Dans quelle mesure peut-on lire les propriétés dynamiques (quand le temps tend vers l’infini) d’un système sur des simulations numériques ? Pour tenter de répondre à cette question, on étudie dans cette thèse un modèle rendant compte de ce qui se passe lorsqu’on calcule numériquement les orbites d’un système à temps discret f (par exemple un homéomorphisme). L’ordinateur travaillant à précision numérique finie, il va remplacer f par une discrétisation spatiale de f, notée f_N (où l’ordre de la discrétisation N rend compte de la précision numérique). On s’intéresse en particulier au comportement dynamique des applications finies f_N pour un système f générique et pour l’ordre N tendant vers l’infini, où générique sera à prendre dans le sens de Baire (principalement parmi des ensembles d’homéomorphismes ou de C^1-difféomorphismes). La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique des discrétisations f_N lorsque f est un homéomorphisme conservatif/dissipatif générique d’une variété compacte. L’étude montre qu’il est illusoire de vouloir retrouver la dynamique du système de départ f à partir de celle d’une seule discrétisation f_N : la dynamique de f_N dépend fortement de l’ordre N. Pour détecter certaines dynamiques de f il faut considérer l’ensemble des discrétisations f_N, lorsque N parcourt N.La seconde partie traite du cas linéaire, qui joue un rôle important dans l’étude du cas des C^1-difféomorphismes génériques, abordée dans la troisième partie de cette thèse. Sous ces hypothèses, on obtient des résultats similaires à ceux établis dans la première partie, bien que plus faibles et de preuves plus difficiles. / How is it possible to read the dynamical properties (ie when the time goes to infinity) of a system on numerical simulations ? To try to answer this question, we study inthis thesis a model reflecting what happens when the orbits of a discrete time system f (for example an homeomorphism) are computed numerically. The computer working in finite numerical precision, it will replace f by a spacial discretization of f, denotedby f_N (where the order N of discretization stands for the numerical accuracy). In particular, we will be interested in the dynamical behaviour of the finite maps f_N for a generic system f and N going to infinity, where generic will be taken in the sense of Baire (mainly among sets of homeomorphisms or C^1-diffeomorphisms). The first part of this manuscript is devoted to the study of the dynamics of the discretizations f_N, when f is a generic conservative/dissipative homeomorphism of a compact manifold. We show that it would be mistaken to try to recover the dynamics of f from that of a single discretization f_N : its dynamics strongly depends on the order N. To detect some dynamical features of f we have to consider all thediscretizations f_N when N goes through N.The second part deals with the linear case, which plays an important role in the study of C^1-generic diffeomorphisms, discussed in the third part of this manuscript. Under these assumptions, we obtain results similar to those established in the first part,though weaker and harder to prove.

On s'intéresse dans ce travail à la simulation des écoulements diphasiques. Différents modèles, tous hyperboliques, sont considérés suivant les configurations étudiées. Dans un premier temps, plusieurs schémas Volumes Finis sont comparés pour l'approximation du modèle HEM (Homogeneous Equilibrium Model), notamment en présence de faibles densités. Ensuite on démontre l'existence et l'unicité de la solution faible entropique d'une loi de conservation scalaire gouvernant l'évolution de la saturation d'un écoulement diphasique dans un milieu poreux. On propose alors deux schémas Volumes Finis tenant compte du caractère résonnant de cette équation. La troisième partie concerne les écoulements en eaux peu profondes et l'approximation des termes sources raides. Une méthode permettant le maintien d'états au repos ainsi que le recouvrement et l'apparition de zones sèches, est présentée et comparée aux méthodes habituellement utilisées dans l'industrie. Enfin, une classe de modèles hyperboliques non conservatifs se basant sur l'approche bifluide à deux vitesses et deux pressions est proposée. Une étude des solutions discontinues du système convectif permet d'exhiber une classe de fermetures sur la vitesse interfaciale et sur la pression interfaciale, tout en permettant de définir de manière unique les produits non conservatifs. L'approximation se fait à l'aide d'une méthode de splitting d'opérateur. On utilise deux schémas Volumes Finis, le schéma de Rusanov et le schéma de Godunov approché VFRoe-ncv pour l'étape de convection. Plusieurs cas tests sont présentés et commentés : tubes à choc, conditions limites de paroi, robinet d'eau, sédimentation.

