to the formal words of addition that are used by the teachers in the study. All teachers see themselves as linguistic models, where they actively should use the formal words of addition. However, it is not the teacher's view of the importance of formal mathematical language that affects the choice of words and concepts, it’s the teacher's perception of the pupil's linguistic ability.

Large integers are used in several key areas such as RSA (Rivest-Shamir-Adleman) public-key cryptographic system and elliptic curve public-key cryptographic system. To achieve higher levels of security requires larger key size and this becomes a limiting factor in prime finite field GF(p) arithmetic using large integers because operations on large integers suffer from the long carry propagation problem. Large integer representation has direct impact on the efficiency of the calculations and the hardware and software implementations. Attempts to use different representations such as residue number systems suffer from their own problems. In this dissertation, we propose a novel and efficient attribute-based large integer representation scheme capable of efficiently representing the large integers that are commonly used in cryptography such as the five NIST primes and the Pierpont primes used in supersingular isogeny Diffie-Hellman (SIDH) used in post-quantum cryptography. Moreover, we propose algorithms for this new representation to perform arithmetic operations such as conversions from and to binary representation, two’s complement, left-shift, numbers comparison, addition/subtraction, modular addition/subtraction, modular reduction, multiplication, and modular multiplication. Extensive numerical simulations and software implementations are done to verify the performance of the new number representation. Results show that the attribute-based large integer arithmetic operations are done faster in our proposed representation when compared with binary and residue number representations. This makes the proposed representation suitable for cryptographic applications on embedded systems and IoT devices with limited resources for better security level. / Graduate / 2020-07-04

Les travaux rapportés dans ce mémoire concernent la synthèse et la réactivité des disilanes, en vue de leur application vers la synthèse de la 10-silatestostérone. Dans un premier temps, l’intérêt potentiel de la cible choisie, la 10-silatestostérone, a été étayé au moyen d’exemples de molécules d’intérêt biologique présentant un atome de silicium, issus de la littérature. L’objectif de la silasubstitution serait d’empêcher la biotransformation de la molécule en composé aromatique potentiellement cancérigène. Enfin, la substitution en position 10 de l’atome de carbone quaternaire permet d’éviter l’introduction de substituants supplémentaires, susceptibles d’affecter l’activité hormonale de la molécule. Dans un second temps, nous avons optimisés les outils nécessaires à la synthèse de la 10-silatestostérone. Une nouvelle stratégie pour accéder à des disilanes non symétriques a été développée par réaction de déphénylation chlorative. Puis l’étude de la réaction de coupure hétérolytique de la liaison Si-Si de phényldisilanes non symétriques par piégeages des silylures ainsi générés et par une analyse par RMN ¹H a permis de mettre en évidence une sélectivité en faveur du phénylsilylure. Enfin cette réaction a été appliquée pour accéder à des composés carbonylés β-silylés par réaction d’addition-1,4 de silylcuprolithiens sur des composés carbonylés α,β-éthyléniques tels que le cyclohexènecarboxylate de méthyle, un modèle simplifié de l’ester bicyclique que nous envisageons d’utiliser pour apporter la partie C&D de la 10-silatestostérone. Enfin le troisième chapitre porte sur la synthèse des précurseurs de la 10-silatestostérone. Dans une première partie un disilane hautement fonctionnalisé, le 1-isopropényl-1-(3-oxopropyl)disilane a pu être préparé en mettant à profit la réaction de déphénylation chlorative. Puis la réaction ène intramoléculaire de cet aldéhyde a conduit au 1-méthyl-1-triméthylsilyl-2-méthylidène-1-silacyclohexan-4-ol précurseur du cycle A de la 10-silatestostérone ainsi qu’au 1,2-diméthyl-2-triméthylsilyl-1-silacyclohexane-1,4-diol issu d’un réarrangement hautement diastéréosélectif. Dans une seconde partie, est présentée la synthèse énantiosélective de la partie C&D