Tese (doutorado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T22:21:41Z No. of bitstreams: 1 2010_VerissimoPereiraGomesNeto.pdf: 626850 bytes, checksum: 9ebfb1647fc933f9c18c19c636dc4295 (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Ferreira de Souza(jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T22:25:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_VerissimoPereiraGomesNeto.pdf: 626850 bytes, checksum: 9ebfb1647fc933f9c18c19c636dc4295 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-29T22:25:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_VerissimoPereiraGomesNeto.pdf: 626850 bytes, checksum: 9ebfb1647fc933f9c18c19c636dc4295 (MD5) / Consideramos equações diferenciais tipo ut = uxxxxx + G(u, ux, . . . , uxxxx) que descrevem superfícies pseudo-esféricas, com 1-formas associadas wi = fi1dx + fi2dt, 1 ≤ i ≤ 3. Caracterizamos todas as equações deste tipo cujas 1-formas associadas satisfazem fp1 = μpf11+np, μp, np ∈ R, 2 ≤ p ≤ 3. Determinamos quais destas equações são independentes de qualquer dos parâmetros reais μp, np. No caso genérico tal estudo de independência de parâmetro está completo, e também obtemos como casos particulares três importantes equações de evolução não-lineares de quinta ordem. No caso não-genérico, descrevemos muitas classes, mas o estudo de independência de parâmetro permanece incompleto. Determinamos vastas classes de equações e seus respectivos problemas lineares, nos quais casos particulares são obtidos simplesmente especificando certas funções de u e suas derivadas com respeito a x. ___________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We consider differential equations of type ut = uxxxxx +G(u, ux, . . . , uxxxx) which describe pseudo-spherical surfaces, with associated 1-forms wi = fi1dx + fi2dt, 1 ≤ i ≤ 3. We characterize all such equations whose associated 1-forms satisfy fp1 = μpf11+np, μp, np ∈ R, 2 ≤ p ≤ 3. We determine which of these equations are independent of any of the real parameters μp, np. In the generic case this parameter independence study is complete, and we also obtain as particular cases three important fifth-order nonlinear evolution equations. In the nongeneric case we describe many classes, but the parameter independence study is yet to be completed. We determine huge classes of equations and their respective linear problems, in which particular cases are obtained by merely specifying certain functions of u and its derivatives with respect to x.

Orientadores: Hildete Prisco Pinheiro, Cibele Queiroz da Silva / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-02T18:55:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_Robertade_M.pdf: 505447 bytes, checksum: a6bcef03248fd6806d13b3e8b0f300b8 (MD5) Previous issue date: 2002 / Mestrado / Mestre em Estatística

Submitted by Alexandra Feitosa (alexandra.feitosa@ufpe.br) on 2017-07-21T13:10:19Z No. of bitstreams: 1 2012-Tese-AbraãoDoNascimento.pdf: 56935975 bytes, checksum: 0abf608b7bdbccc73399e9281448e6b2 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-21T13:10:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012-Tese-AbraãoDoNascimento.pdf: 56935975 bytes, checksum: 0abf608b7bdbccc73399e9281448e6b2 (MD5) Previous issue date: 2012-02-29 / A tecnologia de radar de abertura sintética polarimétrico (Polarimetric Synthetic Aper-ture Radar– PolSAR) vem sendo apontada como um indispensável ferramental paracapturar e analisar informações aeroespaciais, em particular, da superfície da terra[Freitas, C. C., Frery, A. C. & Correia, A. H. (2005), ‘The polarimetricGdistributionfor SAR data analysis’.Environmetrics16(1), 13–31]. O objetivo desta tese é a pro-posta de métodos inferenciais baseados em Teoria da Informação para dados polari-métricos. Assim, o trabalho de investigação desta tese está dividido em duas áreas deestudo. Primeiramente, propor distâncias estocásticas bem como investigar seus com-portamentos assintóticos para as diferentes distribuições voltadas a imagens PolSAR.Adicionalmente, visa propor outras medidas dentro da Teoria da Informação direcio-nadas aos contextos de imagens PolSAR, tal como entropia [Zografos, K. & Nadarajah,S. (2005), ‘Expressions for Rényi and Shannon entropies for multivariate distributions’,Statistics & Probability Letters71(1), 71–84]. Em segundo lugar, realizar aplicações dosferramentais derivados aos contextos de classificação, segmentação e detecção de bor-das em tais imagens.Inicialmente, na Seção“Testes paramétricos e não paramétrico para dados speckle”, umaimagem SAR é o resultado de observar uma variável aleatória com distribuiçãoG0I.Desta forma, recursos de Inferência Estatística (tais como estimação por máxima ve-rossimilhança - EMV, teste de hipótese e medidas descritivas das estimativas) tentammapear comportamentos e comparações entre as ferramentas desenvolvidas dentrode uma imagem SAR. Ainda, os resultados são submetidos a um modelo de contami-nação paramétrico espelho do fenômeno de reflexão de