Since the regulatory framework Basel II was implemented in 2007, banks have been allowed to develop internal risk models for quantifying the capital requirement. By using data on retail non-performing loans from Hoist Finance, the thesis assesses the Advanced Internal Ratings-Based approach. In particular, it focuses on how banks active in the non-performing loan industry, can risk-classify their loans despite limited data availability of the debtors. Moreover, the thesis analyses the effect of the maximum-recovery period on the capital requirement. In short, a comparison of five different mathematical models based on prior research in the field, revealed that the loans may be modelled by a two-step tree model with binary logistic regression and zero-inflated beta-regression, resulting in a maximum-recovery period of eight years. Still it is necessary to recognize the difficulty in distinguishing between low- and high-risk customers by primarily assessing rudimentary data about the borrowers. Recommended future amendments to the analysis in further research would be to include macroeconomic variables to better capture the effect of economic downturns. / Sedan det regulatoriska ramverket Basel II implementerades 2007, har banker tillåtits utveckla interna riskmodeller för att beräkna kapitalkravet. Genom att använda data på fallerade konsumentlån från Hoist Finance, utvärderar uppsatsen den avancerade interna riskklassificeringsmodellen. I synnerhet fokuserar arbetet på hur banker aktiva inom sektorn för fallerade lån, kan riskklassificera sina lån trots begränsad datatillgång om låntagarna. Dessutom analyseras effekten av maximala inkassoperioden på kapitalkravet. I sammandrag visade en jämförelse av fem modeller, baserade på tidigare forskning inom området, att lånen kan modelleras genom en tvåstegs trädmodell med logistisk regression samt s.k. zero-inflated beta regression, resulterande i en maximal inkassoperiod om åtta år. Samtidigt är det värt att notera svårigheten i att skilja mellan låg- och högriskslåntagare genom att huvudsakligen analysera elementär data om låntagarna. Rekommenderade tillägg till analysen i fortsatt forskning är att inkludera makroekonomiska variabler för att bättre inkorporera effekten av ekonomiska nedgångar.

Os modelos de regressão beta e beta inflacionados conseguem ajustar adequadamente grande parte das variáveis do tipo proporção. No entanto, esses modelos não são úteis quando a variável resposta não pode assumir valores no intervalo (0,c) e assume o valor c com probabilidade positiva. Variáveis relacionadas a algum tipo de pagamento limitado entre dois valores, quando estudadas em relação ao seu valor máximo, possuem essas características. Para ajustar essas variáveis, introduzimos a distribuição beta inflacionada truncada (BIZUT), que é uma mistura de uma distribuição beta com suporte no intervalo (c,1) e uma distribuição trinomial que assume os valores zero, um e c. Propomos ainda um modelo de regressão para as situações em que a variável resposta tem distribuição BIZUT. Admitimos que todos os parâmetros da distribuição podem variar em função de variáveis preditoras. Além disso, o modelo permite que o parâmetro conhecido c varie entre as unidades populacionais. Para esse modelo são desenvolvidos diversos aspectos inferenciais, são obtidos resultados para as situações em que c é variável e são conduzidos estudos de simulação de Monte Carlo. Além disso, discutimos análise de resíduos, desenvolvemos análise de influência local e realizamos uma aplicação a dados reais de cartão de crédito. / The beta regression model or the inflated beta regression model may be a reasonable choice to fit a proportion in most situations. However, they do not fit well variables that do not assume values in the open interval (0,c), 0 < c < 1 and assume the c value with positive probability. Variables related to a kind of double bounded payment amount when studied as a proportion of the maximum payment amount have this feature. For these variables, we introduce the truncated inflated beta distribution (TBEINF). This proposed distribution is a mixture of the beta distribution bounded in the open interval (c,1) and a trinomial distribution that assumes the values zero, one and c. This work also proposes a regression model where the response variable is TBEINF distributed. The model allows all the unknown parameters of the conditional distribution of the response variable to be modeled as functions of explanatory variables. Moreover, the model allows nonconstant known parameter c across population units. For this model, some inferential aspects are developed, some results when c is not constant are obtained and Monte Carlo simulation studies are performed. In addition, residual and local influence analysis are discussed and an application to credit card data is presented.