de la 10-silatestostérone par une réaction clé de carboxylation de la dicétone d’Hajos-Parrish. L’étape suivante consistera à réaliser la coupure sélective du disilane porteur du cycle A, et à additionner le silylure ainsi généré sur l’ester α,β-insaturé bicyclique. / This thesis is devoted to the synthesis and the study of the reactivity of disilanes in order to involve them in the 10-silatesosterone synthesis. The first part focuses on the usefulness of 10-silatestosterone by developing some relevant examples, from the literature, of biologically active molecules containing a silicon atom. Thus in the testosterone field, the substitution of a carbon atom by a silicon one is supposed to avoid aromatization of the molecule during its biotransformation. Moreover the 10 position of the silasubstitution prevents from the introduction of new groups, which is known to affect the biological activity of the molecule. In the second part the chemical tools for the 10-silatestosterone synthesis are described. A new strategy has been developed to obtain non symmetrical disilanes by a chlorinative dephenylation sequence. The heterolytic cleavage of the Si-Si bond of non symmetrical phenyldisilanes has been studied by trapping the generated silylanion and by ¹H NMR experiments. Selectivity for the phenylsilylanion formation has been established. Finally this reaction was fully exploited to access to β-silylated carbonyl compounds after 1,4-addition of silylcuprates on α,β-unsaturated carbonyl compounds as methylcyclohexenecarboxylate, model of the C&D rings of 10-silatesosterone. The third part presents the 10-silatestosterone precursors synthesis. At First high functionalized 1-isopropenyl-1-(3-oxopropyl)disilane has been obtained by using the previously performed chlorinative dephenylation reaction. Then intramolecular ene reaction of this aldehyde leads to a mixture of 1-methyl-1-trimethylsilyl-2-methylidene-1-silacyclohexan-4-ol, which corresponds to the 10-silatestosterone A ring and 1,2-dimethyl-2-trimethylsilyl-1-silacyclohexane-1,4-diol coming from diastereoselective rearrangement. Eventually, enantioselective synthesis of 10-silatestosterone C&D rings was achieved through a sequence involving a Hajos-Parrish ketone carboxylation key step. Further work would consist on a selective cleavage of A ring disilane followed by the 1,4-addition of the generated silylanion on α,β-unsaturated bicyclic ester.

Ce travail de thèse porte dans un premier temps sur la synthèse de nouveaux sels d’azolinium chiraux précurseurs de carbènes N-hétérocycliques. Deux nouvelles familles de sels ont été préparées à partir de la L-proline. Nous avons pu caractériser les NHC issus de ces sels, par la formation des dimères, des thiones et des complexes de rhodium correspondants. Dans un second temps, ces nouveaux sels d’azolinium ont été évalués dans la réaction d’addition conjuguée de réactifs de Grignard sur des cétones α,β insaturées. Les résultats ont montré de très bonnes activités catalytiques, et de très bonnes régiosélectivités. Les énantiosélectivités obtenues sont encourageantes. Ensuite, ces catalyseurs ont été engagés dans la réaction de substitution allylique. Une bonne activité catalytique a aussi été observée malgré des régiosélectivités et des énantiosélectivités modérées. Enfin, ces sels ont été employés comme précurseurs de NHC pour la réduction asymétrique de cétones aromatiques par transfert d’hydrogène. Les complexes formés se sont montrés actifs mais non énantiosélectifs. / This work deals with, at first, the synthesis of new chiral azolinium precursors to N-heterocyclic carbenes. Two families have been prepared from the L-proline. The structures of some NHC dimmers, thiones and [Rh-NHC] complexes were characterized and confirmed by different analysis methods.Secondly, these new salts were evaluated in the conjugate addition reaction of Grignard reagents to α,β-unsaturated ketones. The results obtained shown very good catalytic activity, excellent regioselectivity with moderate enantioselectivity. They were also involved in the allylic substitution reaction. Good catalytic activity was observed despite moderate regioselectivity and enantioselectivity. Finally, these azolinium salts were employed as NHC precursors for the asymmetric transfer hydrogenation of aromatic ketones. The complexes proved to be active, but non enantioselective.