canto.Como um segundo estudo, a Seção“Estimações melhoradas no modelo Wishart com-plexo escalonado”apresenta dois métodos de EMV melhorados para o número de equi-valente de looks. Tais metodologias são baseadas na expressão para o viés de segundaordem em EMV e em uma fórmula para a verossimilhança perfilada modificada. Fi-nalmente, seus desempenhos são comparados com outros métodos clássicos.Um terceiro estudo é apresentado na Seção“Expressões para distâncias em dados Pol-SAR”. Neste caso, os pixels são matrizes aleatórias pertencentes a família de distribui-ções Wishart complexa escalonada. Nesta perspectiva, esta seção propõe ferramentasestocásticas baseadas na Teoria da Informação (com respeito ao funcional (h,f), pro-posto por Salicrú, Menéndez, Pardo & Morales [(1994), ‘On the applications of diver-gence type measures in testing statistical hypothesis’,Journal of Multivariate Analysis 51, 372–391]) para o contexto da distribuição Wishart complexa escalonada.Posteriormente, na Seção“Novas propostas de deteção de bordas em imagens PolSAR”,nós aplicamos o ferramental derivado na Seção“Expressões para distâncias em dadosPolSAR”ao contexto de detecção de borda em imagens PolSAR. Como resultado prin-cipal, as ferramentas derivadas são propostas como quatro novos detectores de bordase comparadas a uma abordagem usual.Na Seção“Análise estatística para dados PolSAR baseada em medidas de entropia”, umquinto estudo considera a proposta de testes de homogeneidade em imagens PolSARpor meio de entropias estocásticas. Esta metodologia é uma especificação da classe(h,f) de entropias proposta por Salicrú, Mendéndez & Pardo [(1993), ‘Asymptotic dis-tribution of (h,f)-entropy’,Communications in Statistics - Theory Methods22(7), 2015–2031] para a distribuição Wishart complexa escalonada e as entropias de Shannon eRényi.Finalmente, na Seção“Comparação entre testes de homogeneidade em dados PolSAR”,discute-se a comparação de três testes de homogeneidade envolvendo ferramentas daTeoria da Informação com a abordagem baseada na razão de verossimilhanças pro-posta por Conradsen, Nielsen, Schou & Skriver [(2003), ‘A test statistic in the complexWishart distribution and its application to change detection in polarimetric SAR data’,IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing41(1), 4–19]. O desempenho dos tes-tes é avaliado tendo como critérios de comparação seus poderes e tamanhos estimadosassim como outras medidas descritivas. / The technology of Polarimetric Synthetic Aperture Radar (PolSAR) has been indicatedas an essential tool for capturing and analyzing aerospace informations, in particular,obtained from the earth’s surface [Freitas, C. C., Frery, A. C. & Correia, A. H. (2005),‘The polarimetricGdistribution for SAR data analysis’.Environmetrics16(1), 13–31].The aim of this thesis is the proposal of statistical inference methods based on Infor-mation Theory for polarimetric data. Thus, its research work is organized into twosegments. Firstly, propose stochastic distances and investigate its asymptotic beha-viors for different distributions of PolSAR images. Additionally, others InformationTheory measures were considered and applied on PolSAR scenarios, such as entropy[Zografos, K. & Nadarajah, S. (2005), ‘Expressions for Rényi and Shannon entropies formultivariate distributions’,Statistics & Probability Letters71(1), 71–84]. On the otherhand, propose methodologies of PolSAR image processing by means of the derivedtools, such as classification, segmentation, and edge detection methods.Initially, in Section“Parametric and nonparametric tests for data speckle”, a SAR imageis a realization of a scalar random variable withG0Idistribution. In this context, statis-tical inference techniques (such as maximum likelihood estimation - MLE, hypothesistest, and performance descriptive measures) are performed in order to identify beha-vior as well as to compare different methods on SAR images. Moreover, the results aresubmitted to a parametric contamination model which represents the corner reflectionphenomenon.As a second study, two improved MLE methods for the equivalent number of lo-oks are presented in the section“Modified profile likelihood and bias correction on the scaledcomplex Wishart distribution”. Such methodologies are based on the expression for se-cond order bias correction in MLE and on a formula for modified profile likelihood.Finally, their performance are compared with others classical methods.A third study is presented in Section“Expressions for distances in PolSAR data”. Inthis case, the pixels are random matrices which belong the family of scaled complexWishart distributions. In this perspective, such section proposes stochastic tools basedon Information Theory (with respect to the (h,f) functional, proposed by Salicrú, Me-néndez, Pardo & Morales [(1994), ‘On the applications of divergence type measuresin testing statistical hypothesis’,Journal of Multivariate Analysis51, 372–391]) for thecontext of