Le but de cette thèse est de présenter quelques contributions dans le cadre du contrôle des équations différentielles stochastiques en dimension finie où infinie :<br />(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.<br />Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.<br />(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.<br />Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.<br />(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.<br />La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.<br />(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.<br />Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.

Les travaux de cette thèse portent sur les problèmes d'analyse de stabilité et de synthèse de commande de systèmes non-linéaires à commutations en temps discret. Nos résultats obtenus sont fondés sur une nouvelle fonction de Lyapunov-Lur'e adaptée au temps discret. Nous reprenons le problème classique d'analyse de stabilité globale de systèmes linéaires connectés à une non-linéarité du type secteur borné. Notre fonction permet de traiter une classe de non-linéarités plus générale que celle des approches fondées sur la fonction de Lur'e classique. Ensuite, la stabilité locale et la synthèse de commande de ces systèmes avec une loi de commande non-linéaire saturée sont résolues en considérant les lignes de niveau de notre fonction de Lyapunov comme estimation du bassin d'attraction de l'origine. Notre estimation est composée par des ensembles non-connexes et non-convexes qui s'adaptent bien à l'allure du bassin d'attraction et donc est moins conservative que les ensembles ellipsoïdaux. Nous étendons nos résultats pour étudier les systèmes à commutations lorsque chacun des modes présente une non-linéarité du type secteur et la saturation. D'une part, en supposant que la loi de commutation est arbitraire, nous obtenons des conditions suffisantes pour assurer la propriété de stabilité pour toute loi de commutation. Dans ce cadre, notre fonction s'avère intéressante afin de fournir une estimation bien adaptée au bassin d'attraction. D'autre part, en considérant la loi de commutation comme une variable de commande, nous proposons une stratégie de commutation sur le minimum des fonctions de Lyapunov modales. Cette stratégie définit des partitions de l'espace d'état relatives à l'activation des modes qui ne sont pas uniquement des régions coniques, normalement exhibées par des approches fondées sur les fonctions quadratiques commutées / In this PhD thesis, several problems of stability analysis and control design of discrete-time switched nonlinear systems are addressed. As main contribution, a new class of Lyapunov functions which takes the nonlinearity into account has been proposed. We show that these functions are suitable to solve the classical stability analysis problem of linear systems connected to a cone bounded nonlinearity. Instead of the original Lyapunov Lur'e function, the assumptions about the nonlinearity variation are not required. Furthermore, the local stability analysis and control synthesis problems of Lur'e systems subject to control saturation are tackled by considering the level set of our function as an estimate of the basin of attraction. We expose that this estimate, which is given by non-convex and disconnected sets, is less conservative than ellipsoidal sets. We extend these results in order to deal with the problems of stability analysis and stabilization of discrete-time switched nonlinear systems. On one hand, we consider the case of arbitrary switching such that our sufficient conditions assure the properties of stability for all possible switching rules. In this framework, we highlight that our function is able to provide a suitable estimate of the basin of attraction. On the other hand, we tackle the problem of switching rule design aiming at the stabilization of discrete-time switched systems with nonlinear modes. We propose a switching strategy depending on the minimum of our switched Lyapunov Lur'e function. Hence, our framework leads to state space partitions, related to the mode activation, which are not restricted to conic sets, commonly exhibited by the switched quadratic functions approaches

