On introduit une nouvelle structure algébrique qui formalise bien les problèmes de reconstruction, assortie d’une conjecture qui permettrait de traiter directement des symétries. Le cadre fournit par cette étude permet de plus d’engendrer des relations qui ont lieu entre les nombres de sous-structures, et d’une certaine façon, la conjecture formulée affirme qu’on les obtient toutes. De plus, la généralisation des résultats précédemment obtenus pour la reconstruction permet de chercher `a en apprécier les limites en recherchant des cas où ces relations sont optimales. Ainsi, on montre que les théorèmes de V.Müller et de L.Lovasz sont les meilleurs possibles en exhibant des cas limites. Cette généralisation aux algèbres d’invariants, déjà effectuée par P.J.Cameron et V.B.Mnukhin, permet de placer les problèmes de reconstruction en tenaille entre d’une part des relations (fournies) que l’on veut exploiter, et des exemples qui établissent l’optimalité du résultat. Ainsi, sans aucune donnée sur le groupe, le résultat de L.Lovasz est le meilleur possible, et si l’on considère l’ordre du groupe, le résultat de V.Müller est le meilleur possible. / A new algebraic structure is described, that is a useful framework in whichreconstruction problems and results can be expressed. A conjecture is madewhich would, provided it is true, help to address the problem of symmetries.A consequence of the abstract language in which the theory is formulated isthe expression of relations between the numbers of substructures of a structure(for example, the number of subgraphs of a given type in a graph).Moreover, a generalisation similar to the one achieved by P.J.Cameron andV.B.Mnukhin of the results of edge reconstruction to invariant algebras isstated. Examples are then provided to show that the result of L.Lovasz isbest possible if one knows nothing about the underlying group, and that theresult of V.Müller is best possible if one knows only the order of the group.Thus, reconstruction problems are set in a theory that generates relationsto address them, and at the same time, provides examples establishing thesharpness of the theorems.

Dans cette thèse, nous concentrons sur les sujets suivants: super-eulérien graphe, hamiltonien ligne graphes, le tolerant aux pannes hamiltonien laceabilité de Cayley graphe généré par des transposition arbres et plusieurs problèmes extrémaux concernant la (minimum et/ou maximum) taille des graphes qui ont la même propriété.Cette thèse comprend six chapitres. Le premier chapitre introduit des définitions et indique la conclusion des resultants principaux de cette thèse, et dans le dernier chapitre, nous introduisons la recherche de furture de la thèse. Les travaux principaux sont montrés dans les chapitres 2-5 comme suit:Dans le chapitre 2, nous explorons les conditions pour qu'un graphe soit super-eulérien.Dans la section 1, nous caractérisons des graphes dont le dégrée minimum est au moins de 2 et le nombre de matching est au plus de 3. Dans la section 2, nous prouvons que si pour tous les arcs xy∈E(G), d(x)+d(y)≥n-1-p(n), alors G est collapsible sauf quelques bien définis graphes qui ont la propriété p(n)=0 quand n est impair et p(n)=1 quand n est pair.Dans la section 3 de la Chapitre 2, nous trouvons les conditions suffisantes pour que un graphe de 3-arcs connectés soit pliable.Dans le chapitre 3, nous considérons surtout l'hamiltonien de 3-connecté ligne graphe.Dans la première section de Chapitre 3, nous montrons que chaque 3-connecté, essentiellement11-connecté ligne graphe est hamiltonien-connecté. Cela renforce le résultat dans [91]. Dans la seconde section de Chapitre 3, nous montrons que chaque 3-connecté, essentiellement 10-connecté ligne graphe est hamiltonien-connecté.Dans la troisième section de Chapitre 3, nous montrons que 3-connecté, essentiellement 4-connecté ligne graphe venant d'un graphe qui comprend au plus 9 sommets de degré 3 est hamiltonien. Dans le chapitre 4, nous montrons d'abord que pour tous $F\subseteq E(Cay(B:S_{n}))$, si $|F|\leq n-3$ et $n\geq 4$, il existe un hamiltonien graphe dans $Cay(B:S_{n})-F$ entre tous les paires de sommets qui sont dans les différents partite ensembles. De plus, nous renforçons le résultat figurant ci-dessus dans la seconde section