Orientadora: Carina Alves / Banca: Cintya Wikn de Oliveira Benedito / Banca: Fernando Eduardo Torres Orihuela / Resumo: Com os avanços da computação, a matemática discreta passou a ser objeto de novas e mais complexas pesquisas. Uma das razões é que os fundamentos da computação encontram-se nos princípios da matemática discreta. No que se refere aos centros de pesquisa, cada vez são mais numerosos e avanlçdos os trabalhos que visam dar sistematicidade e rigor aos princípios da matemática discreta como aqueles já conquistados pela matemática contínua. Nesse contexto, nossa proposta no presente trabalho, ao atuar na formação de base relativa ao ensino da matemática discreta no ensino médio, foi apresentar um texto que ao mesmo tempo compilasse tópicos que jé existe a respeito e, também, introduzisse novas questões e teorias que colocassem em compasso ensino médio com os significativos avanços da matemática discreta produzida nos grandes centros mundiais. Dentro dessas novas questões e teorias, privilegiamos a introdução das funções geradoras como assunto a ser abordado no ensino médio como aprendizado para eventuais desenvolvimentos posteriores no ensino superior, tanto das faculdades de matemática quanto das faculdades de computação. O presente trabalho apresenta-se como obra de base, redigida em linguagem acessível a professores e alunos do ensino médio, sem abrir mão do rigor necessário próprio dos estudos matemáticos / Abstract: Not available / Mestre

O presente trabalho teve como objetivo analisar se uma estratégia de ensino baseada em situações-problema contribui para a aprendizagem da Análise Combinatória pelos alunos da Educação de Jovens e Adultos. A sequência de ensino elaborada e implementada procurou abordar atividades que evocassem o cotidiano dos alunos e não dependessem de fórmulas previamente estudadas. A ordem em que as atividades foram propostas visou a formalização do princípio multiplicativo, como recurso a ser utilizado na resolução de problemas de contagem. A pesquisa foi desenvolvida sob a ótica de um estudo de caso, junto a uma turma de alunos dos cursos PROEJA Agroindústria e PROEJA Informática do Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete, e teve como aportes teóricos a teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget e a teoria dos campos conceituais de Vergnaud, os quais nos forneceram subsídios para a compreensão do desenvolvimento do raciocínio combinatório e, das dificuldades apresentadas pelos alunos. O trabalho mostrou que é possível a aprendizagem de conteúdos de Análise Combinatória pelos alunos do PROEJA, através da implementação de uma sequência de ensino baseada na resolução de problemas, frente aos quais os alunos construíram diferentes estratégias de resolução que favoreceram o desenvolvimento do seu raciocínio combinatório. / The present research aimed at analyzing to what extent a teaching strategy based on contextualized problems contributes to the learning of the Combinatorial Analysis by students from Education for Young Adults and Adults (Educação de Jovens e Adultos – EJA). The teaching sequence developed and implemented comprehended activities which evoked students’ everyday life and were not dependent on previously studied formulas. The order in which the activities were proposed aimed the formalization of the multiplication principle as a resource to be used in the resolution of counting problems. The research was developed based on a case study, in a class of the National Program for integrating the Professional Education with Basic Education in the Education for Young Adults and Adults (Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na modalidade de Educação de Jovens e Adultos – PROEJA) from the Food Technology course and the Information technology course of the Farroupilha Federal Institute in the Campus Alegrete and had as theoretical basis the theory of cognitive development by Piaget and the theory of conceptual fields by Vergnaud, which offer groundings for understanding the development of combinatorial thinking and the difficulties presented by the students. This analysis showed that learning of Combinatorial Analysis is possible for the PROEJA students, through the implementation of a teaching sequence based on the resolution of problems, against which the students built different resolution strategies favoring the development of their combinatorial thinking.

