Cette thèse est consacrée à l'étude du modèle de Potts p-adique à q états sur les arbres de Cayley. Plus précisément, nous étudions les mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley d’ordres 3 et 4 et leurs systèmes dynamiques p-adiques associés.Dans la première partie, nous décrivons les mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations pour le modèle de Potts sur l’arbre de Cayley d'ordre 4. L’existence de mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations est équivalente à l’existence de points fixes d’une fonction rationnelle appelée fonction de Potts--Bethe. Cette fonction de Potts--Bethe est obtenue à partir de l'équation récurrente d'une fonction à valeur dans Q_p^q rencontrée lors de la construction des mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley. Afin de décrire ces mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations, nous trouvons les solutions d'une équation quartique dans certains domaines E_p de Q_p. En général, nous trouvons aussi des conditions de solvabilité pour les équations quartiques dépressées sur Q_p.Dans la deuxième partie, nous étudions la dynamique des fonctions de Potts--Bethe dans le cas d’arbres de Cayley d'ordres 3 et 4. Premièrement, nous décrivons la fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction. Pour une fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction, la droite projective P^1(Q_p) peut être décomposée en composants minimaux et leur bassins attractifs. Cependant, les fonctions de Potts--Bethe associées au modèle de Potts sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une mauvaise réduction : pour de nombreux nombres premiers p, ces fonctions correspondantes sont en effet chaotiques. En fait, pour ces nombres premiers p, nous prouvons que, restreintes à leurs ensembles de Julia, les fonctions de Potts--Bethe sont topologiquement conjuguées à une dynamique de décalage. Pour des autres nombres premiers p, l'ensemble de Julia correspondant peut être vide. La propriété chaotique de la fonction de Potts-Bethe implique l'immensité de l'ensemble des mesures de Gibbs p-adiques et une transition de phase. Comme application, nous obtenons que pour de nombreux nombres premiers p, les modèles de Potts p-adiques sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une transition de phase. Nous remarquons également que l'affirmation que la transition de phase implique le chaos n'est pas vraie. / This thesis is devoted to the study of the q-state p-adic Potts model on Cayley trees. Specifically, we investigate the p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 and their related p-adic dynamical systems.In the first part, we describe the existence of the translation-invariant p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley tree of order 4. The existence of translation-invariant p-adic Gibbs measures is equivalent to the existence of fixed points of a rational map called Potts–Bethe mapping. The Potts–Bethe mapping is derived from the recurrent equation of a Q_p^q-valued function in the construction of the p-adic Gibbs measures of the Potts model on Cayley trees. In order to describe the existence of these translation-invariant p-adic Gibbs measures, we find the solutions of some quartic equation in some domains E_p of Q_p. In general, we also provide some solvability conditions for the depressed quartic equation on Q_p.In the second part, we study the dynamics of the Potts–Bethe mapping of degrees 3 and 4. First, we describe the Potts–Bethe mapping having good reduction. For a Potts– Bethe mapping with good reduction, the projective line P^1(Qp) can be decomposed into minimal components and their attracting basins. However, the Potts–Bethe mapping associated to the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 have bad reduction. For many prime numbers p, such Potts–Bethe mappings are chaotic. In fact, for these primes p, we prove that restricted to their Julia sets, the Potts–Bethe mappings are topologically conjugate to the full shift dynamics. For other primes p, the corresponding Julia set might be empty. The chaotic property of the Potts-Bethe mapping implies the vastness of the set of the p-adic Gibbs measures, and hence implies the phase transition. As application, for many prime numbers p, the Potts models over Q_p on the Cayley trees of orders 3 and 4 have phase transition. We also remark the statement that phase transition implies chaos is not true.