montrant que $Cay(S_n,B)-F$ est bipancyclique si $Cay(S_n,B)$ n'est pas un star graphe, $n\geq 4$ et $|F|\leq n-3$.Dans le chapitre 5, nous considérons plusieurs problems extrémaux concernant la taille des graphes.Dans la section 1 de Chapitre 5, nous bornons la taille de sous-graphe provoqué par $m$ sommets de hypercubes ($n$-cubes). Dans la section 2 de Chapitre 5, nous étudions partiellement la taille minimale d'un graphe savant son degré minimum et son degré d'arc. Dans la section 3 de Chapitre 5, nous considérons la taille minimale des graphes satisfaisants la Ore-condition. / In this thesis, we focus on the following topics: supereulerian graphs, hamiltonian line graphs, fault-tolerant Hamiltonian laceability of Cayley graphs generated by transposition trees, and several extremal problems on the (minimum and/or maximum) size of graphs under a given graph property. The thesis includes six chapters. The first one is to introduce definitions and summary the main results of the thesis, and in the last chapter we introduce the furture research of the thesis. The main studies in Chapters 2 - 5 are as follows. In Chapter 2, we explore conditions for a graph to be supereulerian.In Section 1 of Chapter 2, we characterize the graphs with minimum degree at least 2 and matching number at most 3. By using the characterization, we strengthen the result in [93] and we also address a conjecture in the paper.In Section 2 of Chapter 2, we prove that if $d(x)+d(y)\geq n-1-p(n)$ for any edge $xy\in E(G)$, then $G$ is collapsible except for several special graphs, where $p(n)=0$ for $n$ even and $p(n)=1$ for $n$ odd. As a corollary, a characterization for graphs satisfying $d(x)+d(y)\geq n-1-p(n)$ for any edge $xy\in E(G)$ to be supereulerian is obtained. This result extends the result in [21].In Section 3 of Chapter 2, we focus on a conjecture posed by Chen and Lai [Conjecture~8.6 of [33]] that every 3-edge connected and essentially 6-edge connected graph is collapsible. We find a kind of sufficient conditions for a 3-edge connected graph to be collapsible.In Chapter 3, we mainly consider the hamiltonicity of 3-connected line graphs.In the first section of Chapter 3, we give several conditions for a line graph to be hamiltonian, especially we show that every 3-connected, essentially 11-connected line graph is hamilton- connected which strengthens the result in [91].In the second section of Chapter 3, we show that every 3-connected, essentially 10-connected line graph is hamiltonian-connected.In the third section of Chapter 3, we show that 3-connected, essentially 4-connected line graph of a graph with at most 9 vertices of degree 3 is hamiltonian. Moreover, if $G$ has 10 vertices of degree 3 and its line graph is not hamiltonian, then $G$ can be contractible to the Petersen graph.In Chapter 4, we consider edge fault-tolerant hamiltonicity of Cayley graphs generated by transposition trees. We first show that for any $F\subseteq E(Cay(B:S_{n}))$, if $|F|\leq n-3$ and $n\geq4$, then there exists a hamiltonian path in $Cay(B:S_{n})-F$ between every pair of vertices which are in different partite sets. Furthermore, we strengthen the above result in the second section by showing that $Cay(S_n,B)-F$ is bipancyclic if $Cay(S_n,B)$ is not a star graph, $n\geq4$ and $|F|\leq n-3$.In Chapter 5, we consider several extremal problems on the size of graphs.In Section 1 of Chapter 5, we bounds the size of the subgraph induced by $m$ vertices of hypercubes. We show that a subgraph induced by $m$ (denote $m$ by $\sum\limits_{i=0}^ {s}2^{t_i}$, $t_0=[\log_2m]$ and $t_i= [\log_2({m-\sum\limits_{r=0}^{i-1}2 ^{t_r}})]$ for $i\geq1$) vertices of an $n$-cube (hypercube) has at most $\sum\limits_{i=0}^{s}t_i2^{t_i-1} +\sum\limits_{i=0}^{s} i\cdot2^{t_i}$ edges. As its applications, we determine the $m$-extra edge-connectivity of hypercubes for $m\leq2^{[\frac{n}2]}$ and $g$-extra edge-connectivity of the folded hypercube for $g\leq n$.In Section 2 of Chapter 5, we partially study the minimum size of graphs with a given minimum degree and a given edge degree. As an application, we characterize some kinds of minimumrestricted edge connected graphs.In Section 3 of Chapter 5, we consider the minimum size of graphs satisfying Ore-condition.

