L'efficacité synaptique quantifie la capacité d'un neurone présynaptique à influer sur le potentiel de membrane d'un neurone postsynaptique. La plasticité synap- tique, regroupant tous les processus d'altération de l'efficacité synaptique, est con- sidérée comme le mécanisme fondamental de mémorisation et d'apprentissage dans le cerveau. Dans ce travail nous examinons des règles d'apprentissage formelles aux synapses chimiques et leurs conséquences sur la mémorisation de patrons appris. La plasticité de la synapse entre les fibres parallèles du cervelet et la cellule de Purkinje n'est pas de type Hebbien et dépend de la fréquence et de la durée de l'activité présynaptique. Nous avons développé un modèle qui prenne en compte les caractéristiques de cette règle d'apprentissage spécifique. Ce modèle, basé sur l'interaction entre des variables de signalisation par le calcium et l'oxyde nitrique (NO) reproduit un large corpus de données expérimentales publiées. La relative simplicité de ce modèle permettra son utilisation dans des simulations numériques faisant intervenir un grand nombre de synapses dans une architecture de réseau. En parallèle nous avons étudié une règle de plasticité plus typique, telle qu'observée aux synapses corticales, et avons développé des outils analytiques prédisant le com- portement de cette synapses modèle dans le contexte de régimes d'activité présy- naptique et postsynaptique poissonniens. Nous étendons cette analyse formelle à un réseau de neurones " leaky integrate and fire " (LIF) et développons des out- ils théoriques qui décrivent la réponse du réseau à des entrées externes bruitées d'amplitude constante ou transitoirement augmentée. Nous utilisons ces outils pour mesurer la durée de rétention de mémoires synaptiques dans un régime de décharge de fond à 1/sec soit dans des neurones indépendants soit dans un réseau récurrent. Nous trouvons que l'abaissement de la concentration de calcium extracellulaire augmente les constantes de temps de rétention de la mémoire. L'introduction d'une bistabil- ité dans la règle d'apprentissage synaptique rallonge le temps de mémorisation de plusieurs ordres de grandeur. Dans tous les cas nous fournissons des prédictions théoriques sur les échelles de temps de rétention de mémoire qui s'accordent aux résultats de simulations numériques. Les deux parties de cette étude traitent des processus régissant l'apprentissage et sa rétention dans les circuits cérébraux. Les deux modèles montrent l'importance de la fréquence de décharge et des corrélations temporelles entre potentiels d'action dans l'induction d'apprentissage au niveau synaptique. L'ajustement des variables du modèle pour mimer les conditions physiologiques in vivo permet d'allonger la ré- tention d'apprentissage, dans un réseau soumis à une décharge moyenne continue, sur des échelles de temps biologiquement significative. Notre travail présente une tenta- tive d'unification entre les règles biophysiques détaillées régissant l'apprentissage et une approche analytique en champ moyen.

Dans cette thèse on étudie les effets de taille finie au-dessus de la dimension critique supérieure d_c. Les effets de taille finie y ont longtemps été incomplètement compris, en particulier vis-à-vis de leur dépendance en fonction des conditions aux limites. La violation de la relation d’échelle dite d’hyperscaling a été l’un des aspects les plus évidents des difficultés rencontrées. Le désaccord avec le scaling usuel est dû au caractère de variable non pertinente dangereuse du terme de self-interaction dans la théorie en ϕ^4. Celle-ci était considérée comme dangereuse pour la densité d’énergie libre et les fonctions thermodynamiques associées, mais pas dans le secteur des corrélations. Récemment, un schéma nouveau de scaling a été proposé dans lequel la longueur de corrélation joue un rôle central et est également affectée par la variable non pertinente dangereuse. Ce nouveau schéma, appelé QFSS, est basé sur le fait que la longueur de corrélation exhibe au lieu du scaling usuel ξ~L un comportement en puissance de la taille finie ξ~L^ϙ. Ce pseudo-exposant critique ϙ est lié à la dimension critique supérieure et à la variable dangereuse. Au-dessous de d_c, cet exposant prend la valeur ϙ=1, mais au-dessus, il vaut ϙ=d/d_c. Le schéma QFSS est parvenu à réconcilier les exposants de champs moyen et le Finite-Size-Scaling tel que dérivé du Groupe de Renormalisation pour les modèles avec interactions à courte portée au-dessus de d_c en conditions aux limites périodiques. Si ϙ est un exposant