La simulation de systèmes complexes a pour objectif d'offrir une observation de la dynamique des systèmes étudiés dans un temps adapté à une interprétation scientifique. La simulation orientée agent permet de plus une observation multi-échelle du système considéré car elle s'appuie sur la description des entités granulaires composant celui-ci et leurs interactions. Le grand nombre d'entités nécessaires à la modélisation de systèmes large-échelle grêve cependant les performances en simulation. Ces travaux de recherche visent l'exécution de telles simulations en proposant de les appuyer sur un réseau de plates-formes de simulation. Après avoir identifié les exigences d'une telle approche, nous proposons une architecture agent pour la gestion de la cohérence de la simulation distribuée sur une infrastructure d'exécution flexible. Le système multi-agent formé par les agents répartis sur les plates-formes établit une plate-forme virtuelle exécutant la simulation sans adaptation du modèle simulé. Pour optimiser les performances, nous considérons la représentation du temps dans les simulations et les mécanismes agents d'interaction, notamment le modèle perception/influence sur l'environnement, afin d'établir un ordonnancement parallèle de la simulation. Nous complétons cette exécution parallèle en considérant l'équilibrage de charges dynamique. Ce dernier s'appuie lui aussi sur les informations incluent dans le modèle simulé et vise autant à maximiser l'exploitation de chacune des plates-formes qu'à assurer la flexibilité de la simulation vis à vis de la dynamique de l'infrastructure d'exécution. Ces concepts et algorithmes sont mis en œuvre dans la plate-forme GEAMAS-NG.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématiques et numérique d'un problème physique issu de la volcanologie. On s'intéresse à la modélisation polydisperse de croissance de bulles par exsolution, décompression et coalescence. Un modèle de croissance polydisperse a été proposé dans la litérature, mais ne prenait en compte que le volume des bulles, ce qui restreint le domaine d'application car la croissance par exsolution dépend également de la masse d'eau présente dans la bulle. Pour améliorer ce modèle, nous sommes parti d'une description monodisperse adimensionnelle de la croissance d'une bulle par décompression et exsolution, donnée par le couplage de deux EDO et une EDP. Un code numérique est proposé pour résoudre le problème monodisperse et est actuellement utilisé. Après avoir validé numériquement ce code et considéré plusieurs cas limites, nous avons étudié les solutions du problème et défini une approximation du flux qui nous permet de découpler le système d'équations. Ensuite, nous avons étendu le modèle polydisperse de une à deux dimensions. Une résolution de la coalescence est proposée et couplée avec le modèle de croissance polydisperse. La résolution de la coalescence est confrontée à d'autres schémas numériques en une et deux dimensions afin de valider le schéma numérique proposé. Les premiers test numériques appliqués au problème physique donnent de bon résultats.

