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Calculs vérifiés en algèbre homologiqueSpiwack, Arnaud 25 March 2011 (has links) (PDF)
L'objet de cette thèse est d'étudier les capacités du système Coq à mélanger démonstrations et programmes en pratique en essayant d'y implémenter une part du programme Kenzo, un outil de calcul formel en algèbre homologique. À cet effet, nous travaillons sous trois contrainte: nous voulons essayer de lire le programme comme une démonstration avec un contenu calculatoire, ces démonstrations doivent calculer efficacement et nous cherchons à éviter de dupliquer des morceaux de démonstration. Nous montrons dans un premier temps comment le soucis d'efficacité conduit à reconsidérer certains aspects des mathématiques traditionnelle. Nous proposons une abstraction catégorielle adaptée, qui répond à la fois à un soucis de clareté et au besoin de partager les démonstration quand c'est possible. Cette abstraction, bien que différente des propositions traditionnelles, permet de formuler les notions d'algèbre homologique dans un style proche de celui de Kenzo. Nous proposons par ailleurs des modifications au programme de Coq pour rendre les démonstrations plus confortables, et pour permettre d'écrire des programmes plus efficaces. La première modification permet d'utiliser des tactiques plus fines, souvent nécessaire quand l'utilisation des types dépendents se fait commune. La seconde permet d'utiliser les capacité du processeur pour faire des calculs plus efficaces sur des entiers. Pour finir nous proposons quelques pistes pour améliorer le partage et la clareté du code. Malheureusement, nous nous heurtons aux limites du système. Nous montrons ainsi que Coq ne tiens pas forcément ses promesses et qu'il y aura besoin de travaux théoriques pour comprendre comment lever ces limites.
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Grothendieck et les topos : rupture et continuité dans les modes d'analyse du concept d'espace topologiqueBélanger, Mathieu 04 1900 (has links)
La thèse présente une analyse conceptuelle de l'évolution du concept d'espace topologique. En particulier, elle se concentre sur la transition des espaces topologiques hérités de Hausdorff aux topos de Grothendieck.
Il en ressort que, par rapport aux espaces topologiques traditionnels, les topos transforment radicalement la conceptualisation topologique de l'espace. Alors qu'un espace topologique est un ensemble de points muni d'une structure induite par certains sous-ensembles appelés ouverts, un topos est plutôt une catégorie satisfaisant certaines propriétés d'exactitude.
L'aspect le plus important de cette transformation tient à un renversement de la relation dialectique unissant un espace à ses points. Un espace topologique est entièrement déterminé par ses points, ceux-ci étant compris comme des unités indivisibles et sans structure. L'identité de l'espace est donc celle que lui insufflent ses points. À l'opposé, les points et les ouverts d'un topos sont déterminés par la structure de celui-ci. Qui plus est, la nature des points change: ils ne sont plus premiers et indivisibles. En effet, les points d'un topos disposent eux-mêmes d'une structure.
L'analyse met également en évidence que le concept d'espace topologique évolua selon une dynamique de rupture et de continuité. Entre 1945 et 1957, la topologie algébrique et, dans une certaine mesure, la géométrie algébrique furent l'objet de changements fondamentaux. Les livres Foundations of Algebraic Topology de Eilenberg et Steenrod et Homological Algebra de Cartan et Eilenberg de même que la théorie des faisceaux modifièrent profondément l'étude des espaces topologiques. En contrepartie, ces ruptures ne furent pas assez profondes pour altérer la conceptualisation topologique de l'espace elle-même. Ces ruptures doivent donc être considérées comme des microfractures dans la perspective de l'évolution du concept d'espace topologique.
La rupture définitive ne survint qu'au début des années 1960 avec l'avènement des topos dans le cadre de la vaste refonte de la géométrie algébrique entreprise par Grothendieck. La clé fut l'utilisation novatrice que fit Grothendieck de la théorie des catégories. Alors que ses prédécesseurs n'y voyaient qu'un langage utile pour exprimer certaines idées mathématiques, Grothendieck l'emploie comme un outil de clarification conceptuelle. Ce faisant, il se trouve à mettre de l'avant une approche axiomatico-catégorielle des mathématiques.
Or, cette rupture était tributaire des innovations associées à Foundations of Algebraic Topology, Homological Algebra et la théorie des faisceaux. La théorie des catégories permit à Grothendieck d'exploiter le plein potentiel des idées introduites par ces ruptures partielles.
D'un point de vue épistémologique, la transition des espaces topologiques aux topos doit alors être vue comme s'inscrivant dans un changement de position normative en mathématiques, soit celui des mathématiques modernes vers les mathématiques contemporaines. / The thesis presents a conceptual analysis of the evolution of the topological space concept. More specifically, it looks at the transition from topological spaces inherited from Hausdorff to Grothendieck toposes.
This analysis intends to show that, in comparison to traditional topological spaces, toposes radically transform the topological conceptualization of space. While a topological space is a set of points equipped with a structure induced by some of its subsets called open, a topos is a category satisfying exactness properties.
