Submitted by Nathalya Silva (nathyjf033@gmail.com) on 2017-04-24T20:09:37Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Tese_DesenvolvimentoModeloMEF.pdf: 7876999 bytes, checksum: 1862b30c80b0dbd1d9aa1c92a7802d8d (MD5) / Approved for entry into archive by Edisangela Bastos (edisangela@ufpa.br) on 2017-04-26T14:36:58Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Tese_DesenvolvimentoModeloMEF.pdf: 7876999 bytes, checksum: 1862b30c80b0dbd1d9aa1c92a7802d8d (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-26T14:36:58Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Tese_DesenvolvimentoModeloMEF.pdf: 7876999 bytes, checksum: 1862b30c80b0dbd1d9aa1c92a7802d8d (MD5) Previous issue date: 2012-03 / FAPESPA - Fundação Amazônia de Amparo a Estudos e Pesquisas / Água doce de boa qualidade é um pré-requisito para o desenvolvimento social e econômico de uma dada região. Paradoxalmente, este mesmo desenvolvimento é, normalmente, responsável pela poluição de suas fontes hídricas, através de despejo de resíduos domésticos ou industriais sem tratamento, ou através de atividades agrícolas. Desta forma, o monitoramento e o gerenciamento destas fontes são de extrema importância para o bem estar da população. Entre as possíveis ferramentas para auxiliar este gerenciamento, encontra-se a simulação computacional de transporte de poluentes nos meios hídricos. Neste contexto, o presente trabalho apresenta um procedimento para a solução computacional da equação de advecção-difusão-reação em 2D, a qual é a base para todos os modelos de transporte de massa. O processo consiste na união entre os métodos de elementos finitos e de diferenças finitas na discretização das componentes espaciais e temporal, respectivamente. Esta metodologia foi avaliada em testes com dados sintéticos e também reais. No primeiro considerou-se o caso de transporte de massa por advecção pura para certificar a estabilidade nos casos em que as formulações clássicas falham. No segundo simulou-se o transporte de um poluente hipotético em um trecho de rio e obtiveram-se os efeitos próprios do arraste devido à advecção e o espalhamento devido à difusão. O último teste examinou o transporte de fósforo total no lago Água Preta a partir das águas bombeadas do rio Guamá e de fontes pontuais localizadas nas margens deste reservatório. O resultado da simulação mostrou a potencialidade do algoritmo em tratar casos mais próximos da realidade. / Freshwater of good quality is a pre-requisite for social and economic development of a given region. Paradoxically, this same development is normally responsible for the pollution of their water sources, through domestic or industrial waste dumping without treatment, or through agricultural activities. In this way, the monitoring and the management of that sources are extremely important for the wellbeing of the people living in that region. Among the possible tools to auxiliary this management is the computational simulation of pollutant transport in the hydro medium. In this context, this work presents a computational procedure for the solution of the 2D advectiondiffusion- reaction equation, which is the basis for all the mass transport models. This process consists in the union of the finite elements and finite difference methods in the discretization of the spatial and temporal components, respectively. This methodology was evaluated with the help of tests with synthetic and real data. First one considered the case of mass transport by pure advection to ensure its stability in cases where the classical formulations fail. Second test simulated the transport of a hypothetical pollutant in a piece of a river and showed the correct effect of the drag due to advection and spreading due to diffusion. The last test evaluated the transport of total phosphorus in Agua Preta Lake from the pumped water of the Guama river and point sources located at the margins of the reservoir. The result of the simulation showed the potential of the algorithm to deal with cases closer to the reality.

[pt] O objetivo deste trabalho é ser uma contribuição ao entendimento dos mecanismos envolvidos na migração por gravidade dos compostos orgânicos chamados de DNAPLs, quando eles são liberados em meios porosos e em meios porosos fraturados, para aportar ao desenvolvimento de tecnologias efetivas orientadas principalmente à localização e à remediação do sistema subterrâneo contaminado. Primeiramente são apresentados os conceitos elementares envolvidos nos modelos matemáticos que descrevem o fluxo bifásico em meios porosos, o processo de modelagem de um problema geral da natureza, os modelos conceituais, os matemáticos e os numéricos, e a aplicabilidade dos modelos conceituais conforme a considerações de escala. Em segundo lugar, são desenvolvidas as equações matemáticas que governam os fenômenos em estudo e são apresentadas as soluções às equações governantes a partir de técnicas computacionais e esquemas de integração numérica. As equações do fluxo bifásico são resolvidas mediante técnicas de elementos finitos mistos hibridizados (EFHM) e elementos finitos descontínuos (GD), e as equações do transporte de contaminantes são resolvidas mediante a técnica dos elementos finitos convencionais (EF). Seguidamente são avaliados numericamente problemas de transporte de contaminantes em 1D e 2D, problemas de transporte de contaminantes com transferência de massa, problemas de fluxo bifásico em 2D, e problemas acoplados envolvendo tanto fluxo bifásico como transporte de contaminantes com transferência de massa. Finalmente, são apresentadas as conclusões do trabalho desenvolvido bem como sugestões para trabalhos futuros. / [en] The objective of this work is to contribute to the understanding of the mechanisms involved in the gravity migration of organic compounds, called DNAPLs, when they are released in a porous media and in a fractured porous media, and to contribute to the development of effective technologies mainly oriented to the location and remediation of contaminated underground system. Firstly, some basic concepts are presented, especially those involved in the mathematical models that describe the two-phase flow in porous media, the conceptual models, the mathematical models, as well as the numerical models. Secondly, the mathematical equations that govern the phenomena under study are developed and the solutions to the governing equations from computational techniques and numerical integration schemes are presented. The biphasic flow equations are solved using mixed and hybridized finite element techniques (EFHM) and discontinuous finite element (GD), and the contaminant transport equations are solved by the conventional technique of finite element (FE). Then, some problems are numerically evaluated in 1D and 2D, such as transport of contaminants with and without mass transfer, two-phase flow problems in 2D, and attached problems involving both biphasic flow and contaminant transport with mass transfer. Finally, the conclusions of this thesis as well as the suggestions for future works are presented.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:23:39Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-12-07Bitstream added on 2014-06-13T20:11:13Z : No. of bitstreams: 1 lourenco_mas_me_ilha.pdf: 1600140 bytes, checksum: b00979a5a599fe5b08838113e8ca6489 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho apresenta resultados da simulação numérica de escoamentos hipersônicos de fluidos, por meio de pySolver - um aplicativo computacional desenvolvido pelo autor. No aplicativo, as Equações de Euler foram discretizadas pelo método de elementos finitos de Galerkin (GFEM- Galerkin Finite Element Method) juntamente com a técnica CBS (Characteristic Based Split). O aplicativo pySolver, que foi construído baseado nas ferramentas de códigos fontes abertos Python, Blender e Visit, além da linguagem C, possui interface gráfica para o usuário, é multiplataforma e com orientação a objetos, além de contar com um framework especialmente projetado para a realização de todo o pré processamento, visando o modelamento geométrico bi ou tridimensional de problemas. O autor implementou um método para o refinamento de malha, modificando os programas abertos Triangle e TetGen, de tal forma a permitir o refinamento dinâmico e local de malhas até que determinadas tolerâncias sejam alcançadas nos resultados. Isto contribuiu para uma considerável robustez do aplicativo. Para verificação do aplicativo, foram simulados alguns casos-teste de escoamentos supersônicos e hipersônicos ao redor de corpo de diferentes configurações geométricas, principalmente aqueles encontrados na indústria aeronáutica e aeroespacial. Os dados obtidos são comparados com alguns resultados experimentais disponíveis na literatura, quando possível, e também com outros resultados numéricos obtidos da literatura. / This work presents some results for the numerical simulation of hypersonic fluid flows, utilizing pySolver – a software developed by the author. In this application, the Euler equations have been discretized by means of the Galerkin Finite Element Method (GFEM) using the CBS (Characteristic Based Split) scheme. pySolver, a multiplatform object-oriented software, built around the set of open source tools Python, Blender and Visit, besides C language, exhibits a proper graphical user interface and a framework specially developed to deal with data pre-processing and capable of geometrical modeling of either two or three-dimensional problems. The author has also implemented a scheme for the mesh refinement, by adapting the open-source softwares Triangle and TetGen, obtaining local and dynamic mesh refinement until reaching a determined tolerance in the results. That refinement scheme has contributed to considerable application robustness. In order to compare the software, some test cases composed of supersonic and hypersonic flows over di erent geometrical configuration bodies, mostly encountered in the aerospace and aeronautic industry data, have been simulated. The results compared very well with experimental data from the literature and, when possible, with other numerical results also obtained in the literature.