universel, la validité de la théorie doit toutefois s’étendre également aux conditions de bords libres. Des tests initiaux dans de telles conditions ont mis en évidence de nouvelles difficultés: alors que le QFSS est valable au point pseudo-critique auquel les grandeurs thermodynamiques telles que la susceptibilité manifestent un pic à taille finie, au point critique on a pensé que c’était le FSS standard qui prévalait avec les exposants de champ moyen et ξ~L. On montre dans ce travail qu’il en va différemment de la situation au point critique et qu’à la place ce sont les exposants gaussiens qui s’appliquent en l’absence de variable non pertinente dangereuse. Pour mettre en évidence ce résultat, nous avons mené des simulations de modèles avec interactions à longue portée, qui peuvent être à volonté étudiés au-dessus de leur dimension critique supérieure. Nous avons aussi développé une étude des modes de Fourier qui permet de fournir des exemples de quantités non affectées par la présence de la variable non pertinente dangereuse / In this project finite-size size scaling above the upper critical dimension〖 d〗_c is investigated. Finite-size scaling there has long been poorly understood, especially its dependency on boundary conditions. The violation of the hyperscaling relation above d_c has also been one of the most visible issues. The breakdown in standard scaling is due to the dangerous irrelevant variables presented in the self-interacting term in the ϕ^4 theory, which were considered dangerous to the free energy density and associated thermodynamic functions, but not to the correlation sector. Recently, a modified finite-size scaling scheme has been proposed, which considers that the correlation length actually plays a pivotal role and is affected by dangerous variables too. This new scheme, named QFSS, considers that the correlation length, instead of having standard scaling behaviour ξ~L , scales as ξ~L^ϙ. This pseudocritical exponent is connected to the critical dimension and dangerous variables. Below d_c this exponent takes the value ϙ=1, but above the upper critical dimension it is ϙ=d/d_c. QFSS succeeded in reconciling the mean-field exponents and FSS derived from the renormalisation-group for the models with short-range interactions above d_c with periodic boundary conditions. If ϙ is an universal exponent, the validity of that theory should also hold for the free boundary conditions. Initial tests for such systems faced new problems. Whereas QFSS is valid at pseudocritical points where quantities such as the magnetic susceptibility experience a peak for finite systems, at critical points the standard FSS seemed to prevail, i.e., mean-field exponents with ξ~L. Here, we show that this last picture at critical point is not correct and instead the exponents that applied there actually arise from the Gaussian fixed-point FSS where the dangerous variables are suppressed. To achieve this aim, we study Ising models with long-range interaction, which can be tuned above〖 d〗_c, with periodic and free boundary conditions. We also include a study of the Fourier modes which can be used as an example of scaling quantities without dangerous variables

On s’intéresse dans cette thèse à des systèmes couplés de type champ moyen en étudiant l’existence de l’état de synchronisation qui se caractérise par une distance uniformément bornée dans le temps entre chaque paire de composantes d’une solution. L’étude se base sur une méthode perturbative. Néanmoins les résultats obtenus ne sont pas évidents dans le cas non-perturbé. En outre dans le cas où le système couplé est périodique et grâce au Théorème du point fixe on montre l’existence d’une solution périodique sur le tore. L’étude de stabilité et de stabilité exponentielle est établie dans le cas linéaire et appliquée à ce type de systèmes couplés / We study in this thesis a class of a perturbed interconnected mean-field system, also known as a coupled systems. Under some assumptions we prove the existence of an invariant open set by the flow of the perturbed system ; in other word, we prove that the distance between the components of an orbit is uniformly bounded, this property is also called synchronization. We use the perturbation method to obtain the result. However the result is not trivial for the not perturbed system. We use the fixed point theorem to prove the existence of a periodic orbit in the torus. We study in addition the stability and the exponential stability of such systems by studying the stability of a linear systems.