Dans la premier partie de cette thèse, nous étudions la structure des sous-groupes approximatifs dans les groupes metabéliens (groupes résolubles de classe de résolubilité 2) et montrons que si A est un tel sous-groupe K approximatif, il est K^⁰(r) contrôlée (au sens du Tao) par un groupe nilpotent où $ r désigne le rang de $ G=Fit (G) et Fit (G) $ est le sous-groupe de fitting de G. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la croissance des ensembles dans GLn(Fq) où Fq est un corps fini. Nous montrons une borne sur le diamètre (par rapport à n'importe quel système des générateurs) pour tous sous-groupes simples finis de ce groupe. Si G est un groupe fini simple de type Lie de rang n, et son corps de base est de taille borné, le diamètre du graphe du Cayley Gamma (G;S) serait borné par exp (O (n (log n) ^ 3)) . Si la taille du corps fini Fq n'est pas borné, notre méthode donne une borne de q ^ {O (n ( log nq) ^ 3) pour le diamètre.Dans la troisième partie nous nous sommes intéressés à la croissance des ensembles dans les boucles de Moufang commutatifs. Ceux-ci sont les boucles commutatifs respectant les identités de Moufang mais sans être (nécessairement) associatifs. Nous montrons que, si les tailles des ensembles des associateurs sont bornées alors la croissance des sous-structures approximatifs dans ces boucles est similaire à celle des groupes ordinaires. De cette façon dans le cadre des boucles de moufang commutatifs finiment engendré on a un théorème de structure pour ses sous-boucles approximatifs.Mots-clefs -sous-groupes approximatifs, groupes résolubles, diamètres des groupes, boucles de moufang commutatifs. / In the first part of this thesis, we study the structure of approximate subgroups inside metabelian groups (solvable groups of derived length 2) and show that if A is such a K-approximate subgroup, then it is K^(O(r)) controlled (in the sense of Tao) by a nilpotent group where r denotes the rank of G=Fit(G) and Fit(G) is the fitting subgroup of G.The second part is devoted to the study of growth of sets inside GLn(Fq) , where we show a bound on the diameter (with respect to any set of generators) for all finite simple subgroups of this group. What we have is - if G is a finite simple group of Lie type with rank n, and its base field has bounded size, then the diameter of the Cayley graph C(G; S) would be bounded by exp(O(n(logn)^3)). If the size of the base field Fq is not bounded then our method gives a bound of q^(O(n(log nq)3)) for the diameter.In the third part we are interested in the growth of sets inside commutative Moufang loops which are commutative loops respecting the moufang identities but without (necessarily)being associative. For them we show that if the sizes of the associator sets are bounded then the growth of approximate substructures inside these loops is similar to those in ordinary groups. In this way for the subclass of finitely generated commutative moufang loops we have a classification theorem of its approximate subloops.

In this thesis we study Spin(7)-manifolds, that is Riemannian 8-manifolds with torsion-free Spin(7)-structures, and Cayley submanifolds of such manifolds. We use a construction of compact Spin(7)-manifolds from Calabi–Yau 4-orbifolds with antiholomorphic involutions, due to Joyce, to find new examples of compact Spin(7)-manifolds. We search the class of well-formed quasismooth hypersurfaces in weighted projective spaces for suitable Calabi–Yau 4-orbifolds. We consider antiholomorphic involutions induced by the restriction of an involution of the ambient weighted projective space and we classify anti-holomorphic involutions of weighted projective spaces. We consider the moduli problem for Cayley submanifolds of Spin(7)-manifolds and show that there is a fine moduli space of unobstructed Cayley submanifolds. This result improves on the work of McLean in that we consider the global issues of how to patch together the local result of McLean. We also use the work of Kriegl and Michor on ‘convenient manifolds’ to show that this moduli space carries a universal family of Cayley submanifolds. Using the analysis necessary for the study of the moduli problem of Cayleys we find examples of compact Cayley submanifolds in any compact Spin(7)-manifold arising, using Joyce’s construction, from a suitable Calabi–Yau 4-orbifold with antiholomorphic involution. For the analysis to work, we need to show that a given Cayley submanifold is unobstructed. To show that particular examples of Cayley submanifolds are unobstructed, we relate the obstructions of complex surfaces in Calabi–Yau 4-folds as complex submanifolds to the obstructions as Cayley submanifolds.

Denote by gdist(p) the least number of cells that have to be changed to get a latin square from the table of addition modulo prime p. A conjecture of Drápal, Cavenagh and Wanless states that there exists c > 0 such that gdist(p) ≤ c log(p). In this work we prove the conjecture for c ≈ 7.21, and the proof is done by constructing a dissection of an equilateral triangle of side n into O(log(n)) equilateral triangles. We also show a proof of the lower bound c log(p) ≤ gdist(p) with improved constant c ≈ 2.73. At the end of the work we present computational data which suggest that gdist(p)/ log(p) ≈ 3.56 for large values of p.

