The presented work deals with the discontinuous Galerkin method with the anisotropic mesh adaptation for stationary convection-diffusion problems. Basic definitions are included in an introduction where we also present the used method. The following parts describe various methods for evaluating a Riemann metric, which is necessary for anisotropic mesh adaptation. The most important part of work follows - numerical experiments carried out with ADGFEM and ANGENER software packages. In these experiments, we compare different approaches for the definition of Riemann metrics and compare their efficiency. The main output of this thesis are subroutines for evaluation of the Riemann metric including its source code.

Cette thèse vise à étudier le couplage entre méthodes de Galerkine discontinue (DG) et méthodes de différences finies (DF) en maillages hybrides non structuré / cartésien, en vue d'applications en aéroacoustique numérique. L'idée d'une telle approche consiste à pouvoir tirer profit localement des avantages respectifs de ces méthodes, soit, en d'autres termes, à pouvoir prendre en compte la présence de géométries complexes par une méthode DG en maillage non structuré, et les zones qui en sont suffisamment éloignées par une méthode DF en maillage cartésien, moins coûteuse. Plus précisément, il s'agit de concevoir un algorithme d'hybridation de ces deux types de schémas pour l'approximation des équations d'Euler linéarisées, puis d'évaluer avec attention le comportement numérique des solutions qui en sont issues. De par le fait qu'aucun résultat théorique ne semble actuellement atteignable dans un cas général, cette étude est principalement fondée sur une démarche d'expérimentation numérique. Par ailleurs, l'intérêt d'une telle hybridation est illustré par son application à un calcul de propagation acoustique dans un cas réaliste / This thesis aims at studying coupling techniques between Discontinuous Galerkin (DG) and finite difference (FD) schemes in a non-structured / Cartesian hybrid-mesh context,in the framework of Aeroacoustics computations. The idea behind such an approach is the possibility to locally take advantage of the qualities of each method. In other words, the goal is to be able to deal with complex geometries using a DG scheme on a non-structured mesh in their neighborhood, while solving the rest of the domain using a FD scheme on a cartesian grid, in order to alleviate the needs in computational resources. More precisely, this work aims at designing an hybridization algorithm between these two types of numerical schemes, in the framework of the approximation of the solutions of the Linearized Euler Equations. Then, the numerical behaviour of hybrid solutions is cautiously evaluated. Due to the fact that no theoretical result seems achievable at the present time, this study is mainly based on numerical experiments. What's more, the interest of such an hybridization is illustrated by its application to an acoustic propagation computation in a realistic case

Ce travail est consacré au développement de schémas numériques pour approcher les solutions de modèles d'écoulement type “depth averaged”. Dans un premier temps, nous détaillons la construction d'approches Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d'eau, et suggérons des extensions MUSCL adaptées. La méthode est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. L'inclusion des termes de friction fait l'objet d'une analyse poussée, aboutissant à l'établissement d'une propriété type “Asymptotic Preserving” à travers l'amélioration d'un autre récent schéma Volumes Finis. La seconde composante de cette étude concerne les méthodes Elements Finis type Galerkin discontinu. Certaines des idées avancées dans le contexte Volumes Finis sont employées pour aborder le système Shallow Water surmaillages triangulaires. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d'une large variété d'écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d'exploiter ces caractéristiques pour étendre l'approche à une nouvelle famille d'équations type Green-Nadghi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique. / This work is devoted to the development of numerical schemes to approximatesolutions of depth averaged flow models. We first detail the construction of Finite Volume approaches for the Shallow Water system with source terms on unstructured meshes. Based on a suitable reformulation of the equations, we implement a well-balanced and positive preserving approach, and suggest adapted MUSCL extensions. The method is shown to handle irregular topography variations and demonstrates strong stabilities properties. The inclusion of friction terms is subject to a thorough analysis, leading to the establishment of some Asymptotic Preserving property through the enhancement of another recent Finite Volume scheme.The second aspect of this study concerns discontinuous Galerkin Finite Elementmethods. Some of the ideas advanced in the Finite Volume context areemployed to broach the Shallow Water system on triangular meshes. Numericalresults are exposed and the method turns out to be well suited to describe a large variety of flows. On these observations we finally propose to exploit its features to extend the approach to a new family of Green-Nadghi equations. Numerical experiments are also proposed to validate this numerical model.