O presente trabalho teve como objetivo analisar se uma estratégia de ensino baseada em situações-problema contribui para a aprendizagem da Análise Combinatória pelos alunos da Educação de Jovens e Adultos. A sequência de ensino elaborada e implementada procurou abordar atividades que evocassem o cotidiano dos alunos e não dependessem de fórmulas previamente estudadas. A ordem em que as atividades foram propostas visou a formalização do princípio multiplicativo, como recurso a ser utilizado na resolução de problemas de contagem. A pesquisa foi desenvolvida sob a ótica de um estudo de caso, junto a uma turma de alunos dos cursos PROEJA Agroindústria e PROEJA Informática do Instituto Federal Farroupilha – Campus Alegrete, e teve como aportes teóricos a teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget e a teoria dos campos conceituais de Vergnaud, os quais nos forneceram subsídios para a compreensão do desenvolvimento do raciocínio combinatório e, das dificuldades apresentadas pelos alunos. O trabalho mostrou que é possível a aprendizagem de conteúdos de Análise Combinatória pelos alunos do PROEJA, através da implementação de uma sequência de ensino baseada na resolução de problemas, frente aos quais os alunos construíram diferentes estratégias de resolução que favoreceram o desenvolvimento do seu raciocínio combinatório. / The present research aimed at analyzing to what extent a teaching strategy based on contextualized problems contributes to the learning of the Combinatorial Analysis by students from Education for Young Adults and Adults (Educação de Jovens e Adultos – EJA). The teaching sequence developed and implemented comprehended activities which evoked students’ everyday life and were not dependent on previously studied formulas. The order in which the activities were proposed aimed the formalization of the multiplication principle as a resource to be used in the resolution of counting problems. The research was developed based on a case study, in a class of the National Program for integrating the Professional Education with Basic Education in the Education for Young Adults and Adults (Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na modalidade de Educação de Jovens e Adultos – PROEJA) from the Food Technology course and the Information technology course of the Farroupilha Federal Institute in the Campus Alegrete and had as theoretical basis the theory of cognitive development by Piaget and the theory of conceptual fields by Vergnaud, which offer groundings for understanding the development of combinatorial thinking and the difficulties presented by the students. This analysis showed that learning of Combinatorial Analysis is possible for the PROEJA students, through the implementation of a teaching sequence based on the resolution of problems, against which the students built different resolution strategies favoring the development of their combinatorial thinking.

A presente pesquisa foi desenvolvida para entender como ocorre o processo de ensino e aprendizagem da Combinatória, no caso particular dos problemas de contagem de agrupamentos de objetos, considerado difícil por professores e alunos; e para elaborar e experimentar uma proposta didática, com potencial para trazer algo novo ao processo. Com base na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, delineou-se os esquemas de um grupo de alunos do ensino médio: resolvem problemas de contagem direta, mas não resolvem os que exigem multiplicação e divisão. Com a análise de outros trabalhos correlatos, pode-se concluir que o ensino tem melhores chances de iniciar com a resolução de problemas, e não a partir de formulários e definições. Consequência deste estudo, foi organizada e posta em prática uma sequência didática que parte da vivência do “jogo de pôquer”. Entende-se o baralho (sem coringas) como um conjunto de 52 objetos, a partir do qual devemos formar agrupamentos de 5 objetos (“mãos”). Os problemas propostos gerados pelo jogo podem ser resolvidos com as quatro operações aritméticas. Ao final, constatou-se evolução nos esquemas dos alunos, que passaram a utilizar a multiplicação com significado e a utilizar uma organização gráfica adequada para as soluções. Mas ainda apareceram erros no uso da divisão, que foram analisados para poder-se oferecer ao professor/leitor, compreensão das dificuldades. / This research was conducted to understand how the teaching and learning of Combinatorics is, in the particular case of counting issues and groupings of objects, which is considered difficult by teachers and students. Also aims to develop and experience a didactic proposal, with the potential to bring something new to the process. Based on Vergnaud's theory of Conceptual Fields, it was outlined schemes of a group of high school students: they solve problems of direct counting, but do not solve problems that require multiplication and division. With the analysis of other related work, we can conclude that a better way of teaching would be starting with problem solving, and not from formulas and definitions. As a result of this study a teaching sequence that takes advantage of the experience of the poker game, was organized and implemented. It is understood the deck (without wildcards) of 52 cards, from which we form groups of 5 objects ("hands"). The proposed problems generated by the game can be solved with the four arithmetic operations. At the end of our experience, we discover changes in the schemes of the students, who start using multiplication meaning and an organization suitable for finding solutions. We notice that still errors appeared in the use of division, which were analyzed in order to offer the teacher / reader the understanding of the difficulties of the students.

