La performance d'un moteur d'hélicoptère est fortement corrélée à la performance de la turbine haute pression, et plus particulièrement à l'influence des différents composants constitutifs. Le rendement énergétique d'une turbine haute pression est garanti par la maîtrise des jeux entre les sommets des aubes et le stator durant tout le cycle de fonctionnement de la turbine. L'objectif de ces travaux est de proposer une méthode à caractère multiphysique reposant sur des opérations de polytopes (somme de Minkowski et intersection) permettant de valider des spécifications géométriques, des spécifications de contacts et des spécifications thermomécaniques. Ces spécifications garantissent une limite de la section de fuite en sommets d'aubes pour un risque de touche minimal. Un polytope permet de simuler les variations géométriques entre deux surfaces d'une même pièce, de surcroît un polytope de contact permet de simuler les variations géométriques entre deux surfaces potentiellement en contact. La structure topologique des contacts de la turbine se formalise par un graphe de contacts à une composante connexe. Cette structure permet de définir les sommes de Minkowski et les intersections des polytopes traduisant la propagation des écarts géométriques à travers la turbine. Les écarts géométriques d'origine thermomécanique sont évalués par la méthode des éléments finis. Ces travaux donnent au concepteur des éléments de décision sur l'influence des choix de conception, en particulier l'influence des formes de pièces et du comportement des liaisons, sur le fonctionnement de la turbine.

Dans le cadre du présent travail, nous nous intéressons à la transition du secondaire vers le collégial, spécialement en ce qui concerne la démonstration et le formalisme. Nous avons choisi d'évaluer la complexité des tâches de démonstration soumises aux étudiants d'un cours du collégial, Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, tel qu'il a été donné au Collège de Maisonneuve à l'hiver 2006, dans le cadre du programme DEC intégré. Nous faisons ensuite une analyse des éléments qui peuvent constituer une préparation à ces tâches, dans le cadre des cours de mathématiques de quatrième et de cinquième secondaires. Par l'analyse de tâches de démonstration de niveau collégial, nous dégageons plusieurs caractéristiques qui contribuent à complexifier largement la production de démonstrations. Nous relevons donc ces caractéristiques et vérifions à travers l'étude des programmes actuels et en processus d'implantation, comment les élèves sont outillés pour faire face à ces éléments de complexité. En conclusion, nous proposons des pistes de réflexions et d'interventions visant à minimiser les impacts de cette transition secondaire-collégial. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Didactique des mathématiques, Arrimage secondaire-collégial, Algèbre linéaire, Démonstration, Formalisme.

Ce projet de recherche visait l'élaboration d'une série d'activités combinant l'utilisation de la technologie à l'aide du logiciel Excel et l'initiation aux relations linéaires. Les quatre parties de l'expérimentation ont été spécialement conçues afin d'introduire la notion de relations linéaires en troisième secondaire tout en portant une attention particulière à l'étude graduelle des variations de paramètres. Ainsi, dans les trois premières parties, la variation des paramètres est discrète tandis que pour la quatrième partie, la variation des paramètres est plutôt continue. Les différentes activités se distinguent surtout par leur approche « contextualisée » (la situation du taxi principalement et la piscine qu'on vide et qu'on remplit d'eau) et par l'apport significatif de la technologie dans l'apprentissage des concepts associés. De plus, les activités ont été bâties de façon à ce que les différents modes de représentation (graphique, table de valeurs et équation) soient présents sur le logiciel et que ces derniers aident réellement l'élève dans ses apprentissages. De plus, Goldenberg (1988) mentionne que la mise en évidence dans le graphique de quelques points de même abscisse aiderait à la visualisation d'une translation verticale dans le cas d'une variation de l'ordonnée à l'origine. Contrairement à l'hypothèse de Goldenberg, cette mise en évidence lors de notre expérimentation ne semble pas avoir aidé les quatre élèves à observer une translation verticale, mais plutôt une translation oblique et une réflexion. Dans un autre ordre d'idée, nous avons observé que la présence de la technologie semble avoir aidé les élèves ayant réalisé l'expérimentation à déduire l'effet dans le graphique de la variation des paramètres dans le graphique d'une fonction linéaire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Technologie, Relation linéaire, Enseignement mathématique, Variation paramètre, Transformation géométrique.