Estuda-se o problema de equilíbrio sem força de corpo de uma esfera anisotrópica sob compressão radial uniformemente distribuída sobre o seu contorno no contexto da teoria da elasticidade linear clássica. A solução deste problema prediz o fenômeno inaceitável da auto-intersecção em uma região próxima ao centro da esfera para uma dada faixa de parâmetros materiais. Sob o contexto de uma teoria de minimização do funcional de energia potencial total da elasticidade linear clássica com a restrição de que o determinante do gradiente da função mudança de configuração seja injetivo, este fenômeno é eliminado. Aplicam-se duas formulações do Método dos Elementos Finitos de Galerkin Descontínuo (MEFGD) para obter soluções aproximadas para o problema de equilíbrio da esfera sem restrição. A primeira formulação do MEFGD aproxima diretamente os campos de deslocamento e deformação infinitesimal. A consideração do campo adicional de deformação na formulação do MEFGD aumenta o número de graus de liberdade associados aos nós da malha de elementos finitos e, consequentemente, o custo computacional. Com o objetivo de reduzir o número de graus de liberdade, introduz-se neste trabalho uma formulação alternativa do MEFGD. Nesta formulação, o campo de deformação infinitesimal não é obtido diretamente da inversão do sistema de equações resultante, mas sim por pós-processamento, a partir do campo de deslocamento aproximado. As soluções aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD são comparadas com a solução exata do problema sem restrição e com soluções aproximadas obtidas com o Método dos Elementos Finitos de Galerkin Clássico (MEFGC). Ambas as formulações do MEFGD fornecem melhores aproximações para a solução exata do que as aproximações obtidas com o MEFGC. Os erros entre a solução exata e as soluções aproximadas obtidas com a formulação alternativa do MEFGD são um pouco maiores do que os erros correspondentes obtidos com a formulação original do MEFGD. Este aumento nos erros é compensado pelo menor esforço computacional exigido pela formulação alternativa. Este trabalho serve de base para o estudo de problemas com restrição de injetividade utilizando o método de Galerkin descontínuo. / The equilibrium problem without body force of an anisotropic sphere under radial compression that is uniformly distributed on the sphere\'s boundary is investigated in the context of the classical linear elasticity theory. The solution of this problem predicts the unacceptable phenomenon of self-intersection in a vicinity of the center of the sphere for a given range of material parameters. This phenomenon can be eliminated in the context of a theory that minimizes the total potential energy of classical linear elasticity subjected to the restriction that the deformation field be injective. Two formulations of the Finite Element Method using Discontinuous Galerkin (MEFGD) are used to obtain approximate solutions for the unconstrained problem. The first formulation of the MEFGD approximates both the displacement and the strain fields. The consideration of the strain as an additional field in the formulation of the MEFGD increases the number of degrees of freedom associated to the finite elements and, therefore, the computational cost. With the objective of reducing the number of degrees of freedom, an alternative formulation of the MEFGD is introduced in this work. In this formulation, the strain field is not obtained directly from the inversion of the resulting linear system of equations, but from a post-processing calculation using the approximate displacement field. The approximate solutions obtained with both formulations of the MEFGD are compared with the exact solution of the problem without restriction and with approximate solutions obtained with the Finite Element Method using Classical Galerkin (MEFGC). Both formulations of the MEFGD yield better approximations for the exact solution than the approximations obtained with the MEFGC. The errors between the exact solution and the approximate solutions obtained with the alternative formulation of the MEFGD are slightly higher than the corresponding errors obtained with the original formulation of the MEFGD. These errors are compensated by the fact that the alternative formulation requires less computational effort than the computational effort required by the original formulation. This work serves as a basis for the study of problems with the injectivity restriction using the discontinuous Galerkin method.