Os modelos de regressão beta e beta inflacionados conseguem ajustar adequadamente grande parte das variáveis do tipo proporção. No entanto, esses modelos não são úteis quando a variável resposta não pode assumir valores no intervalo (0,c) e assume o valor c com probabilidade positiva. Variáveis relacionadas a algum tipo de pagamento limitado entre dois valores, quando estudadas em relação ao seu valor máximo, possuem essas características. Para ajustar essas variáveis, introduzimos a distribuição beta inflacionada truncada (BIZUT), que é uma mistura de uma distribuição beta com suporte no intervalo (c,1) e uma distribuição trinomial que assume os valores zero, um e c. Propomos ainda um modelo de regressão para as situações em que a variável resposta tem distribuição BIZUT. Admitimos que todos os parâmetros da distribuição podem variar em função de variáveis preditoras. Além disso, o modelo permite que o parâmetro conhecido c varie entre as unidades populacionais. Para esse modelo são desenvolvidos diversos aspectos inferenciais, são obtidos resultados para as situações em que c é variável e são conduzidos estudos de simulação de Monte Carlo. Além disso, discutimos análise de resíduos, desenvolvemos análise de influência local e realizamos uma aplicação a dados reais de cartão de crédito. / The beta regression model or the inflated beta regression model may be a reasonable choice to fit a proportion in most situations. However, they do not fit well variables that do not assume values in the open interval (0,c), 0 < c < 1 and assume the c value with positive probability. Variables related to a kind of double bounded payment amount when studied as a proportion of the maximum payment amount have this feature. For these variables, we introduce the truncated inflated beta distribution (TBEINF). This proposed distribution is a mixture of the beta distribution bounded in the open interval (c,1) and a trinomial distribution that assumes the values zero, one and c. This work also proposes a regression model where the response variable is TBEINF distributed. The model allows all the unknown parameters of the conditional distribution of the response variable to be modeled as functions of explanatory variables. Moreover, the model allows nonconstant known parameter c across population units. For this model, some inferential aspects are developed, some results when c is not constant are obtained and Monte Carlo simulation studies are performed. In addition, residual and local influence analysis are discussed and an application to credit card data is presented.

Os modelos beta mistos são amplamente utilizados na análise de dados que apresentam uma estrutura hierárquica e que assumem valores em um intervalo restrito conhecido. Com o objetivo de propor um método de predição dos componentes aleatórios destes, os resultados previamente obtidos na literatura para o preditor de Bayes empírico foram estendidos aos modelos de regressão beta com intercepto aleatório normalmente distribuído. O denominado melhor preditor empírico (MPE) proposto tem aplicação em duas situações diferentes: quando se deseja fazer predição sobre os efeitos individuais de novos elementos de grupos que já fizeram parte da base de ajuste e quando os grupos não pertenceram à tal base. Estudos de simulação foram delineados e seus resultados indicaram que o desempenho do MPE foi eficiente e satisfatório em diversos cenários. Ao utilizar-se da proposta na análise de dois bancos de dados da área da saúde, observou-se os mesmos resultados obtidos nas simulações nos dois casos abordados. Tanto nas simulações, quanto nas análises de dados reais, foram observados bons desempenhos. Assim, a metodologia proposta se mostrou promissora para o uso em modelos beta mistos, nos quais se deseja fazer predições. / The mixed beta regression models are extensively used to analyse data with hierarquical structure and that take values in a restricted and known interval. In order to propose a prediction method for their random components, the results previously obtained in the literature for the empirical Bayes predictor were extended to beta regression models with random intercept normally distributed. The proposed predictor, called empirical best predictor (EBP), can be applied in two situations: when the interest is predict individuals effects for new elements of groups that were already analysed by the fitted model and, also, for elements of new groups. Simulation studies were designed and their results indicated that the performance of EBP was efficient and satisfatory in most of scenarios. Using the propose to analyse two health databases, the same results of simulations were observed in both two cases of application, and good performances were observed. So, the proposed method is promissing for the use in predictions for mixed beta regression models.

