Cette thèse étudie certaines propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement en temps et espace continus. De façon informelle, ce type de processus est obtenu en considérant l'évolution d'une population où les individus se reproduisent et meurent au cours du temps, et ce de manière aléatoire. Le premier chapitre concerne la classe des processus de branchement avec immigration. On donne une formule semi-explicite pour la transformée de Laplace des temps d'atteinte ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante de récurrence-transience. Ces deux résultats illustrent la compétition branchement/immigration. Le second chapitre considère l'arbre Brownien et ses mesures de temps local, dites mesures de niveau. On montre que celles-ci s'obtiennent comme restriction, à une constante près explicitée, d'une certaine mesure de Hausdorff sur l'arbre. Le résultat est montré simultanément pour tous niveaux. Le troisième chapitre étudie le Super-mouvement Brownien associé à un mécanisme de branchement général. Sa mesure d'occupation totale est obtenue comme restriction d'une certaine mesure de packing dans l'espace euclidien. Le résultat est valable en grande dimension. La condition sur la dimension de l'espace ambiant est discutée à travers le calcul, sous des hypothèse de régularité faibles pour le mécanisme de branchement, de la dimension de packing du range total du processus. / This thesis investigates some fractal and pathwise properties of branching processes with continuous time and state-space. Informally, this kind of process can be described by considering the evolution of a population where individuals reproduce and die over time, randomly. The first chapter deals with the class of continuous branching processes with immigration. We provide a semi-explicit formula for the hitting times and a necessary and sufficient condition for the process to be recurrent or transient. Those two results illustrate the competition between branching and immigration. The second chapter deals with the Brownian tree and its local time measures : the level-sets measures. We show that they can be obtained as the restriction, with an explicit multiplicative constant, of a Hausdorff measure on the tree. The result holds uniformly for all levels. The third chapter study the Super-Brownian motion associated with a general branching mechanism. Its total occupation measure is obtained as the restriction to the total range, of a given packing measure on the euclidean space. The result is valid for large dimensions. The condition on the dimension is discussed by computing the packing dimension of the total range. This is done under a weak assumption on the regularity of the branching mechanism.

Le fil conducteur de cette thèse, composée de trois parties, est la notion de branchement.Le premier chapitre est consacré à l'arbre de Yule et à l'arbre binaire de recherche. Nous obtenons des résultats d'oscillations asymptotiques de l'espérance, de la variance et de la distribution de la hauteur de ces arbres, confirmant ainsi une conjecture de Drmota. Par ailleurs, l'arbre de Yule pouvant être vu comme une marche aléatoire branchante évoluant sur un réseau, nos résultats permettent de mieux comprendre ce genre de processus.Dans le second chapitre, nous étudions le nombre de particules tuées en 0 d'un mouvement brownien branchant avec dérive surcritique conditionné à s'éteindre. Nous ferons enfin apparaître une nouvelle phase de transition pour la queue de distribution de ces variables.L'objet du dernier chapitre est le graphe d'Erdős–Rényi dans le cas critique : $G(n,1/n)$. En introduisant un couplage et un changement d'échelle, nous montrerons que, lorsque $n$ augmente les composantes de ce graphe évoluent asymptotiquement selon un processus de coalescence-fragmentation qui agit sur des graphes réels. La partie coalescence sera de type multiplicatif et les fragmentations se produiront selon un processus ponctuel de Poisson sur ces objets. / This thesis is composed by three chapters and its main theme is branching processes.The first chapter is devoted to the study of the Yule tree and the binary search tree. We obtain oscillation results on the expectation, the variance and the distribution of the height of these trees and confirm a Drmota's conjecture. Moreover, the Yule tree can be seen as a particular instance of lattice branching random walk, our results thus allow a better understanding of these processes.In the second chapter, we study the number of particles killed at 0 for a Brownian motion with supercritical drift conditioned to extinction. We finally highlight a new phase transition in terms of the drift for the tail of the distributions of these variables.The main object of the last chapter is the Erdős–Rényi graph in the critical case: $G(n,1/n)$. By using coupling and scaling, we show that, when $n$ grows, the scaling process is asymptotically a coalescence-fragmentation process which acts on real graphs. The coalescent part is of multiplicative type and the fragmentations happen according a certain Poisson point process.