Mes travaux de thèse portent sur la construction de conditions aux limites absorbantes (CLAs) pour des problèmes de propagation d'ondes posés dans des milieux limités par des surfaces régulières. Ces conditions sont nouvelles car elles prennent en compte non seulement les ondes proagatives (comme la plupart des CLAs existantes) mais aussi les ondes évanescentes et rampantes. Elles sont donc plus performantes que les conditions existantes. De plus, elles sont facilement implémentables dans un schéma d'éléments finis de type Galerkine Discontinu (DG) et ne modifie pas la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Ces CLAs ont été implémentées dans un code simulant la propagation des ondes acoustiques ainsi que dans un code simulant la propagation des ondes en régime harmonique. Les comparaisons réalisées entre les nouvelles conditions et celles qui sont les plus utilisées dans la littérature montrent que prendre en compte les ondes évanescentes et les ondes rampantes permet de diminuer les réflexions issues de la frontière artificielle et donc de rapprocher la frontière artificielle du bord de l'obstacle. On limite ainsi les coûts de calcul, ce qui est un des avantages de mes travaux. De plus, compte tenu du fait que les nouvelles CLAs sont écrites pour des frontières quelconques, elles permettent de mieux adapter le domaine de calcul à la forme de l'obstacle et permettent ainsi de diminuer encore plus les coûts de calcul numérique. / In my PhD, I have worked on the construction of absorbing boundary conditions (ABCs) designed for wave propagation problems set in domains bounded by regular surfaces. These conditions are new since they take into account not only propagating waves (as most of the existing ABCs) but also evanescent and creeping waves. Therefore, they outperform the existing ABCs. Moreover, they can be easily implemented in a discontinuous Galerkin finite element scheme and they do not change the Courant-Friedrichs-Lewy stability condition. These ABCs have been implemented in two codes that respectively simulate the propagation of acoustic waves and harmonic waves. The comparisons performed between these ABCs and the ABCs mostly used in the litterature show that when we take into account evanescent and creeping waves, we reduce the reflections coming from the artificial boundary. Therefore, thanks to these new ABCs, the artificial boundary can get closer to the obstacle. Consequently, we reduce the computational costs which is one of the advantages of my work. Moreover, since these new ABCs are written for any kind of boundary, we can adapt the shape of the computational domain and thus we can reduce again the computational costs.

L’industrie pétrolière s’intéresse désormais à des régions de la terre de plus en plus difficiles d’accès et il est essentiel de proposer des techniques permettant de garantir l’efficaité d’un forage. Parmi ces techniques, la Reverse Time Migration (RTM) est connue pour sa précision. Elle utilise les ondes réfléchies pour reconstruire une carte du sous-sol représentant les interfaces géophysiques. Elle peut être décrite en trois étapes : (i) propager le champs émis par les sources durant la campagne d’acquisition; (ii) pour chaque source, propager le champ enregistré par les récepteurs; (iii) obtenir une image du sous-sol en appliquant une condition d’imagerie à chaque pas de temps et pour chaque source. Cette technique requiert de très grosses capacités de calcul et il est encore difficile d’imager des milieux réalistes 3D, même avec l’aide du calcul haute performance. Nous avons choisi la méthode de Galerkine discontinue pour modéliser la partie propagation car elle permet d’obtenir des solutions précises et est adaptable au calcul parallèle. La quantité d’information à sauvegarder pour faire une corrélation étant importante, on se doit de trouver un algorithme de calcul d’images du sous-sol réduisant ce coût. Nous avons utilisé l’algorithme de Griewank, appelé “Optimal Checkpointing”. Ce problème de coût étant réglé, on se doit de considérer l’efficacité des ondes élastiques incluant des champs multiples pour améliorer la précision de l’image. La condition traditionnelle de J. Claerbout ne prend pas en compte les conversions d’ondes, et n’est alors surtout utile que dans le cas acoustique. De plus, les ondes P et S interagissant entre elles, il est intéressant de trouver une condition d’imagerie utilisant ce fait. Cela a été abordé dans le cadre de la méthode de l’état adjoint dans les travaux de A. Tarantola et J. Tromp et ce travail en propose utilisation dans le cadre de la RTM. Nous proposons une nouvelle condition d’imagerie prenant en compte les paramètres élastiques du milieu considéré et permettant de supprimer les artefacts numériques. Nous illustrons les images sur des cas industriels / Since a large number of sedimentary basins have been explored, oil exploration is now interested in investigating regions of the Earth which are hostile. Among existing methods for seismic imaging, Reverse Time Migration (RTM) is a technique known