We give a brief overview of Bass-Serre theory and introduce a method of adding a limit point to graphs of groups. We explore a basic example of this method, and find that while the fundamental theorem of Bass-Serre theory no longer applies in this case we still recover a group action on a covering space of sorts with a subgroup isomorphic to the fundamental group of our new base space with added limit point. We also quantify how much larger the fundamental group of a graph of groups becomes after this construction, and discuss the effects of adding and identifying together such limit points in more general graphs of groups. We conclude with a theorem stating that the cokernel of the map on fundamental groups induced by collapsing an arc between two limit points contains a certain fundamental group of a double cone of graphs of groups, and we conjecture that this cokernel is isomorphic to this double cone group.

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T15:38:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Onorio_AnaClaudiaLopes_M.pdf: 2325797 bytes, checksum: e0938ac85576f21ee8723d0aab2b0475 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Estudamos o tipo homológico FPs de produtos subdiretos de grupos limites seguindo resultados de Bridson, Howie, Miller, Short. Desenvolvemos teoria de grupos limites usando como ferramenta homologia algébrica e teoria geométrica de grupos, em particular a teoria de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores. Palavras-chaves: teoria de Bass-Serre, álgebra homológica, grupos de tipo FPn, grupos limites, produto subdireto de grupos limites / Abstract: The homological type FPs of subdirect products of limit groups was studied according to Bridson, Howie, Miller and Short's results. The limit group theory was developed using as a tool the algebraic homology and geometric group theory and in particular Bass-Serre theory on groups acting on trees. Keywords: Bass-Serre theory, homological algebra, groups of type FPn, limit groups, subdirect product of limit groups / Mestrado / Matematica / Mestra em Matemática

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part. Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres. Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs.

Un automorphisme (extérieur) $phi $ d'un groupe libre $F_n$ de rang fini $ngeq 2$ est dit géométrique s'il est induit par un homéomorphisme d'une surface. La question à laquelle nous intéressons est la suivante: Quels sont les automorphismes de $F_n$ qui sont géométriques?Nous donnons une réponse algorithmique pour la classe des automorphismes à croissance polynomiale (en s'autorisant à remplacer un automorphisme par une puissance).Pour cela, nous sommes amenés à étudier les automorphismes de graphes de groupes. En particulier, nous introduisons deux transformations élémentaires d'automorphismes de graphes de groupes: les quotients et les éclatements.Pour le cas particulier où l'automorphisme est un twist de Dehn partiel, on obtient un critère pour décider quand un tel twist de Dehn partiel est un véritable twist de Dehn.En appliquant le critère à plusieurs reprises sur un twist de Dehn cumulé, nous montrons que soit on peut ＂déplier＂ ce twist de Dehn cumulé jusqu'à obtenir un twist de Dehn ordinaire, soit que $phi$ est à croissance au moins quadratique (et par conséquent, n'est pas géométrique).Cela montre, au passage, que tout automorphisme du groupe libre à croissance linéaire admet une puissance qui est un twist de Dehn. Ce fait est connu des experts, et souvent utilisé, bien qu'il n'en existait pas de preuve formelle dans la littérature (à la connaissance de l'auteur).Pour conclure, on applique l'algorithme de Cohen-Lustig pour le transformer en twist de Dehn efficace, puis on applique l'algorithme Whitehead et des théorèmes classiques de Nielsen-Baer et Zieschang pour construire un modèle géométrique ou pour montrer qu'il n'est pas géométrique. / An automorphism $phi$ of a free group $F_n$ of finite rank $n geq 2$ is said to be geometric it is induced by a homeomorphism on a surface.In this thesis we concern ourselves with answering the question:Which precisely are the outer automorphisms of $F_n$ that are geometric?to which we give an algorithmical decision for the case of polynomially growing outer automorphisms, up to raising to certain positive power.In order to realize this algorithm, we establish the technique of quotient and blow-up automorphisms of graph-of-groups, which when apply for the special case of partial Dehn twist enables us to develop a criterion to decide whether the induced outer automorphism is an actual Dehn twist.Applying the criterion repeatedly on the special topological representative deriving from relative train track map, we are now able to either “unfold” this iterated relative Dehn twist representative level by level until eventually obtain an ordinary Dehn twist representative or show that $hat{phi}$ has at least quadratic growth hence is not geometric.As a side result, we also proved that every linearly growing automorphism of free group has a positive power which is a Dehn twist automorphism. This is a fact that has been taken for granted by many experts, although has no formal proof to be found in the literature.In the case of Dehn twist automorphisms, we then use the known algorithm to make the given Dehn twist representative efficient and apply the Whitehead algorithm as well as the classical theorems by Nielsen, Baers, Zieschangs and others to construct its geometric model or to show that it is not geometric.

No description available.

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part.<p><p>Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. <p><p>Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres.<p><p>Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini.<p><p>Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished