A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante. / The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.

Nesta tese é analisada a dinâmica de uma partícula relativística se movendo sob a influência de um campo magnético uniforme e uma onda eletrostática e estacionária dada na forma de pulsos periódicos. O mapa que descreve a evolução temporal do sistema é explícito e pode ser considerado como uma versão relativística e magnetizada do mapa padrão clássico. A posição aproximada dos pontos periódicos é calculada analiticamente e com essa informação é possível estudar as ressonâncias primárias. Para o sistema em estudo, observa-se que a maior parte das ressonâncias possui mais de uma cadeia de ilhas. Isso ocorre pois o sistema apresenta um número infinito de termos ressonantes com o mesmo número de rotação e que podem gerar ilhas na mesma posição do espaço de fases. Verifica-se que essa superposição de termos ressonantes faz com que o número de cadeias varie em função dos parâmetros da onda. Para valores de período ou número de onda suficientemente elevados, todas as ressonâncias primárias apresentam duas ou mais cadeias de ilhas no espaço de fases. As ilhas de ressonância primária são utilizadas nesta tese para acelerar partículas de forma regular. Em particular, considera-se a ressonância principal do sistema, para a qual a energia inicial da partícula pode estar muito próxima de sua energia de repouso se os parâmetros da onda forem adequados. Além disso, aplica-se um método de controle do caos para Hamiltonianas quase integráveis que consiste na adição de um termo de controle simples e com baixa amplitude ao sistema. Esse termo de controle cria toros invariantes em todo o espaço de fases que confinam as trajetórias caóticas em pequenas regiões, tornando a dinâmica controlada mais regular. Verifica-se numericamente que o termo de controle reduz drasticamente as regiões caóticas. Além disso, observa-se que o controle do caos e a consequente recuperação de trajetórias periódicas e quase periódicas no espaço de fases podem ser utilizados para melhorar o processo de aceleração regular de partículas. / In this thesis, we analyze the dynamics of a relativistic particle moving under the influence of a uniform magnetic field and a stationary electrostatic wave given as a series of periodic pulses. The map that describes the time evolution of the system is explicit, and it can be considered as a magnetized relativistic version of the classical standard map. We calculate analytically the approximate position of the periodic points and we use this information to study the primary resonances. For the system under study, we observe that most of its resonances exhibit more than one island chain. It occurs because the system presents an infinite number of resonant terms with the same winding number that may generate islands in the same position of phase space. We verify that this superposition of resonant terms makes the number of chains vary as a function of the parameters of the wave. For sufficiently large values of the wave period or wave number, all the primary resonances present two or more island chains in phase space. We use the islands of primary resonances in this thesis to regularly accelerate particles. In particular, we consider the main resonance of the system, for which the initial energy of the particle can be very close to its rest energy if the parameters of the wave are adequate. Furthermore, we apply a method of control of chaos for near-integrable Hamiltonians that consists in the addition of a simple control term with low amplitude to the system. This control term creates invariant tori in the whole phase space that confine the chaotic trajectories to small regions, making the controlled dynamics more regular. We verify numerically that the control term drastically reduces the chaotic regions. Moreover, we observe that the control of chaos and the consequent recovery of periodic and quasiperiodic trajectories in phase space can be used to improve the process of regular particle acceleration.

O Texas Helimak é uma máquina toroidal de confinamento de plasma cujas linhas de campo magnético têm forma helicoidal e no qual parâmetros do plasma (como a densidade e a temperatura) são similares aos da borda e da região externa (scrape-off-layer) de um tokamak. Nesta tese foram analisados o equilíbrio e as flutuações do plasma no Texas Helimak. São apresentadas a análise e a interpretação do controle da turbulência eletrostática e do transporte turbulento de partículas pelo potencial elétrico, bias, aplicado externamente. As alterações na turbulência e no transporte causadas pela mudança do potencial elétrico externo foram investigadas em uma região do plasma com gradientes radiais uniformes. As flutuações em descargas com bias positivo ou nulo apresentam espectros de potência de banda larga e uma PDF com uma cauda acentuada que revela a ocorrência intermitente de eventos extremos. Por outro lado, as flutuações em descargas com bias negativo possuem um espectro de potência mais estreito, uma PDF mais Gaussiana e um diagrama de recorrência com mais estruturas. Um modelo de quatro ondas acopladas foi utilizado para relacionar a largura de banda da turbulência com o tempo de interação entre as ondas do modelo. Perfis radiais do transporte turbulento de partículas na direção radial foram calculados, como função do bias, e comparados com os perfis da velocidade do fluxo de plasma e seu cisalhamento. Foi mostrado que o transporte depende do perfil radial da velocidade de fluxo do plasma. Nas descargas em que essa velocidade apresenta um ponto de máximo em seu perfil radial, o perfil do transporte possui um mínimo que foi interpretado, utilizando um modelo Hamiltoniano de ondas de deriva, como sendo resultado de uma barreira de transporte onde o cisalhamento do fluxo é nulo. Em outras descargas, máximos no perfil radial do transporte foram relacionados a ressonâncias que ocorrem onde a velocidade de fase da onda é igual à velocidade do plasma. / The Texas Helimak is a toroidal confinement of plasma device with helically magnetic field lines and which plasma parameters (like the density and temperature) are similar to the edge and the scrape-off-layer of a tokamak. This thesis analyzed the equilibrium and fluctuations in the Helimak Texas plasma. We present the analysis and interpretation of electrostatic control of turbulence and turbulent particle transport by electrical potential, bias, applied externally. Changes in transport and turbulence caused by the change of external electric potential were investigated in a region of uniform radial gradients plasma. Fluctuations in discharges with positive or zero bias have broadband power spectra and a PDF with an accentuated tail that reveals the intermittent occurrence of extreme events. Moreover, fluctuations in discharges with negative bias have narrow power spectra, a more Gaussian PDF and more structures in the recurrence diagram. A four coupled wave model was used to relate the bandwidth of turbulence with the interaction time between the waves in the model. Radial profiles of turbulent transport of particles in the radial direction were calculated as a function of bias and compared to the profiles of the plasma flow velocity and its shear. It was shown that the transport depends on the radial profile of the plasma flow velocity. In that discharges where the velocity radial profile presents a point of maximum, the transport profile has a minimum which was interpreted, using a drift wave model Hamiltonian, as a result of a shearless flow transport barrier. In other discharges, the maxima in the transport radial profiles were related with resonances that occur where the wave phase velocity is equal to the plasma velocity.

Este trabalho se propôs a analisar O Diabo Mesquinho (1892-1902), romance-chave de Fiódor Sologub (1863-1927), um dos expoentes do simbolismo russo. Além da importância incontestável da obra para a literatura russa e mundial, foi estímulo para a pesquisa a possibilidade de delinear o primeiro estudo acadêmico sobre o autor no Brasil. A análise seguiu duas direções, que continuamente se encontraram: a evidente tessitura paródica, e a presença de arquétipos míticos universais perpassados por elementos do folclore russo. Quanto ao uso da paródia, tendo como base teórica autores como Iuri Tyniánov e Mikhail Bakhtin, foram feitas aproximações de O Diabo Mesquinho com textos de Aleksándr Púchkin, Nikolai Gógol e Fiódor Dostoiévski, cujas marcas deflagradas são essenciais para o entendimento da estrutura da obra, assim como o narrador que, subvertendo a estética realista, organiza esses discursos. Com relação à incorporação de arquétipos literários, a qual ressalta a dimensão paródica e a contextura neomitológica, tal como conceituada por Zara Mints, foi desenvolvida uma análise do desdobramento do anti-herói Ardalión Peredonov, um trickster diabólico, no herói cultural mítico. Esse aprofundamento, embasado sobretudo em Eliazar Meletínski, desvelou a articulação que a narrativa faz entre as dualidades míticas mais estáveis (caos versus cosmos, próprio versus alheio), as construções de herói e de anti-herói, e os traços folclóricos e do demonismo popular. A convivência desses componentes conduz o enredo ao caos mítico junto da loucura progressiva de Peredonov. A breve contextualização do simbolismo russo, movimento que, apoiado na própria cultura e história, inaugurou novos rumos na arte e na filosofia russas, foi também fundamental para trabalhar com O Diabo Mesquinho, pois o romance consagra seus grandes mestres, sublinha seu contexto gerador e rompe paradigmas. / The research aims at analysing The Petty Demon (1892-1902), a key novel by Fiódor Sologub (1863-1927) who is one of the best known writers of the Russian symbolism. The importance of this novel is well established for Russian and world literature, and this research thesis was the first academic study on the author in Brazil. The analysis followed two main directions, which appear in intersection: first, the evident parodist structure of the text and second, the presence of universal mythic archetypes juxtaposed by elements of the Russian folklore, which inhabit the narration. Regarding the use of parody, drawing on Iuri Tyniánov and Mikhail Bakhtin, the analysis establish dialogues between The Petty Demon and texts by Aleksándr Púchkin, Nikolai Gógol and Fiódor Dostoiévski. These parodist dialogues are seen here as essential for the understanding of the structure of the text, as well as the narrator who organises these discourses subverting the realistic aesthetics. In relation to the incorporation of literary archetypes in the novel, highlighting the parodist dimension and the neomythologic structure, as conceptualised by Zara Mints, an analysis was developed on the history of the anti-hero Ardalión Peredonov, a diabolic trickster, as a cultural mythic hero. This in-depth analysis drawing on Eliazar Meletínski, unravelled the articulation between well established mythic dualities (chaos versus cosmos); the construction of the hero and anti-hero; and the folkloric characteristics and popular demonism. The relation between these components guides the story to the mythic chaos alongside the gradual madness of Peredonov. The brief contextualisation put forward in this research thesis of the Russian symbolism - a movement that based on its own culture and history launched new paths for Russian arts and philosophy - was fundamental to the analysis of The Petty Demon, as the novel established great masters in literature, highlighted its symbolist context and broke paradigms.