Cette thèse porte sur la synthèse de composés d'Au(III) et de Cu(III) ainsi que sur l'étude de leur stabilité et de leur réactivité vis-à-vis de substrats p. Une approche conjointe expérimentale et théorique a été exploitée afin d'accéder à des complexes capables d'induire des processus d'insertion migratoire. Le premier chapitre aborde de manière globale la chimie organométallique de l'or et du cuivre sur le plan bibliographique. L'importance du degré d'oxydation +III est mis en évidence par la description des principaux exemples ayant contribué à la compréhension des processus associés à l'accès et la réactivité des complexes d'Au(III) et de Cu(III). Le second chapitre traite de la synthèse de deux complexes p-arènes d'Au(III) par insertion migratoire d'oléfines dans la liaison Au-C(sp)2 d'un composé (P,C) cyclométallé. Les interactions entre les systèmes aromatiques et l'or ont été mises en évidence par RMN, DFT et DRX pour un des complexes. Sur la base de cette réactivité, un processus d'arylation directe de l'éthylène a été mis en évidence. Le chapitre trois a pour objet la mise au point d'une réaction d'hydroarylation intermoléculaire d'alcynes catalysée par des complexes de type [(P,C)Au(III)(OAcF)2]. Ces derniers se sont avérés très actifs et robustes en présence d'acide trifluoroacétique. La réaction a pu être généralisée à un large panel de substrats et une étude comparative, notamment avec des complexes (N,C) cyclométallés, a mis en évidence la supériorité des complexes (P,C) pour l'hydroarylation des alcynes. Le quatrième chapitre expose la stratégie envisagée pour le développer d'un processus d'oligomérisation de l'éthylène catalysé par le cuivre. Une approche prédictive basée sur les calculs DFT a permis de mettre en évidence des insertions migratoires plus aisées dans les liaisons Cu(III)-C que dans les Cu(I)-C. Deux stratégies d'accès aux complexes de Cu(III) par addition oxydante de liaisons C-I sur des précurseurs de Cu(I) ont été évaluées théoriquement. Les calculs les plus favorables ont orienté le choix des modèles de ligands envisagés dans les chapitres cinq et six. Le cinquième chapitre aborde l'étude expérimentale associée à la première stratégie d'accès au Cu(III) : l'addition oxydante intramoléculaire dirigée par des ligands naphthylphosphine et naphthylamine peri-iodées. [...] / The present work deals with the synthesis of Au(III) and Cu(III) compounds and the study of their stability and reactivity toward p substrates. An experimental and theoretical approach has been used in order to access complexes capable of undergoing migratory insertion processes. The first chapter delivers a bibliographic overview of the organometallic chemistry of gold and copper. The importance of the high oxidation state +III is highlighted by the description of important examples having contributed to the understanding of processes associated to the access and reactivity of Au(III) and Cu(III) complexes. The second chapter describes the synthesis of two p-arene Au(III) complexes by migratory insertion of olefins in the Au-C(sp)2 bond of a (P,C) cyclometallated complex. Interactions between the metallic center and the aromatic systems have been characterized by NMR, DFT and XRD for one of the complexes. Based on this insertion reactivity, a process of direct arylation of ethylene has been evidenced. The third chapter concerns the development of an intermolecular hydroarylation of alkynes process, catalyzed by [(P,C)Au(III)(OAcF)2] complexes. These have shown great activity and robustness in presence of trifluoroacetic acid. The reaction has been generalized to a broad substrate scope and a comparative study has been carried on, especially with (N,C) cyclometallated complexes, showing the superiority of (P,C) complexes for the hydroarylation of alkynes. The fourth chapter presents the envisioned strategy to develop a copper-catalyzed oligomerization of ethylene process. A predictive approach based on DFT calculations permitted to evidence easier migratory insertions in the Cu(III)-C bond than in the Cu(I)-C bond. Two strategies for the access to Cu(III) species have been theoretically evaluated. The most favourable calculations have oriented the choice of ligand models used in chapters five and six. The fifth chapter deals with the experimental study related to the first strategy of access to Cu(III) species: the directed intramolecular oxidative addition by peri-iodo napthylphosphine and naphthylamine ligands. [...]