Les structures d'acto-myosine sont impliquées dans de nombreuses fonctions cellulaires. Comprendre leur organisation et leur comportement collectif est toujours difficile. Nous avons étudié l'anneau cytokinétique dans les cellules de mammifères et dans les levures de fission, en orientant les cellules dans les microcavités, ce qui permet de voir l'anneau dans un seul plan focal. Avec cette configuration, nous révélons de nouvelles structures et des dynamiques distinctes pour les deux systèmes cellulaires. Dans les cellules de mammifères, nous trouvons des motifs réguliers de la myosine et la formine. Les caractéristiques de ces motifs sont stables tout au long de sa fermeture et leur apparition coïncide avec la constriction. Nous proposons que ce phénomène est une propriété inhérente du réseau d'acto-myosine et que la formation de ces motifs entraîne une augmentation du stress. Ces hypothèses sont confirmées par notre modèle en champ moyen. Par contraste, l'anneau de levure de fission montre des inhomogénéités tournantes de l'actine, de la myosine, des protéines de la construction de la paroi (Bgs) et d'autres protéines. La dynamique des inhomogénéités de myosine est inchangée, si la croissance de la paroi est inhibée. Cependant, l'inhibition du mouvement des inhomogénéités conduit à l'arrêt de la fermeture. Nous proposons que la fermeture de l'anneau est entraînée par la rotation de l'actine et de la myosine qui tirent des protéines Bgs, lesquelles construisent ainsi le septum. Cette hypothèse est confirmée par nos calculs et par des simulations numériques. Nous suggérons que la transition entre les états de différents ordres et dynamiques pourrait être une façon de réguler in vivo les systèmes d'acto-myosine. / Actomyosin structures are involved in many cell functions. Understanding their organization and collective behavior is still challenging. We study the cytokinetic ring in mammalian cells and in fission yeasts, by orienting cells in microcavities. This allows seeing the ring in a single plane of focus. With this setup, we reveal new structures and distinct dynamics for both cellular systems. In mammalian cells we find a pattern of regular clusters of myosin and formin. The characteristics of this pattern are stable throughout closure and its formation coincides with the onset of constriction. We propose that its characteristic is an inherent property of the actomyosin network and that its formation leads to an increase in stress generation. These hypotheses are supported by our theoretical mean field model. In contrast, fission yeast rings show rotating inhomogeneities (speckles), i.e. rotations of actin, myosin, cell wall building proteins (Bgs) and other proteins. Myosin speckles dynamic is unchanged, if wall growth is inhibited. However, the inhibition of speckle motion leads to stalled closure. We propose that the ring closure is driven by the rotation of actin and myosin, which pull Bgs thereby building the septum. This model is supported by our calculations and by numerical simulations. We suggest that the transition between states of different orders and dynamics might be a way to regulate actomyosin systems in vivo.

Les résultats de notre étude des capacités de modélisation théorique axées sur les approches phénoménologiques nucléaires dans le cadre de la théorie du champ-moyen sont présentés. On s’attend à ce qu’une théorie réaliste soit capable de prédire de manière satisfaisante les résultats des expériences à venir, c’est-à-dire avoir ce qu’on appelle un bon pouvoir prédictif. Pour étudier le pouvoir prédictif d’un modèle théorique, nous avons dû tenir compte non seulement des erreurs des données expérimentales, mais aussi des incertitudes issues des approximations du formalisme théorique et de l’existence de corrélations paramétriques. L’une des techniques centrales dans l’ajustement des paramètres est la solution de ce qu’on appelle le Problème Inverse. Les corrélations paramétriques induisent généralement un problème inverse mal-posé; elles doivent être étudiées et le modèle doit être régularisé. Nous avons testé deux types de hamiltoniens phénoménologiques réalistes montrant comment éliminer théoriquement et en pratique les corrélations paramétriques.Nous calculons les intervalles de confiance de niveau, les distributions d’incertitude des prédictions des modèles et nous avons montré comment améliorer les capacités de prédiction et la stabilité de la théorie. / Results of our study of the theoretical modelling capacities focussing on the nuclear phenomenological mean-field approaches are presented. It is expected that a realistic theory should be capable of predicting satisfactorily the results of the experiments to come, i.e., having what is called a good predictive power. To study the predictive power of a theoretical model, we had to take into account not only the errors of the experimental data but also the uncertainties originating from approximations of the theoretical formalism and the existence of parametric correlations. One of the central techniques in the parameter adjustment is the solution of what is called the Inverse Problem. Parametric correlations usually induce ill-posedness of the inverse problem; they need to be studied and the model regularised. We have tested two types of realistic phenomenological Hamiltonians showing how to eliminate the parametric correlations theoretically and in practice. We calculate the level confidence intervals, the uncertainty distributions of model predictions and have shown how to improve theory’s prediction capacities and stability.