Neste trabalho demonstramos que padrões e aleatoriedade estão intimamente relacionados, ao contrário do que intuitivamente é considerado como campos opostos. Esta abordagem visa dois propósitos: por um lado, obter vantagens das propriedades caóticas para medir pseudo-aleatoriedade, e por outro lado, extrair padrões de diagramas espaço-tempo como método de reconhecimento de padrões. Este trabalho centrou-se em dois métodos relacionados com sistemas complexos, como sistemas dinâmicos de tempo discreto, redes complexas, autômatos celulares (AC) e suas combinações. O primeiro método foi explorar as propriedades das profundezas do caos como fonte de pseudo-aleatoriedade a partir de sistemas dinâmicos caóticos, como o mapa logístico e o mapa da tenda. Observamos que os padrões desaparecem e a pseudo-aleatoriedade é aumentada pela remoção de k dígitos à direita da vírgula dos pontos de uma órbita original de um mapa caótico. Portanto, foi encontrada uma fonte caótica interessante para obter geradores de números de pseudo-aleatórios (PRNGs) parametrizada por k. Um segundo método foi proposto com base na incorporação de autômatos celulares na topologia de rede, também chamada de rede-autômato, visando caracterizar as redes a partir da dinâmica espaço-temporal intrínseca dessas redes. Quatro problemas de grande demanda foram explorados, tais como (i) identificar redes sociais online; (ii) identificar organismos de diferentes domínios da vida através de suas redes metabólicas; (iii) classificar padrões de distribuição de estômatos variando de acordo com diferentes condições ambientais; e (iv) o problema de identificação de autoria. Finalmente, essa mesma abordagem foi utilizada para analisar as sequências de números pseudo-aleatórios gerados pelo padrão ouro do k-mapa logístico no contexto do reconhecimento de padrões. A abordagem proposta permitiu explorar padrões e pseudoaleatoriedade extraídos de uma miríade de sistemas com resultados bem-sucedidos em termos de acerto e boa pseudo-aleatoriedade. Além disso, este trabalho trouxe consigo progressos significativos em aplicações de reconhecimento de padrões do mundo real de um amplo ramo de campos como criptografia, criptoanálise, biologia e ciência dos dados. / In this work, we demonstrate that patterns and randomness are close related, contrary to what intuitively is considered as opposite fields. We aimed for a pattern recognition approach that aims for two purposes: (i) to take advantages from the chaotic properties as a source of pseudo-randomness in order to measure pseudo-randomness and (ii) to extract patterns from spatio-temporal diagrams obtained from complex systems models as a pattern recognition method. This work has focused on different complex systems such as discrete dynamical systems, complex networks, cellular automata (CA), and their combinations. The first method was to explore the chaotic properties in a deep-zoom manner as a source of pseudo-randomness from chaotic dynamical systems such as the logistic map and the tent map. We observed that the patterns vanish and therefore pseudo-randomness is increased by removing k right digits from the original orbit sequences. Therefore, we found an interesting chaotic source to obtain pseudo-randomness number generators (PRNGs). A second method was proposed based on the embedding of cellular automata (CA) over a network topology, also called network automata, aiming to characterize networks from the intrinsic spatio-temporal dynamics of these networks. Various on-demand problems were explored such as (i) identifying online social networks; (ii) identifying organisms from distinct domains of life through their metabolic networks; (iii) classifying stomata distribution patterns varying according to different environmental conditions; and (iv) the authorship identification problem. Finally, this same approach was used to analyze the sequences of pseudo-random numbers generated by the gold standard k-logistic map in the context of pattern recognition. So far, the proposed pattern recognition approach based on non-linear systems allowed us to explored patterns and pseudo-randomness extracted from a myriad of systems with successful results in terms of accuracy and good pseudorandomness. The proposed method has made significant progress in real-world pattern recognition applications from a wide branch of fields such as Cryptography, Cryptanalysis, Biology and Data Science.