Os modelos beta mistos são amplamente utilizados na análise de dados que apresentam uma estrutura hierárquica e que assumem valores em um intervalo restrito conhecido. Com o objetivo de propor um método de predição dos componentes aleatórios destes, os resultados previamente obtidos na literatura para o preditor de Bayes empírico foram estendidos aos modelos de regressão beta com intercepto aleatório normalmente distribuído. O denominado melhor preditor empírico (MPE) proposto tem aplicação em duas situações diferentes: quando se deseja fazer predição sobre os efeitos individuais de novos elementos de grupos que já fizeram parte da base de ajuste e quando os grupos não pertenceram à tal base. Estudos de simulação foram delineados e seus resultados indicaram que o desempenho do MPE foi eficiente e satisfatório em diversos cenários. Ao utilizar-se da proposta na análise de dois bancos de dados da área da saúde, observou-se os mesmos resultados obtidos nas simulações nos dois casos abordados. Tanto nas simulações, quanto nas análises de dados reais, foram observados bons desempenhos. Assim, a metodologia proposta se mostrou promissora para o uso em modelos beta mistos, nos quais se deseja fazer predições. / The mixed beta regression models are extensively used to analyse data with hierarquical structure and that take values in a restricted and known interval. In order to propose a prediction method for their random components, the results previously obtained in the literature for the empirical Bayes predictor were extended to beta regression models with random intercept normally distributed. The proposed predictor, called empirical best predictor (EBP), can be applied in two situations: when the interest is predict individuals effects for new elements of groups that were already analysed by the fitted model and, also, for elements of new groups. Simulation studies were designed and their results indicated that the performance of EBP was efficient and satisfatory in most of scenarios. Using the propose to analyse two health databases, the same results of simulations were observed in both two cases of application, and good performances were observed. So, the proposed method is promissing for the use in predictions for mixed beta regression models.

Orientador: Caio Lucidius Naberezny Azevedo / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T07:11:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Nogarotto_DaniloCovaes_M.pdf: 12817108 bytes, checksum: 0e5e0de542d707f4023f5ef62dc40a82 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: No presente trabalho desenvolvemos ferramentas de inferência bayesiana para modelos de regressão beta e beta inflacionados, em relação à estimação paramétrica e diagnóstico. Trabalhamos com modelos de regressão beta não inflacionados, inflacionados em zero ou um e inflacionados em zero e um. Devido à impossibilidade de obtenção analítica das posteriores de interesse, tais ferramentas foram desenvolvidas através de algoritmos MCMC. Para os parâmetros da estrutura de regressão e para o parâmetro de precisão exploramos a utilização de prioris comumente empregadas em modelos de regressão, bem como prioris de Jeffreys e de Jeffreys sob independência. Para os parâmetros das componentes discretas, consideramos prioris conjugadas. Realizamos diversos estudos de simulação considerando algumas situações de interesse prático com o intuito de comparar as estimativas bayesianas com as frequentistas e também de estudar a sensibilidade dos modelos _a escolha de prioris. Um conjunto de dados da área psicométrica foi analisado para ilustrar o potencial do ferramental desenvolvido. Os resultados indicaram que há ganho ao se considerar modelos que contemplam as observações inflacionadas ao invés de transformá-las a fim de utilizar modelos não inflacionados / Abstract: In the present work we developed Bayesian tools, concerning parameter estimation and diagnostics, for noninflated, zero inflated, one inflated and zero-one inflated beta regression models. Due to the impossibility of obtaining the posterior distributions of interest, analytically, all these tools were developed through MCMC algorithms. For the regression and precision parameters we exploited the using of prior distributions commonly considered in regression models as well as Jeffreys and independence Jeffreys priors. For the parameters related to the discrete components, we considered conjugate prior distributions. We performed simulation studies, considering some situations of practical interest, in order to compare the Bayesian and frequentist estimates as well as to evaluate the sensitivity of the models to the prior choice. A psychometric real data set was analyzed to illustrate the performance of the developed tools. The results indicated that there is an overall improvement in using models that consider the inflated observations compared to transforming these observations in order to use noninflated models / Mestrado / Estatistica / Mestre em Estatística

The purpose of this study is to estimate the relationship between income inequality and immigration in Sweden. To do so, data from the data base Kolada with observations from all 290 municipalities in Sweden is used. As a proxy for income distribution the Gini coefficient is used and as a proxy for immigration the share of foreign born of working age is used. The model also controls for income tax, education level and unemployment level. The dependent variable the Gini coefficient is bounded by a unit interval and it is therefore not possible to simply run a linear regression. Such a model could potentially predict outside the interval. To properly estimate the relationship two approaches are made. Firstly a model is estimated with Ordinary Least Squares (OLS) after the dependent variable is transformed on to the real line through log-odds. Then a model is estimated using beta regression. The study concludes that there is a statistically significant positive correlation between income inequality and immigration in Sweden. The OLS estimated model shows that a 1 unit increase in immigration, on average increases the log-odds of 0.28336 units, ceteris paribus. Beta regression provides perhaps more intuitive results. If immigration increases with 1% the income inequality increases with on average 0.1046%, ceteris paribus. Because of the easier interpretation, among other things, beta regression is determined to be a better estimation method in this study.