Resumo: Este trabalho apresenta resultados da simulação numérica de escoamentos hipersônicos de fluidos, por meio de pySolver - um aplicativo computacional desenvolvido pelo autor. No aplicativo, as Equações de Euler foram discretizadas pelo método de elementos finitos de Galerkin (GFEM- Galerkin Finite Element Method) juntamente com a técnica CBS (Characteristic Based Split). O aplicativo pySolver, que foi construído baseado nas ferramentas de códigos fontes abertos Python, Blender e Visit, além da linguagem C, possui interface gráfica para o usuário, é multiplataforma e com orientação a objetos, além de contar com um framework especialmente projetado para a realização de todo o pré processamento, visando o modelamento geométrico bi ou tridimensional de problemas. O autor implementou um método para o refinamento de malha, modificando os programas abertos Triangle e TetGen, de tal forma a permitir o refinamento dinâmico e local de malhas até que determinadas tolerâncias sejam alcançadas nos resultados. Isto contribuiu para uma considerável robustez do aplicativo. Para verificação do aplicativo, foram simulados alguns casos-teste de escoamentos supersônicos e hipersônicos ao redor de corpo de diferentes configurações geométricas, principalmente aqueles encontrados na indústria aeronáutica e aeroespacial. Os dados obtidos são comparados com alguns resultados experimentais disponíveis na literatura, quando possível, e também com outros resultados numéricos obtidos da literatura. / Abstract: This work presents some results for the numerical simulation of hypersonic fluid flows, utilizing pySolver - a software developed by the author. In this application, the Euler equations have been discretized by means of the Galerkin Finite Element Method (GFEM) using the CBS (Characteristic Based Split) scheme. pySolver, a multiplatform object-oriented software, built around the set of open source tools Python, Blender and Visit, besides C language, exhibits a proper graphical user interface and a framework specially developed to deal with data pre-processing and capable of geometrical modeling of either two or three-dimensional problems. The author has also implemented a scheme for the mesh refinement, by adapting the open-source softwares Triangle and TetGen, obtaining local and dynamic mesh refinement until reaching a determined tolerance in the results. That refinement scheme has contributed to considerable application robustness. In order to compare the software, some test cases composed of supersonic and hypersonic flows over di erent geometrical configuration bodies, mostly encountered in the aerospace and aeronautic industry data, have been simulated. The results compared very well with experimental data from the literature and, when possible, with other numerical results also obtained in the literature. / Orientador: João Batista Campos Silva / Coorientador: Emanuel Rocha Woiski / Banca: João Batista Aparecido / Banca: Paulo Gilberto de Paula Toro / Mestre

[pt] Soluções poliméricas diluídas podem ser usadas na indústria de Óleo e Gás para injeção em reservatórios de petróleo como agentes de controle de mobilidade em técnicas de recuperação avançada de óleo, com o objetivo de aumentar o fator de recuperação do campo e postergar a indesejada alta taxa de produção de água. No entanto, o fenômeno macroscópico esperado, aumento da eficiência de varrido, é influenciado diretamente por fatores microscópicos que ocorrem na escala de poro. Devido às suas grandes cadeias moleculares, ao avançar através do meio poroso, soluções poliméricas de alto peso molecular dificultam o avanço da água alterando a razão de mobilidades água/óleo. Porém, o estudo de escoamento de soluções poliméricas ainda é um desafio devido ao comportamento não Newtoniano da relação vazão x diferença de pressão e à sensibilidade a diversos fatores como: tipo de polímero utilizado, concentração, razão de viscosidades, temperatura, salinidade e taxa de cisalhamento. O presente trabalho analisa a implementação de dois modelos constitutivos, Oldroyd-B e FENE-CR, aplicados ao método