Ce mémoire est composé de deux grandes parties. Dans la première, nous simulons le fonctionnement d'automates cellulaires par différents modèles de calcul parallèle comme les PRAM, les XPRAM et les machines spatiales. Nous obtenons ainsi différentes preuves de l'universalité de ces modèles. Nous tirons quelques conséquences de ces résultats du point de vue de la calculabilité et de la complexité. Dans la seconde partie, nous considérons les automates cellulaires définis sur des graphes de Cayley finis. Nous rappelons la simulation de Róka qui permet de mimer le fonctionnement d'un tore hexagonal d'automates par un tore d'automates de dimension deux. Nous décrivons ensuite différentes manières de plonger un tore d'automates de dimension deux dans un anneau d'automates. Nous déduisons de ces résultats la simulation de tores de dimension finie par un anneau d'automates et celle d'un tore hexagonal d'automates par un anneau d'automates.

Dans le cadre des variétés hyperboliques, Thurston a conjecturé que toute variété hyperbolique de dimension trois connexe, orientable, complète et de volume fini possède un revêtement fini qui est fibré sur le cercle. En lien avec cette conjecture, le résultat principal de cette thèse donne des conditions suffisantes pour qu'un revêtement fini d'une variété hyperbolique M de dimension trois fibre sur le cercle, ou du moins contienne une fibre virtuelle. Soit F une surface close, orientable, plongée et proche d'une surface minimale, dans un revêtement fini M' de M et séparant M' en corps en anses. La condition pour qu'il existe une fibre virtuelle dans le complémentaire de F est donnée par une inégalité faisant intervenir le degré d du revêtement, le genre g de la surface, le nombre q de corps en anses et une constante k ne dépendant que du volume et du rayon d'injectivité de M. En appliquant ce théorème à un scindement de Heegaard de genre minimal du revêtement M', on obtient une version sous-logarithmique des conjectures de Lackenby sur le gradient de Heegaard et le gradient de Heegaard fort. Le théorème principal s'applique également dans le cadre d'une décomposition circulaire associée à une classe d'homologie non triviale. Nous obtenons par exemple des conditions suffisantes pour qu'une classe d'homologie non triviale de M corresponde à une fibration sur le cercle. Des méthodes analogues permettent aussi de donner une condition suffisante pour qu'une surface incompressible plongée dans M soit une fibre virtuelle. Enfin, nous donnons un critère pour que dans une tour de revêtements finis le premier nombre de Betti tende vers l'infini.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'espace de modules des G2-fibrés principaux sur une courbe complexe projective connexe lisse, où G2 désigne le groupe de Lie exceptionnel de plus petit rang. Le groupe G2 est caractérisé via trois approches différentes, la première étant celle où G2 est défini comme le groupe des automorphismes de l'algèbre complexe des octaves de Cayley. Les différentes réductions et extensions que peut admettre un G2-fibré principal sont étudiées ainsi que la relation entre la stabilité d'un G2-fibré principal et celle du fibré vectoriel qui lui est associé. L'espace de modules des G2-fibrés principaux semi-stables est analysé. Nous obtenons notamment une caractérisation de son lieu lisse, une décomposition explicite de son lieu singulier en trois composantes connexes et une analyse de l'espace de Verlinde de niveau 1 pour le groupe G2.

This thesis consists of studies in the separate fields of operator algebras and non-associative algebras. Two natural operator algebra structures, A ⊗_max B and A ⊗_min B, exist on the tensor product of two given unital operator algebras A and B. Because of the different properties enjoyed by the two tensor products in connection to dilation theory, it is of interest to know when they coincide (completely isometrically). Motivated by earlier work due to Paulsen and Power, we provide conditions relating an operator algebra B and another family {C_i}_i of operator algebras under which, for any operator algebra A, the equality A ⊗_max B = A ⊗_min B either implies, or is implied by, the equalities A ⊗_max C_i = A ⊗_min C_i for every i. These results can be applied to the setting of a discrete group G pre-ordered by a subsemigroup G⁺, where B ⊆ C*_r(G) is the subalgebra of the reduced group C*-algebra of G generated by G⁺, and C_i = A(Q_i) are digraph algebras defined by considering certain pre-ordered subsets Q_i of G. The 16-dimensional algebra A₄ of real sedenions is obtained by applying the Cayley-Dickson doubling process to the real division algebra of octonions. The classification of subalgebras of A₄ up to conjugacy (i.e. by the action of the automorphism group of A₄) was completed in a previous investigation, except for the collection of those subalgebras which are isomorphic to the quaternions. We present a classification of quaternion subalgebras up to conjugacy.