Este trabalho teve por objetivo construir e avaliar ferramentas de quantificação e análise da variabilidade da freqüência cardíaca segundo o paradigma não extensivo de Tsallis na modelagem do sistema de regulação da freqüência cardíaca, e na discriminação de situação de normalidade e cardiopatias e apoio ao diagnóstico de cardiopatias. O sistema de regulação da freqüência cardíaca é reconhecidamente não linear. Este estudo explora esta característica, quantificando a complexidade através de uma família de entropias condicionais não extensivas e outras medidas de avaliação usualmente utilizadas na análise da variabilidade cardíaca. Foram utilizados dados reais de 15 indivíduos saudáveis, 23 indivíduos chagásicos e 19 indivíduos hipertensos, além de dados simulados computacionalmente para uma avaliação controlada das ferramentas estatísticas estudadas. Durante a avaliação foram gerados dados substitutos (surrogate data) para os testes de validade e intensidade da hipótese de não linearidade das séries. Os resultados mostraram que o parâmetro q introduz uma forma diferente de quantificação da complexidade do sinal. Com o auxílio dos dados substitutos, foi possível identificar, para alguns sinais, a região de valores de q onde o comportamento não linear é mais evidente. Os resultados obtidos indicam que a abordagem merece estudos mais aprofundados. / This study aimed to construct and evaluate tools for quantification and analysis of heart rate variability under Tsallis non-extensive statistical paradigm to model heart rate regulation system, and discrimination in situations of healthy conditions and support diagnosis of heart diseases. The heart rate regulation system is known to be nonlinear. This study explores this feature by quantifying the signal complexity through a family of non extensive conditional entropy and other evaluation measures commonly used in the analysis of heart rate variability. We used real data from 15 healthy subjects, 23 individuals with Chagas disease and 19 hypertensive individuals, in addition to simulated data to make a computationally controlled evaluation of the statistical tools studied. During the evaluation were generated surrogate data for tests of validity and strength of the time series non-linearity hypothesis. The results have shown that the q parameter introduces a different way of quantifying the complexity of the signal. With the support of surrogate data, it was possible to identify a range of q values that nonlinear behavior is more evident for some signals. The results indicate that the approach deserves further study.

Inicialmente, apresentam-se características de dispositivos eletrônicos conhecidos como PLLs (phase-locked loops). PLLs são amplamente empregados para se extrair sinais de tempo em canais de comunicação e em aplicações nas quais se deseja controle automático de freqüência. O objeto principal é estudar PLLs analógicos descritos por uma equação diferencial ordinária de terceira ordem. Assim, deduzem-se condições de estabilidade assintótica e identifica-se um regime de caos conservativo, que ocorre sob certas combinações de valores de parâmetros. Três métodos de controle não-linear/caótico são então apresentados e aplicados. Os métodos são os seguintes: o Método de Pyragas via realimentação de variável de estado; o Método de Pyragas com atraso temporal na realimentação; e o Método de Sinha, o qual efetua o controle perturbando um parâmetro do sistema. Simulações numéricas são levadas a cabo a fim de ilustrar o comportamento dinâmico do sistema quando sujeito à ação desses métodos. Este trabalho termina com um estudo de uma rede formada por uma cadeia de PLLs. Condições para soluções síncronas, periódicas e caóticas (dissipativas e conservativas) são deduzidas para tal rede. / Firstly, features of electronic devices known as PLLs (Phase-Locked Loops) are presented. PLLs are widely employed to extract time signals in communication channels and in applications where automatic control of frequency is desired. The main goal is to study analog PLLs described by a third-order nonlinear ordinary differential equation. Thus, conditions for asymptotic stability are derived and a regime of conservative chaos occurring under certain combinations of parameter values is identified. Then, three methods of control of nonlinear/ chaotic dynamics are presented and applied. The methods are the following: the Pyragas method via feedback of state variable; the Pyragas method with time delay in the feedback; and the Sinhas method, which performs the control by disturbing a parameter of the system. Numerical simulations are accomplished in order to illustrate the dynamical behavior of the system when subjected to the action of these methods. This work ends with a study of a single-chain PLL network. Conditions for synchronous, periodic and chaotic (dissipative and conservative) solutions are derived for such a network.