de solução de elementos finitos, EF, utilizando a formulação dos resíduos ponderados de Galerkin para modelar o escoamento de soluções poliméricas diluídas através de capilares com constrição e entender os fenômenos viscosos e elásticos envolvidos. Os resultados obtidos fornecem uma descrição mais detalhada da aplicação dos modelos testados e do escoamento de soluções poliméricas diluídas em gargantas de poros. / [en] Diluted polymeric solutions can be used in Oil & Gas industry for reservoir injection as mobility control agents in enhanced oil recovery technics, which goal is to increase the oil field recovery factor and postpone the high water production rates. However, the macroscopic expected phenomena, increase of the areal sweep, is directly influenced by microscopic factors that occurs at the pore scale. Due to their huge molecular chains, by advancing through the porous media, high molecular weight polymer solutions hinder the water flow changing the water/oil mobility ratio. Nevertheless, the comprehension of polymeric solutions flow is still a great challenge due to the Non-Newtonian behavior of the flow rate x pressure gradient relation and the sensibility to several variables such as: type of polymer used, concentration, viscosity ratio, temperature, salinity and shear rate. The present work analyzes the implementation of two constitutive models, Oldroyd-B and FENE-CR, coupled with the Finite Element method using the Galerkin weighted residual formulation to model the flow of diluted polymeric solutions through constricted capillaries and understand the viscous and elastic phenomena involved. The obtained results provide a more detailed portrait of the constitutive models and the flow of diluted polymeric solutions through pore throats.

[pt] O uso de sistemas estruturais mistos no mercado brasileiro tem aumentado nos últimos anos. Nesses sistemas as seções de diversos elementos estruturais são compostas por aço e concreto e suas resistências à tração e à compressão, respectivamente, são utilizadas de forma otimizada. Este estudo tem por objetivo avaliar o comportamento estrutural do vigamento de piso misto tipo Stub-Girder, modificado para melhor aproveitamento dos perfis em sua fabricação. O estudo é baseado em formulações não lineares físicas por meio do método dos elementos finitos (MEF), com uso do software ANSYS. Para calibrar o modelo numérico, foram utilizados dados de ensaios em escala real disponíveis na literatura, além de um ensaio em escala real realizado no Laboratório de Estruturas do departamento de Engenharia Civil e Ambiental da PUC-Rio. Uma análise paramétrica foi realizada utilizando diversos tipos de perfis disponíveis no mercado brasileiro para que o sistema Stub-Girder modificado pudesse ser avaliado no que diz respeito à resistência e rigidez. Foi ainda mostrado que os modelos constitutivos adotados para o concreto apresentam resultados coerentes e próximos dos obtidos em laboratório. / [en] Steel-concrete composite structural systems are increasingly adopted in Brazil s construction industry. In these systems steel and concrete are used to create sections that behave in structurally efficient manner by utilizing steel s tensile strength and concrete s compressive strength. The purpose of this research is to evaluate the structural behavior of a Stub-Girder floor system, modified to improve the use of steel profiles in its manufacturing process. A numerical procedure is developed, based on nonlinear analysis through the use of the finite element method (FEM), employing the software ANSYS. To calibrate the numerical model, data from full-scale tests available in the literature were used in addition to a full-scale test carried out in the Structures Laboratory (Civil Engineering and Environment department, PUC-Rio). A parametric analysis was performed using several types of profiles available in the Brazilian market so that the modified stub-girder system could be evaluated regarding strength and stiffness. The constitutive models for concrete were shown to be coherent with laboratory results.