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématiques et numérique d’un problème physique issu de la volcanologie. On s’intéresse à la modélisation polydisperse de croissance de bulles par exsolution, décompression et coalescence. Un modèle de croissance polydisperse a été proposé dans la litérature, mais ne prenait en compte que le volume des bulles, ce qui restreint le domaine d’application car la croissance par exsolution dépend également de la masse d’eau présente dans la bulle. Pour améliorer ce modèle, nous sommes parti d’une description monodisperse adimensionnelle de la croissance d’une bulle par décompression et exsolution, donnée par le couplage de deux EDO et une EDP. Un code numérique est proposé pour résoudre le problème monodisperse et est actuellement utilisé. Après avoir validé numériquement ce code et considéré plusieurs cas limites, nous avons étudié les solutions du problème et défini une approximation du flux qui nous permet de découpler le système d’équations. Ensuite, nous avons étendu le modèle polydisperse de une à deux dimensions. Une résolution de la coalescence est proposée et couplée avec le modèle de croissance polydisperse. La résolution de la coalescence est confrontée à d’autres schémas numériques en une et deux dimensions afin de valider le schéma numérique proposé. Les premiers test numériques appliqués au problème physique donnent de bon résultats. / This thesis is devoted to mathematical and numerical study of a physical problem coming from volcanology. We look at the polydisperse modeling of bubbles growth by exsolution, decompression and coalescence. A polydisperse growth model has been proposed in literature, but it takes into accountonly the volume of bubbles, which restrict the application field, because growth by exsolution also depends on the water mass in the bubbles. In order to upgrade this model, we start with a non-dimensional monodisperse description of the bubble growth by decompression and exsolution, given by a coupled ODE system and a PDE. A numerical code is proposed to solve the monodisperse problem and is currently used. After validating this code numerically and considering several limit cases, we studied the solutions of the system and defined a flux approximation to decouple the equations system. Next, we extend the polydispers model from one to two dimensions, the volume and the water mass of bubbles. A resolution of coalescence is proposed and coupled with the polydisperse growth model. The resolution of coalescence is confronted with others numericals schemes in one and two dimensions in order to validate the proposed numerical scheme. The first numerical tests applied to a physical problem give good results.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à la simulation des écoulements liquide-vapeur en transition de phase. Pour décrire ces écoulements, une approche bifluide moyennée à deux pressions indépendantes est retenue. Cette description du mélange liquide-vapeur s'appuie sur le modèle à sept équations de Baer et Nunziato. On étudie les aptitudes de cette modélisation à simuler les transitions de phase apparaissant en ingénierie nucléaire.<br /><br />Dans un premier temps, on élabore un cadre thermodynamique théorique pour décrire les écoulements liquide-vapeur. Dans ce cadre, on réalise la fermeture du modèle de Baer et Nunziato. De nouvelles modélisations sont proposées pour les termes d'interaction entre les phases. Ces nouvelles modélisations dotent le modèle bifluide à deux pressions d'une inégalité d'entropie. On étudie ensuite les propriétés mathématiques de ce modèle. Sa partie convective hyperbolique se présente sous une forme non-conservative. On étudie tout d'abord la définition de ses solutions faibles. Divers régimes d'écoulement sont alors mis à jour pour le mélange diphasique. Ces différents régimes d'écoulement présentent des analogies avec le comportement fluvial et torrentiel des écoulements en rivière. Les stabilités linéaire et non-linéaire de l'équilibre liquide-vapeur sont ensuite établies. Pour affiner notre description des interactions diphasiques, on étudie pour finir l'implémentation d'un modèle de turbulence, ainsi que l'implémentation d'une procédure de reconstruction pour la densité d'aire interfaciale.<br /><br />On s'intéresse ensuite à la simulation de ce modèle. Suivant une approche à pas fractionnaires, une méthode numérique est élaborée dans un formalisme Volumes Finis. Pour réaliser l'approximation de la partie convective, diverses adaptations non-conservatives de solveurs de Riemann standard sont tout d'abord proposées. A l'inverse du cadre non-conservatif classique, l'ensemble de ces schémas converge vers une unique solution. Un nouveau schéma de relaxation est ensuite proposé pour approcher la dynamique des transferts interfaciaux. L'ensemble de la méthode numérique se caractérise alors par la préservation des équilibres liquide-vapeur. Dans un premier temps, cette méthode numérique est employée à la comparaison des différentes modélisations bifluides à une et deux pressions. On l'applique ensuite à la simulation des écoulements liquide-vapeur dans les circuits hydrauliques des réacteurs à eau sous pression en configuration accidentelle.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

Ce travail s'inscrit dans une problématique locale de teneur élevée en arsenic naturel dans le but d'améliorer la surveillance et la gestion de la qualité de la ressource en eau dans l'arrière-pays niçois. L'existence de grandes disparités géographiques des teneurs en arsenic font de la géologie la cause principale de cette contamination. L'intérêt de ce travail est d'appréhender les interactions solide/solution entre l'arsenic total dissous et les particules solides (matières en suspensions, sédiment de lit de rivière, solides naturels). Pour décrypter le comportement géochimique de l'arsenic, les trois objectifs principaux sont : de déterminer son état de conservativité dans le milieu naturel ; puis d'étudier les phénomènes d'adsorption en laboratoire sur des solides naturels (illite, oxydes de fer) ou de référence (kaolinite) ; puis enfin d'apporter une application directe au piégeage de l'arsenic par la création d'un pilote de traitement destiné à dépolluer une source d'eau destiné à la consommation humaine. La concentration en particule est le facteur influençant la conservativité de l'arsenic dans le système de confluence Tinée/Var selon les données des compartiments dissous et particulaire. La fraction colloïdale semble avoir une implication de premier ordre lors de la période de crue étudiée. Le piégeage de l'arsenic est favorisé par les oxyhydroxydes de fer, les argiles puis en moindre quantité par les solides acido-solubles.