Orientador: Luis Antonio da Silva Vasconcellos / Banca: Tatiana Miguel Rodrigues de Souza / Banca: Wladimir Seixas / Resumo: Iremos apresentar a um grupo de alunos do Ensino Médio da rede pública de Ensino do Estado de São Paulo, o mundialmente conhecido quebra cabeças Sudoku, e realizar com eles várias atividades buscando apresentá-lo como subsídio didático na aprendizagem de conceitos matemáticos importantes, além de proporcionar oportunidades de aprimorar a concentração e o raciocínio lógico. Iremos explorar conceitos matemáticos ocultos por trás de suas linhas, colunas e blocos, partindo de uma das primeiras perguntas que podem ser feitas: Qual é a quantidade total de jogos válidos existentes? Para responde-la, será proposto a realização de diversas atividades, primeiramente com um Shidoku (matriz 4 × 4), em seguida iremos calcular o total desses jogos. O tamanho reduzido dessa grade, facilita os cálculos manuais, permitindo visualizar e compreender o processo utilizado, aproveitando para introduzir o princípio fundamental da contagem. A discussão principal desse trabalho, concentra-se na exploração de um método para se determinar a quantidade de jogos válidos existentes para um Sudoku, e para isso, utilizaremos as demonstrações de Bertrand Felgenhauer e Frazer Jarvis. Também apresentaremos um método capaz de gerar uma grade completa de Sudoku, partindo de uma matriz quadrada de ordem 3, que em seguida, será utilizada para gerar uma solução de Sudoku ortogonal. Finalizando, iremos apresentar e explorar algumas formas diferenciadas para os quebra cabeças Sudoku, mostrando variações no formato... / Abstract: We will present to a group of high school students of the public Education of Sao Paulo state, the world-known puzzle Sudoku, and perform with them several activities seeking to present it as a didactic subsidy in the learning important mathematical concepts, besides opportunities to enhance concentration and logical reasoning. We will explore hidden mathematical concepts behind their lines, columns and blocks, starting from one of the rst questions that can be asked: What is the total number of valid games in existence? To answer this question, it will be proposed to perform several activities, rst with a Shidoku (4 × 4 matrix), then we will calculate the total of these games. The reduced size of this grid facilitates manual calculations, allowing to visualize and understand the process used, taking advantage to introduce the fundamental principle of counting. The main discussion of this paper focuses on the exploration of a method to determine the amount of valid games existing for a Sudoku, and for that, we will use the demonstrations of Bertrand Felgenhauer and Frazer Jarvis. We will also present a method capable of generating a complete Sudoku grid, starting from a square matrix of order 3, which will then be used to generate an orthogonal Sudoku solution. Finally, we will introduce and explore some di erent shapes for the Sudoku puzzle, showing variations in the shape of the blocks, the size of the grids and a variation that uses geometric forms in their tracks ... / Mestre

Orientador: Lourdes de la Rosa Onuchic / Banca: Rosana Giaretta Sguerra Miskulin / Banca: Raquel Normandia Moreira Brumatti / Resumo: Esta pesquisa tem como objetivo trabalhar a Análise Combinatória, fazendo uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. Abordamos, em nossa fundamentação teórica, a Análise Combinatória contida na Matemática Discreta, iniciando a pesquisa com uma introdução histórica da Análise Combinatória, seguida por uma análise de livros didáticos e pela busca de trabalhos de outros autores que se referiam ao ensino e à aprendizagem desse conteúdo. Criamos três projetos para trabalhar com a metodologia de ensino adotada por nós, em três cenários diferentes, onde a pesquisadora assumiu três posturas diferentes frente ao problema da pesquisa: como uma professora-pesquisadora, com seus próprios alunos, em sua sala de aula; como uma pesquisadora, ministrando uma oficina de trabalho, em um encontro de Educação Matemática, tendo como participantes, professores, educadores matemáticos e até alunos da Licenciatura em Matemática; e, como uma pesquisadora, em Encontros em Educação Matemática, divulgando sua pesquisa. Através da análise dos dados, obtidos nas aplicações dos três projetos, pudemos mostrar como os participantes desses projetos se envolveram ao fazer uso da metodologia de ensino adotada e relatamos as contribuições que trouxeram para nossa pesquisa. Verificamos que houve envolvimento ativo dos participantes na construção de novos conceitos e conteúdos, através da resolução dos problemas propostos, por meio de um trabalho investigativo, que proporcionou uma aprendizagem com compreensão e significado, com resultados importantes para a prática docente. Esta pesquisa foi desenvolvida seguindo a Metodologia de Pesquisa apresentada por Thomas A. Romberg. / Abstract: This paper has the objective to study