by industry to be efficient. The RTM uses reflected waves and is able to construct a map of the subsurface which is depicted by the interfaces limiting the geophysical layers. The algorithm of RTM can be described as a three-step procedure: (i) compute the wavefields emitted by the sources used during the seismic acquisition campaign; (ii) for each source, compute the so-called “backpropagated wavefield”, which is the wavefield obtained by using as sources the signals recorded at the receivers during the acquisition campaign and by reversing the time; (iii) get an image of the subsurface by applying an imaging condition combining the propagated and the backpropagated wavefields at each time step of the numerical scheme and for each source. This technique is computationnaly intensive and it is still difficult to image realistic 3D elastic media, even with the help of HPC. We have thus chosen to consider high-order Discontinuous Galerkin Methods which are known to be well-adapted to provide accurate solutions based upon parallel computing. As we need to correlate a lot of wavefields, we need to find an algorithm reducing the CPU time and the storage : this is the Griewank’s algorithm, so-called “Optimal Checkpointing”. The traditional imaging condition, proposed by J. Claerbout, does not take wave conversions into account and since P-wave and S-wave interact with each other, it might be relevant to use an imaging condition including these interactions. In fact, this has been done successfully by A. Tarantola and J. Tromp for seismology applications based upon the inversion of the global Earth. In this work, we propose a new imaging condition using the elastic parameters which attenuates numerical artifacts. We illustrate the properties of the new imaging condition on industrial benchmarks like the Marmousi model. In particular, we compare the new imaging condition with other imaging conditions by using as criteria the quality of the image.

Dans cette thèse, la Méthode des Points Matériels (MPM) est étendue à l’approximation de Galerkin Discontinue (DG) et appliquée aux problèmes hyperboliques en mécanique des solides. La méthode résultante (DGMPM) a pour objectif de suivre précisément les ondes dans des solides subissant de fortes déformations et dont les modèles constitutifs dépendent de l’histoire du chargement. A la croisée des méthodes de types éléments finis et volumes finis, la DGMPM s’appuie sur une grille de calcul arbitraire dans laquelle des flux sont calculés au moyen de solveurs de Riemann approximés sur les arêtes entre les éléments. L’intérêt de ce type de solveurs est qu’ils permettent l’introduction de la structure caractéristique des solutions des équations aux dérivées partielles hyperboliques directement dans le schéma numérique. Les analyses de stabilité et de convergence ainsi que l’illustration de la méthode sur des simulations de problèmes unidimensionnels et bidimensionnels montrent que le schéma numérique permet d’améliorer le suivi des ondes par rapport à la MPM. Par ailleurs, un deuxième objectif poursuivi dans cette thèse consiste à caractériser la réponse des solides élastoplastiques à des sollicitations dynamiques en deux dimensions en vue d’améliorer la résolution numérique de ces problèmes. Bien qu’un certain nombre de travaux aient déjà été menés dans cette direction, les problèmes étudiés se limitent à des cas particuliers. Un cadre unifié pour l’étude de la propagation d’ondes simples dans les solides élastoplastiques en déformations et contraintes plane est proposé dans cette thèse. Les trajets de chargement suivis à l’intérieur de ces ondes simples sont de plus analysés. / In this thesis, the material point method (MPM) is extended to the discontinuous Galerkin approximation (DG) and applied to hyperbolic problems in solid mechanics. The resulting method (DGMPM) aims at accurately following waves in finite-deforming solids whose constitutive models may depend on the loading history. Merging finite volumes and finite elements methods, the DGMPM takes advantage of an arbitrary computational grid in which fluxes are evaluated at element faces by means of approximate Riemann solvers. This class of solvers enables the introduction of the characteristic structure of the solutions of hyperbolic partial differential equations within the numerical scheme. Convergence and stability analyses, along with one and two-dimensional numerical simulations,demonstrate that this approach enhances the MPM ability to track waves. On the other hand, a second purpose has been followed: it consists in identifying the response of two-dimensional elastoplastic solids to dynamic step-loadings in order to improve numerical results on these problems. Although some studies investigated similar questions, only particular cases have been treated. Thus,a generic framework for the study of the propagation of simple waves in elastic-plastic solids under plane stress and plane strain problems is proposed in this thesis. The loading paths followed inside those simple waves are further analyzed.