Avec les récents développements obtenus grâce aux modèles globaux magnétohydrodynamiques en trois dimensions de la convection solaire, il est désormais possible de simuler des champs magnétiques structurés à grande échelle et présentant des inversions de polarité bien synchronisées dans chaque hémisphère. Ces modèles qui n'incluent, pour la plupart, aucune modélisation de la surface du Soleil génèrent donc leur dynamo avec l'action de la force électromotrice turbulente (FEM) et de la rotation différentielle uniquement. À partir de cette FEM, différentes techniques peuvent être utilisées pour extraire les coefficients de transport turbulent. Notamment, différents auteurs ont obtenu un tenseur alpha (coefficient du premier ordre) dont les 9 composantes présentent des amplitudes du même ordre, remettant en doute l'approximation faite dans le cas des modèles dynamo de type alphaOmega qui ne tient en compte qu’une de composante du tenseur. À partir d'un code d'analyse par décomposition en valeurs singulières pour évaluer les coefficients du tenseur alpha, nous avons généralisé la procédure pour extraire 18 des composantes du tenseur de deuxième ordre (tenseur beta). Les tenseurs alpha et beta obtenus par cette nouvelle procédure tel qu'appliquée aux sorties du modèle global EULAG-MHD, sont similaires aux tenseurs alpha et beta équivalant obtenus en utilisant l'approximation « Second Order Correlation Approximation ». À l'aide des coefficients de transport turbulent du premier ordre introduit dans un modèle dynamo en champ moyen, nous avons ensuite étudié certaines solutions magnétiques présentant des doubles dynamos. Cette analyse avait pour but de comparer les résultats obtenus par ce modèle simplifié caractérisé par la FEM provenant de EULAG-MHD aux résultats de EULAG-MHD directement. Cette preuve de concept nous a permis de démontrer que l'oscillation observée dans le champ magnétique en surface de EULAG-MHD pouvait provenir de l'action inductive d'une seconde dynamo. Une oscillation biennale est également observée dans plusieurs indices d'activité solaire dont l'origine n'est toujours pas établie. Il est évident que les deux modèles décrits ci-haut et le Soleil opèrent dans des régimes physiques différents. Toutefois, malgré leurs différences, le fait qu'il soit relativement facile de produire une seconde dynamo dans EULAG-MHD et dans le modèle en champ moyen indique que l'action inductive de la FEM peut facilement générer deux dynamos. Finalement, dans le but d'étudier les périodes de grands minima, phénomène encore non reproduit par les modèles globaux, nous avons ajouté une rétroaction magnétique sur l'écoulement azimutal au modèle dynamo cinématique en champ moyen décrit ci-haut. En analysant les solutions de ce modèle dynamo de type alpha2Omega non cinématique, nous avons pu reproduire la tendance observée jusqu'ici uniquement dans les modèles de type alphaOmega selon laquelle le nombre de nombre de Prandtl magnétique contrôle le rapport des périodes générées. De plus, en analysant une solution sur 50 000 ans présentant des périodes de grands minima et maxima non périodiques, nous avons obtenu une distribution de temps de séparation des grands minima presque exponentielle, caractéristique observée dans les reconstructions de l'activité solaire. La rotation différentielle associée à ces périodes de grands minima présente un niveau de fluctuation de 1% par rapport au profil moyen. Ce niveau de fluctuation est d'ailleurs comparable avec les reconstructions historiques de la rotation différentielle en surface obtenues lors du grand minimum de Maunder. / The recent developments achieved by tri-dimensionals magnetohydrodynamic (3D-MHD) global simulations of solar convection allow us to generate an organized large-scale magnetic fields with well-synchronized hemispheric polarity reversal. Because the vast majority of these simulations do not include a modelization of the Sun's surface layer, the generation of their dynamo is thus solely due to the action of the turbulent electromotive force (EMF) in conjunction with differential rotation. From this EMF, different methods can be used to extract the turbulent transport coefficients. In particular, various authors found a full 9 component alpha-tensor (first order coefficients) where all the components are of the same order of magnitude. This finding calls into question the alphaOmega approximation made by the vast majority of mean field dynamo models. We generalized a first order (alpha-tensor) singular value decomposition (SVD) analysis procedure to extract the 18 additional components of the second order tensor (beta-tensor). The alpha and beta tensors obtained by this new procedure as applied to the EULAG-MHD outputs, are similar to the equivalent alpha and beta tensors obtained using the second order correlation approximation (SOCA). By introducing the first order turbulent transport coefficients in a mean