the Combinatory Analysis using Methodology of Teaching-Learning-Assessment of Mathematics through Problem Solving. In our theoretical fundamentation we address the Combinatory Analysis contained in the Discrete Mathematics, starting the research with a historical introduction of the Combinatory Analysis followed by a review of textbooks and the search for other author's articles concerning this content's teaching and learning. We have developed three projects to apply the teaching methodology we adopted in three different settings, where the researcher played three distinct roles facing the research's problem: a) as a teacher-researcher, with her own students in her own classroom; b) as a researcher, conducting a workshop in a Mathematical Education conference, with teachers, mathematics educators and graduate students; c) as a researcher, in Mathematics Education Conferences divulgating her research. By analyzing all the data obtained in the application of the three projects we could show how the participants were engaged in using the adopted teaching methodology and we also reported the contributions they have brought to our research. We could verify that there was significant involvement from all the participants in the construction of new concepts and contents by solving the proposed problems in an investigative way, providing a different learning, full of understanding and meaning, with very significant results in terms of teaching practice. This research was developed following the Research Methodology presented by Thomas A. Romberg. / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:52Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-02-24Bitstream added on 2014-06-13T20:52:44Z : No. of bitstreams: 1 souza_acp_me_rcla.pdf: 6507132 bytes, checksum: a4ba6e1c2a6b5b1061118d1485c4e613 (MD5) / See-Sp / Esta pesquisa tem como objetivo trabalhar a Análise Combinatória, fazendo uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. Abordamos, em nossa fundamentação teórica, a Análise Combinatória contida na Matemática Discreta, iniciando a pesquisa com uma introdução histórica da Análise Combinatória, seguida por uma análise de livros didáticos e pela busca de trabalhos de outros autores que se referiam ao ensino e à aprendizagem desse conteúdo. Criamos três projetos para trabalhar com a metodologia de ensino adotada por nós, em três cenários diferentes, onde a pesquisadora assumiu três posturas diferentes frente ao problema da pesquisa: como uma professora-pesquisadora, com seus próprios alunos, em sua sala de aula; como uma pesquisadora, ministrando uma oficina de trabalho, em um encontro de Educação Matemática, tendo como participantes, professores, educadores matemáticos e até alunos da Licenciatura em Matemática; e, como uma pesquisadora, em Encontros em Educação Matemática, divulgando sua pesquisa. Através da análise dos dados, obtidos nas aplicações dos três projetos, pudemos mostrar como os participantes desses projetos se envolveram ao fazer uso da metodologia de ensino adotada e relatamos as contribuições que trouxeram para nossa pesquisa. Verificamos que houve envolvimento ativo dos participantes na construção de novos conceitos e conteúdos, através da resolução dos problemas propostos, por meio de um trabalho investigativo, que proporcionou uma aprendizagem com compreensão e significado, com resultados importantes para a prática docente. Esta pesquisa foi desenvolvida seguindo a Metodologia de Pesquisa apresentada por Thomas A. Romberg. / This paper has the objective to study the Combinatory Analysis using Methodology of Teaching-Learning-Assessment of Mathematics through Problem Solving. In our theoretical fundamentation we address the Combinatory Analysis contained in the Discrete Mathematics, starting the research with a historical introduction of the Combinatory Analysis followed by a review of textbooks and the search for other author’s articles concerning this content’s teaching and learning. We have developed three projects to apply the teaching methodology we adopted in three different settings, where the researcher played three distinct roles facing the research’s problem: a) as a teacher-researcher, with her own students in her own classroom; b) as a researcher, conducting a workshop in a Mathematical Education conference, with teachers, mathematics educators and graduate students; c) as a researcher, in Mathematics Education Conferences divulgating her research. By analyzing all the data obtained in the application of the three projects we could show how the participants were engaged in using the adopted teaching methodology and we also reported the contributions they have brought to our research. We could verify that there was significant involvement from all the participants in the construction of new concepts and contents by solving the proposed problems in an investigative way, providing a different learning, full of understanding and meaning, with very significant results in terms of teaching practice. This research was developed following the Research Methodology presented by Thomas A. Romberg.