The most important aspect of this transformation is the reversal of the dialectic between a space and its points. A topological space is totally determined by its points who are in turn understood as being indivisible and devoided of any structure. The identity of the space is thus that induced by its points. Conversely, the points and the open of a topos are determined by its very structure. This entails a change in the nature of the points: they are no longer seen as basic nor as indivisible. Indeed, the points of a topos actually have a structure.
The analysis also shows that the evolution of the topological space concept followed a pattern of rupture and continuity. From 1945 to 1957, algebraic topology and, to a lesser extend, algebraic geometry, went through fundamental changes. The books Foundations of Algebraic Topology by Eilenberg and Steenrod and Homological Algebra by Cartan and Eilenberg as well as sheaf theory deeply modified the way topological spaces were studied. However, these ruptures were not deep enough to change the topological conceptualization of space itself. From the point of view of the evolution of the topological space concept, they therefore must be seen as microfractures.
The definitive rupture only occurred in the early 1960s when Grothendieck introduced toposes in the context of his reform of algebraic geometry. The key was his novel use of category theory. While mathematicians before him saw category theory as a convenient language to organize or express mathematical ideas, Grothendieck used it as a tool for conceptual clarification. Grothendieck thus put forward a new approach to mathematics best described as axiomatico-categorical.
Yet, this rupture was dependent of the innovations associated with Foundations of Algebraic Topology, Homological Algebra and sheaf theory. It is category theory that allowed Grothendieck to reveal the full potentiel of the ideas introduced by these partial ruptures.
From an epistemic point of view, the transition from topological spaces to toposes must therefore be seen as revealing a change of normative position in mathematics, that is that from modernist mathematics to contemporary mathematics.
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Propriétés algébriques et homotopiques des opérades sur une algèbre de HopfBellier, Olivia 16 October 2012 (has links) (PDF)
Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.
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Sur l'isomorphisme entre les cohomologies de Hochschild et de Chevalley-Eilenberg.Riviere, Salim 06 December 2012 (has links) (PDF)
Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.
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Théorie de Morita dans un contexte enrichiSegrt Ratkovic, Kruna 24 February 2012 (has links) (PDF)
Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C'était Anders Kock qui a montré qu'une monade T dans une catégorie monoidale E est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbre est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d'endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l'unité I de E . Dans le cas particulier où E est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfi eld-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita.
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Un relèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobarQuesney, Alexandre 08 January 2014 (has links) (PDF)
Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d'une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l'obtention d'une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar Ω²C d'une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C(X), où C(X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C(X) est telle que la double construction cobar Ω²C(X) est un modèle pour les lacets doubles Ω²|X|. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la double construction cobar Ω²C(X) lorsque X est une double suspension et celle sur l'homologie H(Ω²|X|) induite par l'action diagonale du cercle sur Ω²|X|. Pour finir, lorsque l'anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues ΩC(X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (∇, S). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar Ω(ΩC(X), ∇, S) pour tout ensemble simplicial X.
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Cohomology and K-theory of aperiodic tilingsSavinien, Jean P.X. 19 May 2008 (has links)
We study the K-theory and cohomology of spaces of aperiodic and repetitive tilings with finite local complexity. Given such a tiling, we build a spectral sequence converging to its K-theory and define a new cohomology (PV cohomology) that appears naturally in the second page of this spectral sequence. This spectral sequence can be seen as a generalization of the Leray-Serre spectral sequence and the PV cohomology generalizes the cohomology of the base space of a Serre fibration with local coefficients in the K-theory of its fiber. We prove that the PV cohomology of such a tiling is isomorphic to the Cech cohomology of its hull. We give examples of explicit calculations of PV cohomology for a class of 1-dimensional tilings (obtained by cut-and-projection of a 2-dimensional lattice).
We also study the groupoid of the transversal of the hull of such tilings and show that they can be recovered:
1) from inverse limit of simpler groupoids (which are quotients of free categories generated by finite graphs), and
2) from an inverse semi group that arises from PV cohomology.
The underslying Delone set of punctures of such tilings modelizes the atomics positions in an aperiodic solid at zero temperature. We also present a study of (classical and harmonic) vibrational waves of low energy on such solids (acoustic phonons). We establish that the energy functional (the "matrix of spring constants" which describes the vibrations of the atoms around their equilibrium positions) behaves like a Laplacian at low energy.
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O teorema de Lefschetz-Hopf e sua relação com outros teoremas clássicos da topologiaGalves, Ana Paula Tremura [UNESP] 27 February 2009 (has links) (PDF)
Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0
Previous issue date: 2009-02-27Bitstream added on 2014-06-13T18:30:54Z : No. of bitstreams: 1
galves_apt_me_sjrp.pdf: 719114 bytes, checksum: 3cc285d329c0d629cf2c6ff65c13a201 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Em Topologia, mais especificamente em Topologia Algébrica, temos alguns resultados clássicos que de alguma forma estão relacionados. No desenvolvimento deste trabalho, estudamos alguns desses resultados, a saber: Teorema de Lefschetz-Hopf, Teorema do Ponto Fixo de Lefschetz, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema da Curva de Jordan e o Teorema Clássico de Borsuk-Ulam. Além disso, tivemos como objetivo principal mostrar relações existentes entre esses teoremas a partir do Teorema de Lefschetz-Hopf. / In Topology, more specifically in Algebraic Topology, we have some classical results that are in some way related. In developing this work, we studied some of these results, namely the Lefschetz-Hopf Theorem, the Lefschetz Fixed Point Theorem, the Brouwer Fixed Point Theorem, the Jordan Curve Theorem and the Classic Borsuk-Ulam Theorem. Moreover, our main objective was to show relationships among those theorems by using Lefschetz-Hopf Theorem.