Les structures mécaniques utilisées de nos jours ne cessent d’évoluer en utilisant des matériaux composites ou à gradient fonctionnel afin de répondre aux enjeux de résistance accrue, allégement de la structure et amélioration des performances. Ceux-ci nécessitent un contrôle adéquat de leur état de santé afin de s’assurer de l’intégrité de la structure. L’utilisation des ondes guidées ultrasonores fournit un moyen efficace et rapide d’inspection sur de longues distances. Néanmoins, ces ondes présentent certaines caractéristiques complexes qui rendent la tâche très difficile. L’utilisation d’outils d’analyse tels que les modèles numériques constitue un grand atout pour ce type d’application. Dans ce contexte, l’objectif de cette de thèse est le développement d’un outil de modélisation performant, permettant d’étudier la propagation des ondes guidées ultrasonores avec une grande précision et une faible consommation de ressources et de temps de calculs. De ce fait, l’intérêt est porté sur des méthodes numériques d’ordres élevés dont les propriétés de convergence sont beaucoup améliorées que les méthodes classiques. En particulier, la méthode semi-analytique éléments finis de Galerkin discontinue pour la détermination des courbes de dispersion des ondes guidées est développée. La méthode est applicable aux structures planes et cylindriques fabriquées de matériaux isotropes, anisotropes et hétérogènes (à gradient fonctionnel de propriétés). Une étude comparative sur l’analyse des performances de ces méthodes est effectuée. Celle-ci a démontré la capacité de la méthode à modéliser la propagation des ondes guidées ultrasonores dans des guides d’ondes à section arbitraire avec des performances prometteuses par rapport à la méthode des éléments finis classique. / The mechanical structures used today are constantly evolving using composite or functionally gradient materials to meet the challenges of increased strength, lightening the structure and improving performance. These require adequate control of their state of health to ensure the integrity of the structure. The use of Ultrasound Guided Waves (UGW) provides an efficient and fast way of inspection over long distances. Nevertheless, these waves have some complex features that make the task very difficult. The use of analysis tools such as numerical models is a great asset for this type of application. In this context, the objective of this thesis is the development of a powerful modeling tool, allowing to study the propagation of UGWs with a great precision, less computational time and consumption of resources. Accordingly, we are interested in higher order numerical methods whose convergence properties are much improved than the classical methods. In particular, a semi-analytical discontinuous Galerkin finite element method (SADG-FE) is developped for the determination of the dispersion properties of guided waves in arbitrary cross-section waveguides. The method is applicable to plates and cylindrical structures made of isotropic, anisotropic heterogeneous (functionally graded) materials. The performance analysis of these methods and their comparisons are performed with respect to the models based on the classical finite element method. The results demonstrated the ability of the proposed method to model the propagation of ultrasounic guided waves in arbitrary section waveguides with promising performance over the conventional finite element method.

