In the present Paper, the term „differential equations“ means systems of differential equations with partial derivatives. A uniform concept of geometry of differential equations does not exist in modern differential geometry. Representatives of different trends in geometry perceive geometry of differential equation in different ways. The theory of compatibility of differential equations and existence of solutions developed by Spenser-Goldsmidt is one of the most „geometrical“ among them. Later it was systematized and extended at the School of Moscow Mathematicians managed by A.Vinogradov (see [1]) and works of mathematicians from other countries [2]. Geometry of differential equations is also found in subjects of Lithuanian geometricians, first of all in investigations carried out by prof. V.Bliznikas and his disciples. The principal object of the said investigations was construction of internal bindings in differential equations. The object of my Paper is an investigation on geometry of one class of systems of normal linear differential equations with partial derivatives. The said class of equations is presented by differential equations of the second order, provided in tangential stratifications of smooth manifolds. Pursuing the said object, tensor fields are attributed to the differential equations under investigation in the internal manner and internal geometrical bindings of three kinds are developed. The developed bindings enable us to use their covariant... [to full text]

Nagrinėjami sistemos sprendiniai, kai eilės išsigimimas reguliarus (p=0) ir pirmasis sistemos koeficientų dėstinio laipsnine eilute narys nepriklauso nuo kintamųjų y ir z, reiškiami laipsnine x laipsnių eilute.Nereguliaraus arba stipraus išsigimimo atveju formalūs sprendiniai laipsninėmis eilutėmis neegzistuoja.Čia sukonstruotos nagrinėjamos sistemos atskirųjų sprendinių šeimos priklauso nuo laisvai parenkamos kintamųjų y ir z funkcijos, t.y. ta funkcija priklauso nuo kintamųjų, pagal kuriuos nėra jokio išsigimimo. Paprastųjų diferencialinių lygčių teorijoje sprendiniai yra vienparametrinės kreivių šeimos.Visais atvejais sukonstruotos apskritai 4 (4 pirmos eilės dalinių išvestinių diferencialinių lygčių sistema) atskirųjų sprendinių šeimos. / Under consideration solutions of the system, when the malformation of the system’s queue is regular and first member of the system’s coefficients power queue opt out variable y and z, stands for power x power queue.Under consideration here was designed discrete’s solutions families of the system without restraint selecting variables y and z function, i.e., that function depends from variables whereby none malformation. In theory of the regular differentials equations the solutions are family’s of one-parameter curve’s.Generally, in all senses there are designed 4 (4 partial’s derived diferencials equations of the first queue’s system) families of the discrete solutions.

Šiame darbe išnagrinėta išsigimstanti keturių pirmos eilės dalinių išvestinių diferencialinių lygčių sistema. Dalinių išvestinių diferencialinių lygčių sistemai spręsti pritaikytas apibendrintų laipsninių eilučių metodas. Rasti analiziniai šios sistemos sprendiniai ir ištirtos jų savybės išsigimimo daugdaros taškų aplinkoje. Apibendrintų laipsninių eilučių metodas gali būti pritaikytas sprendžiant panašios struktūros dalinių išvestinių diferencialines lygtis, kurių eilė išsigimsta. Darbe gauti rezultatai gali būti pritaikomi modeliuojant ir tiriant realius procesus. / In this work the system of four degenerating differential equations with partial derivatives of first order was studied. For the solution of system of differential equations with partial derivatives the method of generalized power series was applied. Analytical solutions of this system were found and properties of solutions on neighbourhood of points of degeneration manifold were investigated. The method of generalized power series can be applied to the solution of systems of differential equations with partial derivatives of similar structure, which order is degenerating. The results, which were obtained in this work, can be applied to modelling and studying the real processes.

Šiame darbe pateikiama nauja tiesinės algebros algoritmų, atsirandančių sprendžiant dif. lygtis ir jų sistemas, lygiagretinimo technologija. Ši technologija apjungia "lygiagrečiųjų duomenų" ir "globalios atminties" lygiagretinimo modelių privalumus, ir, naudojant apibrėžtos klasės uždavinių yptaumus, leidžia lengvai gauti efektyvų programos kodą, kuris pusiau automatiškai lygiagretinamas. Darbas susideda iš 3 dalių: egzistuojančių priemonių apžvalga, naujos technologijos aprašymas, įvairūs taikymai. / The new parallelization technology is presented in this work. The technology is suitable for parallelization of linear algebra problems that arise during solution of PDE and PDE systems. The new technology combines the strong points of "data parallel" and "global memory" parallel programming models. Using the pecularities of the problems of a given class, the technology allows to write effective code easily, with the addition of the possibility for semi-automatic parallelization. The work consists of 3 parts: the review of existing technologies, the description of the new one, various applications.

Šiame darbe pristatomas PLA formalizmo metodas, skirtas aprašyti ir imituoti hibridines sistemas, kurių tolydiniai komponentai aprašomi pirmos eilės diferencialinėmis lygtimis. Pasinaudojus PLA formalizmu suformuluosime Kvantuotų būsenų sistemos modelį (QSS). QSS modelis yra integravimu pagrįstas metodas, skirtas spręsti pirmos eilės diferencialines lygtis. Šis modelis buvo suformuluotas DEVS formalizmo aplinkoje, kuris yra giminingas PLA formalizmui. Hibridinės sistemos pavyzdžiu pasirinktas farmakokinetinis modelis. Farmakokinetika yra farmakologijos mokslo šaka, tyrinėjant vartojamų vaistų pasisavinimą ir absorbciją žmogaus kūne. Farmakokinetiniame modelyje vaistų pasiskirstymas aprašomas pirmos eilės diferencialines lygtimis. Tam, kad būtų galima aprašyti šį modelį QSS pagalba, buvo reikalinga patobulinti QSS modelį. Rezultate gautas pakeistas QSS modelis. Naudojant pakeistą QSS modelį buvo sudarytas farmakokinetinis modelis ir atliktas vaistų koncentracijos kitimo imitavimas paciento kūne, kai pacientas reguliuoja vaistų suleidimą. / This paper presents the method of using Piece Linear Aggregates formalism (PLA) for specification and simulation of hybrid systems, when continuous components are described in ordinary differential equations (ODEs). PLA is used to create Quantized State System (QSS) model. QSS is integration based method, created for ODE solving. Since QSS method first was introduced for use in Discreet Event Systems (DEVS) formalism, we adapted it for PLA formalism, which is fundamentally consanguineous to DEVS formalism. Pharmacokinetics model is used as example of hybrid system. Pharmacokinetics is a branch of pharmacology which describes administered drug absorption and distribution in human body. In pharmacokinetics drug distribution is described using ODE. In order to use drug injection in pharmacokinetics model, we have to modify standard QSS model and add some specific capabilities. In the result: modified QSS method was obtained and used for pharmacokinetic model specification. Simulation of morphine concentration in plasma was performed using real pharmacokinetics data to test Patient-Controlled Analgesia method effectiveness.