A coloring of a graph is an assignment of colors to its vertices so that no two adjacent vertices are given the same color. The chromatic number of a graph is the least number of colors needed to color all of its vertices. Graph coloring problems can be applied to many real world applications, such as scheduling and register allocation. Computationally, the decision problem of whether a general graph is m-colorable is NP-complete for m ≥ 3. The graph studied in this thesis is a well-known combinatorial object, the k-dimensional hypercube, Qk. The hypercube itself is 2-colorable for all k; however, coloring the square of the cube is a much more interesting problem. This is the graph in which the vertices are binary vectors of length k, and two vertices are adjacent if and only if the Hamming distance between the two vectors is at most 2. Any color class in a coloring of Q2k is a binary (k;M, 3) code. This thesis will begin with an introduction to binary codes and their structure. One of the most fundamental combinatorial problems is finding optimal binary codes, that is, binary codes with the maximum cardinality satisfying a specified length and minimum distance. Many upper and lower bounds have been produced, and we will analyze and apply several of these. This leads to many interesting results about the chromatic number of the square of the cube. The smallest k for which the chromatic number of Q2k is unknown is k = 8; however, it can be determined that this value is either 13 or 14. Computational approaches to determine the chromatic number of Q28 were performed. We were unable to determine whether 13 or 14 is the true value; however, much valuable insight was learned about the structure of this graph and the computational difficulty that lies within. Since a 13-coloring of Q28 must have between 9 and 12 color classes being (8; 20; 3) binary codes, this led to a thorough investigation of the structure of such binary codes. / Graduate Studies, College of (Okanagan) / Graduate

This study explores whether the observed effects of coloring on anxiety and stress apply to the elderly. Two coloring activities were administered to elderly participants to evaluate the effects on stress, anxiety, and working memory. The Mini Mental State Examination was used to establish cognitive level. The Perceived Stress Scale and Brief State Trait Anxiety Inventory were administered to obtain pretest and posttest scores on stress and anxiety levels. Working memory was measured using the Backward Digit Recall to test if the potential calming effects improve working memory. A near significant increase in stress scores was demonstrated in the mandala condition. Also, a significant increase was found in backward digit recall scores in the doodling condition. The mandala difficulty and allotted time may negate the anticipated calming effects. Those wanting to implement art therapy should provide the required materials, then allow participants to self-select the activity, and time to dedicate.

Dans ce travail, nous présentons trois nouveaux algorithmes pour le problème de la clique de poids maximum. Les trois algorithmes dépendent d'un ordre initial des sommets. Deux ordres sont considérés, l'un en fonction de la pondération des sommets et l'autre en fonction de la taille voisinage des sommets. Le premier algorithme, que nous avons appelé BITCLIQUE, est une algorithme de séparation et évaluation. Il réunit efficacement plusieurs idées déjà utilisées avec succès pour résoudre le problème, comme l'utilisation d'une heuristique de coloration pondérée en nombres entiers pour l'évaluation ; et l'utilisation de vecteurs de bits pour simplifier les opérations sur le graphe. L'algorithme proposé surpasse les algorithmes par séparation et évaluation de l'état de l'art sur la plupart des instances considérées en terme de nombre de sous-problèmes énumérés ainsi que en terme de temps d'exécution. La seconde version est un algorithme des poupées russes, BITRDS, qui intègre une stratégie d'évaluation et de ramification de noeuds basée sur la coloration pondérée. Les simulations montrent que BITRDS réduit à la fois le nombre de sous-problèmes traités et le temps d'exécution par rapport à l'algorithme de l'état de l'art basée sur les poupées russes sur les graphes aléatoires avec une densité supérieure à 50%. Cette différence augmente à la mesure que la densité du graphe augmente. D'ailleurs, BITRDS est compétitif avec BITCLIQUE avec une meilleure performance sur les instances de graphes aléatoires avec une densité comprise entre 50% et 80%. Enfin, nous présentons une coopération entre la méthode poupées russes et la méthode de ``Resolution Search''. L'algorithme proposé, appelé BITBR, utilise au même temps la coloration pondérée et les limites supérieures donnés par les poupées pour trouver un ``nogood''. L'algorithme hybride réduit le nombre d'appels aux heuristiques de coloration pondérée, atteignant jusqu'à 1 ordre de grandeur par rapport à BITRDS. Plusieurs simulations sont réalisées avec la algorithmes proposés et les algorithmes de l'état de l'art. Les résultats des simulations sont rapportés pour chaque algorithme en utilisant les principaux instances disponibles dans la littérature. Enfin, les orientations futures de la recherche sont discutées. / In this work, we present three new exact algorithms for the maximum weight clique problem. The three algorithms depend