Since the middle of the 20th century, significant interest has evolved from the scientific community towards the polypropionate family of marine natural products. A number of these compounds have been shown to possess significant biological activity, and this property, as well as their structural complexity, has driven numerous efforts towards their synthesis. The first chapter provides an introduction into the world of polypropionates, with a discussion on synthetic studies into a number of members of the tridachiapyrone family. Fundamental synthetic concepts utilised in this thesis towards the preparation of polyketides are also described, with a focus on their application towards the synthesis of 9,10-deoxytridachione, anti tridachiahydropyrone and syn tridachiahydropyrone. Chapter 2 describes the work undertaken towards the total synthesis of 9,10-deoxytridachione. The novel tandem conjugate addition-Dieckmann condensation of complex enones developed previously in the Perkins group was used to generate anti methylated cyclohexenones as key synthetic intermediates. The conversion of the cyclohexenones into the corresponding cyclohexadienes via allylic alcohols was attempted, utilising a Grignard-mediated reaction to achieve the selective 1,2-reduction. Studies into the Grignard-mediated reduction were also undertaken on seven additional cyclohexenones, in order to investigate the utility and scope of the reaction. The extension of the methodology previously developed for the synthesis of cyclohexenones is the subject of Chapter 3. This section describes investigations into the synthesis of stereochemically-diverse cyclohexenones from complex enones. The conjugate addition-Dieckmann condensation strategy was extended successfully towards the synthesis of a syn methylated cyclohexenone, which allowed the synthesis of the proposed true structure of tridachiahydropyrone to be pursued. The methodology developed in Chapter 3 was utilised in Chapter 4 to synthesise a model system of syn tridachiahydropyrone. A comparative analysis of the NMR data of the syn model, an anti model and anti tridachiahydropyrone with the natural product indicated that the true structure of tridachiahydropyrone may indeed have syn stereochemistry. The synthesis of syn tridachiahydropyrone was attempted, and to this end a suitable cyclohexanone was successfully synthesised. However, the subsequent methylation-elimination cascade failed to furnish the desired syn methylated cyclohexenone, producing only an anti methylated cyclohexanone. The stereochemistry of the methylation was deduced using high and low variable temperature NMR coupled with selective irradiation NOESY.

The synthesis of a series of 2-chloropyrimidine derivatives is described. The synthesis began with a nucleophilic addition of lithiated heterocyclic molecules to the 4 position of 2-chloropyrimidine to give dihydropyrimidine intermediates. The intermediates were oxidized to the pyrimidine ring using the DDQ method. This was followed by an addition-elimination reaction of an amine to the 2-chloropyrimidine derivative. The structure and properties of the final compounds were analyzed by melting point, combustion analysis, and 13C-NMR and 1H-NMR spectroscopy. Biological activities in vitro of the synthesized compounds as antagonists of the 5-HT2a and 5-HT7 receptors were determined by an independent laboratory.