Nesta tese, uma família de memórias associativas bidirecionais caóticas (família C-BAM) é proposta, implementada e testada com o objetivo de estender a relevância da presença e do estudo do fenômeno caótico a modelos de redes associativas. Na modelagem da família C-BAM, todos os neurônios da memória associativa bidirecional caótica (BAM), BAM com atraso e BAM exponencial (eBAM) foram substituídos por neurônios caóticos. Cada parâmetro do neurônio caótico na família C-BAM tem sua influência estimada através do planejamento de experimentos, em diferentes dinâmicas. Com base no planejamento de experimentos, valores de parâmetros são selecionados a fim de ilustrar a emergência de comportamentos dinâmicos como bifurcação, caos determinístico e crise. A existência de dinâmicas caóticas é confirmada pelo cálculo dos expoentes de Lyapunov. Experimentos empíricos mostraram que a dinâmica caótica modifica a acessibilidade à memória da família C-BAM. Ao invés de recuperar um único par, como a família BAM fazia, a versão caótica é capaz de gerar uma grande diversidade de padrões recuperados, envolvendo complexas transições entre os padrões armazenados, para algumas variações paramétricas. Tal comportamento permite à família C-BAM acessar padrões inacessíveis às redes BAMs originais. Além disso, a nova acessibilidade à memória, na qual seqüências de recuperação (com diferentes tamanhos) compostas de padrões treinados e não treinados têm emergido, pode ser usada para modelar a habilidade de um indivíduo saltar passos na solução de uma tarefa. Esta tese seleciona a rede C-BAM para ilustrar que a seqüência de recuperação da rede pode modelar a habilidade de um noviço ou a habilidade de um especialista executar uma tarefa. Embora a família C-BAM possa alcançar todos os padrões armazenados durante o comportamento caótico, ela não consegue convergir para um padrão específico. Duas estratégias de controle são propostas para permitir que as redes caóticas convirjam para a memória desejada: o método de controle por pinagem e um método de controle adaptativo. Conseqüentemente, os modelos C-BAM podem, de fato, realizar a hetero-associação de memórias antes inacessíveis, e a rede C-BAM pode estabilizar-se no estado final de uma tarefa, dado o primeiro estado / In this thesis, a family of bidirectional associative memories (C-BAM family) is proposed, implemented and tested to extend the study of chaotic phenomenon in associative models. In the C-BAM model, all the original neurons of bidirectional associative memory (BAM), BAM with delay and exponenetial BAM (eBAM) were substituted for chaotic neurons. Based on the experimental design, values of C-BAM family parameters are set to illustrate the emergence of a diversity of dynamic behavior, such as bifurcation, deterministic chaos and crisis. The existence of the chaotic dynamics is confirmed by calculation of Lyapunov exponents. Empiric experiments showed that the chaotic dynamics modifies the behavior of memory accessibility. Instead of recalling a single pair, as BAM did, its chaotic version yielded a wide diversity of recalled patterns, involving complex transitions via memorized patterns for some parametric variations. Hence, C-BAM family can access patterns that original BAM family cannot. Moreover, the new way of memory accessibility, in which several recall sequences (with distinct sizes) composed of trained and nontrained patterns have emerged, can be used to model the ability of skipping steps by an individual in a task solution. This thesis selected C-BAM network to illustrate that the retrieval sequence can model the ability of a novice or the ability of an expert to execute a task. There are also illustrated cases in which a novice recall can be transformed into an expert recall through parametric variation. Although C-BAM family can reach all stored patterns during the chaotic behavior, it can not converge towards a specific pattern, consequently a desired output is not produced. In this thesis, two control strategies are proposed in order to make the chaotic networks to converge towards the desired memory: the pinning control method and the adaptive control method. Consequently, the C-BAM models can effectively realize the correct heteroassociation to former non-accessible memories and the C-BAM network can quickly be stabilized in the final state of a task, given the first state