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The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer is unquestionably one of the most important open problems in number theory today. Let $E$ be an elliptic curve defined over an imaginary quadratic field $K$ contained in $\mathbb{C}$, and suppose that $E$ has complex multiplication by the ring of integers of $K$. Let us assume the complex $L$-series $L(E/K,s)$ of $E$ over $K$ does not vanish at $s=1$. K. Rubin showed, using Iwasawa theory, that the $p$-part of Birch and Swinnerton-Dyer conjecture holds for $E$ for all prime numbers $p$ which do not divide the order of the group of roots of unity in $K$. In this thesis, we discuss extensions of this result. In Chapter $2$, we study infinite families of quadratic and cubic twists of the elliptic curve $A = X_0(27)$, so that they have complex multiplication by the ring of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. For the family of quadratic twists, we establish a lower bound for the $2$-adic valuation of the algebraic part of the complex $L$-series at $s=1$, and, for the family of cubic twists, we establish a lower bound for the $3$-adic valuation of the algebraic part of the same $L$-value. We show that our lower bounds are precisely those predicted by Birch and Swinnerton-Dyer. In the remaining chapters, we let $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$, where $q$ is any prime number congruent to $7$ modulo $8$. Denote by $H$ the Hilbert class field of $K$. \mbox{B. Gross} proved the existence of an elliptic curve $A(q)$ defined over $H$ with complex multiplication by the ring of integers of $K$ and minimal discriminant $-q^3$. We consider twists $E$ of $A(q)$ by quadratic extensions of $K$. In the case $q=7$, we have $A(q)=X_0(49)$, and Gonzalez-Aviles and Rubin proved, again using Iwasawa theory, that if $L(E/\mathbb{Q},1)$ is nonzero then the full Birch--Swinnerton-Dyer conjecture holds for $E$. Suppose $p$ is a prime number which splits in $K$, say $p=\mathfrak{p}\mathfrak{p}^*$, and $E$ has good reduction at all primes of $H$ above $p$. Let $H_\infty=HK_\infty$, where $K_\infty$ is the unique $\mathbb{Z}_p$-extension of $K$ unramified outside $\mathfrak{p}$. We establish in this thesis the main conjecture for the extension $H_\infty/H$. Furthermore, we provide the necessary ingredients to state and prove the main conjecture for $E/H$ and $p$, and discuss its relation to the main conjecture for $H_\infty/H$ and the $p$-part of the Birch--Swinnerton-Dyer conjecture for $E/H$.