Dans ce travail, nous nous intéressons à deux problèmes de la théorie des systèmes hyperboliques faisant intervenir des interfaces. Le premier concerne des modèles de couplages entre un fluide compressible et une particule ponctuelle et le second concerne la capture numérique précise des chocs, ces discontinuités qui apparaissent dans les solutions des systèmes hyperboliques.Sur la première thématique, nous commençons par introduire les différents modèles, dans lesquels la particule et le fluide interagissent à travers une force de frottement qui tend à rapprocher leurs vitesses. Le couplage est singulier car il fait intervenir le produit d’une fonction discontinue par une mesure de Dirac. On peut toutefois définir précisément le système en voyant la particule comme une interface à travers laquelle des relations liant les propriétés du fluide et celle de la particule sont imposées. Lorsque le fluide suit une équation de Burgers, nous démontrons la convergence d’une classe de schéma numérique, et nous obtenons l’existence d’une solution au problème de Cauchy pour une donnée initiale à variation totale bornée. Dans le cas plus complexe où le fluide est décrit par les équa- tions d’Euler isothermes, on prouve l’existence et l’unicité d’une solution autosemblable au problème de Riemann lorsque la particule est immobile. Des simulations numériques sont également présentées.La dernière partie de la thèse est consacrée à la construction de schémas non diffusifs pour les systèmes hyperboliques. Ces schémas, de type volumes finis, sont construits pour être exact lorsque la donnée initiale est un choc isolé. Ils sont basé sur une reconstruction discontinue de la solution au début de chaque itération en temps, dans le but de reconstituer des chocs à l’intérieur de certaines cellules du maillage. Cette stratégie mène à des schémas très peu diffusifs qui, lorsque l’opérateur de reconstruction est bien choisi, approchent correctement les solutions de cas tests problématiques (chocs lents, chocs forts, réflexions pour la dynamique des gaz, chocs non classiques pour les systèmes qui ne sont pas vraiment non linéaires). / In this work, we study two problems concerning hyperbolic systems involving interfaces. The first one concerns the study of models of coupling between a compressible fluid and a pointwise particle. The second one deals with the sharp numerical approximation of shocks, which are discontinuities that appear in the solutions of hyperbolic systems.In the first two parts of the manuscript, we introduce different models of fluid-particle couplings. The fluid and the particle interact on each other through a drag force, which brings their velocities closer to one another. The coupling is singular because it can be written as the product of a discontinuous function by a Dirac measure. However, the system can be precisely defined as follows. The particle is seen as an interface through which interface conditions linking the properties of the fluid with those of the particle are imposed. When the fluid follows the compressible Burgers equations, we prove the convergence of a family of finite volume schemes and obtain the existence of a solution when the initial data has total bounded variation. In the more difficult case where the fluid is described by the isothermal Euler equations, we prove the existence and uniqueness of a selfsimilar solution to the Riemann problem, when the particle is motionless. Numerical experiments are also presented.In the last part of this work, we build non diffusive numerical schemes for different hyperbolic systems. These finite volume schemes are built to be exact when the initial data is an isolated shock. They are based on a discontinuous reconstruction of the solution at the beginning of each time step, in order to reconstruct shocks inside some specific cells of the mesh. The schemes we present have a very low numerical diffusion and, when the reconstruction operator is well chosen, they are able to correctly approximate the solution on various problematic test cases. These cases include slowly moving shocks, strong shocks and shock reflections for gas dynamics, as well as the apparition of nonclassical shocks for systems that are not truely nonlinear.