field dynamo model, we study the magnetic solutions where double dynamo modes were observed. This analysis allows us to compare the mean field dynamo solutions produced with the EMF, as extracted from EULAG-MHD, with the real magnetic output of EULAG-MHD. This proof of concept demonstrated that the quasi-biennal oscillation observed in the surface toroidal magnetic field in EULAG-MHD can be produced by the inductive action of a secondary dynamo. A similar quasi-biennal oscillation signal is also observed in multiple proxies of the solar activity whose origin is still not confirmed. Although the physical set of properties under which the two numerical models described above operate are different from the Sun, the fact that both models can reproduce a secondary dynamo shows us that the inductive action of the EMF can easily produce two dynamos. Finally, in order to study epochs of grand minima that still cannot be reproduced in global 3D-MHD simulations of convection, we added a magnetic feedback on the mean azimutal flow in our kinematic mean field model. This non-kinematic alpha2Omega model was able to reproduce the tendency of the Prandtl number (Pm) to control the ratio of the modulation period. More specifically, we found an inverse relation between Pm and the ratio of the main magnetic cycle period to the grand minima occurrence period. Moreover, by analyzing a simulation of a length of 50,000 years, where aperiodic periods of grand minima and maxima are observed, we found a waiting time distribution (WTD) of the grand minima close to an exponential, a characteristic also observed in the reconstruction of the solar activity. Finally, the level of fluctuation in the surface differential rotation associated with epochs of grand minima is ~1%. This level of fluctuation was also observed in historical reconstructions of the surface differential rotation during the Maunder minimum.

Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique de systèmes de particules en interaction de type champ moyen en espace discret, systèmes pour lesquels l'interaction a lieu par l'intermédiaire de la mesure empirique. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous intéressons aux systèmes de particules de type Fleming-Viot: les particules se déplacent indépendamment suivant une dynamique markovienne jusqu'au moment où l'une d'entre elles touche un état absorbant. A cet instant, la particule absorbée choisit uniformément une autre particule et saute sur sa position. L'ergodicité du processus est établie dans le cadre de marches aléatoires sur N avec dérive vers l'origine et pour une dynamique proche de celle du graphe complet. Pour ce dernier, nous obtenons une estimation quantitative de la convergence en temps long à l'aide de la courbure de Wasserstein. Nous montrons de plus la convergence de la distribution empirique stationnaire vers une unique distribution quasi-stationnaire, quand le nombre de particules tend vers l'infini. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous nous intéressons au comportement en temps long et quand le nombre de particules devient grand, d'un système de processus de naissance et mort pour lequel les particules interagissent à chaque instant par le biais de la moyenne de leurs positions. Nous établissons l'existence d'une limite macroscopique, solution d'une équation non linéaire ainsi que le phénomène de propagation du chaos avec une estimation quantitative et uniforme en temps / In this thesis we study the asymptotic behavior of particle systems in mean field type interaction in discrete space, where the system acts over one fixed particle through the empirical measure of the system. In the first part of this thesis, we are interested in Fleming-Viot particle systems: the particles move independently of each other until one of them reaches an absorbing state. At this time, the absorbed particle jumps instantly to the position of one of the other particles, chosen uniformly at random. The ergodicity of the process is established in the case of random walks on N with a dirft towards the origin and on complete graph dynamics. For the latter, we obtain a quantitative estimate of the convergence described by the Wasserstein curvature. Moreover, under the invariant measure, we show the convergence of the empirical measure towards the unique quasi-stationary distribution as the size of the system tends to infinity. In the second part of this thesis, we study the behavior in large time and when the number of particles is large of a system of birth and death processes where at each time a particle interacts with the others through the mean of theirs positions. We establish the existence of a macroscopic limit, solution of a non linear equation and the propagation of chaos phenomenon with quantitative and uniform in time estimate