Cette thèse étudie la coloration d'arcs et de cycles dans les graphes orientés. Elle se concentre sur les sujets suivants : la coloration propre d'arcs avec des sommet-distingué dans les graphes orientés, les cycles courts dans les graphes orientés avec des sous-graphes interdits, les cycles sommet-disjoints dans dans les tournois bipartis, les cycle-facteurs dans les tournois bipartis régulier et les arcs universels dans les tournois. La thèse est basée sur cinq articles originaux publiés ou présentés dans des journaux. Les principaux résultats sont les suivants. Nous introduisons la coloration propre d'arcs avec des sommet-distingué dans les graphes orientés. Nous avons proposé une conjecture sur le nombre arc-chromatique sommet-distingué et nous avons aussi donné quelque résultats partiels. Nous avons étendu un résultat de Razborov en prouvant que la conjecture de Caccetta-Häggkvist est vraie pour certains graphes orientés avec des sous-graphes interdits. Nous avons montré que chaque tournoi biparti avec degré sortant minimum au moins qr-1 contient r cycles de sommets-disjoints de toutes longueurs possibles. Le cas spécial q=2 confirme le cas du tournoi biparti de la conjecture de Bermond-Thomassen. Nous avons montré que chaque tournoi biparti k-régulier avec k>2 que l'on notera B a deux cycles complémentaires de longueurs 6 et |V(B)-6|, à moins que B soit isomorphe à un graphe spécifique, étayant ainsi une conjecture sur des 2-cycles-facteurs dans les tournois bipartis. En outre, nous montrons que tous les tournois bipartis réguliers ont un k-cycle-facteur. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'un arc universel dans un tournoi et nous caractérisons tous les tournois où chaque arc est universel. / In this thesis, we study arc colorings and cycles in digraphs. The following topics are considered: vertex-distinguishing proper arc colorings in digraphs, short cycles in digraphs with forbidden subgraphs , disjoint cycles in bipartite tournaments, cycle factors in regualr bipartite tournaments and universal arcs in tournaments. The main results are contained in five original articles published or submitted to an international journal. We introduce vertex-distinguishing proper arc colorings of digraphs. A conjecture on the vertex-distinguishing arc-chromatic number is given and some partial results are obtained. We extend a result of Razborov by proving that the Caccetta-Häggkvist conjecture is true for digraphs with certain induced forbidden subgraphs or with certain forbidden subgraphs. We show that every bipartite tournament with minimum outdegree at least qr-1 has r vertex disjoint cycles of any given possible lengths. The special case q=2 of the result verifies the bipartite tournament case of the Bermond-Thomassen conjecture. As a partial support of a conjecture on 2-cycle-factors in bipartite tournaments, we prove that every k-regular bipartite tournament B with k>2 has two complementary cycles of lengths 6 and |V(B)|-6, unless B is isomorphic to a special digraph. Besides, we show that every k-connected regular bipartite tournament has a k-cycle-factor. We also give a sufficient and necessary condition for the existence of a universal arc in a tournament and characterize all the tournaments in which every arc is universal.

Dans cette thèse, on construit des systèmes d’Euler à partir des unités (conjecturales) de Stark et celles de Rubin-Stark d’un corps de nombres K, pour décrire l’idéal caractéristique du X-quotient du module d’Iwasawa standard X∞ pour certains caractères p-adiques irréductibles X. Ici X∞ est le groupe de Galois de la pro-p-extension abélienne non ramifiée maximale de K∞, où K∞ est une Zp-extension adéquate de K. Plus précisément, on démontre des résultats de divisibilité formulée par la conjecture principale de la théorie d’Iwasawa. Nos démonstrations reposent essentiellement sur la théorie des systèmes d’Euler. / In this thesis, we construct Euler systems coming from the (conjectural) Stark units and those of Rubin-Stark of a number field K, to describe the characteristic ideal of the X-quotient of the standard Iwasawa module X∞, for some p-adic irreducible characters X. Here X∞ is the Galois group of the maximal unramified abelian pro-p-extension of K∞, where K∞ is an adequate Zp-extension of K. Precisely, we demonstrate a divisibility results formulated by the main conjecture of Iwasawa theory. Our demonstrations essentially are based on the theory of Euler systems.