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:59:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ricardo Dezso Sabo.pdf: 6509941 bytes, checksum: b45f4f13e333775bac308dd846292805 (MD5) Previous issue date: 2010-03-24 / Given the scenario described by academic research, which provides us with the difficulties faced by students when understanding the concepts of combinatorial analysis and the hypothesis that the students misconceptions might result from the teacher s knowledge and methodology, this work aims at investigating, by means of semi-structured interviews, the knowledge of mathematics teachers of secondary school education in relation to this subject. We believe that resorting to semi-structured interviews as a tool for data collection favored the interpretative process of the teacher's speech, thus emphasizing its meanings. In this context, we formulated the following research question: What knowledge can be identified by the high school teacher s speech, using semi-structured interviews, regarding the teaching of the concepts of combinatorial analysis? The theoretical framework was outlined with the use of Yves Chevallard s Anthropological Theory of Didactic as to analyze and organize the mathematical object; Tardif's theories so as to guide us in relation to the teacher's knowledge and the works of Ponte, Nacarato and others, in order to understand how the training and professional development of teachers is carried out. This research has shown that, among the teachers that were interviewed, they reproduce the teaching practices and knowledge inherited from the teachers who participated in their own school experiences taking into account that that the exchange of experiences among colleagues favors the constructions of new knowledge and/or the sedimentation and evolution of old knowledge. Regarding the use of formulas, we see a divergent situation, as some teachers say they value the use of the Multiplicative Principle and others value the use of formulas, although the latter don t seem to be able to justify or explain their validity. There were teachers who said that, when reading the instructions for class exercises, have difficulty figuring out whether the order of the elements is relevant or not. Thus, our results highlighted the importance of providing teachers with opportunities of participation in continuing education or discussion groups that lead to a reassessment of a teacher's knowledge and the construction of new knowledge, in a way that a teacher s practice may also be modified / Diante do cenário descrito por pesquisas acadêmicas que apresentam as dificuldades dos alunos em apropriar-se dos conceitos de análise combinatória e tendo como hipótese que os equívocos dos alunos possam emergir dos saberes e da prática do professor. Este trabalho teve o objetivo de investigar, por meio de entrevistas semiestruturadas os saberes do professor de Matemática do Ensino Médio com relação ao ensino desse tema. Entende-se que lançar mão de entrevistas semiestruturadas, como instrumento de coleta de dados, privilegiou o processo interpretativo da fala do professor, ressaltando, assim, os significados que ele possui. Nesse contexto, formulou-se a seguinte questão de pesquisa: Quais saberes podem ser identificáveis por meio da fala do professor do Ensino Médio, utilizando-se de entrevistas semiestruturadas, em relação ao ensino dos conceitos de análise combinatória? O quadro teórico construiu-se pela utilização da Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard, com o objetivo de analisar e organizar o objeto matemático; das teorias de Tardif a fim de orientar com relação aos Saberes Docentes e dos trabalhos de Ponte, Nacarato e outros, com o objetivo de entender como se dá a formação e o desenvolvimento profissional do professor. Esta pesquisa revelou que, entre os entrevistados, observou-se a reprodução pelo professor da prática docente, e o saber herdado dos professores que participaram de suas experiências escolares, pois a troca de experiências entre os colegas de profissão favorece a construção de novos saberes e/ou a sedimentação e a evolução de saberes antigos. Com relação ao uso de fórmulas, observou-se uma situação divergente, visto que alguns professores afirmaram que valorizam o uso do Princípio Multiplicativo, e outros, o emprego de fórmula, e estes demonstraram não saber justificar e explicar a validade das mesmas. Houve professores que afirmaram ter dificuldades para distinguir, quando leem os enunciados dos problemas, se a ordem dos elementos é ou não relevante. Assim sendo, os resultados apontaram para a importância das oportunidades de participação em grupos de formação continuada ou grupos de discussão que propiciem uma reavaliação dos saberes docentes e a construção de novos saberes, podendo favorecer, nesse contexto, mudanças na prática docente