Normalment les grans xarxes d'interconnexió o de comunicacions estan dissenyades utilitzant tècniques de la teoria de grafs. Aquest treball presenta algunes contribucions a aquest tema. Concretament, presentem dues noves operacions: el "producte Jeràrquic" de grafs i el "producte Manhattan" de digrafs. El primer és una generalització del producte cartesià de grafs i ens permet construir algunes famílies amb un alt grau de jerarquia, com l'arbre binomial, que és una estructura de dades molt utilitzada en algorísmica. El segon dóna lloc a les conegudes Manhattan Street Networks, les quals han estat extensament estudiades i utilitzades per modelar algunes classes de xarxes òptiques. En el nostre treball, definim formalment i analitzem el cas multidimensional d'aquestes xarxes. Estudiem algunes propietats dels grafs o digrafs obtinguts mitjançant les dues operacions esmentades, especialment: els paràmetres estructurals (les propietats de l'operació, els subdigrafs induïts, la distribució de graus i l'estructura de digraf línia), els paràmetres mètrics (el diàmetre, el radi i la distància mitjana), la simetria (els grups d'automorfismes i els digrafs de Cayley), l'estructura de cicles (els cicles hamiltonians i la descomposició en cicles hamiltonians arc-disjunts) i les propietats espectrals (els valors i vectors propis). En el darrer cas, hem trobat, per exemple, que la família dels arbres binomials tenen tots els seus valors propis diferents, "omplint" tota la recta real. A més a més, mostrem la relació del seu conjunt de vectors propis amb els polinomis de Txebishev de segona espècie. També hem estudiat alguns protocols de comunicació, com els enrutaments locals i els algorismes de difusió. Finalment, presentem alguns models deterministes (com les xarxes Sierpinski i d'altres), els quals presenten algunes propietats pròpies de les xarxes complexes reals (com, per exemple, Internet). / Large interconnection or communication networks are usually designed and studied by using techniques from graph theory. This work presents some contributions to this subject. With this aim, two new operations are proposed: the "hierarchical product" of graphs and the "Manhattan product" of digraphs. The former can be seen as a generalization of the Cartesian product of graphs and allows us to construct some interesting families with a high degree of hierarchy, such as the well-know binomial tree, which is a data structure very used in the context of computer science. The latter yields, in particular, the known topologies of Manhattan Street Networks, which has been widely studied and used for modelling some classes of light-wave networks. In this thesis, a multidimensional approach is analyzed. Several properties of the graphs or digraphs obtained by both operations are dealt with, but special attention is paid to the study of their structural parameters (operation properties, induced subdigraphs, degree distribution and line digraph structure), metric parameters (diameter, radius and mean distance), symmetry (automorphism groups and Cayley digraphs), cycle structure (Hamilton cycles and arc-disjoint Hamiltonian decomposition) and spectral properties (eigenvalues and eigenvectors). For instance, with respect to the last issue, it is shown that some families of hypertrees have spectra with all different eigenvalues "filling up" all the real line. Moreover, we show the relationship between its eigenvector set and Chebyshev polynomials of the second kind. Also some protocols of communication, such as local routing and broadcasting algorithms, are addressed. Finally, some deterministic models (Sierpinsky networks and others) having similar properties as some real complex networks, such as the Internet, are presented.

In this thesis, we consider receiver design problems in a multi-cell MIMO system using the coordinated multi-point transmission/reception technique. The linear minimum mean square error (LMMSE) receiver, which involves the inverse operation, is adopted. By the Cayley-Hamilton theorem, the matrix inverse can be represented by weighted sum of power of matrices. Given an order of the matrix power, we calculate the best weight in sense of the minimum mean square error. Both the uplink and the downlink scenarios are considered. Also, given a target signal to interference and noise ratio (SINR), we consider the best weight design problem in the downlink scenario. This problem can be formulated as the second-order cone programming (SOCP) and semidefinite relaxation (SDR) programming. By computer simulations, we show that the SDR and SOCP are equivalent.