This thesis is broadly concerned with online-optimizing anti-windup control. These are control structures that implement some online-optimization routines to compensate for the windup effects in constrained control systems. The first part of this thesis examines a general framework for analyzing robust preservation in anti-windup control systems. This framework - the robust Kalman conjecture - is defined for the robust Lur’e problem. This part of the thesis verifies this conjecture for first-order plants perturbed by various norm-bounded unstructured uncertainties. Integral quadratic constraint theory is exploited to classify the appropriate stability multipliers required for verification in these cases. The remaining part of the thesis focusses on accelerated gradient methods. In particular, tight complexity-certificates can be obtained for the Nesterov gradient method, which makes it attractive for implementation of online-optimizing anti-windup control. This part of the thesis presents a proposed algorithm that extends the classical Nesterov gradient method by using available secant information. Numerical results demonstrating the efficiency of the proposed algorithm are analysed with the aid of performance profiles. As the objective function becomes more ill-conditioned, the proposed algorithm becomes significantly more efficient than the classical Nesterov gradient method. The improved performance bodes well for online-optimization anti-windup control since ill-conditioning is common place in constrained control systems. In addition, this thesis explores another subcategory of accelerated gradient methods known as Barzilai-Borwein gradient methods. Here, two algorithms that modify the Barzilai-Borwein gradient method are proposed. Global convergence of the proposed algorithms for all convex functions is established by using discrete Lyapunov theorems.

Ce travail de thèse porte sur l’étude de l’hyperbolicité complexe de compactifications de quotients de domaines symétriques bornés, et plus spécifiquement, de quotients de la boule. On souhaite ainsi comprendre la géométrie des courbes entières que ces compactifications contiennent, ainsi que le type de leurs sous-variétés. On prouve d'abord un critère métrique de positivité du fibré co-tangent d’une variété complexe, reposant notamment sur les travaux de J.-P. Demailly et de S. Boucksom. Ce critère peut s’appliquer à une large classe de variétés, dépassant le cadre précédent ; avec Y. Brunebarbe, on s'est ainsi intéressé aux variétés supportant une variation de structures de Hodge complexes. Dans le cas d’un quotient de la boule, ce critère permet de montrer qu’un revêtement ramifié d’une compactification toroïdale lisse, étale sur l’intérieur, et ramifiant à des ordres supérieurs à 7 sur le bord, ne contient que des variétés de type général en dehors de son bord. Dans ce cadre, ceci fournit une version effective d’un théorème de Y. Brunebarbe. On étudie par ailleurs d’autres situations que ces compactifications lisses : avec E.Rousseau et B. Taji, on donne des critères d'hyperbolicité complexe de ces compactifications lorsque les quotients sont singuliers. On présente aussi une version effective d’un théorème de J.-P. Demailly, concernant le caractère big des différentielles de jets sur la compactification donnée. Enfin, on montre que les méthodes métriques présentées précédemment s’étendent au cas de tous les domaines symétriques bornés ; elles fournissent alors des résultats effectifs d'hyperbolicité algébrique et transcendante pour d’autres domaines que la boule. / This work deals with the study of complex hyperbolicity of compactifications of quotients of bounded symmetric domains, and more specifically, of quotients of the ball. We are interested in the geometry of the entire curves such a compactification contains, as well as to the type of its subvarietes. We first prove a metric criterion for the positivity of the cotangent bundle of a complex manifold, based in particular on the work of J.-P. Demailly and of S. Boucksom. This criterion can be applied to a large class of manifolds, going beyond the previous frame; with Y. Brunebarbe, we apply in particular these methods to the case of manifolds supporting a complex variation of Hodge structures.In the case of a ball quotient, the criterion shows that on a ramified cover of a toroidal compactification, étale on the inside part, and ramifying at orders higher than 7 on the boundary, there is no subvariety which is not of general type, and not included in the boundary. In this setting, this gives an effective version of a theorem of Y. Brunebarbe. We also study other situations than these smooth compactifications : with E. Rousseau and B. Taji, we give metric criterions for the complex hyperbolicity of these compactifications, if the quotients are singular. In the case of the ball, we present also an effective version of a theorem of J.-P. Demailly, concerning the bigness of the Green-Griffiths jet differentials on the given compactification. Finally, we show that the previous metric methods can be applied to the case of all bounded symmetric domains ; they give effective hyperbolicity results, algebraic and transcendental, for other bounded symmetric domains than the ball.