the scaled complex Wishart distribution.Subsequently, in the section“New proposals of edge detection in PolSAR images”, we apply the derived tools in Section“Expressions for distances in PolSAR data”to edgedetection in PolSAR images. As main result, we propose four new edge detectors andcompare with an usual approach.In Section“Statistical analysis for data PolSAR based on entropy measures”, a fifth studyconsiders the proposal of homogeneity tests in PolSAR images by means of stochasticentropies. This methodology is a specification of the (h,f) class of entropies proposedby Salicrú, Mendéndez & Pardo [(1993), ‘Asymptotic distribution of (h,f)-entropy’,Communications in Statistics - Theory Methods22(7), 2015–2031] to the scaled complexWishart distribution and Shannon and Rényi entropies.Finally, in Section“Homogeneity hypothesis tests on PolSAR images: Information Theoryvs. Likelihood Ratio”, it discusses a comparison of three homogeneity tests based onTheory Information measures with the approach based on likelihood ratio proposedby Conradsen, Nielsen, Schou & Skriver [(2003), ‘A test statistic in the complex Wishartdistribution and its application to change detection in polarimetric SAR data’,IEEETransactions on Geoscience and Remote Sensing41(1), 4–19]. The performance of tests isquantified and compared, considering as comparison criteria their estimated sizes andpowers as well as others descriptive measures.

Orientador : Jose Norberto Walter Dachs / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação / Made available in DSpace on 2018-07-16T09:38:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Marques_MauroSergiodeFreitas_M.pdf: 3525667 bytes, checksum: bbeb4e13043ace0a1c6ce382eb115625 (MD5) Previous issue date: 1980 / Resumo: Este trabalho tem como finalidade: Revisão da teoria de algumas medidas de associação para classificações cruzadas. Estudo da medida de associação ?(L/C), baseada na redução da probabilidade do erro de previsão. Proposição de um método para selecionar de um conjunto de politomias {X(1), X(2), ¿, X(p)} - que em princípio estão associadas com uma politomia Y - um subconjunto menor, sem a pressuposição de uma relação funcional a politomia Y e as politomias X'S / Abstract: The scope of this work is: 1) To review the theory of some measures of association for cross classification. 2) To study the measure of association ?(L/C) based on the reduction of the error probalility of prediction. 3) To propose a method of selecting from a set of politomic variables {X(1), X(2), ¿, X(p)} - which at the beginning are associated with a politomic variable Y - a subset, without the assumption of a functional relationship between the politomic variable Y and the politomic variables X'S / Mestrado / Mestre em Estatística

A Identificação de Sistemas é uma das técnicas utilizadas para se obter a representação matemática de um sistema. Diversos métodos podem ser aplicados para se obter um modelo matemático através da identificação de sistemas, entre eles o método de identificação assintótico, também chamado de ASYM (Zhu, 1998). Este trabalho propõe aplicar o método de identificação assintótico em sistemas SISO para a obtenção de modelo de sistemas ditos caixa-preta e avaliar o seu desempenho buscando também o melhor detalhamento do método. Os modelos obtidos foram avaliados de acordo com sua nota calculada através do método ASYM, através da comparação do índice de ajuste fit para autovalidação e validação cruzada e pela variância dos parâmetros dos modelos. O método ASYM é exaustivamente testado para sua avaliação. Entre os testes realizados neste trabalho destacam-se dois experimentos tipo Monte-Carlo com mais de quinhentas identificações e a aplicação do método em uma planta real. Os testes comprovaram a viabilidade da aplicação do método assintótico na identificação de sistemas SISO do tipo caixa-preta com excelente desempenho para estruturas ARMAX. / System Identification is one of the techniques used to obtain the mathematical representation of a system. Several methods can be applied to obtain a mathematical model by the system identification, including the asymptotic method, also called ASYM (Zhu, 1998). This work proposes to apply the ASYM method for SISO systems identification, then obtain models of black-box systems called \"black box\" and evaluate its performance and show details of the method. The models obtained were evaluated according to their grade calculated using the ASYM method, by comparing the fit adjustment index, self-validation and cross validation and the variance of model parameters. The asymptotic method has been extensively tested to be evaluated. Among the tests in this work, two stand out such Monte Carlo experiments with more than five hundred identifications and a real plant identification. The tests proved the feasibility of applying the asymptotic method in the \"black box\" SISO systems identification with excellent performance for ARMAX structures.