Mes travaux peuvent se diviser en deux thèmes : L'algèbre linéaire numérique. La théorie des opérateurs intégraux. L'algèbre linéaire numérique fut le cadre de ma thèse de doctorat, dédiée aux propriétés spectrales des opérateurs de Sylvester, endomorphismes d'espaces matriciels. J'ai tout naturellement utilisé mes connaissances, mes compétences et mon savoir faire, développés pendant ces années de formation par la recherche, pour attaquer un nouveau problème li e a une notion apparue dans les années 1990 et qui a connu un grand succès dans la communauté de l'algèbre linéaire numérique. Cette notion est celle des pseudospectres qui généralise celle des spectres dans le cadre de la théorie des perturbations. A cette notion est liée celle de rayon de stabilité. Suite a ces travaux sur les pseudospectres et ayant constat e que pour certaines matrices pathologiques, la détermination du pseudospectre était couteuse et entachées d'erreurs importantes, nous avons cherché si l'on ne pouvait pas définir d'autres généralisations du spectre plus facilement calculables. Nous avons étudié un ensemble du plan complexe, contenant les valeurs propres d'une matrice, défini comme un -voisinage des racines du polynome caractéristique. Je me suis ensuite tout naturellement tournée vers un nouveau chalenge, celui du problème polynomial de valeurs propres. Ce sujet s'est développé très récemment. Il y a des questions propres aux problèmes polynomiaux de valeurs propres qui n'ont ete posées qu' a partir des années 2000 et qui n'ont trouvées de premières réponses que cinq ans plus tard. Le domaine des problèmes polynomiaux de valeurs propres est en pleine expansion et beaucoup de problèmes restent a résoudre dans l'avenir. Parallèlement et plus directement li e aux équations matricielles, je me suis intéressée a la notion de stabilité de Lyapunov, tr es utile dans la communauté de la théorie du contrôle. Mon autre domaine de recherche concerne les équations intégrales du point de vue de l'approximation. Des méthodes de discrétisation conduisant a des matrices diagonales sont intéressantes. Ces considérations m'ont conduite à étudier l'approximation d'un équation d'opérateur intégral par une méthode d'ondelettes-vaguelettes. La difficulté de la mise en œuvre numérique m'a dirigée vers l' étude d'autres méthodes.

Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d'une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d'algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n'est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d'algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés.