on an initial ordering of the vertices. Two ordering are considered, as a function of the weights of the vertices or the weights of the neighborhoods of the vertices. This leads to two versions of each algorithm. The first one, called BITCLIQUE, is a combinatorial Branch & Bound algorithm. It effectively combines adaptations of several ideas already successfully employed to solve the problem, such as the use of a weighted integer coloring heuristic for pruning and branching, and the use of bitmap for simplifying the operations on the graph. The proposed algorithm outperforms state-of-the-art Branch & Bound algorithms in most instances of the considered in terms of the number of enumerated subproblems as well in terms of computational time The second one is a Russian Dolls, called BITRDS, which incorporates the pruning and branching strategies based on weighted coloring. Computational tests show that BITRDS reduces both the number of enumerated subproblems and execution time when compared to the previous state-of-art Russian Dolls algorithm for the problem in random graph instances with density above 50%. As graph density increases, this difference increases. Besides, BITRDS is competitive with BITCLIQUE with better performance in random graph instances with density between 50% and 80%. Finally, we present a cooperation between the Russian Dolls method and the Resolution Search method. The proposed algorithm, called BITBR, uses both the weighted coloring and upper bounds given by the dolls to find a nogood. The hybrid algorithm reduces the number of coloring heuristic calls, reaching up to 1 order of magnitude when compared with BITRDS. However, this reduction decreases the execution time only in a few instances. Several computational experiments are carried out with the proposed and state-of-the-art algorithms. Computational results are reported for each algorithm using the main instances available in the literature. Finally, future directions of research are discussed.

Nous étudions dans cette thèse différents problèmes d'évitabilité des répétitions dans les mots infinis. Soulevée par Thue et motivée par ses travaux sur les mots sans carrés, la problématique s'est développée au cours du XXe siècle, et est aujourd'hui devenue un des grands domaines de recherche en combinatoire des mots. En 1972, Dejean proposa une importante conjecture, dont la validation étape par étape s'est terminée récemment (2009). La conjecture concerne le seuil des répétitions d'un alphabet, i.e., la borne inférieure des exposants évitables sur cet alphabet. La notion de seuil, comme frontière entre évitabilité et non-évitabilité d'un ensemble donné de mots, est le fil directeur de nos travaux. Nous nous intéressons d'abord à une généralisation du seuil des répétitions (nous donnons des encadrements de sa valeur). Cette notion permet d'ajouter, pour décrire l'ensemble des répétitions à éviter, au paramètre de l'exposant, celui de la longueur des répétitions. Puis, nous étudions des problèmes d'existence de mots dans lesquels, simultanément, certaines répétitions sont interdites et d'autres sont forcées. Nous répondons, pour l'alphabet ternaire, à la question : quels réels sont l'exposant critique d'un mot infini sur un alphabet fixé? Nous introduisons ensuite une notion de haute répétitivité, et établissons une description partielle des couples d'exposants paramètrant une double contrainte de haute répétitivité et d'évitabilité. Pour finir, nous utilisons des résultats et techniques issus de ces problématiques pour résoudre une question de coloration de graphes : nous introduisons un seuil des répétitions, calqué sur celui connu pour les mots, et donnons sa valeur pour deux classes de graphes, les arbres et les graphes de subdivisions. / In this thesis we study various problems on repetition avoidance in infinite words. Raised by Thue and motivated by his work on squarefree words, the topic developed during the 20th century, and has nowadays become a principal area of research in combinatorics on words. In 1972, Dejean proposed an important conjecture whose verification in steps was completed recently (2009). The conjecture concerns the repetition threshold for an alphabet, i.e., the infimum of the avoidable exponents for that alphabet. The notion of threshold as a borderline between avoidability and unavoidability for a given set of words is the guiding line of our work. First, we focus on a generalization of the repetition threshold. This concept allows us to include, in addition to the exponent, the length of the repetitions as a parameter in the description of the set of repetitions to avoid. We obtain various bounds in that respect. We then study existence problems for words in which simultaneously some repetitions are forbidden, and others are forced. For the ternary alphabet, we answer the question: what real numbers are the critical exponent of some infinite word over a given alphabet? Also, we introduce a notion of highly repetitive words and give a partial description of the pairs of exponents which parameterize the existence of words both highly repetitive and repetition-free. Finally, we use results and techniques stemming from those problems to solve a question on graph colouring: we introduce a repetition threshold adapted from the thresholds we know for words, and give its value for two classes of graphs, namely, trees and subdivision graphs.