Les processus ponctuels spatiaux forment une branche de la statistique spatiale utilisée dans des domaines d'application variés (foresterie, géo-marketing, sismologie, épidémiologie...) et développée par de récents travaux théoriques. Nous nous intéressons principalement dans cette thèse à l'apport de la théorie des processus ponctuels spatiaux pour des problèmes de positionnement optimal, ainsi que pour la définition de nouveaux indices de concentration basés sur les distances en économétrie. Le problème de positionnement optimal s'écrit souvent comme un problème d'optimisation prenant en compte des données geo-référencées auxquelles peuvent être associées des caractéristiques. Pour prendre en compte l'aléa, nous considérons ces données issues d'un processus ponctuel spatial pour résoudre un problème de positionnement stochastique plus réaliste qu'un modèle déterministe. A travers l'étude du positionnement optimal d'une nouvelle caserne de pompiers dans la région toulousaine, nous développons une méthode de résolution stochastique permettant de juger de la variabilité de la solution optimale et de traiter des bases de données volumineuses. L'approche implémentée est validée par des premiers résultats théoriques sur le comportement asymptotique des solutions optimales empiriques. La convergence presque sure des solutions optimales empiriques de l'étude de cas précédente est obtenue dans un cadre i.i.d. en utilisant la théorie de Vapnik-Cervonenkis. Nous obtenons aussi la convergence presque sure des solutions optimales empiriques, dans un cadre plus général, pour un problème de positionnement dérivé du problème de transport de Monge-Kantorovich. Nous nous intéressons ensuite à des indices de concentration basés sur des distances en économétrie. Ces indices de concentration peuvent s'écrire comme des estimateurs de caractéristiques du second ordre de processus ponctuels marqués. Nous définissons ensuite un estimateur non-paramétrique d'une nouvelle caractéristique d'un processus ponctuel spatial marqué définissant ainsi un nouvel indice de concentration améliorant ceux déjà existants. Dans un cadre asymptotique avec fenêtre d'observation bornée, notre estimateur est asymptotiquement sans biais.

Dans de nombreux domaines d'application, comme en génie civil ou en aéronautique, les ingénieurs sont confrontés a des problèmes dedimensionnement de structures en contact avec un domaine non-borné. Pour ces problèmes, seule la structure intéresse réellement les ingénieurs, et le domaine extérieur n'a d'importance que par sa raideur équivalente, en statique, ou sa matrice d'impédance, en dynamique. Par ailleurs, les domaines infinis considérés dans ces applications sont souvent mal connus ou complexes à modéliser. Cela entraîne des erreurs et incertitudes pour les estimations faites sur la structure, qui peuvent être en partie prises en compte par des approches probabilistes.<br /><br />On propose donc dans cette thèse un modèle probabiliste des matrices d'impédance, qui généralise l'approche non-paramétrique proposée récemment par Soize pour les prédictions des vibrations de structures aléatoires. La construction de ce modèle probabiliste nécessite tout d'abord la construction d'un modèle déterministe approché, dit à variables cachées, des matrices d'impédance suivant leurs propriétés de base, dont, notamment, la causalité. Ce modèle doit être identifié à partir de calculs numériques ou de mesures, et la procédure d'identification est également developpée dans le cadre de la thèse.<br /><br />Deux applications sont proposées. Le modèle non-paramétrique de matrice d'impédance est d'abord comparé, sur un cas simple d'interaction dynamique sol-structure, à un modèle paramétrique pour illustrer les principales différences entre les approches. Ensuite, un cas plus industriel de dimensionnement sismique permet d'envisager l'utilisation pratique du modèle probabiliste non-paramétrique.

Ce mémoire est une présentation des travaux que l'auteur a réalisé en théorie des aneaux et des modules. Plus précisément l'auteur s'est consacré à l'étude des anneaux commutatifs arithmétiques et plus particulièrement aux anneaux de valuation (non nécessairement intègres). Le résultat le plus remaquable est la démonstration du théorème qui dit que tout annean local à type de module borné est un anneau de valuation presque maximal. Sont aussi présentés des résultats sur la localisation des modules injectifs et sur les enveloppes pure-injectives de certains modules.