Under the Basel accords for measuring regulatory capital requirements, the set of credit risk parameters probability of default (PD), exposure at default (EAD) and loss given default (LGD) are measured with own estimates by the internal rating based approach. The estimated parameters are also the foundation of understanding the actual risk in a banks credit portfolio. The predictive performance of such models are therefore interesting to examine. The credit risk parameter LGD has been seen to give low performance for predictive models and LGD values are generally hard to estimate. The main purpose of this thesis is to analyse the predictive performance of a multi-gene genetic programming approach to symbolic regression compared to three benchmark regression models. The goal of multi-gene symbolic regression is to estimate the underlying relationship in the data through a linear combination of a set of generated mathematical expressions. The benchmark models are Logit Transformed Regression, Beta Regression and Regression Tree. All benchmark models are frequently used in the area. The data used to compare the models is a set of randomly selected, de-identified loans from the portfolios of underlying U.S. residential mortgage-backed securities retrieved from International Finance Research. The conclusion from implementing and comparing the models is that, the credit risk parameter LGD is continued difficult to estimated, the symbolic regression approach did not yield a better predictive ability than the benchmark models and it did not seem to find the underlying relationship in the data. The benchmark models are more user-friendly with easier implementation and they all requires less calculation complexity than symbolic regression.

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A classe de modelos de regressão beta tem sido estudada amplamente. Porém, para esta classe de modelos existem poucos trabalhos sobre a inclusão de efeitos aleatórios e a flexibilização da distribuição dos efeitos aleatórios, além de métodos de predição e de diagnóstico no ponto de vista dos efeitos aleatórios. Neste trabalho são propostos modelos de regressão beta com efeitos aleatórios normais e não normais para dados longitudinais. Os métodos de estimação de parâmetros e de predição dos efeitos aleatórios usados no trabalho são o método de máxima verossimilhança e o método do melhor preditor de Bayes empírico. Para aproximar a função de verossimilhança foi utilizada a quadratura de Gauss-Hermite. Métodos de seleção de modelos e análise de resíduos também foram propostos. Foi implementado o pacote BLMM no R para a realização de todos os procedimentos. O processo de estimação os parâmetros dos modelos e a distribuição empírica dos resíduos propostos foram analisados por meio de estudos de simulação. Foram consideradas várias distribuições para os efeitos aleatórios, valores para o número de indivíduos, número de observações por indivíduo e estruturas de variância-covariância para os efeitos aleatórios. Os resultados dos estudos de simulação mostraram que o processo de estimação obtém melhores resultados quando o número de indivíduos e o número de observações por indivíduo aumenta. Estes estudos também mostraram que o resíduo quantil aleatorizado segue uma distribuição aproximadamente normal. A metodologia apresentada é uma ferramenta completa para analisar dados longitudinais contínuos que estão restritos ao intervalo limitado (0; 1). / The class of beta regression models has been studied extensively. However, there are few studies on the inclusion of random effects and models with flexible random effects distributions besides prediction and diagnostic methods. In this work we proposed a beta regression models with normal and not normal random effects for longitudinal data. The maximum likelihood method and the empirical Bayes approach are used to obtain the estimates and the best prediction. Also, the Gauss-Hermite quadrature is used to approximate the likelihood function. Model selection methods and residual analysis were also proposed.We implemented a BLMM package in R to perform all procedures. The estimation procedure and the empirical distribution of residuals were analyzed through simulation studies considering differents random effects distributions, values for the number of individuals, number of observations per individual and covariance structures for the random effects. The results of simulation studies showed that the estimation procedure obtain better results when the number of individuals and the number of observations per individual increase. These studies also showed that the empirical distribution of the quantile randomized residual follows a normal distribution. The methodolgy presented is a tool for analyzing longitudinal data restricted to a interval (0; 1).