Dans la présente thèse nous étudions l'extraction d'arbres dans des graphes arêtes-coloriés.Nous nous concentrons sur la recherche d'arbres couvrants proprement arête-coloriés et faiblement arête-coloriés, notée PST et WST. Nous montrons que les versions d'optimisation de ces problèmes sont NP-Complete dans le cas général des graphes arêtes-coloriés, et nous proposons des algorithmes pour trouver ces arbres dans le cas des graphes arêtes-coloriés sans cycles proprement arêtes-coloriés.Nous donnons également quelques limites de nonapproximabilité. Nous proposons des conditions suffisantes pour l'existence de la PST dans des graphes arêtes-coloriés (pas forcément propre), en fonction de différents paramètres de graphes, tels que : nombre total de couleurs, la connectivité et le nombre d'arêtes incidentes dedifférentes couleurs pour un sommet. Nous nous intéressons aux chemins hamiltoniens proprement arêtes-coloriés dans le casdes multigraphes arêtes-coloriés. Ils présentent de l'intérêt pour notre étude, car ce sontégalement des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes pour qu'un multigraphe contienne un chemin hamiltonien proprement arêtes-coloriés, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré d'arêtes, etc. Puisque l'une des conditions suffisantes pour l'existence des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés est la connectivité, nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour la k-connectivité-propre. Nous énonçons plusieurs conjectures pour les graphes généraux et bipartis, et on arrive à les prouver pour k = 1. / In this thesis, we investigate the extraction of trees from edge-colored graphs. We focus on finding trees with properties based on coloring. Namely, we deal with proper and weak proper spanning trees, denoted PST and WST.- We show the optimization versions of these problems to be NP-hard in the general case of edge-colored graphs and we provide algorithms to find these trees in the case of edge-colored graphs without properly edge-colored cycles. We also provide some nonapproximability bounds.- We investigate the existence of a PST in the case of edge-colored graphs under certain conditions on the graph, both structural and related to the coloration. We consider sufficient conditions that guarantee the existence of a PST in edge-colored (not necessarily proper) graphs with any number of colors. The conditions we consider are combinations ofvarious parameters such as : total number of colors, number of vertices, connectivity and the number of incident edges of different colors to the vertices.- We then consider properly edge-colored Hamiltonian paths in the edge-colored multigraphs, which are relevant to our study since they are also PST. We establish sufficient conditions for a multigraph to contain a proper edge-colored Hamiltonian path, depending on several parameters such as the number of edges, the degree of edges, etc.- Since one of the sufficient conditions for the existence of proper spanning trees is connectivity, we prove several upper bounds for the smallest number of colors needed to color a graph such that it is k-proper-connected. We state several conjectures for general and bipartite graphs, and we prove them for k = 1.

La thèse porte sur les deux thèmes des Jeux combinatoires et de la théorie des graphes. Elle est divisée en deux parties.1) Le jeu de Domination et ses variantes: Il s'agit d'un jeu combinatoire qui consiste à marquer les sommets d'un graphe de telle sorte qu'un sommet marqué n'ait aucun voisin marqué. Le joueur marquant le dernier sommet est déclaré gagnant. Le calcul des stratégies gagnantes étant NP-difficile pour un graphe quelconque, nous avons étudié des familles particulières de graphes comme les chemins, les scies ou les chenilles. Pour ces familles on peut savoir en temps polynomial si un graphe est perdant. Nous avons également étudié 28 variantes du jeu de domination, dont les 12 variantes définies par J. Conway sur un jeu combinatoire quelconque. 2) Le nombre chromatique ludique des arbres: Ce paramètre est calculé à partir d'un jeu de coloration où Alice et Bob colorient alternativement et proprement un sommet d'un graphe G avec l'une des k couleurs. L'objectif d'Alice est de colorier complètement le graphe alors que Bob doit l'en empêcher. Nous nous sommes intéressés au jeu avec 3 couleurs sur un arbre T. Nous souhaitons déterminer les arbres ayant un nombre chromatique ludique 3, soit ceux pour lesquels Alice a une stratégie gagnante avec 3 couleurs. Ce problème semblant difficile à résoudre sur les arbres, nous avons résolu des sous-familles: les 1-chenilles puis les chenilles sans trous. / Part 1: Domination Game and its variantsDomination game is a combinatorial game that consists in marking vertices of a graph so that a marked vertex has no marked neighbors. The first player unable to mark a vertex loses the game.Since the computing of winning strategies is an NP-hard problem for any graphs, we examine some specific families of graphs such as complete k-partite graphs, paths or saws. For these families, we establish the set of losing elements. For other families, such as caterpillars, we prove that exists a polynomial algorithm for the computation