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Cette thèse explore les propriétés quantitatives et qualitatives des fibrés cotangents T∗M de variétés lisses fermées M, d’un point de vue symplectique. Les aspects quantitatifs concernent le problème d’empilement de boules symplectiques dans un voisinage ouvert W de la section nulle. Nous introduisons une fonction de type distance ρW sur la section nulle M en utilisant l’empilement symplectique de deux boules. Dans le cas où W est le fibré en disques unitaire associé à une métrique riemannienne g, nous montrons comment reconstruire la métrique g à partir de ρW. Comme étape intermédiaire, nous construisons un plongement symplectique de la boule B2n(2/√π) de capacité 4 dans le produit de disques unitaires lagrangiens Bn(1) × Bn(1). Une telle construction implique la conjecture de Viterbo forte pour Bn(1) × Bn(1). Nous donnons aussi une borne sur le rayon relatif de Gromov Gr(M, W) lorsque M admet une action non-contractile de S1. La borne est donnée en termes de l’action symplectique des relevés des orbites non-contractiles de l’action de S1. Nous donnons aussi des exemples de cas où cette borne est optimale. Ce résultat fait partie d’un travail en collaboration avec Dylan Cant. La deuxième partie du travail est liée aux aspects qualitatifs. Nous montrons l’existence d’orbites périodiques de systèmes hamiltoniens sur T∗M pour une grande classe d’hamiltoniens. Un autre aspect qualitatif est la preuve de la conjecture de la corde Arnol’d pour les sous-variétés legendriennes conormales dans le fibré en co-sphères S∗M. Cette partie de la thèse est un travail conjoint avec Dylan Cant et Egor Shelukhin. Nous montrons que pour une sous-variété fermée donnée N ⊂ M, il existe une corde de Reeb non-constante dans (S∗M,α) avec extrémités sur ΛN := ν∗N ∩S∗M, pour toute forme de contact α sur S∗M qui induit la structure de contact standard. / This dissertation explores the quantitative and qualitative properties of the cotangent bundles T ∗M of a closed smooth manifolds M , from the symplectic point of view. Quantitative aspects involve packing the open neighborhood W of the zero section with symplectic balls. We introduce a distance-like function ρW on the zero section M using the symplectic packing of two balls. In the case when W is the unit disc-cotangent bundle associated to the Riemannian metric g, we show how to recover the metric g from ρW . As an intermediate step, we construct a symplectic embedding from the ball B2n(2/√π) of capacity 4 to the product of Lagrangian unit discs Bn(1) × Bn(1). Such a construction implies the strong Viterbo conjecture for Bn(1) × Bn(1). We also give a bound on the relative Gromov width Gr(M, W) when M admits a non-contractible S1-action. The bound is given in terms of the symplectic action of the lift of non-contractible orbits of the S1-action. We also provide examples of when such a bound is sharp. This result is part of the joint work with Dylan Cant. The second part of this joint work is related to the qualitative aspects. We show the existence of periodic orbits of Hamiltonian systems on T ∗M for a large class of Hamiltonians. Another qualitative aspect is proof of the Arnol’d chord conjecture for conormal Legendrians in the co-sphere bundle S∗M . This part of the dissertation is joint work with Dylan Cant and Egor Shelukhin. We show that for a given closed submanifold N ⊂ M there exists a non-constant Reeb chord in (S∗M, α) with endpoints on ΛN := ν∗N ∩ S∗M, for arbitrary contact form α on S∗M which induces standard contact structure.