V předložené práci je definována stochastická diferenciální rovnice a jsou uvedeny její základní vlastnosti. Stochastické diferenciální rovnice se používají k popisu fyzikálních jevů, které jsou ovlivněny i náhodnými vlivy. Řešením stochastického modelu je náhodný proces. Cílem analýzy náhodných procesů je konstrukce vhodného modelu, který umožní porozumět mechanismům, na jejichž základech jsou generována sledovaná data. Znalost modelu také umožňuje předvídání budoucnosti a je tak možné kontrolovat a optimalizovat činnost daného systému. V práci je nejdříve definován pravděpodobnostní prostor a Wienerův proces. Na tomto základě je definována stochastická diferenciální rovnice a jsou uvedeny její základní vlastnosti. Závěrečná část práce obsahuje příklad ilustrující použití stochastických diferenciálních rovnic v praxi.

La dynamique de filaments flexibles individuels en écoulement visqueux est une étape essentielle pour comprendre et contrôler la rhéologie de nombreux fluides complexes. Cette dynamique sous-tend également une multitude de processus biophysiques allant de la propulsion des micro-organismes aux écoulements intracellulaires. Cette thèse présente des expériences systématiques permettant d’étudier la dynamique de filaments flexibles browniens dans un écoulement visqueux. Nous avons choisi d’utiliser un biopolymère, l’actine, comme système modèle de filaments. Sa longueur typique varie de 1 à 100 μm, il est flexible à ces échelles avec une longueur de persistance de l’ordre de 20μm, à cause de ses petites dimensions, il est soumis aux forces Browniennes avec des fluctuations en flexion, et enfin il peut être marqué en fluorescence. Nous utilisons des dispositifs microfluidiques associés à des systèmes de contrôle d’écoulements, un microscope optique équipé́ avec une platine motorisée pour réaliser des expériences contrôlées permettant de suivre la dynamique des filaments d’actine dans un écoulement de cisaillement pur et dans un écoulement élongationnel. Pour les expériences en cisaillement pur, des simulations reproduisant les conditions expérimentales ont aussi été́ menées en utilisant la théorie des poutres inextensibles d’Euler-Bernoulli et la théorie non locale des corps élancés en présence de fluctuations Browniennes et sont en accord quantitatif avec les résultats expérimentaux. Nous montrons que la dynamique des filaments dans ce système est principalement régie par le nombre élasto-visqueux, nombre sans dimension comparant les forces de trainée visqueuses aux forces de flexion élastiques, les fluctuations thermiques ne jouant qu’un rôle secondaire. Nous présentons une caractérisation complète des différents modes de déformation subies par le filament pendant une rotation ainsi que des transitions entre les différents modes. Dans la géométrie élongationnelle, nous avons choisi un canal hyperbolique optimisé pour permettre de longs temps de résidence sous taux de déformation constant. Nous avons observé́ directement la suppression des fluctuations transverse dans la partie extensionnelle tandis que nous observons, dans la partie compressive la formation de structures hélocoïdales tridimensionnelles après le flambage du filament. Pour finir, ce manuscrit de thèse décrit des développements expérimentaux permettant de fabriquer des suspensions de filaments d’actine relativement monodisperse en taille ainsi que des résultats préliminaires sur des effets rhéofluidifiants. Au bilan, les résultats présentes dans ce manuscrit pose les premières pierres de travaux futurs en direction de l’étude de la dynamique de ces filaments dans des écoulements plus complexes comme des écoulements de Poiseuille ou oscillants. Ils permettent aussi d’envisager des études sur le lien entre déformations de particules et propriétés des suspensions diluées d’objets flexibles et Brownien, lien encore peu étudié du point de vue expérimental. / The dynamics of individual flexible filament in a viscous flow is the key to deciphering the rheolog- ical behavior of many complex fluids and soft materials. It also underlies a wealth of biophysical processes from flagellar propulsion to intracellular streaming. This thesis presents systematic exper- iments to investigate the dynamics of flexible and Brownian filaments in viscous flows. Biopolymer actin has been chosen to be our experimental model filament: its typical length can be varied from 1 to 100 μm, it is flexible at these dimensions with a persistence length in the order of 20μm, it is Brow- nian due to its small diameter with bending fluctuations and it can be labelled by fluorescent dye. Microfluidic channels and flow control systems are combined to optical microscope with automated stage to carry out well-controlled experiments on the diverse dynamics of actin filaments in shear flow and pure straining flow. In shear flow, simulations matching the experimental conditions have also been performed using inextensible Euler-Bernoulli beam theory and non-local slender body hy- drodynamics in the presence of thermal fluctuations and agree quantitatively with the experimental results. We demonstrate that filament dynamics in this flow geometry is primarily governed by a dimension- less elasto-viscous number comparing viscous forces to elastic forces with thermal fluctuations only playing a secondary role. We present a complete characterization of the different modes of defor- mation undergone by the filament while rotating as well as of the transitions between these different modes. In pure straining flow, we opt to use an optimized hyperbolic channel to allow long resi- dence time at constant strain rate to be applied. We directly observe the suppression of transverse fluctuations in the extensional part of the hyperbolic channel while we observe, in the compressive part of the flow, the formation of three dimensional helical structures subsequent to the initial buck- ling of the filament. Finally, this thesis manuscript also reports on experimental developments to fabricate suspensions of actin filament with a narrow distribution of lengths and on preliminary re- sults on shear-thinning effects. All together the results presented here pave the way of future studies towards the understanding of filament dynamics in more complex flows, as Poiseuille flows or oscil- latory flows, as well as towards establishing the link between filament deformations and rheological response in dilute suspensions of flexible Brownian filaments, which remains nearly unexplored from an experimental point of view.

Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ``vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne). / This thesis presents a study of random matrices and some applications in physics, in particular in statistical physics and quantum physics. This work is mostly analytic, but I also performed some Monte Carlo numerical simulations. First I introduce random matrix theory: I define the main random matrix ensembles (in particular Gaussian ensembles) and describe their fundamental properties (distribution of the eigenvalues, density...). Then I study a physical system of interfaces at equilibrium that can be modeled by ``vicious walkers'', ie random walkers that can not meet each other.One can show that the distribution of the positions of the walkers at a given time is the same as the distribution of the eigenvalues of a random matrix. I also consider a problem coming from a very different field, the field of quantum information theory, but that is also closely related to random matrices: the distribution of entanglement for random states in a large bipartite quatum system (made of two parts). Finally I study some properties of random matrices such as the distribution of the number of positive eigenvalues or the one of the maximal eigenvalue (Tracy-Widom and large deviations).

We approximate the solution of a quasilinear stochastic partial differential equa- tion driven by fractional Brownian motion B_H(t); H in (0,1), which was calculated via fractional White Noise calculus, see [5].

In the Thesis we study the problem of linear filtration of Gaussian signals in finite-dimensional space. We use the Kalman-type equations for the filter to show that the filter depends continuously on the signal. Secondly, we show the same continuity property for the covariance of the error and verify existence and uniqueness of a solution to an integral equation that is satisfied by the filter even under more general assumptions. We present several examples of application of the continuity property that are based on the theory of stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion. 1

Optical tweezers are a sensitive position and force transducer widely employed in physics and biology. In a focussed laser, forces due to radiation pressure enable to trap and manipulate small dielectric particles used as probes for various experiments. For sensitive biophysical measurements, microspheres are often used as a handle for the molecule of interest. The force range of optical traps well covers the piconewton forces generated by individual biomolecules such as kinesin molecular motors. However, cellular processes are often driven by ensembles of molecular machines generating forces exceeding a nanonewton and thus the capabilities of optical tweezers. In this thesis I focused, fifirst, on extending the force range of optical tweezers by improving the trapping e fficiency of the probes and, second, on applying the optical tweezers technology to understand the mechanics of molecular motors. I designed and fabricated photonically-structured probes: Anti-reflection-coated, high-refractive-index, core-shell particles composed of titania. With these probes, I significantly increased the maximum optical force beyond a nanonewton. These particles open up new research possibilities in both biology and physics, for example, to measure hydrodynamic resonances associated with the colored nature of the noise of Brownian motion. With respect to biophysical applications, I used the optical tweezers to study the mechanics of single kinesin-8. Kinesin-8 has been shown to be a very processive, plus-end directed microtubule depolymerase. The underlying mechanism for the high processivity and how stepping is affected by force is unclear. Therefore, I tracked the motion of yeast (Kip3) and human (Kif18A) kinesin-8s with high precision under varying loads. We found that kinesin-8 is a low-force motor protein, which stalled at loads of only 1 pN. In addition, we discovered a force-induced stick-slip motion, which may be an adaptation for the high processivity. Further improvement in optical tweezers probes and the instrument will broaden the scope of feasible optical trapping experiments in the future.