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O complexo de Morse-Witten via sequências espectrais / The Morse-Witten complex via spectral sequencesVieira, Ewerton Rocha, 1987- 17 August 2018 (has links)
Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campiknas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-17T15:05:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1
Vieira_EwertonRocha_M.pdf: 3301438 bytes, checksum: 3fe2a609518ad6e7e190afc243b53ea4 (MD5)
Previous issue date: 2011 / Resumo: Nesse trabalho, estudaremos o complexo de Morse-Witten via sequências espectrais, utilizando a matriz de conexão sobre z que codifica as orbitas de conexão do uso de Morse associado ao complexo. O algoritmo do Método da Varredura aplicado à matriz de conexão sobre z produz uma sequência espectral (Er; dr), que por sua vez nos fornece informações importantes sobre a dinâmica. Dada a necessidade de computarmos os geradores dos -modulos Erp,q e as diferencias drp,q da seqüência espectral, utilizamos o software Sweeping Algorithm,que calcula os Erp,q e drp,q de forma rápida e eficiente. Apresentamos uma forma de estender o complexo de Morse-Witten, conforme [BaC1] e [BaC]. Tal complexo apresenta informações entre pontos críticos não consecutivos, ate então não obtidas pelo complexo de Morse-Witten. Para esse complexo estendido temos também uma seqüência espectral associada, através da qual obtemos informações dinâmicas, conforme os trabalhos [BaC1] e [BaC] / Abstract: In this work, we study the Morse-Witten Complex via spectral sequences, using the connection matrix over z, which codi_es the connecting orbits of the Morse ow associated to the complex. The Sweeping Method algorithm applied to the connection matrix over z produces a spectral sequence (Er; rd), which in turn gives us important information on the dynamics. Given the need to compute the generators of Z-modules Erp,q and the diferentials drp,q of the spectral sequence, we use the software Sweeping Algorithm, calculates Erp,q and drp,q quickly and efficiently. We present a way to extend the Morse-Witten as [BaC1] and [BaC]. This complex exhibits information between non-consecutive critical points, not obtainable using the Morse-Witten complex. For this extended Morse Complex we also have an associated spectral sequence, whereby dynamical information is also obtained as in [BaC1] and [BaC] / Mestrado / Mestre em Matemática
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Construção de uma teoria quântica dos campos topológica a partir do invariante de Kuperberg / Construction of a Topological Quantum Field Theory from the Kuperberg InvariantAnderson Alves da Silva 28 September 2015 (has links)
Resumo Neste trabalho apresentamos, em detalhes, a construção de uma teoria quântica dos campos topológica (TQCT). Podemos definir uma TQCT como um funtor simétrico monoidal da categoria dos cobordismos para a categoria dos espaços vetoriais. Em duas dimensões podemos encontrar uma descrição completa da categoria dos cobordismos e classificar todas as TQCT\'s. Em três dimensões é possível estender alguns invariantes para 3-variedades e construir uma TQCT 3D. Nossa construção é baseada no invariante para 3-variedades de Kuperberg, o qual envolve diagramas de Heegaard e álgebras de Hopf. Começamos com a apresentação do invariante de Kuperberg definido para toda variedade 3D compacta, orientável e sem bordo. Para cada álgebra de Hopf de dimensão finita constrói-se um invariante. Por fim, apresentamos a TQCT associada com o invariante de Kuperberg. Isto é feito usando-se o fato de que o invariante de Kuperberg é definido como uma soma de pesos locais tal qual uma função de partição. A TQCT decorre dos operadores advindos de variedades com bordo. / Abstract In this work we present in detail a construction of a topological quantum field theory (TQFT). We can define a TQFT as a symmetric monoidal functor from cobordism categories to category of vector spaces. In two dimension, we can give a complete description of cobordism categories and classify all TQFT\'s. In three dimension it is possible to extend some specific 3-manifold invariants and to construct a TQFT 3D. Our construction is based on the Kuperberg 3-manifold invariant which involves Heegaard diagrams and Hopf algebras. We start with the presentation of the Kuperberg invariant defined for every orientable compact 3-manifold without boundary. For each finite-dimensional Hopf algebra we can construct a invariant. Finally we presente the TQFT associated with the Kuperberg invariant. This is made using the fact that the Kuperberg invariant is defined like a sum of local weights in the same way as a partition function. The TQFT is constructed from the operators given by manifolds with boundary.
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