La dynamique des liquides, considérés comme des systèmes de particules classiques fortement couplées, reste un domaine où les descriptions théoriques sont limitées. Pour l’instant, il n’existe pas de théorie microscopique partant des premiers principes et recourant à des approximations contrôlées. Thermodynamiquement, les propriétés statiques d’équilibre sont bien comprises dans les liquides simples, à condition d’être loin du régime vitreux. Dans cette thèse, nous résolvons, en partant des équations microscopiques du mouvement, la dynamique des liquides et verres en exploitant la limite de dimension spatiale infinie, qui fournit une approximation de champ moyen bien définie. En parallèle, nous retrouvons leur thermodynamique à travers une analogie entre la dynamique et la statique. Cela donne un point de vue à la fois unificateur et cohérent du diagramme de phase de ces systèmes. Nous montrons que cette solution de champ moyen au problème de la transition vitreuse est un exemple du scénario de transition de premier ordre aléatoire (RFOT), comme conjecturé il y a maintenant trente ans, sur la base des solutions des modèles de verres de spin en champ moyen. Ces résultats nous permettent de montrer qu’une invariance d’échelle approchée du système, pertinente pour les expériences et les simulations en dimension finie, devient exacte dans cette limite. / The dynamics of liquids, regarded as strongly-interacting classical particle systems, remains a field where theoretical descriptions are limited. So far, there is no microscopic theory starting from first principles and using controlled approximations. At the thermodynamic level, static equilibrium properties are well understood in simple liquids only far from glassy regimes. Here we derive, from first principles, the dynamics of liquids and glasses using the limit of large spatial dimension, which provides a well-defined mean-field approximation with a clear small parameter. In parallel, we recover their thermodynamics through an analogy between dynamics and statics. This gives a unifying and consistent view of the phase diagram of these systems. We show that this mean-field solution to the structural glass problem is an example of the Random First-Order Transition scenario, as conjectured thirty years ago, based on the solution of mean-field spin glasses. These results allow to show that an approximate scale invariance of the system, relevant to finite-dimensional experiments and simulations, becomes exact in this limit.

Dans cette thèse, nous étudions la généralisation à une infinité de particules d'un modèle hamiltonien décrivant les interactions entre une particule et son environnement. Le milieu est considéré comme une superposition continue de membranes vibrantes. Au bout d'un certain temps, tout se passe comme si la particule était soumise à une force de frottement linéaire. Les équations obtenus pour un grand nombre de particules sont proches des équations de Vlasov. Dans un premier chapitre, on montre d'abord l'existence et l'unicité des solutions puis on s'intéresse à certains régimes asymptotiques; en faisant tendre la vitesse des ondes dans le milieu vers l'infini et en redimensionnant les échelles, on obtient à la limite une équation de Vlasov, on montre que si l'on modifie en plus une fonction paramètrisant le système, on obtient l'équation de Vlasov-Poisson attractive. Dans un deuxième chapitre, on ajoute un terme de diffusion à l'équation. Cela correspond à prendre en compte une agitation brownienne et un frottement linéaire sur les particules. Le principal résultat de ce chapitre est la convergence de la distribution de particules vers une unique distribution stationnaire. On montre la limite de diffusion pour ce nouveau système en faisant tendre simultanément la vitesse de propagation vers l'infini. On obtient une équation plus simple pour la densité spatiale. Dans le chapitre 3, nous montrons la validité des équations déjà étudiées par une limite de champ moyen. Dans le dernier chapitre, on étudie l'asymptotique en temps long de l'équation décrivant l'évolution de la densité spatiale obtenue dans le chapitre 2, des résultats faibles de convergence sont obtenus / The goal of this PhD is to study a generalisation of a model describing the interaction between a single particle and its environment. We consider an infinite number of particles represented by their distribution function. The environment is modelled by a vibrating scalar field which exchanges energy with the particles. In the single particle case, after a large time, the particle behaves as if it were subjected to a linear friction force driven by the environment. The equations that we obtain for a large number of particles are close to the Vlasov equation. In the first chapter, we prove that our new system has a unique solution. We then care about some asymptotic issues; if the wave velocity in the medium goes to infinity, adapting the scaling of the interaction, we connect our system with the Vlasov equation. Changing also continuously a