of outcome and winning strategies. No polynomial algorithm has been found to date for more general families, such as trees.We also study 28 variants of Domination game, including the 12 variants defined by J. Conway for any combinatorial game. Using game functions, we find the set of losing paths for 10 of these 12 variants. We also investigate 16 variants called diameter, for instance when rules require to play on the component that has the largest diameter.Part 2: The game chromatic number of treesThis parameter is computed from a coloring game: Alice and Bob alternatively color the vertices of a graph G, using one of the k colors in the color set. Alice has to achieve the coloring of the entire graph whereas Bob has to prevent this. Faigle and al. proved that the game chromatic number of a tree is at most 4. We undertake characterization of trees with a game chromatic number of 3. Since this problem seems difficult for general trees, we focus on sub-families: 1-caterpillars and caterpillars without holes.For these families we provide the characterization and also compute winning strategies for Alice and Bob. In order to do so, we are led to define a new notion, the bitype, that for a partially-colored graph G associates two letters indicating who has a winning strategy respectively on G and G with an isolated vertex. Bitypes allow us to demonstrate several properties, in particular to compute the game chromatic number of a graph from the bitypes of its connected components.

Malgré la hiérarchie mémoire utilisée dans les ordinateurs modernes, il convient toujours d'optimiser l'utilisation des registres du processeur et des mémoires locales gérées de manières logicielles (mémoires locales) présentes dans beaucoup de systèmes embarqués, de processeurs graphiques (GPUs) et de multiprocesseurs. Lors de la compilation, d'un code source vers un langage machine, deux optimisations de la mémoire revêtent une importance capitale : l'allocation de registres et l'allocation de mémoires locales. Dans ce manuscrit de thèse nous nous intéressons à des approches découplées, qui traitent séparément les problèmes d'allocation et d'assignation, permettant d'améliorer les allocations de registres et de mémoires locales. Dans la première partie de la thèse, nous nous penchons sur le problème de l'allocation de registres. Tout d'abord, nous proposons dans le contexte des compilateurs-juste-à-temps, une allocation de registres fractionnées (split register allocation). Avec cette approche l'allocation de registres est effectuée en deux étapes: une faite durant la phase de compilation statique et l'autre pendant la phase de compilation dynamique. Ce qui permet de réduire le temps d'exécution des programmes avec un impact négligeable sur le temps de compilation. Ensuite Nous introduisons une allocation de registres incrémentale qui permet de résoudre d'une manière quasi-optimale le problème d'allocation. Cette méthode est pseudo-polynomiale alors que le problème d'allocation est NP-complet même à l'intérieur d'un « basic block ». Dans la deuxième partie de la thèse nous nous intéressons au problème de l'allocation de mémoires locales. Au vu des dernières avancées dans le domaine de l'allocation de registres, nous étudions dans quelle mesure le problème d'allocation pourrait être séparé de celui de l'assignation dans le contexte des mémoires locales. Dans un premier temps nous validons expérimentalement que les problèmes d'allocation et d'assignation peuvent être résolus séparément. Ensuite, nous procédons à une étude plus théorique d'une approche découplée de l'allocation de mémoires locales. Cela permet d'introduire de nouveaux résultats sur le « submarine-building problem », une variante du « ship-building problem », que nous avons défini. L'un de ces résultats met en évidence pour la première fois une différence de complexité (P vs. NP-complet) entre les graphes d'intervalles et les graphes d'intervalles unitaires. Dans la troisième partie de la thèse nous proposons une nouvelle heuristique, appelée « clustering allocator » fondée sur la construction de sous-graphes stables d'un graphe d'interférence, permettant de découpler aussi bien le problème d'allocation pour les registres que pour les mémoires locales. Cette nouvelle heuristique se veut le pont qui permettra de réconcilier les problèmes d'allocations de registres et de mémoires locales. / Despite the benefit of the memory hierarchy, it is still essential, in order to reduce accesses to higher levels of memory, to have an efficient usage of registers and local memories (also called scratchpad memories) present in most embedded processors, graphical processors (GPUs) and network processors. During the compilation, from a source language to an executable code, there are two optimizations that are of utmost importance: the register allocation and the local memory allocation. In this thesis's report we are interested in decoupled approaches, solving separately the allocation and assignment problems, that helps to improve the quality of the register and local memory allocations. In the first part of this thesis we are interested in two aspects of the register allocation problem: the improvements of the just-in-time (JIT) register allocation and the spill minimization problem. We introduce the split register allocation which leverages the decoupled approach to improve register allocation in the context of JIT compilation. We experimentally validate the effectiveness of split register allocation and its portability with respect to register count variations, relying on annotations whose impact on the bytecode size is negligible. We introduce a new decoupled approach, called iterated-optimal allocation, which focus on the spill minimization problem. The iterated-optimal allocation algorithm achieves results close to optimal while offering pseudo-polynomial guarantees for SSA programs and fast allocations on general programs. In the second part of this thesis, we study how a decoupled local memory allocation can be proposed in light of recent progresses in register allocation. We first validate our intuition for decoupled approach to local memory allocation. Then, we study the local memory allocation in a more theoretical way setting the junction between local memory allocation for linearized programs and weighted interval graph coloring. We design and analyze a new variant of the ship-building problem called the submarine-building problem. We show that this problem is NP-complete on interval graphs, while it is solvable in linear time for proper interval graphs, equivalent to unit interval graphs. The submarine-building problem is the first problem that is known to be NP-complete on interval graphs, while it is solvable in linear time for unit interval graphs. In the third part of this thesis, we propose a heuristic-based solution, the clustering allocator, which decouples the local memory allocation problem and aims to minimize the allocation cost. The clustering allocator while devised for local memory allocation, it appears to be a very good solution to the register allocation problem. After many years of separation, this new algorithm seems to be a bridge to reconcile the local memory allocation and the register allocation problems.

Neste trabalho, estudamos o problema a recoloração convexa de grafos, denotado por RC. Dizemos que uma coloração dos vértices de um grafo G é convexa se, para cada cor tribuída d, os vértices de G com a cor d induzem um subgrafo conexo. No problema RC, é dado um grafo G e uma coloração de seus vértices, e o objetivo é recolorir o menor número possível de vértices de G tal que a coloração resultante seja convexa. A motivação para o estudo deste problema surgiu em contexto de árvores filogenéticas. Sabe-se que este problema é NP-difícil mesmo quando G é um caminho. Mostramos que o problema RC parametrizado pelo número de mudanças de cor é W[2]-difícil mesmo se a coloração inicial usa apenas duas cores. Além disso, provamos alguns resultados sobre a inaproximabilidade deste problema. Apresentamos uma formulação inteira para a versão com pesos do problema RC em grafos arbitrários, e então a especializamos para o caso de árvores. Estudamos a estrutura facial do politopo definido como a envoltória convexa dos pontos inteiros que satisfazem as restrições da formulação proposta, apresentamos várias classes de desigualdades que definem facetas e descrevemos os correspondentes algoritmos de separação. Implementamos um algoritmo branch-and-cut para o problema RC em árvores e mostramos os resultados computacionais obtidos com uma grande quantidade de instâncias que representam árvores filogenéticas reais. Os experimentos mostram que essa abordagem pode ser usada para resolver instâncias da ordem de 1500 vértices em 40 minutos, um desempenho muito superior ao alcançado por outros algoritmos propostos na literatura. / In this work we study the convex recoloring problem of graphs, denoted by CR. We say that a vertex coloring of a graph G is convex if, for each assigned color d, the vertices of G with color d induce a connected subgraph. In the CR problem, given a graph G and a coloring of its vertices, we want to find a recoloring that is convex and minimizes the number of recolored vertices. The motivation for investigating this problem has its roots in the study of phylogenetic trees. It is known that this problem is NP-hard even when G is a path. We show that the problem CR parameterized by the number of color changes is W[2]-hard even if the initial coloring uses only two colors. Moreover, we prove some inapproximation results for this problem. We also show an integer programming formulation for the weighted version of this problem on arbitrary graphs, and then specialize it for trees. We study the facial structure of the polytope defined as the convex hull of the integer points satisfying the restrictions of the proposed ILP formulation, present several classes of facet-defining inequalities and the corresponding separation algorithms. We also present a branch-and-cut algorithm that we have implemented for the special case of trees, and show the computational results obtained with a large number of instances. We considered instances which are real phylogenetic trees. The experiments show that this approach can be used to solve instances up to 1500 vertices in 40 minutes, comparing favorably to other approaches that have been proposed in the literature.