Le travail de cette thèse porte sur les raisons structurales derrière la formation de cristaux maclés. Ce travail ouvre une voie pour un futur développement de protocoles de synthèse afin de réduire l'occurrence de macles. La motivation de cette étude est que la présence de macles affecte négativement les propriétés physico-chimiques des matériaux d'intérêts technologiques et réduit aussi la qualité des données expérimentales sur lesquelles se fonde l'analyse structurelle. Ce dernier problème est particulièrement sensible dans le cas de cristaux ayant des paramètres de maille importantes, comme les macromolécules biologiques. Les principes de symétrie responsables du phénomène de maclage dans le cas d’une macle de transformation ou d'origine mécanique sont bien connues. En revanche dans le cas d’une macle de croissance, le maclage est toujours considéré comme un accident lié aux conditions aléatoires de croissance cristalline où à la cinétique, plutôt qu'à la thermodynamique. Une approche générale connue comme la « théorie réticulaire des macles » a été développée depuis le XIXe siècle, fondée sur l'existence d'un sous-réseau commun aux cristaux maclés, qui donne les conditions  nécessaires pour l'apparition d'une macle. Cette approche est cependant insuffisante pour déterminer la différence entre les macles avec le même degré de chevauchement des réseaux mais montrant une fréquence d'occurrence assez différente. Une approche structurale, fondée sur l'analyse de la symétrie propre des orbites cristallographiques a été proposée il y a plus d'un demi-siècle (Donnay et Curien, 1960), mais est restée à l'état embryonnaire, malgré une certaine reprise récente (Nespolo et Ferraris, 2009). En outre, l'idée qu'une interface commune aux cristaux maclés puisse contenir une opération reliant ces individus a été proposée (Holser, 1958) mais n'a jamais été portée à un plein développement. Dans cette thèse, nous présentons un développement algébrique de ces idées. Nous montrons que les conditions structurales nécessaires pour la formation d'une macle de croissance peuvent être formulées en se basant, notamment, sur la symétrie propre des orbites cristallographiques et sur le groupe sous-périodique de la couche transversale donnant la symétrie d'une couche commune. L'analyse détaillée dans cette thèse de trois macles fréquentes démontre une corrélation claire entre le degré de restauration de la structure par l'opération de maclage et la fréquence d'occurrence des macles. Un exemple négatif, à savoir une macle hypothétique dont on pourrait prévoir la formation  sur la base de la théorie réticulaire a aussi été analysé. Le fait que cette macle n'ait jamais été observée, en raison d’une faible restauration de la structure qui serait produite par l'opération de macle, confirme le bien fondé de l'approche. Nous nous attendons à ce que la généralisation de l'approche présentée dans cette thèse fournisse une procédure semi-automatique pour prévoir la probabilité de formation d'une macle. Cela permettrait aux personnes travaillant dans la synthèse cristalline démoduler la fréquence de maclage. Le procédé fait appel à la modification de la morphologie du cristal pour une plus grande exposition et le développement des faces cristallines qui présentent une interface défavorable pour le maclage. / This thesis addresses the structural rationale behind the formation of growth twins, with the purpose of opening a route to the future development of synthesis protocols to reduce the occurrence frequency of twinning. The reason for this effort is that twinning affects negatively the physico-chemical properties of materials and biomaterials of technological interests and reduces the quality of the experimental data on which the structural investigation is based. While on the one hand the reasons for twinning in transformation and mechanical twins are well understood, in the case of growth twins twinning is still seen as an accident linked to aleatory conditions where kinetics, rather than thermodynamics, plays a principal role. A general approach known as the reticular theory of twinning has been developed since the XIX century, based on the existence of a sublattice common to the twinned crystals, which gives the minimal necessary conditions for the occurrence of a twin. This approach is, however, insufficient to discriminate between twins with the same degree of lattice overlap but showing a fairly different occurrence frequency. A structural approach, based on the analysis of the eigensymmetry of the crystallographic orbits building a crystal structure was proposed more than half a century ago (Donnay and Curien, 1960) but remained at an embryonic state, despite some recent revival (Nespolo and Ferraris, 2009). Also, the idea that a slice common to the twinned individuals may contain an operation mapping these individuals was proposed (Holser, 1958) but never brought to a full development. In this thesis, we present a full development of these ideas and show that the structurally necessary conditions for the formation of a growth twin can be described on the basis of the eigensymmetry of the crystallographic orbits and on the sectional layer group giving the symmetry of the common slice. The detailed analysis of three well-know twins demonstrates a clear correlation between the degree of structural restoration by the twin operation and the occurrence frequency of the twins. The analysis of a negative example, i.e. of a hypothetical twin which one would expect on the basis of the reticular theory but has never been observed, strengthens the evidence of this correlation, because of the low structural restoration one would observe in that twin. We expect that the generalisation of the approach presented in this thesis through a semi-automatic procedure will provide crystal growers with a powerful tool to modulate the occurrence frequency of twinning through a modification of the crystal morphologies towards a larger exposure and development of crystal faces which represent an unfavorable interface for twinning.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse présente une vision unifiée de plusieurs méthodes de décomposition de domaine : celles avec recouvrement, dites de Schwarz, et celles basées sur des compléments de Schur, dites de sous-structuration. Il est ainsi possible de changer de méthodes de manière abstraite et de construire différents préconditionneurs pour accélérer la résolution de grands systèmes linéaires creux par des méthodes itératives. On rencontre régulièrement ce type de systèmes dans des problèmes industriels ou scientifiques après discrétisation de modèles continus. Bien que de tels préconditionneurs exposent naturellement de bonnes propriétés de parallélisme sur les architectures distribuées, ils peuvent s’avérer être peu performants numériquement pour des décompositions complexes ou des problèmes physiques multi-échelles. On peut pallier ces défauts de robustesse en calculant de façon concurrente des problèmes locaux creux ou denses aux valeurs propres généralisées. D’aucuns peuvent alors identifier des modes qui perturbent la convergence des méthodes itératives sous-jacentes a priori. En utilisant ces modes, il est alors possible de définir des opérateurs de projection qui utilisent un problème dit grossier. L’utilisation de ces outils auxiliaires règle généralement les problèmes sus-cités, mais tend à diminuer les performances algorithmiques des préconditionneurs. Dans ce manuscrit, on montre en trois points quela nouvelle construction développée est performante : 1) grâce à des essais numériques à très grande échelle sur Curie—un supercalculateur européen, puis en le comparant à des solveurs de pointe 2) multi-grilles et 3) directs. / This thesis introduces a unified framework for various domain decomposition methods:those with overlap, so-called Schwarz methods, and those based on Schur complements,so-called substructuring methods. It is then possible to switch with a high-level of abstractionbetween methods and to build different preconditioners to accelerate the iterativesolution of large sparse linear systems. Such systems are frequently encountered in industrialor scientific problems after discretization of continuous models. Even though thesepreconditioners naturally exhibit good parallelism properties on distributed architectures,they can prove inadequate numerical performance for complex decompositions or multiscalephysics. This lack of robustness may be alleviated by concurrently solving sparse ordense local generalized eigenvalue problems, thus identifying modes that hinder the convergenceof the underlying iterative methods a priori. Using these modes, it is then possibleto define projection operators based on what is usually referred to as a coarse solver. Theseauxiliary tools tend to solve the aforementioned issues, but typically decrease the parallelefficiency of the preconditioners. In this dissertation, it is shown in three points thatthe newly developed construction is efficient: 1) by performing large-scale numerical experimentson Curie—a European supercomputer, and by comparing it with state of the art2) multigrid and 3) direct solvers.