function that parametrizes the model, we also connect our model with the attractive Vlasov-Poisson equation. In the second chapter, we add a diffusive term in our equation. It means that we consider that the particles are subjected to a friction force and a Brownian motion. Our main result states that the distribution function converges to the unique equilibrium distribution of the system. We also establish the diffusive limit making the wave velocity go to infinity at the same time. We find a simpler equation satisfied by the spatial density. In chapter 3, we prove the validity of both equations studied in the two first chapters by a mean field limit. The last chapter is devoted to studying the large time asymptotic properties of the equation that we obtained on the spatial density in chapter 2. We prove some weak convergence results

Ce travail de doctorat s'inscrit dans le cadre des techniques adaptées à la résolution du problème à N corps nucléaire. Il a été motivé par la perspective d'utiliser des méthodes allant au-delà de l'approximation de champ moyen pour améliorer la description des spectres d'excitation des noyaux stables et exotiques, notamment les états de basse énergie et les résonances géantes. À cette fin, l'approche choisie est le développement de modèles basés sur la second random-phase approximation (SRPA) utilisée avec une procédure de soustraction. Ces développements ont pour but d'étendre le champ d'applicabilité du modèle initial et d'inclure des corrélations dans l'état fondamental.Une première partie consiste en l'application de la SRPA avec une méthode de soustraction à l'étude de la réponse dipolaire (comprenant la polarisabilité électrique dipolaire) et quadrupolaire de noyaux de masse moyenne à lourds. Nous vérifions que la SRPA avec soustraction corrige les problèmes observés avec la SRPA standard et améliore la description des spectres d'excitation, comparativement à la random-phase approximation (RPA). Nous étudions également les effets au-delà du champ moyen dûs à la SSRPA avec soustraction, en exploitant la relation entre les modes de respiration axiaux des noyaux et la masse effective de la matière nucléaire.Une seconde partie est dédiée à des extensions.Premièrement, nous étendons les outils numérique initiaux en utilisant l'approximation equal-filling (EFA) afin de permettre les applications aux noyaux ayant une orbitale partiellement occupée. Nous proposons ensuite une méthode d'estimation partielle des effets d'appariement en utilisant des nombres d'occupation corrélés.Une étude des moyens de renormaliser la SRPA avec soustraction est menée en employant un modèle allant au-delà de l'approximation de quasiboson. Cette extension est également basée sur l'utilisation de nombres d'occupation comme moyen d'inclure des corrélations dans l'état fondamental. Nous montrons que les corrélations obtenues par le calcul itératif en RPA des nombres d'occupation ne sont pas suffisantes pour corriger les problèmes de la SRPA standard. / This Ph.D. work falls within the scope of theoretical techniques tailored to the solution of the nuclear many-body problem. It was motivated by the perspective of using beyond-mean-field methods to improve the description of excitation spectra of stable and exotic nuclei, especially the low-energy states and the giant resonances. The chosen path in this direction is the development of models based on the second random-phase approximation (SRPA) used with a subtraction procedure. These developments aim to extend the range of applicability of the initial model and to include correlations in the ground state.A first part consists in applying the SRPA used with a subtraction method to the study of the dipole and quadrupole response in medium to heavy-mass nuclei, including the electric dipole polarizability. We verify that the subtracted SRPA corrects the problems observed with the standard SRPA model and improves the description of excitation spectra compared to the random-phase approximation (RPA). We also study beyond-mean-field effects that arise in the subtracted SRPA by exploiting the relation between the axial breathing modes in nuclei and the effective mass in nuclear matter.A second part is dedicated to extensions.As a first step, we extend the initial numerical tools by employing the equal-filling approximation (EFA), to enable the applications to nuclei with partially-occupied orbitals. We next propose a method to estimate part of the pairing effects using correlated occupation numbers.A study of possible ways to renormalize the subtracted SRPA is carried out by employing a model which goes beyond the quasiboson approximation. This extension also relies on the use of occupation numbers as a means to include ground state correlations. We show that correlations obtained from the computation of occupation numbers in iterative RPA calculations are not sufficient to address the standard SRPA drawbacks.