Thesis (Ph.D.)--Mathematics, Georgia Institute of Technology, 2008. / Committee Chair: Prof. Jean Bellissard; Committee Member: Prof. Claude Schochet; Committee Member: Prof. Michael Loss; Committee Member: Prof. Stavros Garoufalidis; Committee Member: Prof. Thang Le.

Orientador: Maria Gorete Carreira Andrade / Banca: Denise de Mattos / Banca: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Resumo: Em Topologia, mais especificamente em Topologia Algébrica, temos alguns resultados clássicos que de alguma forma estão relacionados. No desenvolvimento deste trabalho, estudamos alguns desses resultados, a saber: Teorema de Lefschetz-Hopf, Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema da Curva de Jordan e o Teorema Clássico de Borsuk-Ulam. Além disso, tivemos como objetivo principal mostrar relações existentes entre esses teoremas a partir do Teorema de Lefschetz-Hopf. / Abstract: In Topology, more specifically in Algebraic Topology, we have some classical results that are in some way related. In developing this work, we studied some of these results, namely the Lefschetz-Hopf Theorem, the Lefschetz Fixed Point Theorem, the Brouwer Fixed Point Theorem, the Jordan Curve Theorem and the Classic Borsuk-Ulam Theorem. Moreover, our main objective was to show relationships among those theorems by using Lefschetz-Hopf Theorem. / Mestre