A modelagem matemática por meio de equações diferenciais é uma importante ferramenta para prever o comportamento de baterias redox de vanádio, pois ela pode contribuir para o aperfeiçoamento do produto e melhor entendimento dos princípios da sua operação. Os estudos de modelagem podem ser aliados à análise assintótica no intuito de promover reduções ou simplificações que tornem os modelos menos complexos, isso é feito a partir da observação da importância que cada termo exerce sobre as equações. Tais simplificações são úteis neste contexto, visto que os modelos geralmente abordam uma célula apenas - a menor unidade operacional da bateria - enquanto aplicações reais exigem o uso de dezenas ou centenas delas implicando em uma maximização do uso de recursos computacionais. Neste trabalho, foram investigadas múltiplas formas de reduções assintóticas que empregadas na construção dos modelos puderam acelerar o tempo de processamento em até 2,46 vezes ou reduzir os requisitos de memória principal em até 11,39%. As simulações computacionais foram executadas pelo software COMSOL Multiphysics v. 4.4, e também por scripts desenvolvidos em ambiente de programação MATLAB. A validação dos resultados foi feita comparando-os a dados experimentais presentes na literatura. Tal abordagem permitiu também validar as rotinas implementadas para a simulação dos modelos comparando suas soluções com aquelas providas pelo COMSOL. / Mathematical modelling using differential equations is an important tool to predict the behavior of vanadium redox batteries, since it may contribute to improve the device performance and lead to a better understanding of the principles of its operation. Modelling can be complemented by asymptotic analysis as a mean to promote reductions or simplifications that make models less complex. Such simplifications are useful in this context, whereas these models usually addresses one cell only the smallest operating unit while real applications demand tens or hundreds cells implying on larger computational requirements. In this research, several options for asymptotic reductions were investigated and, applied to different models, were able to speed up the processing time in 2.46× or reduce the memory requirements up to 11.39%. The computational simulations were executed by COMSOL Multiphysics v.4.4, also by in-house code developed in MATLAB. The validation of results was done by comparing it to experimental results available in literature. Additionally, correlating the results provided by COMSOL with the ones arising from the implemented sub-routines allowed to validate the developed algorithm.

Neste trabalho, introduzimos a noção de desenvolvimento assintótico em classes de Gevrey e mostramos como o conceito clássico de convergência de séries de potências pode ser generalizado para englobar o caso em que o raio de convergência é nulo. Essa técnica pode ser útil em situações em que é necessário trabalhar com séries formais, como no estudo de Equações Diferenciais. Caracterizamos o conjunto das funções holomorfas que admitem desenvolvimento assintótico e, em cada classe de Gevrey, definimos uma aplicação que associa uma função a uma série formal. Determinamos sob quais condições tal aplicação é sobrejetora e sob quais ela é injetora, possibilitando a ampliação do conceito de convergência e as aplicações da teoria. Além disso, mostramos como essa técnica pode ser usada para obter resultados em equações diferenciais. Para isso, fazemos uma breve introdução de Equações Diferenciais com uma variável complexa e introduzimos o conceito de Polígono de Newton, ferramenta que permite obter a classe de Gevrey de uma solução formal. Finalmente, encontramos condições para que a soma de uma solução formal de uma equação diferencial seja uma solução clássica. / In this work, we introduce the notion of Gevrey asymptotic expansion and we show how the classical concept of a convergent power series can be generalized to include the case in which the radius of convergence is zero. This technique can be useful in situations where it is necessary to work with formal power series, as in the study of Differential Equations. We characterize the set of holomorphic functions which admit Gevrey asymptotic expansion and we define in each Gevrey class a map that associates to function in the class a formal series. We determine under which conditions such a map is surjective and under which it is injective, allowing the extension of the concept of convergence and applications of the theory. Furthermore, we show how this technique can be used to obtain results in Differential Equations. For this, we briefly recall the theory of Differential Equations in one complex variable and we introduce the concept of the Newton Polygon, a tool that allows us to find the Gevrey class of a formal solution. Finally, we find suficient conditions for the sum of a formal solution of a differential equation to be a classical solution.