Les échanges des informations confidentielles ou critiques dans un environnement public, et donc potentiellement hostile, nécessitent l'emploi de techniques cryptographiques (protocoles et primitives). Malheureusement, l'expérience montre qu'une mauvaise conception, ou une expression peu claire des propriétés et hypothèses de sécurité attendues conduisent à des attaques, et qu'il faut parfois des années avant que celles-ci soient découvertes et corrigées. D'où l'adoption croissante de la sécurité prouvable, où on donne une définition rigoureuse des objectifs de sécurité et des démonstrations mathématiques que ceux-ci sont remplis. Par ailleurs, la complexité et la diversité des systèmes cryptographiques croît également. Il est donc largement admis qu'il n'est plus viable d'écrire ou vérifier manuellement des démonstrations cryptographiques (Bellare& Rogaway 2004, Shoup 2004, Halevi 2005) et qu'il faut développer des méthodes de vérification des systèmes cryptographiques assistées par ordinateur. L'objectif de cette thèse est d'effectuer des progrès significatifs dans cette direction. Plus précisement on s'interesse à la preuve formelle de protocoles cryptographiques. Vérifier des protocoles cryptographiques requiert le développement d'un cadre théorique qui doit permettre: - une modélisation précise des protocoles cryptographiques et des propriétés de sécurité qu'on veut prouver dans le modèle calculatoire. - mise en place de stratégies d'automatisation de preuves. - prise en compte des modèles plus réalistes pour l'adversaire (canaux cachés, ressources de calcul). A la fin de la thèse on a obtenu un cadre formel et un ensemble de méthodes logicielles capable d'aider à la vérification des protocoles cryptographiques. / Critical and private information are exchanged on public environment. To protect it from dishonest users, we use cryptographic tools. Unfortunately, bad conception, poorly written security properties and required security hypothesis lead to attacks, and it may take years before one discover the attack and fix the security schemes involved. In this context, provable security provides formal definitions for security objectives and implied mathematical proofs that these objectives are fullfilled. On another hand, complexity and variety of cryptographic systems are increasing, and proofs by hand are too complicated to write and to verify (Bellare& Rogaway 2004, Shoup 2004, Halevi 2005). Thus, we need computer-assisted verification methods for cryptographic systems. The aim of this thesis is to progress in this direction. More precisely we want significant progress over formal proofs on cryptographic protocols. To verify cryptographic protocols we need to develop a theoritical framework providing: - a precise modelisation for cryptographic protocols and security properties we want to prove in the computationnal model, - designing tactics to automate proofs, - taking into account realistic models for adversary (side-channels...). By the end of the thesis we have enhanced a theoretical framework and computing tools helping verifying cryptographic protocols.