[pt] Esta dissertação investiga escoamentos multifásicos de deslocamento de fluidos em geometrias anulares envolvidas em operações de cimentação de poços com fluidos espumados. A cimentação desempenha um papel relevante na integridade de poços e algumas aplicações requerem pastas leves com alta resistência à compressão, e o cimento espumado atende a este propósito. Para modelar adequadamente a complexidade do escoamento - que compreende comportamento não-newtoniano e elevada compressibilidade - um modelo tridimensional de dinâmica computacional de fluidos (CFD) foi desenvolvido a partir do código aberto OpenFOAM. As equações de conservação da massa, momento e fases são solucionadas em uma geometria anular, considerando o efeito da pressão na densidade e na reologia dos fluidos, e o método Volume of Fluid (VoF) foi usado para capturar a interface entre fluidos. Os modelos foram validados com soluções exatas para escoamento monofásico axissimétrico com fluidos incompressíveis e compressíveis, e com modelos constitutivos newtonianos e não-newtonianos. Além disso, simulações multifásicas estimaram a eficiência de deslocamento do fluido de perfuração pela pasta de cimento em diferentes condições – constraste de densidade e de viscosidade, ecentricidade e vazões de bombeio – e com diferentes correlações para a reologia dos fluidos espumados. Finalmente, simulações de deslocamento com fluidos com densidade e reologia constante (não-espumados) foram utilizadas para comparação. Os resultados indicam que a eficiência no deslocamento com a técnica de cimentação espumada é superior em condições similares e ilustra que as pastas espumadas são menos suceptíveis a gerarem falhas quanto condições desafiadoras estão presentes. / [en] This master dissertation investigates multiphase displacement flow in annular geometries involved in well cementing operations with foamed cement slurries and spacers. Well cementing plays a relevant role in well integrity and some applications require combining a low-density cement slurry with high compressive strength, and foamed cement suits this purpose. To properly model the displacement complexity involving foamed fluids flow - pressure and temperature dependent densities and non-Newtonian rheology - a 3-dimensional computational fluid dynamics (CFD) model was developed from the open-source OpenFOAM toolbox. The mass, momentum and phase conservation equations are solved in an annular geometry, taking the effect of pressure in the fluid density and rheology, and the volume-of-fluid (VoF) method was used to capture the interface between the fluids. The models were validated using exact solutions for axisymmetric single-phase flow with incompressible and compressible fluids, and Newtonian and non-Newtonian constitutive models. Further, multiphase simulations were performed to estimate the removal efficiency of the drilling fluid by the foamed cement slurry/spacer in different conditions – density and viscosity contrast, eccentricities, and flow rate - and with different correlations for the foamed cement rheological behavior. Finally, the displacement simulations with constant density and rheology displacing fluids (unfoamed) were performed and used to compare the results with the foamed displacing fluids. The results indicate that the displacement efficiency with a foamed cement technique outperforms constant density lightweight cement slurries with similar conditions and are much less sensitive to impairment when challenging conditions are present.

[pt] A teoria da homogeneização de equações diferenciais tornou-se um campo aberto de pesquisa em diversas áreas das ciências exatas e mostrou-se ser uma poderosa ferramenta para a compreensão do comportamento global de materiais heterogêneos. Apesar de ser conhecido que a dedução da lei de Darcy através das equações de Navier-Stokes já é tema debatido há décadas muitas questões continuam em aberto, principalmente a respeito de condições de contorno mais complexas, casos envolvendo fluxos multifásicos e técnicas de homogeneização numérica. Sabe-se que a lei de Darcy se apresenta sob forma de uma relação linear apenas para um intervalo de gradiente hidráulico e que este intervalo se sobrepõe ao intervalo de fluxo laminar do fluido através dos vazios do solo.Se propõe neste trabalho, então, compreender a perda de linearidade na lei de Darcy, a partir da teoria da homogeneização, modificando e explorando os resultados obtidos anteriormente na literatura. / [en] The theory of homogenization of differential equations has become an open field of research in several areas of the exact sciences and has proved to be a powerful tool for understanding the global behavior of heterogeneous materials. Despite knowing that the deduction of Darcy s law through the Navier-Stokes equations has been debated for decades, many questions remain open, mainly regarding more complex boundary cenditions, cases involving multiphase flows and the numerical homogenization techniques. It is known that Darcy s law is presented in the form of a linear relationship only for a range of hydraulic gradient that overlaps the range of laminar flow of fluids through soil voids. Therefore, it is proposed in this work to understand the loss of linearity in Darcy s law, based on the theory of homogenization, modifying and exploring the limit results obtained in the literature.