Neste trabalho, introduzimos a noção de desenvolvimento assintótico em classes de Gevrey e mostramos como o conceito clássico de convergência de séries de potências pode ser generalizado para englobar o caso em que o raio de convergência é nulo. Essa técnica pode ser útil em situações em que é necessário trabalhar com séries formais, como no estudo de Equações Diferenciais. Caracterizamos o conjunto das funções holomorfas que admitem desenvolvimento assintótico e, em cada classe de Gevrey, definimos uma aplicação que associa uma função a uma série formal. Determinamos sob quais condições tal aplicação é sobrejetora e sob quais ela é injetora, possibilitando a ampliação do conceito de convergência e as aplicações da teoria. Além disso, mostramos como essa técnica pode ser usada para obter resultados em equações diferenciais. Para isso, fazemos uma breve introdução de Equações Diferenciais com uma variável complexa e introduzimos o conceito de Polígono de Newton, ferramenta que permite obter a classe de Gevrey de uma solução formal. Finalmente, encontramos condições para que a soma de uma solução formal de uma equação diferencial seja uma solução clássica. / In this work, we introduce the notion of Gevrey asymptotic expansion and we show how the classical concept of a convergent power series can be generalized to include the case in which the radius of convergence is zero. This technique can be useful in situations where it is necessary to work with formal power series, as in the study of Differential Equations. We characterize the set of holomorphic functions which admit Gevrey asymptotic expansion and we define in each Gevrey class a map that associates to function in the class a formal series. We determine under which conditions such a map is surjective and under which it is injective, allowing the extension of the concept of convergence and applications of the theory. Furthermore, we show how this technique can be used to obtain results in Differential Equations. For this, we briefly recall the theory of Differential Equations in one complex variable and we introduce the concept of the Newton Polygon, a tool that allows us to find the Gevrey class of a formal solution. Finally, we find suficient conditions for the sum of a formal solution of a differential equation to be a classical solution.

O estudo do comportamento assintótico de densidades de algumas subestruturas é uma das principais áreas de estudos em combinatória. Na Teoria das Permutações, fixadas permutações ?1 e ?2 e um inteiro n > 0, estamos interessados em estudar o comportamento das densidades de ?1 e ?2 na família de permutações de tamanho n. Assim, existem duas direções naturais que podemos seguir. Na primeira direção, estamos interessados em achar a permutação de tamanho n que maximiza a densidade das permutações ?1 e ?2 simultaneamente. Para n suficientemente grande, explicitamos a densidade máxima que uma família de permutações podem assumir dentre todas as permutações de tamanho n. Na segunda direção, estamos interessados em achar a permutação de tamanho n que minimiza a densidade de ?1 e ?2 simultaneamente. Quando ?1 é a permutação identidade com k elementos e ?2 é a permutação reversa com l elementos, Myers conjecturou que o mínimo é atingido quando tomamos o mínimo dentre as permutações que não possuem a ocorrência de ?1 ou ?2. Mostramos que se restringirmos o espaço de busca somente ao conjunto de permutações em camadas, então a Conjectura de Myers é verdadeira. Por outro lado, na Teoria dos Grafos, o problema de encontrar um circuito Hamiltoniano é um problema NP-completo clássico e está entre os 21 problemas Karp. Dessa forma, uma abordagem comum na literatura para atacar esse problema é encontrar condições que um grafo deve satisfazer e que garantem a existência de um circuito Hamiltoniano em tal grafo. O célebre resultado de Dirac afirma que se um grafo G de ordem n possui grau mínimo pelo menos n/2, então G possui