Este trabalho apresenta a modelagem de um problema representado por um pêndulo elástico com excitação paramétrica vertical do suporte e a análise de estabilidade do sistema pendular que se obtém desconsiderando a elasticidade do pêndulo. A modelagem dos pêndulos e a obtenção das equações do movimento são feitas a partir da equação de Lagrange, utilizando as leis de Newton e para a análise de estabilidade do sistema pendular são apresentados os diagramas de bifurcações, multiplicadores de Floquet, mapas e seções de Poincaré e expoentes de Lyapunov. O comportamento do sistema pendular com excitação paramétrica vertical do suporte é investigado através de simulação computacional e apresentam-se resultados para diferentes faixas de valores da amplitude de excitação externa. / This work presents the modeling of an elastic pendulum with parametric excitation of the support and the analysis of the stability of the pendulum that one obtains disregarding the elasticity of the pendulum. The modeling of the pendulum and the equation of motions are obtained from the Lagrange\'s equations, using Newton\'s law. The concepts of bifurcation, Floquet\'s multipliers, Poincaré maps and sections and Lyapunov exponent are presented for the analysis of stability. The behavior of the pendulum with parametric excitation of the suport is investigated through computational simulation and results for different intervals of values of the external excitation amplitude are presented.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / Neste trabalho investigamos algumas aplicaÃÃes do formalismo de escala em mapeamentos discretos. Exploramos os decaimentos assintÃticos ao estado estacionÃrio com foco em trÃs tipos de bifurcaÃÃes em mapeamentos unidimensionais: bifurcaÃÃo transcrÃtica, bifurcaÃÃo supercrÃtica de forquilha e bifurcaÃÃo de duplicaÃÃo de perÃodo. Caracterizamos este comportamento atravÃs de uma funÃÃo homogÃnea generalizada com expoentes crÃticos bem definidos. PrÃximo ao ponto de bifurcaÃÃo o decaimento ao ponto fixo ocorre atravÃs de uma funÃÃo exponencial cujo o tempo de relaxaÃÃo à caracterizado por uma lei de potÃncia que independe da nÃo linearidade do mapa. Os resultados obtidos numericamente harmonizam com os resultados analÃticos. Aplicamos tambÃm o formalismo de escala em mapeamentos bidimensionais conservativos e dissipativos. No caso conservativo, nosso objetivo foi analisar o comportamento de Ãrbitas caÃticas prÃximas à transiÃÃo de fase de integrÃvel para nÃo integrÃvel. PrÃximo à esta transiÃÃo, descrevemos o sistema dinÃmico utilizando uma funÃÃo homogÃnea generalizada para a qual encontramos um lei de escala que descreve o comportamento da aÃÃo quadrÃtica mÃdia prÃximo à transiÃÃo. AtravÃs de uma discussÃo fenomenolÃgica, encontramos expoentes crÃticos que corroboram com a descriÃÃo analÃtica. No caso dissipativo, nosso principal objetivo foi investigar a influÃncia na dinÃmica ao ser introduzido um termo dissipativo, causando a supressÃo da difusÃo ilimitada da variÃvel aÃÃo quadrÃtica mÃdia. Seguimos uma descriÃÃo fenomenolÃgica acompanhada de uma descriÃÃo analÃtica e assim, determinamos os expoentes crÃticos usando uma funÃÃo homogÃnea generalizada. / In this work we are going to investigate the scale formalism in discret mappings. In 1D mappings, we explore the asymptotic decays to the steady state with focus in three types of bifurcation: transcriptical, pitchfork and period-doubling. We identify this behavior through a well defined generalized homogeneous function with critical exponents. Next to the bifurcation point, the decay to the fix point occurs by an exponential function, which is given by a power law that is independent of the non-linearity mapping. The numerical results obtained agree with the analytical results. We also apply the scale formalism in conservatives and dissipatives bidimensional mappings. In the conservative case, our goal was analyze the behavior of the chaotics orbits next to the phase transition from the integrable to the non-integrable. Next to that transition, we describe the dynamical system using a generalized homogeneous function for which we found a power law that describe the behavior of the criticality. Through a phenomenological discussion, we found critical exponents in agree with the analytical description. In the dissipative case, our main goal was to investigate the influence of a dissipative term in the dynamics, causing a phase transition - suppression of unlimited difusion of the action variable. Following a phenomenological approach with an analytical description, we were able to determine the critical exponents using a generalized homogeneous function.