Die Möglichkeit der Synthese von Vinylaziden durch basenkatalysierte Umlagerungen von präparativ einfach zugänglichen Allylaziden wird an einer Reihe von akzeptor- und phenylsubstituierten Allylaziden sowie an substituierten 1-Azido-1H-indenen exemplarisch dokumentiert. Neben präparativen Gesichtspunkten werden auch mechanistische Details bezüglich der Isomerisierungsgeschwindigkeit und der Lage des Isomeriegleichgewichtes erörtert. Ein weiterer Aspekt der Arbeit ist die mechanistische Untersuchung der nucleophilen Addition von Stickstoffwasserstoffsäure (HN3) an akzeptorsubstituierte Allene (Michael-Addition). Durch die Übertragung dieser Synthesesequenz auf Hexa-1,2,4,5-tetraene (Diallene) lassen sich 1,4-Diazidobuta-1,3-diene erzeugen. Die thermische oder photochemische Anregung dieser Diazide führt im untersuchten Synthesebeispiel zur Bildung von zwei stabilen diastereomeren Bi-2H-azirin-2-ylen. Die Zuordnung der Konfiguration dieser Heterocyclen gelingt durch eine Einkristall-Röntgenstrukturanalyse. Thermisch oder photochemisch induzierte Valenzisomerisierungen zu Pyridazinen und Pyrimidinen, wie sie in Analogie für Bicycloprop-2-enyle als Valenzisomere des Benzols gefunden werden, spielen bei den untersuchten diastereomeren Bi-2H-azirin-2-ylen nur eine untergeordnete Rolle. Die favorisierten Reaktionen, insbesondere bei der Thermolyse, sind Epimerisierung und Fragmentierung, deren Verlauf durch kinetische Untersuchungen präzisiert wird. Ferner wird gezeigt, daß auch einfache stereoisomere 2H-Azirine einer thermischen Äquilibrierung der Konfiguration unterliegen können.

Ce travail de thèse porte sur la chimie organométallique des complexes d'or(I) et sur l'étude de leurs réactivités. Plus particulièrement, le travail présenté ici dans ce manuscrit avait pour objectif d'approfondir nos connaissances sur l'impact des ligands utilisés sur la réactivité de l'or vis-à-vis (i) de l'addition oxydante intermoléculaire et (ii) la possibilité de stabiliser des intermédiaires d'or(I) hautement réactifs. Dans la première partie de ce manuscrit, l'addition oxydante intermoléculaire des halogénures d'aryle (iodure et bromure) à des complexes moléculaires d'or(I) a été étudiée en détails. Nous avons pu montrer que cette étape élémentaire de la chimie organométallique, considéré comme impossible avec l'or, était en fait un processus favorable lorsqu'un ligand adéquat est employé, et deux stratégies différentes ont été élaborées. La première consiste à utiliser un ligand bis-phosphine bidenté qui impose une géométrie coudée autour de l'or, tandis que la deuxième stratégie implique l'utilisation d'un ligand hémi-labile bidenté avec des groupements donneurs doux et dur. Les deux stratégies ont été fructueuses, et les complexes d'or(III) issus des réactions d'addition oxydante ont été caractérisés spectroscopiquement et structuralement. Dans la deuxième partie, ayant à notre disposition deux complexes d'or(I) capable d'effectuer l'addition oxydante, nous voulions aller au-delà de cette étape élémentaire. Dans cet objectif, nous avons construit un nouveau cycle catalytique Au(I)/Au(III) impliquant une séquence d'addition oxydante Csp2-X, de Csp2-H auration et d'élimination réductrice, illustrant le premier exemple d'arylation directe d'arènes avec des halogénures d'aryle catalysée à l'or. Enfin, dans la dernière partie, nous avons tenté de stabiliser et de caractériser des intermédiaires d'or(I) très instables, comme le a-oxo carbène d'or(I). Cette espèce hautement électrophile est proposée comme un intermédiaire clés dans des nombreuses transformations catalytiques, mais n'a jamais été isolé ou caractérisé (en solution ou à l'état solide). L'utilisation d'un ligand bis-phosphine bidenté nous a permis de caractériser spectroscopiquement et structuralement le carbène a-oxo d'or(I) pour la première fois. Nous avons ensuite étudié sa réactivité vis-à-vis des réactions d'insertion et de cyclopropanation. / The present work is an organometallic study concerning the chemistry of gold(I) complexes and their reactivity. Of particular interest was to gain further knowledge on the impact of the ligands employed on the