Les travaux de cette thèse portent sur l'identification des systèmes et l'extraction de motifs à partir de données. Dans le cadre de l'identification des systèmes, nous nous intéressons plus précisément à l'identification des systèmes dynamiques hybrides et l'identification des systèmes dynamiques linéaires ayant une sortie binaire. Deux classes très populaires des systèmes hybrides sont les systèmes linéaires à commutations et les systèmes affines par morceaux. Nous faisons tout d'abord un état de l'art sur les méthodes d'identification de ces deux classes. Nous proposons ensuite un algorithme basé sur une méthode d'identification de type OBE "Outer Bounding Ellipsoid" pour l'identification en temps réel des systèmes à commutations soumis à un bruit borné. Nous présentons ensuite plusieurs extensions de l'algorithme soit pour l'identification des systèmes affines par morceaux, l'identification des systèmes à commutations décrits par un modèle du type erreur de sortie et l'identification des systèmes MIMO à commutations. Nous abordons ensuite le problème d'identification des systèmes linéaires ayant une sortie binaire en introduisant un point de vue original consiste à formuler le problème d'identification comme un problème de classification. Ceci permet de proposer deux algorithmes d'identification basés sur l'utilisation des SVMs. Le premier algorithme est dédié à l'identification des systèmes à temps discret et le deuxième algorithme est dédié à l'identification des systèmes à temps continu. Dans le cadre de l'extraction de motifs, nous présentons dans un premier temps un état de l'art sur les algorithmes d'extraction de motifs et sur les techniques de la classification non supervisée. Ensuite, nous proposons un algorithme d'extraction de motifs à partir des données basé sur des techniques de classification non supervisée. / In this thesis, we deal with the identification of systems and the extraction of patterns from data. In the context of system identification, we focus precisely on the identification of hybrid systems and the identification of linear systems using binary sensors. Two very popular classes of hybrid systems are switched linear systems and piecewise affine systems. First, we give an overview of the different approaches available in the literature for the identification of these two classes. Then, we propose a new real-time identification algorithm for switched linear systems, it's based on an Outer Bounding Ellipsoid (OBE) type algorithm suitable for system identification with bounded noise. We then present several extensions of the algorithm either for the identification of piecewise affine systems, the identification of switched linear systems described by an output error model and the identification of MIMO switched linear systems. After this, we address the problem of the identification of linear systems using binary sensors by introducing an original point of view. We formulate the identification problem as a classification problem. This formulation allows the use of supervised learning algorithms such as Support Vector Machines (SVMs) for the identification of discrete time systems and the identification of continuous-time systems using binary sensors. In the context of pattern extraction, we first present an overview of the different pattern extraction algorithms and clustering techniques available in the literature. Next, we propose an algorithm for extracting patterns from data based on clustering techniques.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique, à la modélisation et au calcul scientifique des problèmes d'interface dans des milieux fluides de faible épaisseur. Les problèmes d'interface liquide-gaz de type cavitation apparaissent dans la plupart des mécanismes lubrifiés et leur modélisation a toujours été un sujet très discuté en tribologie. Celle-ci a initialement utilisé (et utilise encore) des inéquations variationelles mais l'inadéquation de ce modèle qui est non conservatif a conduit à introduire de manière heuristique une modélisation basée sur un système hyperbolique-elliptique. Cependant, dans le cadre de cette nouvelle modélisation, des problèmes ouverts apparaissent, dès lors que l'on s'intéresse à des conditions de fonctionnement plus réalistes. Parmi ceux-ci, on peut citer :<br />1/ la possibilité d'utiliser ce modèle en présence de rugosités. Il s'agit, du point de vue mathématique, de l'homogénéisation d'une équation en pression-saturation, <br />2/ la prise en compte de la déformation élastique de surfaces solides due à la pression hydrodynamique du fluide adjacent. Pour cela, il est habituel en élastohydrodynamique (E.H.D.) de modifier les coefficients de l'équation de l'écoulement par l'introduction d'un terme intégral (déformation du type Hertz). La modélisation de la cavitation intervient dans la partie hydrodynamique et, par suite, sur l'ensemble du couplage.<br />3/ la possibilité de justifier ou non ce modèle à partir d'une description bifluide rigoureuse de l'écoulement et d'en déduire ainsi une procédure de calcul du frottement associé à l'écoulement mince.<br /><br />Nous étudions ces différents aspects qui permettent de justifier la pertinence du modèle de cavitation considéré.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux types de décompositions des graphes introduits par Robertson et Seymour: les décompositions arborescentes et les décompositions en branches. À ces décompositions sont associés deux paramètres des graphes: la largeur arborescente et la largeur de branches. Nous montrons que ces deux décompositions peuvent être vues comme issues d'une même structure combinatoire; les deux paramètres mentionné ci-dessus sont égaux aux valeurs minimales de deux paramètres de cette structure commune. En poussant plus avant cette analogie, nous montrons comment adapter une technique de calcul de la largeur arborescente au calcul de la largeur de branches. Ceci nous permet de calculer la largeur de branches des graphes de nombre astéroïde borné ayant un nombre polynômial de séparateurs minimaux et celle des graphes d-trapézoïdes circulaires. Ce parallèle nous permet aussi d'adapter certains résultats structurels sur les décompositions en branches aux décompositions arborescentes. Dans le cas des graphes planaires, nous interprétons ces propriétés à l'aide d'outils topologiques. De cette façon, nous donnons une démonstration simple d'un théorème de dualité reliant la largeur arborescente d'un graphe planaire et celle de son dual. Ces outils nous permettent aussi d'énumérer de façon efficace les séparateurs minimaux des graphes planaires.

Ce mémoire presente une synthèse de travaux de recherche consacrés à l'analyse de problèmes mathématiques issus de la mécanique des fluides. En particulier, par le mélange de modélisation, d'analyse théorique et numérique d' équations aux dérivées partielles ainsi que de calcul scientifique, les champs applicatifs de ces travaux ont porté essentiellement sur deux grandes thématiques : la mécanique des films minces et les biosciences. Cette synthèse s'articule autour de trois chapitres : 1) la lubrification hydrodynamique, 2) les lois de conservation scalaires sur un domaine borné et 3) la modélisation mathématique appliquée aux sciences du vivant qui présente, à son tour, deux axes distincts : la modélisation du système respiratoire et, en particulier, des échanges gazeux dans l'arbre bronchique et la simulation de suspensions biomimétiques actives ou passives dans un fluide de Stokes.