The Turtle Trading Rules was a successful trend-following trading strategy for commodities in the 1980s but has lost recognition in recent days. The strategy revolved around rules for entering and exiting trades as well as position sizing for each trade. The rules was based on the fundamental aim to capture market trends while at the same time maintaining a controlled risk exposure. This thesis aims to revise the Turtle Trading Rules, here applied on major market indexes, and to examine its viability through different financial metrics. This is done by first implementing the aforementioned trading strategy to the indexes, and later by synthesizing market data through Geometric Brownian Motions. The latter primarily to examine how the strategy perform in different financial environments, what market traits favor the strategy, and to complement the previous examination without altering the core principles of the Turtle Trading Rules. The results suggest that the revised rules for major market indexes is not viable. This because of the poor return, the highest achieved 20-year return and average annual return was 25.1 % and 1.4% respectively (without taking trading fees into account). Furthermore, the strategy applied on synthetic data suggests that favorable traits are highly cyclical data with low volatility, which seldom is the case for real financial time series. The results further indicate that the main issue lies in the rules not being able to distinguish noise from actual entry and exit triggers. Moreover, the drawdown further suggest that it is the exit rather than the entry rules that are to blame for the poor performance during the cycle of a trade. / Turtle Trading-reglerna var en framgångsrik trendföljande handelsstrategi för råvaror på 1980- talet men har sedan dess tappat i populäritet. Strategin kretsade kring regler för inträde och utträde ur ordrar samt kring positionsstorleken för varje order. Reglerna byggde på det grundläggande syftet att fånga marknadstrender och samtidigt upprätthålla en kontrollerad riskexponering. Den här avhandlingen syftar till att revidera Turtle Trading-reglerna, som här tillämpas på utvalda marknadsindex, och att undersöka dess lönsamhet genom olika finansiella mått. Detta görs genom att först implementera den tidigare nämnda handelsstrategin till indexen, och senare genom att syntetisera marknadsdata genom geometriska brownska rörelser (Geometric Brownian Motions). Det senare för att i första hand undersöka hur strategin fungerar i olika finansiella miljöer, vilka marknadsdrag som gynnar strategin, och för att komplettera den tidigare granskningen utan att ändra grundprinciperna i Turtle Trading-reglerna. Resultaten tyder på att de reviderade reglerna för marknadsindexen inte är tillräckligt lönsamma. Detta på grund av den låga avkastningen, den högst observerade 20-årsavkastningen och den genomsnittliga årliga avkastningen var 25,1 % respektive 1,4% (utan hänsyn till handelsavgifter). Dessutom antyds när strategin tillämpas på syntetiska data att tydliga cykliska variationer samt låg volatilitet är fördelaktiga egenskaper, vilket sällan är fallet för reella finansiella tidsserier. Resultatet indikerade vidare att grundproblemet ligger i att reglerna inte kan skilja brus i datan från faktiska inträde och exit triggers. Dessutom tyder drawdown-graferna på att det är exit snarare än inträdesreglerna som är orsaken till det dåliga resultatet i utförandet av köp- och säljprocessen.

We consider p independent Brownian motions in ℝd. We assume that p ≥ 2 and p(d- 2) < d. Let ℓt denote the intersection measure of the p paths by time t, i.e., the random measure on ℝd that assigns to any measurable set A ⊂ ℝd the amount of intersection local time of the motions spent in A by time t. Earlier results of Chen derived the logarithmic asymptotics of the upper tails of the total mass ℓt(ℝd) as t →∞. In this paper, we derive a large-deviation principle for the normalised intersection measure t-pℓt on the set of positive measures on some open bounded set B ⊂ ℝd as t →∞ before exiting B. The rate function is explicit and gives some rigorous meaning, in this asymptotic regime, to the understanding that the intersection measure is the pointwise product of the densities of the normalised occupation times measures of the p motions. Our proof makes the classical Donsker-Varadhan principle for the latter applicable to the intersection measure. A second version of our principle is proved for the motions observed until the individual exit times from B, conditional on a large total mass in some compact set U ⊂ B. This extends earlier studies on the intersection measure by König and Mörters.