reactivity of gold towards (i) the intermolecular oxidative addition of aryl halides and (ii) the possibility of stabilizing high reactive gold(I) intermediates. In the first part of the manuscript, the intermolecular oxidative addition of aryl halides (iodide and bromide) with molecular gold(I) complexes was investigated in detail. We showed that this organometallic elementary step, usually considered to be impossible for gold, is actually a favorable process when an adequate ligand is employed and two different strategies have been elaborated. The first one consists in the use of a bis-phosphine bidentate ligand that forces a bent geometry around gold, whereas the second strategy implicates the use of a hemi-labile bidentate ligand bearing a soft and a hard donor group. Both strategies were found fruitful, and the gold(III) complexes stemming from oxidative addition reactions were characterized by spectroscopic and structural means. In the second part, having in hands two gold(I) complexes that undergo the oxidative addition reaction, we wanted to go beyond this elementary step. In that objective, we constructed a new Au(I)/Au(III) catalytic cycle involving a sequence of Csp2-X oxidative addition, Csp2-H auration and reductive elimination, allowing the first example of gold-catalyzed direct arylation of arenes with aryl halides. Finally, in the last part, we attempted to stabilize and characterize high reactive gold(I) intermediates, like the a-oxo gold(I) carbenes. This electrophilic species is proposed in many catalytic transformations as key intermediates, but has never been isolated or characterized (in solution or in solid state). The use of a bidentate diphosphine ligand allowed the characterization of the a-oxo gold(I) carbene for the first time by means of multinuclear NMR spectroscopy, X-ray diffraction analysis and high resolution mass spectroscopy (ESI+). We then investigated the reactivity of the a-oxo gold(I) carbene towards insertion and cyclopropanation reactions. Interestingly, the reactivity of the generated gold(I) carbenes can be modulated depending on the electronic properties of the aryl ethyl diazoacetate used.

Des ligands hydrides potentiellement bidentes (possédant un donneur N-hétérocyclique (NHC) associé à un groupement donneur éther ou amine) ainsi que des ligands tritopiques de type pinceur (possédant un groupement (NHC) flanqué de deux types de donneurs azotés différents Nimine et Namine) ont été préparés et utilisés pour la coordination de métaux de transition tels que le Ni, Cr, Cu et Ir. L’influence de la longueur de la chaine alkylée -(CH2)2- ou -(CH2)3- reliant le groupe éther ou amine au groupe hétérocyclique (NHC) a été examinée. Dans le but d’accéder aux complexes des métaux de transition différentes méthodologies ont été adoptées : a) déprotonation préalable du sel d’imidazolium suivie de l’addition des précurseurs métalliques correspondants ; b) transmétallation à partir des complexes (NHC) de l’argent correspondants ; c) réaction d’addition oxydante des sels d’imidazolium ou de leurs sels protonés avec du Ni(0). Une série de complexes du Ni(II) et du Cr(III) a été testée dans la réaction catalytique d’oligomérisation de l’éthylène. / Potentially bidentate hybrid ligands (containing a NHC donor associated with an ether or an amine) and tridentate NCN pincer-type ligands (containing a central NHC donor flancked by two chemically-different nitrogen donors (Nimine and Namine)) have been prepared and used for coordination to transition metals, such as Ni, Cr, Cu, Ir. The influence of the length of the alkyl chain, -(CH2)2- or -(CH2)3- connecting the ether or the amine group to the heterocycle NHC was examined. In order to have access to the transition metal complexes, several methodologies were adopted: a) deprotonation of the corresponding imidazolium salts followed by addition of transition metal precursors; b) transmetalation from NHC silver complexes; c) oxidative-addition reaction of Ni(0) with imidazolium salts or the corresponding protonated salts. A series of Ni(II), Cr(III) complexes were tested in the catalytic ethylene oligomerization reaction.