MENVSC / Department of Ecology and Resource Management / In this study, the efficacy of bentonite clay, pre-treated magnesite and their nanocomposite on the removal of Congo red dye from aqueous solution was explored. Batch experimental approach was a technique used to fulfil the goals of this study. A number of operational parameters were optimised, and they include effects of shaking time, adsorbent dosage, initial CR dye concentration, initial solution pH and temperature. Findings of the study revealed that the optimum conditions that are suitable for the removal of CR dye are 20 minutes, 0.5 g of dosage, 120 mg/L, 250 rpm, and pH = 7. This has achieved > 99% removal efficacy of CR dye for the nanocomposite and reduced it to below the South African National Standard (SANS) 241 water quality specifications. Furthermore, kinetic studies revealed that bentonite clay, pre-treated magnesite, and their nanocomposite fitted very well to pseudo-second-order kinetics than pseudo-first-order kinetics. The regression analysis was observed to be 1, 0.9, and 0.9 for bentonite clay, pre-treated magnesite, and their nanocomposite respectively. Adsorption isotherms indicated that CR removal by bentonite clay, pre-treated magnesite, and their nanocomposite fitted well to Langmuir adsorption isotherm than the Freundlich adsorption isotherm hence indicating mono-layer adsorption. Thermodynamic values for CR removal were observed to be: ΔH0 (kJ mol-1) = 43.86, 30.67, and 24.88 for bentonite clay, pre-treated magnesite, and their nanocomposite respectively. This indicates that the reaction is endothermic. The positive ΔS0 (kJ mol-1 K-1) values for bentonite clay and 25 °C for pre-treated magnesite confirms that there is an increase in the degree of randomness at solid/solution interface during the removal of CR ions from aqueous solution. The negative values of ΔG0 (kJ mol-1) for 40 – 70 °C on bentonite and the entire range for the nanocomposite suggest the spontaneity and feasibility of CR adsorption whereas the positive ΔG0 (kJ mol-1) for bentonite clay suggest a non-spontaneous nature of adsorption. As such, pre-treated magnesite/bentonite clay nanocomposite demonstrated superior adsorption capacity in relation to individual materials and other materials reported in literature. / NRF

Dans un graphe non orienté, le Problème de Coloration de Graphe (PCG) consiste à assigner à chaque sommet du graphe une couleur de telle sorte qu'aucune paire de sommets adjacents n'aient la même couleur et le nombre total de couleurs est minimisé. DSATUR est un algorithme exact efficace pour résoudre le PCG. Un de ses défauts est qu'une borne inférieure est calculée une seule fois au noeud racine de l'algorithme de branchement, et n'est jamais mise à jour. Notre nouvelle version de DSATUR surpasse l'état de l'art pour un ensemble d'instances aléatoires à haute densité, augmentant significativement la taille des instances résolues. Nous étudions trois formulations PLNE pour le Problème de la Somme Chromatique Minimale (PSCM). Chaque couleur est représentée par un entier naturel. Le PSCM cherche à minimiser la somme des cardinalités des sous-ensembles des sommets recevant la même couleur, pondérés par l'entier correspondant à la couleur, de telle sorte que toute paire de sommets adjacents reçoive des couleurs différentes. Nous nous concentrons sur l'étude d'une formulation étendue et proposons un algorithme de Branch-and-Price. / Given an undirected graph, the Vertex Coloring Problem (VCP) consists of assigning a color to each vertex of the graph such that two adjacent vertices do not share the same color and the total number of colors is minimized. DSATUR is an effective exact algorithm for the VCP. We introduce new lower bounding techniques enabling the computing of a lower bound at each node of the branching scheme. Our new DSATUR outperforms the state of the art for random VCP instances with high density, significantly increasing the size of solvable instances. Similar results can be achieved for a subset of high density DIMACS instances. We study three ILP formulations for the Minimum Sum Coloring Problem (MSCP). The problem is an extension of the classical Vertex Coloring Problem in which each color is represented by a positive natural number. The MSCP asks to minimize the sum of the cardinality of subsets of vertices receiving the same color, weighted by the index of the color, while ensuring that vertices linked by an edge receive different colors. We focus on studying an extended formulation and devise a complete Branch-and-Price algorithm.