[pt] Os deslizamentos ocorridos em grandes escalas ao redor do mundo decorrentes, principalmente, de eventos chuvosos extremos criaram um sinal de alerta para a necessidade de compreensão dos mecanismos de deflagração desses movimentos de massa. No entanto, a influência de variáveis fundamentais, como a espessura de solo e as condições iniciais de umidade, no estudo de estabilidade de bacias hidrográficas ainda não foi totalmente esclarecido. Nesta dissertação, simulações numéricas de fluxo e análise de estabilidade de encostas são realizadas nas bacias hidrográficas dos rios Quitite e Papagaio. Primeiramente, dois modelos analíticos de espessura de solo são utilizados em simulações envolvendo o fluxo tridimensional saturado-não saturado com o uso do método dos elementos finitos. A condição inicial de umidade também é analisada utilizando-se dados de precipitação por um período de spin-up. Posteriormente, o fator de segurança (FS) da região, via talude infinito, é analisado após a imposição de um evento chuvoso extremo. Dessa forma, é possível verificar que os intervalos de espessuras de solo de 0 a 3 m são os que mais se assemelham às cicatrizes mapeadas, sugerindo uma abordagem mais realística de espessura média para a bacia. Além disso, é verificado que, em eventos extremos, o uso do spin-up time para condição inicial de umidade variável pode não ter muita influência no fator de segurança, pois a intensidade e duração da chuva serão os agentes deflagradores. / [en] The large-scale landslides that have occurred around the world, mainly due to extreme rainfall events, serve as a warning signal for the need to understand the triggering mechanisms of these mass movements. However, the influence of fundamental variables, such as soil thickness and initial moisture conditions, in the study of watershed stability has not been fully clarified. In this dissertation, numerical flow simulations and slope stability analysis are carried out for the hydrographic basins of the Quitite and Papagaio rivers. In this study, two analytical soil thickness models are applied to saturated-unsaturated three-dimensional finite element flow simulations. The initial moisture condition is analyzed using precipitation data for a spin-up period. Subsequently, the safety factor (SF) is analysed, using the infinite slope method, after the imposition of an extreme rainfall event. From these results, it is possible to verify that the ranges of soil thicknesses from 0 to 3 m are the ones that most resemble the mapped scars, suggesting a more realistic approach for considering the average basin thickness. In addition, it is verified that, in extreme events, the use of spin-up time for initial variable humidity conditions may not have much influence on the safety factor, since the intensity and duration of the rain will be the triggering agents.

[pt] A modelagem numérica precisa de reservatórios de petróleo ainda é um desafio, devido às heterogeneidades do meio poroso e à existência de estruturas geológicas com geometrias complexas, tais como: fraturas, estratificações e heterogeneidades, que influenciam decisivamente o escoamento dos fluidos através dessas formações. O presente trabalho analisa a implementação de duas formulações numéricas aplicadas ao fluxo bifásico em meios porosos em que se procura contornar as dificuldades mencionadas acima. Inicialmente, avalia-se uma formulação numérica que emprega um processo em três passos: o método dos elementos finitos, EF, para a solução da equação da pressão, intermediariamente, utiliza-se o método de Raviart-Thomas de mais baixa ordem, RT 0, para melhor aproximação da velocidade, e a resolução da equação da saturação pelo método dos elementos finitos descontínuos, MEFD. Também é avaliada uma formulação na qual se utiliza o método dos elementos finitos mistos e híbridos, EFH, para aproximar a equação da pressão, e o método MEFD para aproximar somente a equação de saturação. O estudo dessas formulações busca avaliar a conservação de massa e analisar o esforço computacional despendido. São apresentados exemplos que avaliam cada uma das formulações em comparação com resultados da literatura. / [en] Accurate numerical modeling of oil reservoirs is still a challenge due to heterogeneity of the porous medium and the existence of geological structures with complex geometries, such as fractures, stratifications and heterogeneities that decisively influence the flow of fluids through these formations. This paper analyzes two numerical formulations of two-phase flow that seek to circumvent the difficulties mentioned. Initially, it evaluates a numerical formulation that employs a three step process: the finite element method, for solving the pressure equation, intermediately, it uses the lowest-order Raviart-Thomas, RT 0,to the best approximation of the flow velocities, and finally the solution of the saturation equation by discontinuous finite element method (MEFD). Additionally, a formulation which utilizes the mixed and hybrid finite element method (EFH), to approximate the pressure equation, and uses MEFD to approximate the saturation equation. Both implemented formulations aim to assess the mass conservation and to analyze the necessary computational effort. Examples are presented which evaluate each of the formulations as compared with results existing in literature.