Submitted by Charles dos Anjos Moreira null (charles.anjos@hotmail.com) on 2017-11-30T00:05:25Z No. of bitstreams: 1 Versão Final - Charles dos Anjos Moreira.pdf: 1350502 bytes, checksum: bbaf5a250d792183c0b0e14bfc5f34dd (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Aparecida Puerta null (dripuerta@rc.unesp.br) on 2017-11-30T12:32:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 moreira_ca_me_rcla.pdf: 1350502 bytes, checksum: bbaf5a250d792183c0b0e14bfc5f34dd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-30T12:32:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 moreira_ca_me_rcla.pdf: 1350502 bytes, checksum: bbaf5a250d792183c0b0e14bfc5f34dd (MD5) Previous issue date: 2017-11-01 / Esse trabalho trata de elementos da Topologia Algébrica, a qual tem como fundamental aplicação abordar questões acerca de Espaços Topológicos sob o ponto de vista algébrico. Uma das questões é tentar responder se dois espaços topológicos X e Y são homeomorfos. Neste sentido, o grupo fundamental é uma ferramenta algébrica útil por se tratar de um invariante topológico. Além disso, apresentamos o Teorema de van Kampen do ponto de vista da Linguagem de Categorias e Funtores. / This work treats of elements of the Algebraic Topology, which has as fundamental application to approach subjects concerning Topological Spaces under the algebraic point of view. One of the subjects is to try to answer if two topological spaces X and Y are homeomorphics. In this sense, the fundamental group is an useful algebraic tool for treating of an topological invariant. In addition, we presented the van Kampen's Theorem of the point of view of the language of Categories and Functors.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Esstadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T16:45:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paulo_NaiaraVergiande_M.pdf: 3206526 bytes, checksum: 8b9412f659496d0b15142c86dfe55a5d (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar a matriz de conexão, estabelecendo um paralelo entre as abordagens contínua e discreta. O índice homológico de Conley, principal elemento para a definição da matriz de conexão, assume formas distintas quando lidamos com fuxos ou com aplicações contínuas. Tal índice trata-se apenas de um espaço vetorial graduado no caso contínuo, enquanto no caso discreto toma a forma de um par que consiste de um espaço vetorial graduado junto com um isomorfismo. Como consequência, a matriz de conexão para uma decomposição de Morse é definida diferentemente quando consideramos sistemas dinâmicos contínuos ou discretos. No primeiro caso, a matriz de conexão é uma matriz de aplicações lineares entre os índices contínuos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse que codifica uma trança de espaços vetoriais graduados, conhecida como trança do índice contínuo homológico. Já no segundo caso, a matriz de conexão é um par de matrizes que têm como entradas aplicações lineares definidas entre os índices discretos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse e, agora, este par de matrizes codifica uma trançaa de espaços vetoriais graduados com isomorfismos, chamada trança do índice discreto homológico. Apesar do índice homológico de Conley e da matriz de conexão serem elementos puramente algébricos, ambos são capazes de fornecer informações dinâmicas sobre um fuxo e mais ainda sobre uma aplicação contínua. Especificamente, estes elementos podem detectar a existência de órbitas de conexão entre conjuntos de Morse de um conjunto invariante isolado e exemplos desta situação são apresentados neste trabalho / Abstract: The goal of this work is to present the connection matrix by establishing a parallel between the continuous and discrete settings. The homological Conley index, the main element in the definition of the connection matrix, has a diferent form for flows or continuous maps. This index is a graded vector space in the continuous case whereas in the discrete case it takes the form of a pair consisting of a graded vector space together with an isomorphism. Consequently, the connection matrix for a Morse decomposition is defined diferently when we consider continuous or discrete dynamical systems. In the prior case, the connection matrix is a matrix of linear maps between the continuous Conley homology indices of Morse sets which codes the information of a graded vector space braid known as the continuous homology index braid. In the latter case, the connection matrix is a pair of matrices where the entries in both case are linear maps de?ned between the discrete Conley homology indices of Morse sets and, in this setting, this pair of matrices codes the information of a graded vector space braid with isomorphism known as discrete homology index braid. Although the Conley homology index and the connection matrix constitute purely algebraic elements, they are capable of providing dynamical information of a fow and of a continuous map. More precisely, these elements can detect the existence of connecting orbits among Morse sets of an isolated invariant set and examples of this situation are presented in this work. / Mestrado / Sistemas Dinamicos Topologicos / Mestre em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T21:02:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silveira_MarianaRodriguesda_D.pdf: 1531895 bytes, checksum: 3c73a8eb791483b1f0216d6f2627969b (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho, apresentamos um algoritmo para um complexo de cadeias C e sua diferencial dada por uma matriz de conexão _ que determina uma seqüência espectral associada (Er, dr). Mais especificamente, um sistema gerador de Er em termos da base original de C é obtido bem como a identificação de todas as diferenciais dr p : Er p ! Er p-r. Explorando a implicação dinâmica da diferencial não nula, mostramos a existência de um caminho unindo a singularidade que gera E0 p e a singularidade que gera E0 p-r no caso em que a conexão direta pelo fluxo não existe. Este caminho é composto pela justaposição de órbitas do fluxo e do fluxo reverso e prova ser importante em algumas aplicações / Abstract: In this work, we present an algorithm for a chain complex C and its di_erential given by a connection matrix _ which determines an associated spectral sequence (Er, dr). More specifically, a system spanning Er in terms of the original basis of C is obtained as well as the identi_cation of all di_erentials dr p : Er p ! Er p-r. In exploring the dynamical implication of a nonzero di_erential, we prove the existence of a path joining the singularities generating E0 p and E0 p-r in the case that a direct connection by a _ow line does not exist. This path is made up of juxtaposed orbits of the _ow and of the reverse _ow and which proves to be importantin some applications / Doutorado / Geometria e Topologia/Sistemas Dinamicos / Doutor em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T21:23:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Casagrande_Rogerio_D.pdf: 791160 bytes, checksum: 010eb0b4b4c51c71ac7df0e6a9c2ad1e (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: O índice de Conley é um invariante topológico usado na análise do comportamento qua¬litativo de sistemas dinâmicos. Inicialmente a teoria foi desenvolvida para fluxos contínuos em espaços de dimensão finita e posteriormente estendida para o caso discreto. Neste tra¬balho, apresentamos uma teoria do índice de Conley para uma classe de campos vetoriais descontínuos, com descontinuidade de primeira espécie. Campos vetoriais descontínuos são freqüentes em varias áreas da Ciência e Engenharia e podem ser expressos por sistemas suaves por partes em uma variedade n-dimensional compacta M. Considere uma estratificação de Whitney de M e seja Z um campo descontínuo em M, onde a região de descohtinuidade, D, é o estrato de codimensão um. Mostramos a existência de um D-par índice (N, L) e sua invariância quanto ao tipo de homotopia do espaço N quocientado por L. Desta forma o D-índice de Conley fica bem definido e apresentamos alguns exemplos de seu cálculo. Utilizamos o D-Índice de ConIey para exibirmos condições suficientes para a existência de pontos de bifurcação em uma família a um parâmetro de campos descontínuos. Apresen¬tamos uma teoria de continuação para D-grafos de Lyapunov associado à classe de campos descontínuos / Abstract: The Conley index is a used as a topological invariant in the analysis of the qualitative behavior of dynamical systems. lnitially the theory was developed for continuous flows in finite dimensional spaces and later extended to the infinite dimensional setting as well as to the discrete case. ln this work, we present a Conley index theory for a class of discontinuous vectar fields, with discontinuity of the first kind. Discontinuous vector fields are frequent in several areas of Science and Engineering and can be expressed as piecewise differentiable vector fields on an n-dimensional compact manifold, M. We consider a Whitney sttatification of M and a discontinuous vector field Z on M, where the region of discontinuity, D, is the strata of codimension one. We show the existence of a D-index pair (N, L) and prove that the quotienL space N/L independs on the pair chosen, thus defining the D-Conley index as the homotopy type of this quotient space. We present some examples of its calculation. We also use the D-Conley index to show sufficient conditions for the existence of bifurcation points in a one parameter family of discontinuous vector fields. We also present a theory of continuation for Lyapunov D-graphs associated to this class of discontinuous vector fields / Doutorado / Geometria e Topologia / Doutor em Matemática