La réduction des nuisances sonores est un enjeu permanent pour les acteurs de l’aéronautique. L’optimisation de la réduction de bruit apportée par les traitements acoustiques tapissant la nacelle des réacteurs turbofan passe par une caractérisation précise des matériaux employés dans l’environnement aéroacoustique d’utilisation, qui met en jeu un écoulement rasant de vitesse importante combiné à de forts niveaux sonores. L’objectif de cette thèse est de développer une méthode inverse pour la détermination de l’impédance acoustique de liners soumis à un écoulement rasant, basée sur des mesures non intrusives du champ de vitesse acoustique au-dessus du matériau par Vélocimétrie Laser Doppler (LDV). L’impédance de liner est obtenue par minimisation de l’écart entre le champ de vitesse acoustique mesuré et le champ simulé numériquement en résolvant les équations d’Euler linéarisées bidimensionnelles harmoniques, discrétisées par un schéma Galerkin discontinu. Le gradient de la fonction objectif minimisée est calculé via la résolution, à chaque itération, des équations directes et adjointes. Une première étape de validation du solveur est effectuée sur des cas-tests académiques, puis sur des cas expérimentaux impliquant des mesures de pression acoustique en paroi rigide opposée au liner. Dans un second temps, la méthode est appliquée à des mesures de vitesse acoustique obtenues par LDV dans le banc B2A de l’ONERA en l’absence d’écoulement. La dernière étape consiste à prendre en compte l’effet d’un écoulement rasant de profil cisaillé. Les impédances identifiées à partir de mesures LDV en présence d’écoulement ont notamment permis de gagner en compréhension sur les phénomènes d’absorption intervenant dans le banc B2A. / While aircraft noise constraints become increasingly stringent, efficient duct treatment of turbofan engines requires an accurate knowledge of liner impedance with grazing flow at high acoustic levels. This thesis aims at developing an impedance eduction method in the presence of grazing flow. The inverse process is based on acoustic velocity fields acquired by Laser Doppler Velocimetry (LDV) above the liner. The liner acoustic impedance is obtained by minimization of the distance between the measured acoustic velocity field and the simulated one. Computations rely on the resolution of the 2D linearized Euler equations in the harmonic domain, spatially discretized by a discontinuous Galerkin scheme. The gradient of the objective function is achieved by the resolution, at each iteration on the liner impedance, of the direct and adjoint equations. The solver is first validated on academic test cases, then on experimental results of acoustic pressure measurements at the rigid wall opposite the liner. Secondly the method is applied to acoustic velocity measurements obtained by LDV above the liner without flow, in the ONERA B2A test bench. The last step consists in taking into account the effects of a sheared grazing flow. The impedances educed from LDV measurements in the presence of flow namely allowed to gain insight into the absorption phenomena occuring in the B2A test bench.

This thesis discusses and develops one approach to solve parabolic partial differential equations with random input data. The stochastic problem is firstly transformed into a parametrized one by using finite dimensional noise assumption and the truncated Karhunen-Loeve expansion. The approach, Monte Carlo discontinuous Galerkin (MCDG) method, randomly generates $M$ realizations of uncertain coefficients and approximates the expected value of the solution by averaging M numerical solutions. This approach is applied to two numerical examples. The first example is a two-dimensional parabolic partial differential equation with random convection term and the second example is a benchmark problem coupling flow and transport equations. I first apply polynomial kernel principal component analysis of second order to generate M realizations of random permeability fields. They are used to obtain M realizations of random convection term computed from solving the flow equation. Using this approach, I solve the transport equation M times corresponding to M velocity realizations. The MCDG solution spreads toward the whole domain from the initial location and the contaminant does not leave the initial location completely as time elapses. The results show that MCDG solution is realistic, because it takes the uncertainty in velocity fields into consideration. Besides, in order to correct overshoot and undershoot solutions caused by the high level of oscillation in random velocity realizations, I solve the transport equation on meshes of finer resolution than of the permeability, and use a slope limiter as well as lower and upper bound constraints to address this difficulty. Finally, future work is proposed.