Je présente ici la synthèse de recherches en didactique des mathématiques au cours desquelles j'ai étudié deux champs très différents :<br />- l'entrée à l'université, et en particulier les difficultés que pose l'enseignement de l'algèbre linéaire au début de l'université ; <br />- l'emploi de ressources en ligne pour l'apprentissage et l'enseignement des mathématiques à tous les niveaux scolaires, et en particulier de ressources du type « bases d'exercices en ligne ». <br />Dans le premier chapitre, je montre comment différentes perspectives de recherche amènent à s'intéresser à différents types de difficultés des étudiants novices, à identifier diverses causes pour celles-ci, et à suggérer différents moyens d'action didactique à l'entrée dans le supérieur, pour le cas de l'algèbre linéaire en particulier.<br />Le deuxième chapitre porte sur le thème des ressources en ligne. Mes recherches ont concerné plusieurs facettes de ce thème : l'analyse didactique des ressources ; la question des comportements et des apprentissages des élèves ou étudiants travaillant avec de telles ressources ; enfin les conséquences de l'emploi de ces ressources sur les pratiques des enseignants. J'expose en particulier les apports complémentaires d'analyses en termes de contrat didactique et d'approche instrumentale. Pour le professeur, la nécessité d'une prise en compte globale des ressources susceptibles d'intervenir dans son activité professionnelle m'a conduite à prendre part au développement d'une approche théorique spécifique, introduisant la notion de genèse documentaire. <br />Je présente enfin dans un troisième chapitre mes perspectives de recherche, dans lesquelles l'étude des genèses documentaires constitue un axe majeur.

Cette thèse se rattache à l'algèbre linéaire formelle. Elle est composée de deux parties: la première, consacrée à l'étude des formes normales de matrices, constitue un ensemble d'outils utilisés dans la seconde qui, pour sa part, présente des méthodes matricielles de résolution de deux types de systèmes différentiels: les systèmes différentiels à coefficients constants et les systèmes différentiels ayant un point singulier régulier isolé. Dans la première partie, nous avons étudié, implémentés dans le système de calcul formel AXIOM, et comparés tant de manière théorique qu'expérimentale des algorithmes de calcul de diverses formes normales (Frobenius, Smith, Jordan) de matrices à coefficients rationnels. Dans la seconde, nous avons montré quels sont les avantages et les inconvénients de l'utilisation de ces algorithmes pour trois applications: le calcul de l'exponentielle d'une matrice, la résolution d'équations matricielles et la résolution matricielle de systèmes différentiels ayant une singularité régulière isolée. En particulier, nous avons abordé le problème épineux de la manipulation des nombres algébriques apparaissant nécessairement lorsque l'on calcule formellement, la forme de Jordan d'une matrice à coefficients rationnels