Orientador: Dessislava H. Kochloukova / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-11T14:04:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rabelo_Lonardo_M.pdf: 1106165 bytes, checksum: 2bbac38aebd1bf1d09d9f3bc26c12171 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste projeto de mestrado, estudamos um dos grupos de Richard Thompson e apresentamos os cálculos de seu invariante homotópico Sigma, em qualquer dimensão m, onde m é um inteiro positivo. O grupo de Richard Thompson, denotado por F, foi por ele definido em 1965 e ficou conhecido, mais tarde, por suas propriedades homotópicas e homológicas interessantes. Por exemplo, F é tipo FP8 ([04]). Além disso, F pode ser descrito de maneiras distintas, o que o torna ainda mais interessante. A teoria de invariantes (homotópicos e homológicos) Sigma foi desenvolvida nas últimas décadas do século vinte por R. Bieri, J. Groves, R. Geoghegan, H. Meinert, R. Strebel e outros e está relacionada com propriedades FPm de grupos. O Invariante _1(F) foi obtido em [03]. Recentemente, o caso geral do invariante _m(F) e _m(F, Z) (homotópico e homológico, respectivamente), m = 2, foi descrito por R. Bieri, R. Geoghegan e D. Kochloukova. Nesta dissertação, apresentamos a versão homotópica deste resultado / Abstract: In this project we study one of the Richard Thompson's Group F e its Homotopical m-dimensional Sigma Invariant. The Richard Thompson Group F is very known by its interesting homological and homotopical properties, for example, it is of type FP8 ([04]). Also, F has the property of being defined in several distinct ways. The Sigma Invariant Theory was developed in last decades of twentieth century by R. Bieri, J. Groves, R. Geoghegan, H. Meinert, R. Strebel and others and is related to FPm properties of groups. The _1(F) was obtained in [03]. Recently the general case of _m(F) and _m(F, Z) (homotopical and homological versions, respectively), m = 2, were described by R. Bieri, R. Geoghegan and D. Kochloukova. Here, we present the homotopical version of this result / Mestrado / Algebra / Mestre em Matemática

Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T00:23:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rabelo_Lonardo_D.pdf: 1560307 bytes, checksum: ad1323aadd78f3943acaf2c6e13b96d0 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Esta tese apresenta uma abordagem para o estudo da topologia das variedades flag reais. A homologia é obtida pela determinação do operador fronteira da homologia celular. Isto se dá a partir de uma parametrização explícita das células de Shubert que fornecem a estrutura celular destas variedades. Para o anel de cohomologia de uma variedade flag maximal, encontram-se os seus geradores como classes de Stiefel-Whitney de um fibrado de linha sobre a variedade flag / Abstract: This thesis presents an approach for the study of topology of real flag manifolds. The homology is obtained by the determination of the boundary operator for the cellular homology. This follows from an explicit parametrization of the Schubert cells which gives a cellular structure for these manifolds. For the cohomology ring of a maximal flag manifold, its generators are found as Stiefel-Whitney classes of a line fiber bundle over the flag manifold / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

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