um circuito Hamiltoniano. Seguindo a linha de Dirac, mostramos que, dados inteiros 1 6 l 6 k/2 e ? > 0 existe um inteiro n0 > 0 tal que, se um hipergrafo k-uniforme H de ordem n satisfaz ?k-2(H) > ((4(k - l) - 1)/(4(k - l)2) + ?) (n 2), então H possui um l-circuito Hamiltoniano. / The study of asymptotic behavior of densities of some substructures is one of the main areas in combinatorics. In Permutation Theory, fixed permutations ?1 and ?2 and an integer n > 0, we are interested in the behavior of densities of ?1 and ?2 among the permutations of size n. Thus, there are two natural directions we can follow. In the first direction, we are interested in finding the permutation of size n that maximizes the density of the permutations ?1 and ?2 simultaneously. We explicit the maximum density of a family of permutations between all the permutations of size n. In the second direction, we are interested in finding the permutation of size n that minimizes the density of ?1 and ?2 simultaneously. When ?1 is the identity permutation with l elements and ?2 is the reverse permutation with k elements, Myers conjectured that the minimum is achieved when we take the minimum among the permutations which do not have the occurrence of ?1 or ?2. We show that if we restrict the search space only to set of layered permutations and k > l, then the Myers\' Conjecture is true. On the other hand, in Graph Theory, the problem of finding a Hamiltonian cycle is a NP-complete problem and it is among the 21 Karp problems. Thus, one approach to attack this problem is to find conditions that a graph must meet to ensure the existence of a Hamiltonian cycle on it. The celebrated result of Dirac shows that a graph G of order n that has minimum degree at least n/2 has a Hamiltonian cycle. Following the line of Dirac, we show that give integers 1 6 l 6 k/2 and gamma > 0 there is an integer n0 > 0 such that if a hypergraph k-Uniform H of order n satisfies ?k-2(H) > ((4(k-l)-1)/(4(k-l)2)+?) (n 2), then H has a Hamiltonian l-cycle.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-02-19Bitstream added on 2014-06-13T18:06:55Z : No. of bitstreams: 1 pavan_jf_me_sjrp.pdf: 525723 bytes, checksum: 14295e01658745f42b4e6dd2b22c1791 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / No presente trabalho consideramos o sistema de equações diferenciais ordinároas x1 = afλ 1 (x1)+ bfµ 2 (x2) ˙ x2 = cfη 1 (x1)+ dfζ 2 (x2) (I) onde a,b,c e d são coeficientes constantes, λ, ,η e ζ são números racionais positivos numeradores e denominadores ímpares, as funções fi :(−h,h) → R, h> 0, são contínuas e satisfazem as condições fi(0)=0,i =1, 2e xifi(xi) > 0,para xi =0,i =1, 2. Associado ao sistema(I) consideramos a seguinte função V = α Z x1 0 fξ 1 (τ )dτ + Z x2 0 fθ 2 (τ )dτ, (II) onde ξ e θ são número racionais numeradores e denominadores ímpares. Nosso objetivo principal é encontar é encontrar sob quais condições dos parâmetros a,b,c,d e α> 0 a função V definidaem(II) é uma função de Liapunov estita para a solução nula dos sitema (I), o que leva a concluir a estabilidade assintótica da solução nula. / In this work we consider the system of ordinary differential equations x1 = afλ 1 (x1)+ bfµ 2 (x2) ˙ x2 = cfη 1 (x1)+ dfζ 2 (x2) (I) where a,b,c and d are constantco efficients, λ, ,η and ζ a repositive rational numbers with odd numerators and denominators ,and the functions fi :(−h,h) → R, h> 0,are continuous and satisfy the conditions fi(0)=0,i =1, 2and xifi(xi) > 0,for xi =0,i = 1, 2. Associated to the system(I) we consider the following function V = α Z x1 0 fξ 1 (τ )dτ + Z x2 0 fθ 2 (τ )dτ, (II) where ξ and θ are positive rational numbers with odd numerators and denominators and α is a positive constant. Our main goal is find under what conditions the parameters a,b,c,d and α> 0 the function V defined in(II) is a strict Liapunov function for the zero solution of the system (I), which leads us to conclude the asymptotic stability of zero solution.